2025年考研數(shù)學《線性代數(shù)》專項訓練試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題（每小題4分，共20分）1.若向量α=(1,k,2)與β=(0,1,-1)正交，則實數(shù)k的值為________。2.設(shè)矩陣A=[a_{ij}]是一個三階矩陣，且|A|=3，則|2A^*|=________，其中A^*是A的伴隨矩陣。3.齊次線性方程組x_1+2x_2-x_3=0有非零解，則其系數(shù)矩陣的秩r(A)=________。4.已知矩陣A=[begin{matrix}1&1\0&1end{matrix}]和B=[begin{matrix}1&0\1&1end{matrix}]，則矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣A^T與矩陣B的乘積AB=________。5.若n階矩陣A滿足A^2-3A+2E=0，且A可逆，則矩陣A的逆矩陣A^(-1)=________。二、選擇題（每小題5分，共25分）1.下列四個向量組中，線性無關(guān)的是________。(A)(1,0,1),(2,1,0),(0,1,1)(B)(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)(C)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)(D)(1,1,1),(1,2,3),(2,3,4)2.設(shè)A是n階可逆矩陣，則下列結(jié)論中錯誤的是________。(A)A的行列式|A|≠0(B)A的伴隨矩陣A^*也可逆(C)A的轉(zhuǎn)置矩陣A^T也可逆(D)A的特征值全為零3.設(shè)A是三階矩陣，其特征值為λ?=1,λ?=2,λ?=3，則矩陣|2A|的特征值為________。(A)2,4,6(B)1,2,3(C)8,16,24(D)3,4,54.已知線性方程組Ax=b的增廣矩陣通過初等行變換化為[begin{matrix}1&0&2&3\0&1&-1&4\0&0&0&0end{matrix}]，則該線性方程組________。(A)無解(B)有唯一解(C)有無窮多解(D)解的情況無法確定5.設(shè)A是n階矩陣，且存在正整數(shù)k使得A^k=0（零矩陣），則下列結(jié)論中正確的是________。(A)A必可逆(B)A的秩r(A)=0(C)A的所有特征值均為零(D)A必可相似對角化為零矩陣三、計算題（每小題7分，共28分）1.計算行列式|A|，其中A=[begin{matrix}1&2&3\0&1&-1\1&1&1end{matrix}]。2.已知向量α=(1,2,-1)^T，β=(2,-1,1)^T，γ=(1,1,0)^T，求向量β在向量α,γ上的線性組合表示。3.求矩陣A=[begin{matrix}2&1\1&2end{matrix}]的特征值和特征向量。4.已知線性方程組{x_1+x_2+x_3=1\2x_1+x_2-x_3=2\-x_1+x_2+2x_3=1}，求其解（若存在，寫出全部解）。四、證明題（每小題9分，共18分）1.設(shè)向量組α?,α?,α?線性無關(guān)，證明向量組α?+α?,α?+α?,α?+α?也線性無關(guān)。2.設(shè)A是n階矩陣，且滿足A^T=A（A為對稱矩陣），證明A的特征值均為實數(shù)。五、綜合題（每小題10分，共20分）1.設(shè)矩陣A=[begin{matrix}1&-1&2\0&1&-1\1&0&1end{matrix}]，求一個可逆矩陣P，使得P^(-1)AP為對角矩陣，并寫出該對角矩陣。2.設(shè)向量組α?=(1,0,1)^T，α?=(1,1,0)^T，α?=(a,b,c)^T線性相關(guān)，且向量β=(1,2,1)^T可由向量組α?,α?,α?線性表示，求實數(shù)a,b,c的值及β的線性表示式。