2025-2026學年上海市嘉定區(qū)七校聯(lián)考九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（共6題，每題4分，滿分24分）.1．（4分）已知，那么下列等式中，不一定正確的是A． B． C． D．2．（4分）在以為坐標原點的直角坐標平面內(nèi)，有一點，射線與軸正半軸的夾角為，那么的值為A． B． C． D．3．（4分）如圖，、分別是△的邊、上的點，下列各比例式不一定能推得的是A． B． C． D．4．（4分）下列兩個三角形不一定相似的是A．有一個內(nèi)角是的兩個等腰三角形 B．腰與底的比都是的兩個等腰三角形 C．兩邊對應成比例的兩個直角三角形 D．一個內(nèi)角為的兩個直角三角形5．（4分）飛機離水平地面的高度為3千米，在飛機上測得該水平地面上的目標點的俯角為，那么此時飛機與目標點的距離為千米．A． B． C． D．6．（4分）如圖，四邊形中，對角線，交于點，若，則下列結論中正確的有①；②△與△的周長比為；③；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）已知：，那么．8．（4分）已知線段是線段、的比例中項，如果，，那么．9．（4分）如果兩個相似三角形的面積比為，那么它們的周長比為．10．（4分）如果在比例尺為的地圖上，、兩地的圖上距離是1.6厘米，那么、兩地的實際距離是千米．11．（4分）已知向量是互不平行的非零向量，如果，那么向量與是否平行？答：．（填“是”或“不是”12．（4分）某小山坡的坡長為500米，山坡的高度為300米，那么該山坡的坡度．13．（4分）黃金分割是漢字結構最基本的規(guī)律．已知一條分割線的端點，分別在習字格的邊，上，且，“晉”字的筆畫“、”的位置在的黃金分割點處，且，若，則的長為（結果保留根號）．14．（4分）如圖，的兩條中線和相交于點，過點作交于點，那么．15．（4分）如圖，直線，如果，，，那么線段的長是．16．（4分）如圖，在中，，，，正方形的頂點、分別在、的邊上，、在邊上，則正方形的邊長等于．17．（4分）已知是等邊三角形，，點，，分別在邊，，上，，同時平分和，則的長為．18．（4分）如圖，在等腰直角△中，，，點為射線上一動點，以為腰且在的右側作等腰直角△，，射線與射線交于點，聯(lián)結．若，則的長為．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計算：．20．（10分）如圖，已知梯形中，，是上一點，，、相交于點，．（1）求的值；（2）聯(lián)結，設，，那么，（用向量、表示）21．（10分）如圖，在菱形中，，．（1）求對角線的長；（2）求的值．22．（12分）如圖，在等腰△中，，點是邊上的中點，過點作，交的延長線于點，過點作，交于點，交于點，交于點．求證：（1）；（2）．23．（10分）探究古代建筑，屋檐之上的數(shù)學密碼——探究屋面結構與建筑高度的關系背景介紹在世界的歷史長河中，中國的古建筑最具有視覺美感，歷史源遠流長、綿延不絕．大詩人李白的詩句：“危樓高百尺，手可摘星辰”，表述了他對建筑、數(shù)學以及宇宙星辰的認知．而中國古建筑屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型藝術中非常重要的構成因素，不僅樣式多，而且組成部分也很繁雜．中國屋頂多為坡屋面，從頂上屋脊或寶頂?shù)较逻叺奈蓍苁且粋€向下彎曲的凹弧面，表達出順應自然的謙卑，似與天空恰當而友善的對話．而彎曲屋面的出現(xiàn)，經(jīng)歷了漫長的過程．其中最具代表的就是兩宋的建筑成就．建筑高度是建筑設計中的一個重要參數(shù)．學習小組的同學想要更全面具體地了解宋代建筑與數(shù)學的關系，來到了宋代建筑代表作——山西太原的晉祠圣母殿．想通過建模的方式探究屋面結構與建筑高度的關系．實踐任務以晉祠圣母殿為例，通過建模的方式，探究屋面結構與建筑高度的關系．