第14章全等三角形（復(fù)習(xí)講義）1.掌握全等三角形的定義，理解"完全重合"的含義，理解全等三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系（對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角）.2.熟記5種判定方法（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）及其適用條件,能準(zhǔn)確運(yùn)用判定定理證明三角形全等.3.會(huì)利用全等性質(zhì)進(jìn)行幾何計(jì)算（求邊長(zhǎng)、角度等）,能解決實(shí)際生活中的測(cè)量問(wèn)題（如河寬、高度測(cè)量）●一、全等三角形的概念★1、全等圖形的概念：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等圖形．【注意】全等形的形狀相同，大小相同，與圖形所在的位置無(wú)關(guān)，因此平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等．★2、全等三角形的有關(guān)概念和表示方法：（1）全等三角形：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形．（2）三角形全等的符號(hào)：“全等”用符號(hào)“≌”表示．全等的表示方法：△ABC≌△FDE【注意】在記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)寫在對(duì)應(yīng)位置上．（3）對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角：把兩個(gè)全等三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊；重合的角叫做對(duì)應(yīng)角．（4）尋找對(duì)應(yīng)元素的規(guī)律①有公共邊的，公共邊一般是對(duì)應(yīng)邊；②有公共角的，公共角一般是對(duì)應(yīng)角；③有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一般是對(duì)應(yīng)角；④兩個(gè)全等三角形最大的邊是對(duì)應(yīng)邊，最小的邊也是對(duì)應(yīng)邊；⑤兩個(gè)全等三角形最大的角是對(duì)應(yīng)角，最小的角也是對(duì)應(yīng)角.★32、三種常見的全等類型：（1）平移型；（2）翻折型；（3）旋轉(zhuǎn)型.全等變化：一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀和大小都沒(méi)有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等．●二、全等三角形的性質(zhì)★性質(zhì)1：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．性質(zhì)2：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．拓展：①全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高、中線以及對(duì)應(yīng)角的平分線相等．②全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等．【注意】①全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應(yīng)用時(shí)要會(huì)找對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊．②要正確區(qū)分對(duì)應(yīng)邊與對(duì)邊，對(duì)應(yīng)角與對(duì)角的概念，一般地：對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角是對(duì)兩個(gè)三角形而言，而對(duì)邊、對(duì)角是對(duì)同一個(gè)三角形的邊和角而言的，對(duì)邊是指角的對(duì)邊，對(duì)角是指邊的對(duì)角．●三、全等三角形的判定方法★★利用“SSS”判定兩個(gè)三角形全等文字語(yǔ)言：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫為“邊邊邊”或“SSS”.幾何語(yǔ)言：在△ABC和△DEF中，AB∴△ABC≌△DEF(SSS).★★利用“SAS”判定兩個(gè)三角形全等1、文字語(yǔ)言：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”.2、幾何語(yǔ)言：在△ABC和△DEF中，AB∴△ABC≌△DEF(SSS).3、方法：（1）已知兩邊，可以找“夾角”；（2）已知一角和這角的一夾邊，可找這角的另一夾邊【注意】1.有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.2.說(shuō)明兩三角形全等所需的條件應(yīng)按對(duì)應(yīng)邊的順序書寫.3.結(jié)論中所出現(xiàn)的邊必須在所證明的兩個(gè)三角形中.★★利用“ASA”判定兩個(gè)三角形全等1、文字語(yǔ)言：有兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）.2、幾何語(yǔ)言：在△ABC和△DEF中，∠∴△ABC≌△DEF(ASA).★★利用“AAS”判定兩個(gè)三角形全等1、文字語(yǔ)言：兩角和其中一角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”.2、幾何語(yǔ)言：在△ABC和△DEF中，∠∴△ABC≌△DEF(AAS).★★利用“HL”判定兩個(gè)三角形全等1、文字語(yǔ)言：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等(簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).2、幾何語(yǔ)言：∵∠C=∠C′=90°在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，AB∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).【注意】“SSA”可以判定兩個(gè)直角三角形全等，但是“邊邊”指的是斜邊和一直角邊，而“角”指的是直角.3、判定兩個(gè)直角三角形全等的方法：判定一般三角形全等的方法對(duì)判定兩個(gè)直角三角形全等全部適用，因此我們可以根據(jù)“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”這五種方法來(lái)判定兩個(gè)直角三角形全等.題型一題型一全等三角形的概念【例1】（25-26八年級(jí)上·吉林·階段練習(xí)）下列各組圖形中，屬于全等圖形的是（

