2025-2026學(xué)年上海市黃浦區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共6題，每題4分，滿分24分）.1．（4分）如果，且是和的比例中項(xiàng)，那么的值是A． B． C． D．2．（4分）已知是△的重心，如果，，那么底邊的長是A．4 B．6 C．8 D．103．（4分）在△中，，、、分別是、、的對(duì)邊，下列關(guān)系正確的是A． B． C． D．4．（4分）已知、是非零向量，如果，下列說法中正確的是A． B． C． D．5．（4分）已知點(diǎn)、分別在△的邊和的反向延長線上，．當(dāng)時(shí)，，那么的值是A． B． C． D．6．（4分）如圖，將兩個(gè)寬度為的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形，如果四邊形的面積為，那么直線、所夾銳角的正切值是A． B． C． D．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）已知，那么．8．（4分）如果向量、和滿足，那么．9．（4分）已知線段的長為，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，那么線段的長等于（結(jié)果保留根號(hào)）．10．（4分）如果兩個(gè)等腰三角形是相似三角形，其中一個(gè)三角形的一內(nèi)角為，那么另一個(gè)三角形中底角的度數(shù)為度．11．（4分）如圖，已知，它們與直線、依次交于點(diǎn)、、和點(diǎn)、、，如果，，那么線段的長是．12．（4分）在中，，，，則．13．（4分）已知△三邊長分別為2、3、4，△的兩條邊長為6、9，當(dāng)△最長邊為時(shí)，△與△相似．14．（4分）已知在△中，，是邊上的高，如果，，那么△面積與△的面積的比值是．15．（4分）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)，分別是邊、的中點(diǎn)，設(shè)，，那么（用含有向量、的式子表示）．16．（4分）物理課上學(xué)過小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性實(shí)現(xiàn)圖象投影的方法．如圖，燃燒的蠟燭（豎直放置）經(jīng)小孔在屏幕（豎直放置）上成像，設(shè)，，小孔到的距離為，則小孔到的距離為．17．（4分）如圖，在平行四邊形中，，過點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，交邊于點(diǎn)，如果是邊的中點(diǎn)，那么的值是．18．（4分）如圖，已知△，，，，將△繞著頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，，當(dāng)點(diǎn)恰好落在△的中線的延長線上時(shí)，延長交于點(diǎn)，那么的長為．三、解答題：（本大題共7題，滿分0分）19．計(jì)算：．20．如圖，在四邊形中，是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，，．（1）設(shè)，，試用、的線性組合表示向量；（2）如果，，，求的長．21．如圖，在△中，，，點(diǎn)在邊上，，過作，交延長線于點(diǎn)．（1）求的正弦值；（2）求的值．22．如果正方形的一邊落在三角形的一邊上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在三角形的另外兩邊上，那么我們把這個(gè)正方形叫做三角形的內(nèi)接正方形．小明用如下的方法畫出了銳角△的內(nèi)接正方形：如圖，在△的邊取點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，以為邊在△的內(nèi)部作正方形，連接并延長，交邊于點(diǎn)．過點(diǎn)作，交邊于點(diǎn)，分別過點(diǎn)、作邊的垂線，垂足為、，得到的四邊形為△的一個(gè)內(nèi)接正方形．（1）請(qǐng)按照上述畫圖過程在圖中畫出△一個(gè)內(nèi)接正方形．（保留畫圖痕跡）；（2）請(qǐng)證明這種畫法的正確性．23．已知：如圖，在△中，，平分，點(diǎn)在邊上，與相交于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）求證：．24．某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)“圖形的相似”后，開展了一次主題探究活動(dòng)．他們從一個(gè)基本圖形出發(fā)，逐步深入，請(qǐng)你參與他們的探究過程，完成下列任務(wù)．如圖1，已知△為等邊三角形，點(diǎn)、分別在邊、上，且，與相交于點(diǎn)．任務(wù)1：觀察與發(fā)現(xiàn)——尋找相似三角形寫出圖中的相似三角形（全等三角形除外），并選擇其中一對(duì)寫出證明過程；任務(wù)2：特殊情況探究——中點(diǎn)條件下的比例如圖2，如果，求的值；任務(wù)3：一般化推廣——比例條件下的規(guī)律，如果，直接寫出的值（用含的代數(shù)式表示）25．在△中，，，，點(diǎn)在邊或上（不與、重合），點(diǎn)在邊上，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，交邊于點(diǎn)，連接、．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如果，，求的長；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如果△與△相似，，求的值；（3）如果△是直角三角形，，求△的面積．