試卷答案一、填空題（每小題4分，共20分）1.-1解析：向量α與β正交，則α^Tβ=0，即(1,k,2)?(0,1,-1)=0→0+k-2=0→k=2。此處題目要求k的值，根據(jù)計算，k應為2。然而，根據(jù)最終答案提示，k應為-1。重新審視，(1,k,2)?(0,1,-1)=0→k-2=0→k=2。與提示矛盾?？赡茴}目或答案有誤。若嚴格按照計算，k=2。若必須給出-1，則原題設(shè)可能為α=(1,-1,2)。重新計算：α=(1,k,2),β=(0,1,-1)。α^Tβ=1*0+k*1+2*(-1)=k-2。令k-2=0，得k=2。答案應為2。由于提示為-1，矛盾，懷疑題目或答案。假設(shè)題目無錯，計算結(jié)果為k=2。如果必須符合答案-1，推測題目可能為α=(1,-1,2)。若α=(1,-1,2)，則α^Tβ=1*0+(-1)*1+2*(-1)=-1-2=-3。此時α^Tβ=0要求-3=0，矛盾。結(jié)論：題目“向量α=(1,k,2)與β=(0,1,-1)正交，則實數(shù)k的值為________。”若按原向量計算，k=2。若答案為-1，題目可能設(shè)問有誤或向量α有誤。此處按計算結(jié)果填寫k=2。修正思路：接受題目可能存在印刷錯誤，或答案為-1基于錯誤前提。嚴格按向量給法計算k=2。在考試中，若發(fā)現(xiàn)明顯矛盾，可按最合理計算或默認無印刷錯誤處理。此處按最合理計算。最終決定：按計算結(jié)果k=2。但指出矛盾。答案：2(但注意與提示-1的矛盾)2.24解析：伴隨矩陣的性質(zhì)AA^*=|A|E。對于n階矩陣，|A^*|=|A|^(n-1)。這里A是三階矩陣，|A|=3。所以|A^*|=|A|^2=3^2=9。題目要求的是|2A^*|。根據(jù)行列式的性質(zhì)，|cA|=c^n|A|，對于三階矩陣|2A^*|=2^3|A^*|=8*9=72。答案：723.2解析：齊次線性方程組x_1+2x_2-x_3=0有非零解。根據(jù)齊次線性方程組有非零解的充要條件是其系數(shù)矩陣的行列式為零，或其系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)個數(shù)。這里系數(shù)矩陣A=[12-1]。未知數(shù)個數(shù)是3。若A的秩r(A)=3，則行列式不為零，方程組只有零解。現(xiàn)在方程組有非零解，所以A的秩必須小于3。即r(A)≤2。同時，系數(shù)矩陣不能是零矩陣（否則無意義），所以秩至少為1。因此，r(A)=2。答案：24.[begin{matrix}1&1\1&2end{matrix}]解析：計算矩陣乘積AB=[begin{matrix}1&1\0&1end{matrix}][begin{matrix}1&0\1&1end{matrix}]。按矩陣乘法規(guī)則：第一行第一列：1*1+1*1=2。第一行第二列：1*0+1*1=1。第二行第一列：0*1+1*1=1。第二行第二列：0*0+1*1=1。所以AB=[begin{matrix}2&1\1&1end{matrix}]。答案：[begin{matrix}2&1\1&1end{matrix}]5.A-(3/2)E解析：已知A^2-3A+2E=0。這是一個關(guān)于矩陣A的多項式方程。根據(jù)矩陣代數(shù)，若A滿足f(A)=0，且A可逆，則可以將f(A)分解為(A-λ?I)(A-λ?I)...(A-λ_nI)=0。其中λ_i是A的特征值。我們可以將原方程看作(A-2E)(A-1E)=0。因為A可逆，所以A-2E和A-1E不能同時為零矩陣（否則A會不可逆）。這意味著A的特征值只能是1或2?，F(xiàn)在我們要求A的逆矩陣A^(-1)。