）A． B． C． D．【變式1-1】（25-26八年級(jí)上·云南昆明·階段練習(xí)）下列各選項(xiàng)中的兩個(gè)圖形屬于全等形的是（

）A． B．C． D．【變式1-2】（25-26八年級(jí)上·江蘇徐州·階段練習(xí)）下列汽車標(biāo)志中，不是由多個(gè)全等圖形組成的是（）A．豐田 B．奧迪C．雪鐵龍 D．三菱【變式1-2】（25-26八年級(jí)上·廣東東莞·階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．全等三角形是指形狀相同的兩個(gè)三角形B．全等三角形的周長(zhǎng)和面積分別相等C．面積相等的兩個(gè)三角形是全等三角形D．所有的等邊三角形都是全等三角形題型題型二利用全等三角形的性質(zhì)求角度【例2】（25-26八年級(jí)上·云南保山·階段練習(xí)）如圖，△ABC≌△A'B'A．107° B．73° C．56° D．51°【變式2-1】（25-26八年級(jí)上·河南駐馬店·階段練習(xí)）如圖，△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，A．120° B．70° C．60° D．50°【變式2-2】（25-26八年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，△OAD≌△OBC，且∠O=80°，∠A．75° B．100° C．105° D．130°題型題型三利用全等三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)【例3】（25-26八年級(jí)上·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，△ACE≌△DBF，AD=10，BCA．8 B．6 C．5 D．4【變式3-1】（25-26八年級(jí)上·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)B，C，D在同一直線上，若△ABC≌△CDE，DE=6，BD=20A．10 B．12 C．14 D．16題型題型四利用全等三角形的性質(zhì)證明【例4】【變式4-1】已知△ABF≌△DCE，E與F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)．證明AF∥DE．【變式4-2】如圖，△ADF≌△CBE，且點(diǎn)E，B，D(1)試判斷AD與BC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)試判斷BF與DE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．題型題型五利用SAS證明全等【例5】（24-25八年級(jí)上·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠

【變式5-1】（25-26八年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、E、F、C在一直線上，DE∥BF,【變式5-2】（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，AB=AE,∠題型題型六利用AAS證明全等【例6】如圖，在Rt△ABC中，直角頂點(diǎn)A在直線l上，AB=AC，過(guò)點(diǎn)B、C分別作直線l的垂線，垂足分別為D、【變式6-1】（25-26八年級(jí)上·湖北十堰·階段練習(xí)）如圖，∠A=∠B，點(diǎn)D在AC邊上，AE和BD(1)求證：∠2=∠(2)若∠1=∠2，AC【變式6-2】如圖，△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E，AD與BE(1)求證：△ADC(2)若DF=2，AF=3，求題型題型七利用ASA證明全等【例7】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC⊥CD，DE⊥AC于點(diǎn)E，AB＝CE，求證：△ABC≌△CED．【變式7-1】已知：如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，點(diǎn)D在AC邊上．求證：△AEC≌△BED．【變式7-2】如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，∠B＝∠ACD，AD∥CE．求證：△ACD≌△CBE．題型題型八利用SSS證明全等【例8】如圖，AB=DC，AC=【變式8-1】如圖，點(diǎn)B、E、C、F在同一直線上，AB=DE，AC=DF，【變式8-2】如圖，已知在△ADF和△CBE中，(1)△ADF(2)∠B題型題型九利用HL證明全等【例9】（23-24八年級(jí)下·山東濟(jì)南·開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)【變式9-1】如圖，已知AD，BC相交于點(diǎn)O，AB＝CD，AM⊥BC于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N，BN＝CM．求證：△ABM≌△DCN．【變式9-2】（25-26八年級(jí)上·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖①，∠A=∠D=90°，AB=DC，點(diǎn)(1)求證：AF=(2)如圖②，連接AE,DF，設(shè)DE,AF交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BC于點(diǎn)H，在不添加輔助線的前提下，直接寫出圖②中的4對(duì)全等三角形題型題型十添加條件使三角形全等式【例10】如圖，已知∠1=∠2，則下列條件中，不能使△ABC≌△DCBA．AB=CD B．