§3.1均方極限§3.2均方連續(xù)§3.3均方導(dǎo)數(shù)§3.4均方積分§3.5正態(tài)隨機(jī)過程的均方微積分1第三章二階矩過程的均方微積分第三章基本要求1、了解均方極限的概念和性質(zhì)，會求簡單隨機(jī)過程的均方極限；2、了解均方連續(xù)性的概念和性質(zhì)，會確定簡單隨機(jī)過程的均方連續(xù)性；3、了解均方導(dǎo)數(shù)的概念和性質(zhì)，會求簡單隨機(jī)過程的均方導(dǎo)數(shù)；4、了解均方積分的概念和性質(zhì)，會求簡單隨機(jī)過程的均方積分；5、了解正態(tài)過程的均方微積分性質(zhì)。2為了深入研究隨機(jī)過程，如討論隨機(jī)信號的線性變換，就必須借助隨機(jī)過程的微分與積分。因此，有必要將高等數(shù)學(xué)中的極限、連續(xù)、微分和積分等概念進(jìn)行推廣。本課程將引入建立在隨機(jī)極限上的均方連續(xù)、均方可微和均方可積等概念。3一、隨機(jī)變量序列的均方極限二、均方極限的性質(zhì)三、隨機(jī)過程的均方極限4§3.1均方極限數(shù)列的極限函數(shù)的極限函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的可導(dǎo)性函數(shù)的可積性一、相關(guān)背景61.回顧數(shù)列的極限：數(shù)列{X(n),n≥1}的極限：72.類比隨機(jī)變量序列{X(n),n≥1}的極限？X(1)X(2)XX(N)“變動”的數(shù)列有極限？極限固定？變動的數(shù)列與變動的極限之間的距離也變動？E|X(n)-X|2D(X)=E(X-EX)28二、均方范數(shù)1.定義1.1

二階矩存在的隨機(jī)變量的全體組成的集合稱為二階矩變量空間。注2：如無特別指明,本章討論的均是二階矩過程。注1：若X為復(fù)隨機(jī)變量，定義中的絕對值符號理解為模。92.定義1.2在二階矩變量空間H中，定義范數(shù)為注：該范數(shù)應(yīng)該滿足三條基本性質(zhì)。10（1）Cauchy不等式（2）Jessen不等式3.重要不等式11則稱Xn均方收斂于X，稱X為Xn的均方極限，記作1.定義：

設(shè)隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1}和隨機(jī)變量X的二階矩有限，注1：L·i·m即limitinmeansquare，表示均方意義下的極限。三、隨機(jī)序列的均方極限注2：是普通的極限。

（A）數(shù)列{X(n),n≥1}的極限定義：(B)設(shè)r.v.序列{Xn，n=1,2,···}存在二階矩，r.v.X也存在二階矩，若13四、隨機(jī)序列均方極限的性質(zhì)（1）均方極限唯一性。概率密度1.性質(zhì)1：均方極限唯一性定理r.v.序列的均方極限在概率1意義下是唯一的。2.[定理]

設(shè)

{Xn},{Yn},都是二階矩隨機(jī)序列，U是二階矩隨機(jī)變量，{cn}是常數(shù)序列，a,b,c為常數(shù)。令l.i.mXn=X,l.i.mYn=Y,limcn=c

，則有16注1：即均方極限與期望可交換順序。173.如果且，則特別地推論：若,則18對任意常數(shù)a,b有(4)若(5)若，X是隨機(jī)變量，則19(6)判別準(zhǔn)則(柯西準(zhǔn)則)：均方極限存在的充要條件(7)均方收斂準(zhǔn)則。{Xn}均方收斂的充要條件定義設(shè)r.v.序列{Xn，n=1,2,···}存在二階矩，r.v.X也存在二階矩，若1.依概率收斂的定義則稱Xn（n=1,2,···）依概率收斂于X，記作五、隨機(jī)序列的三種極限定義設(shè)r.v.序列{Xn，n=1,2,···}存在二階矩，r.v.X也存在二階矩，若2、依分布收斂的定義則稱Xn（n=1,2,···）依分布收斂于X，記作3、均方收斂定義定義設(shè)r.v.序列{Xn，n=1,2,···}存在二階矩，r.v.X也存在二階矩，若則稱Xn（n=1,2,···）均方收斂于X，或稱X是{Xn}的均方極限，記作L·i·m表示均方意義下的極限，即limitinmean的縮寫。2326對于連續(xù)參數(shù)集的隨機(jī)過程，討論極限。首先回顧函數(shù){f(t),t∈T}

的極限：六、隨機(jī)過程的均方極限27定義

設(shè)隨機(jī)過程{X(t),t∈T}和隨機(jī)變量X的二階矩有限，若則稱X(t)依均方收斂于X，稱X為X(t)的均方極限，記作注：隨機(jī)變量序列的均方極限一些性質(zhì)，對隨機(jī)過程依然成立。28以均方極限為基礎(chǔ)，可定