將原方程兩邊同時右乘A^(-1)：(A^2-3A+2E)A^(-1)=0*A^(-1)AA^(-1)-3AA^(-1)+2EA^(-1)=0A-3E+2A^(-1)=02A^(-1)=3E-AA^(-1)=(3/2)E-(1/2)AA^(-1)=(3/2)E-(1/2)[begin{matrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}end{matrix}]=[begin{matrix}3/2&0\0&3/2end{matrix}]-[begin{matrix}a_{11}/2&a_{12}/2\a_{21}/2&a_{22}/2end{matrix}]=[begin{matrix}3/2-a_{11}/2&-a_{12}/2\-a_{21}/2&3/2-a_{22}/2end{matrix}]=[begin{matrix}(3-a_{11})/2&-a_{12}/2\-a_{21}/2&(3-a_{22})/2end{matrix}]。但更簡潔的形式是A^(-1)=(3/2)E-(1/2)A。答案：A-(3/2)E二、選擇題（每小題5分，共25分）1.(C)解析：判斷向量組線性無關(guān)，可以使用定義法（若x_1α_1+x_2α_2+...+x_nα_n=0，只有全零解x_i=0）或行列式法（若向量組構(gòu)成的矩陣行列式不為零，則線性無關(guān)）。(A)向量組(1,0,1),(2,1,0),(0,1,1)。構(gòu)成矩陣A=[begin{matrix}1&2&0\0&1&1\1&0&1end{matrix}]。計算行列式|A|=1(1*1-1*0)-0+1(0*1-1*2)=1-0-2=-1≠0。故線性無關(guān)。(B)向量組(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)。構(gòu)成矩陣B=[begin{matrix}1&0&1\1&1&0\0&1&1end{matrix}]。計算行列式|B|=1(1*1-0*1)-0+1(1*1-1*0)=1+1=2≠0。故線性無關(guān)。(C)向量組(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)。構(gòu)成矩陣C=I_3（3階單位矩陣）。單位矩陣行列式為1≠0。故線性無關(guān)。(D)向量組(1,1,1),(1,2,3),(2,3,4)。構(gòu)成矩陣D=[begin{matrix}1&1&2\1&2&3\1&3&4end{matrix}]。計算行列式|D|=1(2*4-3*3)-1(1*4-3*1)+2(1*3-2*1)=1(8-9)-1(4-3)+2(3-2)=-1-1+2=0。故線性相關(guān)。因此，線性無關(guān)的向量組是(C)。答案：C2.(D)解析：(A)A可逆，則|A|≠0。這是可逆矩陣的定義。正確。(B)A可逆，則|A|≠0。由AA^*=|A|E知|AA^*|=||A|E|=|A|^n。又|AA^*|=|A||A^*|=|A|^n。所以|A^*|=|A|^(n-1)≠0。因此A^*也可逆。正確。(C)A可逆，則|A|≠0。由(A^T)(A^T)^*=|A^T|E=|A|E知|A^T(A^T)^*|=||A|E|=|A|^n。又|A^T(A^T)^*|=|A^T||(A^T)^*|=|A|^n。所以|(A^T)^*|=|A|^(n-1)≠0。因此A^T也可逆。正確。(D)A可逆，只能保證A的行列式|A|≠0。A的特征值是方程|λE-A|=0的根?？赡婢仃嚨奶卣髦悼梢允欠橇愕模部梢允橇悖ɡ?，2x2對角矩陣[begin{matrix}λ&0\0&0end{matrix}]，若λ=0則不可逆，若λ≠0則可逆）。只有當A是零矩陣時，其特征值才全是零?？赡婢仃嚥灰欢ㄊ橇憔仃嚒Ｒ虼?，A可逆不一定導致A的特征值全為零。錯誤。答案：D3.(A)解析：矩陣A的特征值為λ?=1,λ?=2,λ?=3。根據(jù)矩陣特征值與矩陣多項式特征值的關(guān)系，若A的特征值為λ，則f(A)的特征值為f(λ)。這里要求|2A|的特征值。設(shè)|2A|的一個特征值為λ'，對應的特征向量為x（A的特征向量）。則2Ax=λ'x。兩邊左乘A：A(2Ax)=A(λ'x)→2(AAx)=λ'(Ax)→2(λAx)=λ'(λx)→2λ(Ax)=λ'λx。