小學(xué)奧數(shù)最大最小問題專題講解在小學(xué)奧數(shù)的知識(shí)體系中，最大最小問題（又稱“極值問題”）是一類極具思維挑戰(zhàn)性的題型。它不僅考察孩子對(duì)數(shù)字關(guān)系、圖形性質(zhì)的理解，更要求運(yùn)用邏輯推理、極端分析、轉(zhuǎn)化思想等方法，在約束條件下尋找最優(yōu)解。這類問題看似抽象，實(shí)則與生活中的資源分配、路徑規(guī)劃、效率優(yōu)化等場(chǎng)景緊密相關(guān)，學(xué)好它能顯著提升孩子的數(shù)學(xué)感知力與問題解決能力。一、核心類型與解題原理（一）和定最值：“和固定，此消彼長(zhǎng)”的平衡術(shù)當(dāng)幾個(gè)數(shù)的和固定時(shí)，若要使其中一個(gè)數(shù)盡可能大，需讓其他數(shù)盡可能??；反之，若要使一個(gè)數(shù)盡可能小，需讓其他數(shù)盡可能大。這是和定最值的核心邏輯，可總結(jié)為：和定，差小積大，差大和?。ㄑ由熘练e的最值，后續(xù)會(huì)講）。例1：已知三個(gè)正整數(shù)的和為20，求：①最大的數(shù)最大是多少？②最大的數(shù)最小是多少？解析：①要讓最大的數(shù)“最大化”，需讓另外兩個(gè)數(shù)“最小化”。因?yàn)槭钦麛?shù)，最小為1，所以最大數(shù)=20-1-1=18。②要讓最大的數(shù)“最小化”，需讓三個(gè)數(shù)盡可能“平均”（差距最小）。20÷3=6余2，因此三個(gè)數(shù)可分配為6、7、7（將余數(shù)2分給其中兩個(gè)數(shù)），最大的數(shù)最小為7。（二）積定最值：“積固定，差小和小”的秘密當(dāng)幾個(gè)數(shù)的積固定時(shí)，數(shù)之間的差距越小，和越小；差距越大，和越大。反之，若和固定，差距越小，積越大（如正方形是長(zhǎng)方形中面積最大的）。例2：用24米長(zhǎng)的籬笆圍一個(gè)長(zhǎng)方形菜園（長(zhǎng)、寬為正整數(shù)），怎樣圍面積最大？解析：籬笆總長(zhǎng)是長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，即長(zhǎng)+寬=24÷2=12（和固定）。根據(jù)“和定差小積大”，當(dāng)長(zhǎng)=寬=6時(shí)（差距為0），面積=6×6=36平方米，為最大。（三）幾何中的最值：“線段最短”與“對(duì)稱轉(zhuǎn)化”幾何最值常涉及最短路徑（如“將軍飲馬”）、最大面積（如給定周長(zhǎng)的圖形）等，核心思想是利用“兩點(diǎn)之間線段最短”“對(duì)稱轉(zhuǎn)化”簡(jiǎn)化問題。例3：河邊有兩個(gè)村莊A、B（同側(cè)），要在河邊建一個(gè)供水站P，使PA+PB最短。如何確定P的位置？解析：作A關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn)A’，連接A’與B，線段A’B與河岸的交點(diǎn)即為P。原理：PA=PA’（對(duì)稱性質(zhì)），因此PA+PB=PA’+PB，而A’到B的最短路徑是線段A’B（兩點(diǎn)之間線段最短）。（四）統(tǒng)籌規(guī)劃中的最值：“時(shí)間/資源的最優(yōu)分配”這類問題需通過流程優(yōu)化（如并行任務(wù)、順序調(diào)整）減少總時(shí)間或成本，常見于“做飯流程”“運(yùn)輸方案”等場(chǎng)景。例4：媽媽做飯流程：淘米2分鐘→煮飯20分鐘（同時(shí)可洗菜5分鐘、切菜3分鐘、炒菜10分鐘）→吃早飯10分鐘。最少需要多久？