2.2隨機(jī)過程的分布函數(shù)(1)一維分布函數(shù)(2)二維分布函數(shù)(3)有限維分布函數(shù)一、一維分布函數(shù)族定義2.1設(shè)X(t)為隨機(jī)過程，對(duì)任意固定的t，及實(shí)數(shù)x，稱

為隨機(jī)過程的一維分布函數(shù),而稱為此隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)族.定義2.2設(shè)X(t)為隨機(jī)過程，對(duì)任意固定的t，X(t)為離散型隨機(jī)變量，則稱

為隨機(jī)過程的一維分布律。定義2.3設(shè)X(t)為隨機(jī)過程，對(duì)任意固定的t，X(t)為連續(xù)型隨機(jī)變量，則

其中稱為隨機(jī)過程的一維概率密度函數(shù)。例，考慮隨機(jī)過程

此處

為常數(shù)，X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。試求X(t)的一維概率密度。解：在一個(gè)給定時(shí)刻t0，隨機(jī)變量X(t0)為X的線性函數(shù)，而X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，由概率論知X(t0)服從正態(tài)分布故其一維概率密度為例

設(shè)隨機(jī)過程為其中X服從參數(shù)為

的指數(shù)分布，試求Y(t)的一維概率密度。分析：(1)當(dāng)t固定，Y(t)是一維連續(xù)型隨機(jī)變量。(2)參數(shù)空間：T={t|t>0}對(duì)于固定的t>0，Y(t)的一維分布函數(shù)方法一：先求分布函數(shù)，再求導(dǎo)得到概率密度因?yàn)閄～Z(λ),即其概率為密度其中，定理

設(shè)X是一個(gè)取值于區(qū)間[a,b]，具有概率密度f(x)的連續(xù)型r.v,又設(shè)y=g(x)處處可導(dǎo)，且對(duì)于任意x,恒有

或恒有，則Y=g(X)是一個(gè)連續(xù)型r.v，它的概率密度為方法二：x=h(y)

是y=g(x)的反函數(shù).解因?yàn)閄～Z(λ),即其概率為密度二、二維分布函數(shù)族定義2.4

設(shè)X(t)為隨機(jī)過程，對(duì)于任意兩個(gè)時(shí)刻t1,t2，t1t2及實(shí)數(shù)x1,x2，稱為隨機(jī)過程的二維分布函數(shù),而稱為此隨機(jī)過程的二維分布函數(shù)族.定義2.2設(shè)X(t)為隨機(jī)過程，對(duì)任意固定的t,s，(X(t),X(s))為二維離散型隨機(jī)變量，則稱

為隨機(jī)過程的二維分布律，或稱為（X(t),X(s))的聯(lián)合分布律。例：利用重復(fù)拋擲硬幣的試驗(yàn)，定義一個(gè)隨機(jī)過程：(1)一維分布律(2)二維分布律1234稱之為隨機(jī)過程X(t)的二維概率密度。定義2.4設(shè)X(t)為隨機(jī)過程，對(duì)任意固定的t1，t2(X(t1),X(t2))為二維連續(xù)型隨機(jī)變量：那么

例

設(shè)隨機(jī)過程為其中X服從參數(shù)為

的指數(shù)分布，試求Y(t)的二維分布函數(shù)。定義2.3

設(shè)X(t)為隨機(jī)過程，對(duì)于任意n個(gè)時(shí)刻，及實(shí)數(shù)，稱三、有限維分布函數(shù)族為X(t)的有限維分布函數(shù)族。為隨機(jī)過程的n維分布函數(shù)。稱關(guān)于隨機(jī)過程X(t)的所有有限維分布函數(shù)的集合隨機(jī)過程X(t)的有限維分布函數(shù)族的意義何在?

隨機(jī)過程的n維分布函數(shù)（或概率密度）能夠近似地描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，而且，n越大，則n維分布函數(shù)越趨完善地描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性。所以有很多數(shù)學(xué)家研究了隨機(jī)過程X(t)與其有限維分布函數(shù)族的關(guān)系，1931年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫證明了關(guān)于有限維分布函數(shù)族的重要性的定理：

（1）對(duì)稱性：對(duì)于(1,2,…,n)的任一排列i1,i2,…,in

，有則F必為某個(gè)隨機(jī)過程的有限維分布族。即（2）相容性，對(duì)于任意自然數(shù)m<n，隨機(jī)過程的m維分布函數(shù)與n維分布函數(shù)之間有關(guān)系：定理2.1(存在定理)例:

考慮拋擲骰子的試驗(yàn):設(shè)Xn

是第n次拋擲的點(diǎn)