由于x是A的特征向量，Ax=λx。代入上式：2λ(λx)=λ'λx→2λ2x=λ'λx。由于x是非零向量，可以消去x：2λ2=λ'λ。若λ≠0，則λ'=2λ。因此，|2A|的特征值為2λ?=2*1=2，2λ?=2*2=4，2λ?=2*3=6。答案：A4.(C)解析：增廣矩陣通過初等行變換化為[begin{matrix}1&0&2&3\0&1&-1&4\0&0&0&0end{matrix}]。對應的線性方程組為{x_1+2x_3=3\x_2-x_3=4\0=0}。方程組中，變量x_1,x_2是主變量（對應系數(shù)列向量在簡化階梯形中為e_1,e_2），x_3是自由變量。方程組有3個未知數(shù)，主變量有2個，自由變量有1個。因此，r(A)=2，r(A|b)=3。由于r(A)<r(A|b)，根據(jù)有解判定定理，該線性方程組無解。答案：A5.(C)解析：設(shè)n階矩陣A滿足A^k=0（零矩陣），則A是一個冪零矩陣（nilpotentmatrix）。(A)A是冪零矩陣，不一定可逆。例如，[begin{matrix}0&1\0&0end{matrix}]^2=0，但行列式為0，不可逆。錯誤。(B)A是冪零矩陣，不一定秩為0。例如，[begin{matrix}0&1\0&0end{matrix}]是2階冪零矩陣，但秩r(A)=1。錯誤。(C)若A是n階冪零矩陣，則存在正整數(shù)k使得A^k=0。根據(jù)矩陣特征值的性質(zhì)，若λ是A的特征值，則對于任意正整數(shù)m，λ^m是A^m的特征值。特別地，λ^k是A^k的特征值。由于A^k=0，其所有特征值均為0。因此，A的所有特征值均為0。正確。(D)A可相似對角化當且僅當A有n個線性無關(guān)的特征向量。若A是冪零矩陣，其特征值均為0。若n=2，[begin{matrix}0&1\0&0end{matrix}]的特征值為0。它沒有2個線性無關(guān)的特征向量（只有一個特征向量[begin{matrix}1\0end{matrix}]），因此不可對角化。若n>2，同樣不存在n個線性無關(guān)的特征向量（最多只有一個特征向量[begin{matrix}1&0&...&0\0&1&...&0\...&...&...&0\end{matrix}]，其余特征向量必須為零向量）。因此，冪零矩陣（當n>1時）不可相似對角化。錯誤。答案：C三、計算題（每小題7分，共28分）1.計算行列式|A|，其中A=[begin{matrix}1&2&3\0&1&-1\1&1&1end{matrix}]。解析：使用按行或按列展開法。這里選擇按第一列展開。|A|=1*det([begin{matrix}1&-1\1&1end{matrix}])-0*det(...)+1*det([begin{matrix}2&3\1&-1end{matrix}])=1*(1*1-(-1)*1)+1*(2*(-1)-3*1)=1*(1+1)+1*(-2-3)=1*2+1*(-5)=2-5=-3。答案：-32.已知向量α=(1,2,-1)^T，β=(2,-1,1)^T，γ=(1,1,0)^T，求向量β在向量α,γ上的線性組合表示。解析：設(shè)β=xα+yγ。即(2,-1,1)^T=x(1,2,-1)^T+y(1,1,0)^T。展開得方程組：{x+y=2\2x+y=-1\-x=1}從第三個方程得x=-1。代入第一個方程：-1+y=2→y=3。代入第二個方程：2*(-1)+3=-2+3=1≠-1。矛盾。因此，向量β不能表示為α和γ的線性組合。答案：向量β不能表示為向量α和γ的線性組合。3.求矩陣A=[begin{matrix}2&1\1&2end{matrix}]的特征值和特征向量。解析：先求特征值。計算特征方程|λE-A|。|λE-A|=|begin{matrix}λ-2&-1\-1&λ-2end{matrix}|=(λ-2)^2-(-1)(-1)=(λ-2)^2-1=λ^2-4λ+4-1=λ^2-4λ+3。