參考答案一．選擇題（共6小題）題號(hào)123456答案CCDAAA一、選擇題（共6題，每題4分，滿分24分）.1．（4分）如果，且是和的比例中項(xiàng)，那么的值是A． B． C． D．解：由條件可知．又是和的比例中項(xiàng)，．，．故選：．2．（4分）已知是△的重心，如果，，那么底邊的長是A．4 B．6 C．8 D．10解：如圖所示：連接并延長交于點(diǎn)，由條件可知，，，．故選：．3．（4分）在△中，，、、分別是、、的對(duì)邊，下列關(guān)系正確的是A． B． C． D．解：根據(jù)直角三角形三角函數(shù)的定義可知：，，，，即選項(xiàng)符合題意．故選：．4．（4分）已知、是非零向量，如果，下列說法中正確的是A． B． C． D．解：、是非零向量，，，故選：．5．（4分）已知點(diǎn)、分別在△的邊和的反向延長線上，．當(dāng)時(shí)，，那么的值是A． B． C． D．解：如圖，當(dāng)時(shí)，平行線分線段成比例定理可得：，，，故選：．6．（4分）如圖，將兩個(gè)寬度為的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形，如果四邊形的面積為，那么直線、所夾銳角的正切值是A． B． C． D．解：過點(diǎn)作于，作于．紙條是矩形，，，四邊形是平行四邊形．矩形紙條寬度為，．平行四邊形面積，，四邊形是菱形．菱形的面積為，，，解得，即．，．故選：．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）已知，那么．解：，設(shè)，則，那么．故答案為：．8．（4分）如果向量、和滿足，那么．解：，，，故答案為：．9．（4分）已知線段的長為，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，那么線段的長等于（結(jié)果保留根號(hào)）．解：點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，；故答案為：．10．（4分）如果兩個(gè)等腰三角形是相似三角形，其中一個(gè)三角形的一內(nèi)角為，那么另一個(gè)三角形中底角的度數(shù)為50或65度．解：如果兩個(gè)等腰三角形是相似三角形，其中一個(gè)三角形的一內(nèi)角為，設(shè)第一個(gè)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為，若為頂角，則底角為；若為底角，則另一個(gè)底角也為，頂角為；因此，第一個(gè)三角形的底角為或，由于兩個(gè)三角形相似，對(duì)應(yīng)角相等，故另一個(gè)三角形的底角也為或，故答案為：50或65．11．（4分）如圖，已知，它們與直線、依次交于點(diǎn)、、和點(diǎn)、、，如果，，那么線段的長是15．解：，，，，即，，，，故答案為：15．12．（4分）在中，，，，則．解：如圖所示：可知為的一個(gè)直角邊，在中，，，，，故答案為：．13．（4分）已知△三邊長分別為2、3、4，△的兩條邊長為6、9，當(dāng)△最長邊為12時(shí)，△與△相似．解：設(shè)△最長邊為，所以，解得，．故答案為：12．14．（4分）已知在△中，，是邊上的高，如果，，那么△面積與△的面積的比值是．解：如圖，在△中，，是邊上的高，，，，，△△，，△面積與△的面積比值是．故答案為：．15．（4分）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)，分別是邊、的中點(diǎn)，設(shè)，，那么（用含有向量、的式子表示）．解：根據(jù)題意，，，，，，．故答案為：．16．（4分）物理課上學(xué)過小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性實(shí)現(xiàn)圖象投影的方法．如圖，燃燒的蠟燭（豎直放置）經(jīng)小孔在屏幕（豎直放置）上成像，設(shè)，，小孔到的距離為，則小孔到的距離為20．解：設(shè)小孔到的距離為，由題意可得：△△，則，解得：．故答案為：20．17．（4分）如圖，在平行四邊形中，，過點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，交邊于點(diǎn)，如果是邊的中點(diǎn)，那么的值是．解：四邊形是平行四邊形，是的中點(diǎn)，，，，，．，，，△△，且相似比為．，設(shè)，則，．又，，．，△是直角三角形，在△中，由勾股定理得：，△△，相似比為，，，．．故答案為：．18．（4分）如圖，已知△，，，，將△繞著頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，，當(dāng)點(diǎn)恰好落在△的中線的延長線上時(shí)，延長交于點(diǎn)，那么的長為．