資料查閱1、晉祠圣母殿是常見的坡屋面式結構之一，在《建筑設計防火規(guī)范》年版）．0.1條中，建筑高度應為建筑室外設計地面至其檐口與屋脊的平均高度，即：建筑高度室外設計地面至檐口的高度檐口至屋脊的高度．如圖2，建筑高度．2、如圖1，根據(jù)晉祠圣母殿和《營造法式》中的幾個典型的屋面剖面圖的資料總結得出，從檐口到屋脊，坡屋面豎直高度半坡寬度．數(shù)據(jù)表達了古人的審美情趣，現(xiàn)代仿古建筑，如廡殿頂、歇山頂、硬山頂、懸山頂?shù)冉ㄖ?，均宜參照這個建筑密碼營造．模型初建將晉祠圣母殿的屋面近似成平面結構，其剖面圖可以簡化成數(shù)學幾何圖形（簡化為一層房檐）．如圖3，△為等腰三角形，，假定米，米．模型優(yōu)化屋面除了審美需求，也要便于房屋采光和排水．晉祠圣母殿的屋面正是中國古建筑中最具代表的凹曲屋面，使建筑物產(chǎn)生獨特而強烈的視覺效果和藝術感染力．學習小組通過查閱資料可知，屋面可以近似看作圓心角為的圓?。鐖D所示，弧和弧是半徑為、圓心角為的圓弧，檐口到地面的距離為．問題解決任務1模型初建（1）根據(jù)“資料查閱”第一條，求出簡易圖中的建筑高度；任務2模型優(yōu)化（2）根據(jù)“資料查閱”兩條內(nèi)容，直接寫出屋脊與檐口的豎直高度和建筑高度（結果保留整數(shù)部分，．24．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于、兩點，與反比例函數(shù)的圖象相交于、兩點，點的橫坐標為3．軸，垂足為．（1）寫出點、、的坐標，并求反比例函數(shù)的解析式；（2）是反比例函數(shù)圖象上的一個動點且在點右側，過點作軸，垂足為、是否存在這樣的點，使得以點、、為頂點的三角形與△相似？如果存在，請求出所有滿足條件的點坐標，如果不存在，請說明理由．（3）是反比例函數(shù)圖象上的一個動點且在第三象限，如果，求點的坐標．25．（14分）已知：如圖，在和中，，，，，（點、分別在直線的左右兩側），射線交邊于點，點是的重心，射線交邊于點，，．（1）求證：；（2）當點在邊上時，求關于的函數(shù)關系式，并寫出的取值范圍；（3）如果是以為腰的等腰三角形，試求的長．

參考答案一．選擇題（共6小題）題號123456答案BACCAC一、選擇題（共6題，每題4分，滿分24分）.1．（4分）已知，那么下列等式中，不一定正確的是A． B． C． D．解：、由比例的性質得到，故本選項不符合題意．、根據(jù)比例的性質得到是正整數(shù)），故本選項符合題意．、根據(jù)合比性質得到，故本選項不符合題意．、根據(jù)等比性質得到，故本選項不符合題意．故選：．2．（4分）在以為坐標原點的直角坐標平面內(nèi)，有一點，射線與軸正半軸的夾角為，那么的值為A． B． C． D．解：過點作軸，垂足為，在△中，由題意得：，，，，，故選：．3．（4分）如圖，、分別是△的邊、上的點，下列各比例式不一定能推得的是A． B． C． D．解：，，故正確；，，故正確；，，故正確，故選：．4．（4分）下列兩個三角形不一定相似的是A．有一個內(nèi)角是的兩個等腰三角形 B．腰與底的比都是的兩個等腰三角形 C．兩邊對應成比例的兩個直角三角形 D．一個內(nèi)角為的兩個直角三角形解：有一個內(nèi)角是的等腰三角形，只能為頂角，底角均為，故兩三角形角均相等，故項一定相似，不符合題意；腰與底的比都是的等腰三角形，三邊比例相同，滿足此條件的兩個三角形三邊對應成比例，故項一定相似，不符合題意；兩邊對應成比例的兩個直角三角形，雖兩邊成比例，但夾角不一定相等（如三角形三邊3，4，5和，兩邊4和5成比例，但夾角不相等），故項不一定相似，符合題意；一個內(nèi)角為的兩個直角三角形有兩個角分別相等，故項一定相似，不符合題意；故選：．5．（4分）飛機離水平地面的高度為3千米，在飛機上測得該水平地面上的目標點的俯角為，那么此時飛機與目標點的距離為千米．