令|λE-A|=0→λ^2-4λ+3=0→(λ-3)(λ-1)=0。特征值為λ?=3，λ?=1。再求特征向量。對λ?=3，解方程組(3E-A)x=0：[begin{matrix}1&-1\-1&1end{matrix}][begin{matrix}x_1\x_2end{matrix}]=[begin{matrix}0\0end{matrix}]?；啚閤_1-x_2=0→x_1=x_2。令x_2=t，則x_1=t。特征向量為k[begin{matrix}1\1end{matrix}]，k≠0。對λ?=1，解方程組(1E-A)x=0：[-begin{matrix}1&-1\-1&-1end{matrix}][begin{matrix}x_1\x_2end{matrix}]=[begin{matrix}0\0end{matrix}]?；啚?x_1-x_2=0→x_1=-x_2。令x_2=s，則x_1=-s。特征向量為k'[begin{matrix}-1\1end{matrix}]，k'≠0。答案：特征值λ?=3，對應特征向量k?[begin{matrix}1\1end{matrix}]，k?≠0；特征值λ?=1，對應特征向量k?[begin{matrix}-1\1end{matrix}]，k?≠0。4.已知線性方程組{x_1+x_2+x_3=1\2x_1+x_2-x_3=2\-x_1+x_2+2x_3=1}，求其解（若存在，寫出全部解）。解析：寫出增廣矩陣[A|b]：[begin{matrix}1&1&1&|&1\2&1&-1&|&2\-1&1&2&|&1end{matrix}]。對增廣矩陣進行初等行變換化為簡化階梯形矩陣：R?→R?-2R?：[begin{matrix}1&1&1&|&1\0&-1&-3&|&0\-1&1&2&|&1end{matrix}]。R?→R?+R?：[begin{matrix}1&1&1&|&1\0&-1&-3&|&0\0&2&3&|&2end{matrix}]。R?→-R?：[begin{matrix}1&1&1&|&1\0&1&3&|&0\0&2&3&|&2end{matrix}]。R?→R?-2R?：[begin{matrix}1&1&1&|&1\0&1&3&|&0\0&0&-3&|&2end{matrix}]。R?→-R?/3：[begin{matrix}1&1&1&|&1\0&1&3&|&0\0&0&1&|&-2/3end{matrix}]。R?→R?-3R?：[begin{matrix}1&1&1&|&1\0&1&0&|&2\0&0&1&|&-2/3end{matrix}]。R?→R?-R?：[begin{matrix}1&1&0&|&5/3\0&1&0&|&2\0&0&1&|&-2/3end{matrix}]。R?→R?-R?：[begin{matrix}1&0&0&|&1/3\0&1&0&|&2\0&0&1&|&-2/3end{matrix}]。化簡后得到簡化階梯形矩陣[begin{matrix}1&0&0&|&1/3\0&1&0&|&2\0&0&1&|&-2/3end{matrix}]。對應的線性方程組為{x_1=1/3\x_2=2\x_3=-2/3}。因此，該線性方程組有唯一解。解為：x_1=1/3，x_2=2，x_3=-2/3。答案：線性方程組有唯一解，解為x_1=1/3,x_2=2,x_3=-2/3。四、證明題（每小題9分，共18分）1.設(shè)向量組α?,α?,α?線性無關(guān)，證明向量組α?+α?,α?+α?,α?+α?也線性無關(guān)。解析：證明向量組β?,β?,β?線性無關(guān)，可以使用定義法：假設(shè)x?β?+x?β?+x?β?=0，若能推導出x?=x?=x?=0，則線性無關(guān)。令β?=α?+α?，β?=α?+α?，β?=α?+α?。假設(shè)x?β?+x?β?+x?β?=0。代入β?,β?,β?：x?(α?+α?)+x?(α?+α?)+x?(α?+α?)=0。展開：(x?+x?)α?+(x?+x?)α?+(x?+x?)α?=0。由于α?,α?,α?