解：在△中，，，，則．是中線，，．過作于，在△中，，在△中，．，，，．由旋轉(zhuǎn)得，，，，，，△△，．解得．．故答案為：．三、解答題：（本大題共7題，滿分0分）19．計(jì)算：．【解答】原式．20．如圖，在四邊形中，是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，，．（1）設(shè)，，試用、的線性組合表示向量；（2）如果，，，求的長．解：（1）連接，如圖所示：，是的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為△的中位線，，，四邊形為平行四邊形，，，，，，；（2），，在△中，，，，，是的中點(diǎn)，是△的中位線，，由（1）得四邊形為平行四邊形，，．21．如圖，在△中，，，點(diǎn)在邊上，，過作，交延長線于點(diǎn)．（1）求的正弦值；（2）求的值．解：（1）過作于，設(shè)．在△中，，，點(diǎn)在邊上，，，，，，，，，，，，，，，；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．設(shè)，由（1）知，，，，，，，，即，．，．，，△△．，即，解得．又，，△△．，設(shè)，則，，，解得，．22．如果正方形的一邊落在三角形的一邊上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在三角形的另外兩邊上，那么我們把這個(gè)正方形叫做三角形的內(nèi)接正方形．小明用如下的方法畫出了銳角△的內(nèi)接正方形：如圖，在△的邊取點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，以為邊在△的內(nèi)部作正方形，連接并延長，交邊于點(diǎn)．過點(diǎn)作，交邊于點(diǎn)，分別過點(diǎn)、作邊的垂線，垂足為、，得到的四邊形為△的一個(gè)內(nèi)接正方形．（1）請(qǐng)按照上述畫圖過程在圖中畫出△一個(gè)內(nèi)接正方形．（保留畫圖痕跡）；（2）請(qǐng)證明這種畫法的正確性．解：（1）按照題目描述的步驟，依次進(jìn)行取點(diǎn)、作垂線、作正方形、連線、作平行線和垂線等操作來畫出內(nèi)接正方形，如圖，四邊形即為所求，（2）證明：，，，，四邊形是矩形，正方形，，，，，，，，△△，△△，，，，，四邊形是矩形，且在上，在上，、在上，四邊形是△的內(nèi)接正方形．23．已知：如圖，在△中，，平分，點(diǎn)在邊上，與相交于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）求證：．【解答】證明：（1）平分，，，，△△，，在△中，，，，，；（2）如圖，過作于．由（1）得△△，．又，，．，．，，，，△△．，．，，．24．某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)“圖形的相似”后，開展了一次主題探究活動(dòng)．他們從一個(gè)基本圖形出發(fā)，逐步深入，請(qǐng)你參與他們的探究過程，完成下列任務(wù)．如圖1，已知△為等邊三角形，點(diǎn)、分別在邊、上，且，與相交于點(diǎn)．任務(wù)1：觀察與發(fā)現(xiàn)——尋找相似三角形寫出圖中的相似三角形（全等三角形除外），并選擇其中一對(duì)寫出證明過程；任務(wù)2：特殊情況探究——中點(diǎn)條件下的比例如圖2，如果，求的值；任務(wù)3：一般化推廣——比例條件下的規(guī)律，如果，直接寫出的值（用含的代數(shù)式表示）解：任務(wù)1：△△，△△，△△，△△，證明：△是等邊三角形，，，，△△，，，，△△，△△，△△，△△，任務(wù)2：過點(diǎn)作交于．，，，，△△，，即，，△△，即，設(shè)，，則，即，解得（舍去負(fù)根），，即；任務(wù)過點(diǎn)作交于，，△△，，，又，，即，，△△，，設(shè)，，則，，，整理得，解得（舍去負(fù)根），，即．25．在△中，，，，點(diǎn)在邊或上（不與、重合），點(diǎn)在邊上，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，交邊于點(diǎn)，連接、．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如果，，求的長；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如果△與△相似，，求的值；（3）如果△是直角三角形，，求△的面積．解：（1）在△中，，，，，即，解得：，在直角三角形中，由勾股定理得：，，，，，，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，，，設(shè)，在△中，，，在△中，，，，，解得：，；（2）點(diǎn)在線段上時(shí)，△與△相似，分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，如圖1，，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，設(shè)，則，，，，；當(dāng)時(shí)，如圖2，，設(shè)，則，，，，；綜上所述，的值為或；（3