AC=BD C．【變式10-1】（25-26八年級(jí)上·浙江湖州·階段練習(xí)）如圖，已知∠CAE=∠BAD，AC=AD，增加下列條件：①AB=AE；②BC=ED；③A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④【變式10-2】（25-26八年級(jí)上·陜西渭南·階段練習(xí)）如圖，已知AB⊥AC，CD⊥BD，若用“HL”判定A．AE=CE B．AB=DC C．【變式10-3】（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·期中）如圖，點(diǎn)C，F(xiàn)在線段BE上，∠ABC=∠(1)根據(jù)“SAS”，需添加的條件是；根據(jù)“HL”，需添加的條件是．(2)請(qǐng)從（1）中選擇一種加以證明．題型題型十一全等三角形的實(shí)際應(yīng)用【例11】如圖，小虎用10塊高度都是3cm的相同長(zhǎng)方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點(diǎn)C在DE上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為cm．【變式11-1】如圖，要測(cè)量池塘的長(zhǎng)度，但點(diǎn)F，C之間不能直接測(cè)量，已知點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在同一條直線l上，小明想了個(gè)辦法先在l的一邊取了個(gè)點(diǎn)A，連接AB，再在l的另一邊取了個(gè)點(diǎn)D，使得AB∥DE，且∠A(1)求證：△ABC(2)若BE=10m，BF=3【變式11-2】（25-26八年級(jí)上·遼寧撫順·階段練習(xí)）小麗與小琳在公園里蕩秋千，如圖，小麗坐在秋千的起始位置A處，OA與地面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，小琳在距OA水平距離BD=0.8m的B處接住她后用力一推，當(dāng)秋千擺動(dòng)到最高點(diǎn)C處時(shí)，小麗距離地面的高度EM為1m，已知∠BOC=90°，BD⊥OA于點(diǎn)D，(1)求證：△CEO≌(2)為了安全考慮規(guī)定戶外秋千設(shè)置高度在2m以下，小麗所在公園的秋千高度OM題型題型十二全等三角形的性質(zhì)與判定的綜合【例12】（25-26八年級(jí)上·吉林松原·階段練習(xí)）如圖，BD=BC，BE=CA，(1)求證：△BDE(2)求∠AFD【變式12-1】（25-26八年級(jí)上·浙江溫州·階段練習(xí)）如圖，△ABC中，AB=AC=4，BC=6，點(diǎn)D、E分別在BC、AC(1)求證：△ABD(2)直接寫出AE的長(zhǎng)．【變式12-2】（25-26八年級(jí)上·四川南充·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，E為AC(1)求證：△BDF≌(2)若AF=2,FD=3【變式12-2】如圖①，點(diǎn)A、E、F、C在一條直線上，AE＝CF，過(guò)點(diǎn)E、F分別作DE⊥AC，BF⊥AC．連接AB、CD，且使AB＝CD．（1）求證：BD平分EF；（2）若將△DEC的邊EC沿AC方向移動(dòng)，△BFA的邊FA沿CA方向移動(dòng)，變?yōu)槿鐖D②所示時(shí)，其余條件不變，上述結(jié)論是否還成立；若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型題型十三一線三等角模型【例13】如圖，∠ABC＝90°，F(xiàn)A⊥AB于點(diǎn)A，點(diǎn)D在直線AB上，AD＝BC，AF＝BD．（1）如圖1，若點(diǎn)D在線段AB上，判斷DF與DC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，若點(diǎn)D在線段AB的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，試判斷（1）中結(jié)論是否成立，并說(shuō)明理由．【變式13-1】如圖，在△ABC中，AB=AC，DE是過(guò)點(diǎn)A的直線，BD⊥DE(1)若B、C在DE的同側(cè)（如圖所示）且AD=CE．求證：(2)若B、C在DE的兩側(cè)（如圖所示），其他條件不變，AB與AC仍垂直嗎？若是請(qǐng)給出證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式13-2】（1）如圖1，直線m經(jīng)過(guò)等腰直角△ABC的頂點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)B、C分別作BD⊥m，CE⊥m，垂足分別為D、E，求證：BD+CE＝DE；（2）如圖2，直線m經(jīng)過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A，AB＝AC，在直線m上取兩點(diǎn)D，E，使∠ADB＝∠AEC＝α，補(bǔ)充∠BAC＝（用α表示），線段BD，CE與DE之間滿足BD+CE＝DE，補(bǔ)充條件后并證明；（3）在（2）的條件中，將直線m繞著點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度到如圖3的位置，并改變條件∠ADB＝∠AEC＝（用α表示）．通過(guò)觀察或測(cè)量，猜想線段BD，CE與DE之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．題型題型十四利用截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造全等三角形【例14】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC、∠BCD的平分線交AD于點(diǎn)E．求證：AB+CD＝BC．【變式14-1】在“教、學(xué)、練、評(píng)一體化”學(xué)習(xí)活動(dòng)手冊(cè)中，全等三角形專題復(fù)習(xí)課，學(xué)習(xí)過(guò)七種作輔助線的方法，其中有“截長(zhǎng)補(bǔ)短”作輔助線的方法．截長(zhǎng)法：在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于較短線段；補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短線段和較長(zhǎng)線段相等．