A． B． C． D．解：如圖，假設為飛機，依題意得：，，，在△中，，，飛機與目標的距離為千米，故選：．6．（4分）如圖，四邊形中，對角線，交于點，若，則下列結論中正確的有①；②△與△的周長比為；③；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：①，，△△，；故①正確；②△△，△與△的周長比；故②正確；③，，，，共圓，，如果，，但這兩個角不一定相等，故③錯誤；④假設．，△和△共高，，△和△共高，，，故④正確．結論中正確的是①②④，故選：．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）已知：，那么．解：，設，，．故答案為：．8．（4分）已知線段是線段、的比例中項，如果，，那么．解：線段是線段、的比例中項，，，，故答案為：．9．（4分）如果兩個相似三角形的面積比為，那么它們的周長比為．解：兩個相似三角形的面積比為，這兩個相似三角形的相似比為，這兩個相似三角形的周長比等于相似比，故答案為：．10．（4分）如果在比例尺為的地圖上，、兩地的圖上距離是1.6厘米，那么、兩地的實際距離是16千米．解：根據(jù)題意，厘米千米．即實際距離是16千米．故答案為：16．11．（4分）已知向量是互不平行的非零向量，如果，那么向量與是否平行？答：不平行．（填“是”或“不是”解：假設向量與平行，則，，，無解，向量與不平行．故答案為：不平行．12．（4分）某小山坡的坡長為500米，山坡的高度為300米，那么該山坡的坡度．解：設水平距離為米，根據(jù)勾股定理得：，，，，坡度為高度與水平距離的比值：，故答案為：．13．（4分）黃金分割是漢字結構最基本的規(guī)律．已知一條分割線的端點，分別在習字格的邊，上，且，“晉”字的筆畫“、”的位置在的黃金分割點處，且，若，則的長為（結果保留根號）．解：由題知，因為四邊形是正方形，所以，又因為，所以，所以，則四邊形是矩形．所以．因為，所以．因為點為線段的黃金分割點，且，所以，則．故答案為：．14．（4分）如圖，的兩條中線和相交于點，過點作交于點，那么．解：線段、是的中線，，，，，．故答案為：．15．（4分）如圖，直線，如果，，，那么線段的長是3．解：延長，，相交于，，，，，，，．故答案為：3．16．（4分）如圖，在中，，，，正方形的頂點、分別在、的邊上，、在邊上，則正方形的邊長等于．解：，，，，四邊形是正方形，，，，，即，同理，，設為，則為，為，，解得，，故答案為：．17．（4分）已知是等邊三角形，，點，，分別在邊，，上，，同時平分和，則的長為．解：如圖，同時平分和，，，在與中，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，設，，，，，，，，，，．故答案為：．18．（4分）如圖，在等腰直角△中，，，點為射線上一動點，以為腰且在的右側作等腰直角△，，射線與射線交于點，聯(lián)結．若，則的長為．解：，分兩種情況討論：當點在線段上時，如圖1，等腰直角△中，，，，，，設，在直角三角形中，由勾股定理得：，在△中，由勾股定理得：（不符合題意），點不在線段上；當點在線段的延長線上時，如圖2，過點作于，設，，，，△和△是等腰直角三角形，，，△是等腰直角三角形，，，，，，，△△，，即，整理得：，解得：（負值舍去），經(jīng)檢驗，是分式方程的解，且符合題意，．故答案為：．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計算：．解：原式．20．（10分）如圖，已知梯形中，，是上一點，，、相交于點，．（1）求的值；（2）聯(lián)結，設，，那么，（用向量、表示）解：，，四邊形為平行四邊形，，，，，，，；（2）聯(lián)結，如圖，由（1）可得，，，，，，，，，，．故答案為：，．21．（10分）如圖，在菱形中，，．（1）求對角線的長；（2）求的值．