線性無關(guān)，其系數(shù)必須全為零。得到方程組：{x?+x?=0\x?+x?=0\x?+x?=0}。解此方程組。由第二個方程x?=-x?。代入第一個方程：-x?+x?=0→x?=x?。代入第三個方程：x?+x?=0→2x?=0→x?=0。由x?=0得x?=-x?=0，x?=x?=0。因此，x?=x?=x?=0。所以，向量組α?+α?,α?+α?,α?+α?線性無關(guān)。答案：（證明過程如上）2.設(shè)A是n階矩陣，且滿足A^T=A（A為對稱矩陣），證明A的特征值均為實數(shù)。解析：證明A的特征值均為實數(shù)。設(shè)λ是A的一個特征值，x是對應的特征向量（x≠0）。根據(jù)特征值特征向量的定義，Ax=λx。兩邊左乘x^T（x的轉(zhuǎn)置）：x^TAx=λx^Tx。由于A是對稱矩陣，有x^TA=(x^TA)^T=(A^T)^T=A=x^TA。所以x^TAx=(x^TAx)^T=x^TAx。因此，x^TAx是一個實數(shù)（因為它是1階方陣）。所以λx^Tx是一個實數(shù)。因為x≠0，x^Tx=x_1^2+x_2^2+...+x_n^2>0。因此，λ必須是實數(shù)。答案：（證明過程如上）五、綜合題（每小題10分，共20分）1.設(shè)矩陣A=[begin{matrix}1&-1&2\0&1&-1\1&0&1end{matrix}]，求一個可逆矩陣P，使得P^(-1)AP為對角矩陣，并寫出該對角矩陣。解析：這是一個矩陣對角化的問題。需要找到可逆矩陣P，使得P^(-1)AP=Λ（對角矩陣）。P的列向量是A的線性無關(guān)的特征向量，Λ的對角元是A的特征值。首先求A的特征值。|λE-A|=|begin{matrix}λ-1&1&-2\0&λ-1&1\-1&0&λ-1end{matrix}|=(λ-1)[(λ-1)(λ-1)-(-1)*1]-1[0-(-1)*(-2)]+(-2)[0-(-1)(λ-1)]=(λ-1)[(λ-1)^2+1]+2-2(λ-1)=(λ-1)[λ^2-2λ+1+1]-2λ+2+2-2=(λ-1)(λ^2-2λ+2)-2λ=λ^3-2λ^2+2λ-λ^2+2λ-2-2λ=λ^3-3λ^2+2λ-2。令|λE-A|=0→λ^3-3λ^2+2λ-2=0?？梢試L試因式分解：令f(λ)=λ^3-3λ^2+2λ-2。試根f(1)=1-3+2-2=-2≠0。f(-1)=-1-3-2-2=-8≠0。f(λ)=(λ-1)(λ^2-2λ+2)-2λ=(λ-1)[(λ^2-2λ+2)-2(λ-側(cè)重λ=1的根。設(shè)λ=1是根，則(λ-1)(λ^2-2λ+2-2(λ-1)=0。簡化后為(λ-1)(λ^2-4λ+4=0。因式分解為(λ-2)^2=0。所以λ?=λ?=λ?=2。對角矩陣Λ=[begin{matrix}2&0&0\0&2&0\0&0&2end{matrix}]。接下來求特征向量。對λ?=λ?=λ?=2，解方程組(2E-A)x=0：[begin{matrix}1&1&-2\0&1&1\-1&0&-1end{matrix}][begin{matrix}x_1\x_2\x_3end{matrix}]=[begin{matrix}0\0\0end{matrix}]?；啚椋簕x_1+x_2-2x_3=0\x_2+x_3=2\-x_1-x_3=0}。從第一、三個方程x_1=x_1+x_3=0→x_1=-x_3。從第二個方程x_2+x_3=2→x_2=2-x_3。代入x_1=-x_3，得(-x_3)+(2-x_3)-2x_3=0→-4x_3=0→x_3=0。因此x_1=0，x_2=2。特征向量x=[begin{matrix}0\2\0end{matrix}].但需要三個線性無關(guān)的特征向量。重新檢查λ=2的解。(2E-A)x=0化為[begin{matrix}1&1&-2\0&1&1\-1&0&-1end{matrix}][begin{matrix}x_1\x_2\x_3end{matrix}]=[begin{matrix}0