解析：淘米（2分鐘）必須先做，然后煮飯（20分鐘）的同時(shí)，可完成洗菜、切菜、炒菜（共5+3+10=18分鐘，小于20分鐘，可并行）。飯煮好后吃早飯10分鐘，總時(shí)間=2+20+10=32分鐘。二、通用解題策略1.明確“定值”與“變量”：先找到題目中固定的條件（和、積、周長(zhǎng)、時(shí)間等），再分析需要優(yōu)化的變量（最大數(shù)、最小和、最短路徑等）。2.極端思想突破：正整數(shù)問題中，最小的正整數(shù)是1；實(shí)數(shù)問題中，可通過“逼近極端值”（如無限接近0）分析。3.轉(zhuǎn)化與建模：幾何問題轉(zhuǎn)化為線段或圖形性質(zhì)（如對(duì)稱、圓的半徑）；統(tǒng)籌問題轉(zhuǎn)化為“流程框圖”，標(biāo)記并行/串行任務(wù)。4.驗(yàn)證結(jié)果合理性：求出極值后，檢查是否符合所有約束條件（如正整數(shù)、圖形存在性等）。三、實(shí)戰(zhàn)例題深化理解例題1（和定最值）：五個(gè)正整數(shù)的和為40，求：最大的數(shù)最大是多少？（其他數(shù)最小為1，40-1×4=36）最大的數(shù)最小是多少？（40÷5=8，無余數(shù)，所以五個(gè)數(shù)都是8，最大的數(shù)最小為8）例題2（積定最值）：面積為36的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)、寬為正整數(shù)，周長(zhǎng)最小是多少？（積定，差小和小。36=6×6，長(zhǎng)=寬=6，周長(zhǎng)=2×(6+6)=24）例題3（幾何最值）：在邊長(zhǎng)為4的正方形中，找一點(diǎn)P，使P到四個(gè)頂點(diǎn)的距離和最小。（正方形中心到四個(gè)頂點(diǎn)的距離和最小，因?yàn)橹行氖菍?duì)角線交點(diǎn)，距離和為2×對(duì)角線=2×4√2≈11.31，若選其他點(diǎn)，根據(jù)三角不等式，距離和會(huì)更大）例題4（統(tǒng)籌最值）：小明起床后需完成：疊被3分鐘、刷牙洗臉5分鐘、聽英語15分鐘、吃早飯10分鐘。如何安排最少時(shí)間？（聽英語的15分鐘內(nèi)，可并行疊被3分鐘、刷牙洗臉5分鐘、吃早飯7分鐘；剩余3分鐘吃早飯?jiān)诼犛⒄Z結(jié)束后完成?？倳r(shí)間=3+5+10=18分鐘，聽英語15分鐘同步完成）四、鞏固練習(xí)（附思路提示）1.和定最值：四個(gè)正整數(shù)和為25，最大的數(shù)最大、最小分別是多少？（提示：最大數(shù)最大→其他數(shù)最小為1；最大數(shù)最小→25÷4=6余1，分配為6、6、6、7）2.積定最值：用20米鐵絲圍長(zhǎng)方形，面積最大是多少？（提示：長(zhǎng)+寬=10，差小積大→長(zhǎng)=寬=5，面積25）3.幾何最值：A村到河岸距離3，B村到河岸距離5，兩村水平距離8，求A到河到B的最短距離。（提示：作A對(duì)稱點(diǎn)A’，A’到B的距離=√[(8)2+(3+5)2]=8√2≈11.31）4.統(tǒng)籌最值：李師傅加工零件，工序：粗加工30分鐘→休息5分鐘→精加工20分鐘→檢驗(yàn)10分鐘。若要加工3個(gè)零件，最少需要多久？（提示：粗加工、精加工、檢驗(yàn)串行，休息可與后續(xù)加工并行?？倳r(shí)間=30×3+20×3+10×3+5×2=190分鐘？不，優(yōu)化后：第一個(gè)零件65分鐘，第二個(gè)零件在第一個(gè)休息時(shí)啟動(dòng)粗加工，總時(shí)間125分鐘）結(jié)語最大最小問題的本質(zhì)是“在約束中尋找最優(yōu)解”，它沒有固定