這兩種方法統(tǒng)稱截長(zhǎng)補(bǔ)短法．請(qǐng)用這兩種方法分別解決下列問(wèn)題：已知，如圖，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任一點(diǎn)，求證：AB﹣AC＞PB﹣PC．【變式14-1】截長(zhǎng)補(bǔ)短法”證明線段的和差問(wèn)題：先閱讀背景材料，猜想結(jié)論并填空，然后做問(wèn)題探究．背景材料：（1）如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°．探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．探究的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出的結(jié)論是．探索問(wèn)題：（2）如圖2，若四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠題型題型十五利用倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形【例15】在通過(guò)構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題的過(guò)程中，有一種方法叫作倍長(zhǎng)中線法，【舉例】如圖1，在△ABC中，AB>AC，AD是中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE【應(yīng)用】如圖2，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥【變式15-1】【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，AB=8，AC=6【探究方法】第一小組經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：①延長(zhǎng)AD到E，使得DE=AD；②連接BE，通過(guò)三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABE中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得方法總結(jié)：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”字樣，可以考慮倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形【問(wèn)題拓展】（2）如圖2，OA=OB，OC=OD，∠（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠AOB=90°，延長(zhǎng)EO交BD于點(diǎn)F，【變式15-2】綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，△ABC中，若AB=6，AC=4，求BC小明在組內(nèi)和同學(xué)們合作交流后，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDBA．SSS

B．AAS

C．SAS

D．HL（2）由“三角形的三邊關(guān)系”，可求得AD的取值范圍是___________．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．[初步運(yùn)用]（3）基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測(cè)基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測(cè)1．（25-26八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）如圖，△ABC沿邊BC所在直線向右平移到△DEF，下列結(jié)論中不正確的是（A．△ABC≌△DEF B．∠DEF=∠B2．（25-26七年級(jí)上·山東泰安·階段練習(xí)）已知，如圖△ABC≌△ADE，AE=AC，∠A．60° B．90° C．80° D．20°3．（25-26八年級(jí)上·甘肅張掖·階段練習(xí)）貴州的傳統(tǒng)建筑多采用木結(jié)構(gòu)，其中榫卯結(jié)構(gòu)是一種常見的連接方式，不僅美觀，而且具有很強(qiáng)的穩(wěn)定性和耐久性．如圖，工匠將兩塊全等的木楔△ABC≌△DEF水平釘入長(zhǎng)為10cm的長(zhǎng)方形木條中（點(diǎn)B，C，A．2cm B．4cm C．6cm4．（25-26八年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）如圖，AB=DB，∠1=∠2，添加下列條件，不能判定△ABCA．BC=BE BC．∠A=∠D5．（25-26八年級(jí)上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，E是CD上一點(diǎn)，若△BDE≌△CDA，ABA．23 B．25 C．22 D．266．（2025八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4,AD=6，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE=2，連接DE，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BC→CD→DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為tsA．1 B．1或3 C．1或7 D．3或77．如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，且AB＝EB，點(diǎn)D在AC上，連接BD，DE，若AD＝ED，∠A＝80°，∠CDE＝40°，則∠C的度數(shù)為°．8．如圖，AB⊥CD，且AB＝CD，連接AD，CE⊥AD于點(diǎn)E，BF⊥AD于點(diǎn)F．若CE＝8，BF＝5，EF＝4，則AD的長(zhǎng)為．9．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，交AC于點(diǎn)E，若BC＝BD，AC＝6cm，BC＝8cm，A