解：（1）連接交于點，如圖1所示：四邊形是菱形，，，，，，，，在△中，，設，，由勾股定理得：，，解得：，，，，，即對角線的長為4；（2）過點作于點，如圖2所示：由（1）可知：，，由菱形的面積公式得：，，在△中，．22．（12分）如圖，在等腰△中，，點是邊上的中點，過點作，交的延長線于點，過點作，交于點，交于點，交于點．求證：（1）；（2）．【解答】證明：（1），，，，，△△，，；（2），點是邊上的中點，，，，，，，，，△△，，，，即．23．（10分）探究古代建筑，屋檐之上的數(shù)學密碼——探究屋面結構與建筑高度的關系背景介紹在世界的歷史長河中，中國的古建筑最具有視覺美感，歷史源遠流長、綿延不絕．大詩人李白的詩句：“危樓高百尺，手可摘星辰”，表述了他對建筑、數(shù)學以及宇宙星辰的認知．而中國古建筑屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型藝術中非常重要的構成因素，不僅樣式多，而且組成部分也很繁雜．中國屋頂多為坡屋面，從頂上屋脊或寶頂?shù)较逻叺奈蓍苁且粋€向下彎曲的凹弧面，表達出順應自然的謙卑，似與天空恰當而友善的對話．而彎曲屋面的出現(xiàn)，經(jīng)歷了漫長的過程．其中最具代表的就是兩宋的建筑成就．建筑高度是建筑設計中的一個重要參數(shù)．學習小組的同學想要更全面具體地了解宋代建筑與數(shù)學的關系，來到了宋代建筑代表作——山西太原的晉祠圣母殿．想通過建模的方式探究屋面結構與建筑高度的關系．實踐任務以晉祠圣母殿為例，通過建模的方式，探究屋面結構與建筑高度的關系．資料查閱1、晉祠圣母殿是常見的坡屋面式結構之一，在《建筑設計防火規(guī)范》年版）．0.1條中，建筑高度應為建筑室外設計地面至其檐口與屋脊的平均高度，即：建筑高度室外設計地面至檐口的高度檐口至屋脊的高度．如圖2，建筑高度．2、如圖1，根據(jù)晉祠圣母殿和《營造法式》中的幾個典型的屋面剖面圖的資料總結得出，從檐口到屋脊，坡屋面豎直高度半坡寬度．數(shù)據(jù)表達了古人的審美情趣，現(xiàn)代仿古建筑，如廡殿頂、歇山頂、硬山頂、懸山頂?shù)冉ㄖ?，均宜參照這個建筑密碼營造．模型初建將晉祠圣母殿的屋面近似成平面結構，其剖面圖可以簡化成數(shù)學幾何圖形（簡化為一層房檐）．如圖3，△為等腰三角形，，假定米，米．模型優(yōu)化屋面除了審美需求，也要便于房屋采光和排水．晉祠圣母殿的屋面正是中國古建筑中最具代表的凹曲屋面，使建筑物產(chǎn)生獨特而強烈的視覺效果和藝術感染力．學習小組通過查閱資料可知，屋面可以近似看作圓心角為的圓?。鐖D所示，弧和弧是半徑為、圓心角為的圓弧，檐口到地面的距離為．問題解決任務1模型初建（1）根據(jù)“資料查閱”第一條，求出簡易圖中的建筑高度；任務2模型優(yōu)化（2）根據(jù)“資料查閱”兩條內(nèi)容，直接寫出屋脊與檐口的豎直高度和建筑高度（結果保留整數(shù)部分，．解：（1）過作于，由知，，在△中，，，，由勾股定理得，，，解得：（負值舍去），（米，答：建筑高度為11米；（2）在上找到一點，使得，，，，△是等邊三角形，，在△中，，，過作上的高，，，，，在△中，，，，，，由資料可得，檐口與屋脊的豎直高度：檐口與屋脊的水平寬度，，，建筑高度（米．根據(jù)“資料查閱”兩條內(nèi)容，直接寫出屋脊與檐口的豎直高度為4米，建筑高度約為17米．24．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于、兩點，與反比例函數(shù)的圖象相交于、兩點，點的橫坐標為3．軸，垂足為．（1）寫出點、、的坐標，并求反比例函數(shù)的解析式；（2）是反比例函數(shù)圖象上的一個動點且在點右側，過點作軸，垂足為、是否存在這樣的點，使得以點、、為頂點的三角形與△相似？如果存在，請求出所有滿足條件的點坐標，如果不存在，請說明理由．（3）是反比例函數(shù)圖象上的一個動點且在第三象限