隨機(jī)過(guò)程

StochasticProcesses

1.隨機(jī)(隨機(jī)現(xiàn)象)：隨機(jī)事件，隨機(jī)變量是隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量表現(xiàn)；2.過(guò)程：動(dòng)態(tài)，時(shí)間；一、隨機(jī)過(guò)程的簡(jiǎn)介

3.隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支，產(chǎn)生于20世紀(jì)30年代，其研究對(duì)象與概率論一樣是隨機(jī)現(xiàn)象，而它特別研究的是隨“時(shí)間”變化的“動(dòng)態(tài)”的一連串隨機(jī)現(xiàn)象。隨機(jī)過(guò)程(StochasitcProcess)是依賴(lài)于參數(shù)的一組隨機(jī)變量的全體，參數(shù)通常是時(shí)間。4.隨機(jī)過(guò)程(StochasitcProcess)是一連串隨機(jī)事件動(dòng)態(tài)關(guān)系的定量描述?！坝?jì)算機(jī)之父”馮.諾伊曼教授把隨機(jī)過(guò)程與概率論的關(guān)系比作為物理學(xué)中動(dòng)力學(xué)與靜力學(xué)的關(guān)系.近40年來(lái)，隨著物理學(xué)、生物學(xué)、自動(dòng)控制，無(wú)線電通訊及管理科學(xué)等方面的需求的提出與解決，使它逐步形成為一門(mén)獨(dú)立的分支學(xué)科，在自然科學(xué)，工程技術(shù)及社會(huì)科學(xué)中日益呈現(xiàn)出廣泛的應(yīng)用前景和蓬勃的發(fā)展前景。(1)隨機(jī)過(guò)程是指一族隨機(jī)變量隨時(shí)間的演變動(dòng)態(tài)過(guò)程；(2)對(duì)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)分析稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程論,它是隨機(jī)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支；(3)產(chǎn)生于20世紀(jì)30年代，其研究對(duì)象與概率論一樣是隨機(jī)現(xiàn)象，而它特別研究的是隨“時(shí)間”變化的“動(dòng)態(tài)”的隨機(jī)現(xiàn)象，“計(jì)算機(jī)之父”馮.諾伊曼教授把隨機(jī)過(guò)程與概率論的關(guān)系比作為物理學(xué)中動(dòng)力學(xué)與靜力學(xué)的關(guān)系。(4)近40年來(lái)，隨著物理學(xué)、生物學(xué)、自動(dòng)控制，無(wú)線電通訊及管理科學(xué)等方面的需求的提出與解決，使它逐步形成為一門(mén)獨(dú)立的分支學(xué)科，在自然科學(xué)，工程技術(shù)及社會(huì)科學(xué)中日益呈現(xiàn)出廣泛的應(yīng)用前景和蓬勃的發(fā)展前景。5.(描述性)定義一般來(lái)說(shuō)，把一組(族)

隨機(jī)變量定義為隨機(jī)過(guò)程。隨機(jī)過(guò)程是概率論的繼續(xù)和發(fā)展，被認(rèn)為是概率論的動(dòng)力學(xué)部分。概率論研究對(duì)象為：隨機(jī)變量；隨機(jī)過(guò)程研究對(duì)象為：

隨時(shí)間演變的隨機(jī)變量(現(xiàn)象)。X→X(t)例如，某地每個(gè)季度的季度降水量xn,由于受許多隨機(jī)因素的影響,它本身具有隨機(jī)性,因此{(lán)xn,n=1,2,…}便是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。例如，某百貨公司每天的顧客數(shù)xn，它本身具有隨機(jī)性,隨時(shí)間變化而形成隨機(jī)過(guò)程,因此{(lán)xn,n=1,2,…}便是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。例如，上證指數(shù)每5分鐘的最低價(jià)xn，它本身具有隨機(jī)性,隨時(shí)間變化而形成隨機(jī)過(guò)程,因此{(lán)xn,n=1,2,…}便是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。在每一種情形，系統(tǒng)在演化，這就是說(shuō)它的狀態(tài)隨著時(shí)間而改變，于是，在時(shí)間t的狀態(tài)具有偶然性，它是一個(gè)隨機(jī)變量x(t)，參數(shù)t的集合通常是一個(gè)區(qū)間(——連續(xù)參數(shù)的隨機(jī)過(guò)程)或一個(gè)整數(shù)集合(——離散參數(shù)的隨機(jī)過(guò)程)。如果系統(tǒng)的狀態(tài)用一個(gè)數(shù)來(lái)表示，x(t)就是數(shù)值的，在其他情形，x(t)可以是向量值或者更為復(fù)雜。如果x(t)限于數(shù)值的情形。當(dāng)狀態(tài)變化時(shí)，它的值確定一個(gè)時(shí)間的函數(shù)——樣本函數(shù)，支配過(guò)程的概率規(guī)律確定賦予樣本函數(shù)的各種可能性質(zhì)的概率。隨機(jī)過(guò)程是對(duì)隨時(shí)間和空間變化的隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行建模和分析的學(xué)科，在物理、生物、工程、心理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)和管理等方面都得到廣泛的應(yīng)用。隨機(jī)過(guò)程目前已得到廣泛的應(yīng)用，在諸如天氣預(yù)報(bào)、統(tǒng)計(jì)物理、天體物理、運(yùn)籌決策、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、安全科學(xué)、人口理論、可靠性及計(jì)算機(jī)科學(xué)等很多領(lǐng)域都要經(jīng)常用到隨機(jī)過(guò)程的理論來(lái)建立數(shù)學(xué)模型。隨機(jī)過(guò)程與其他數(shù)學(xué)分支如位勢(shì)論、微分方程、力學(xué)及復(fù)變函數(shù)論等有密切的聯(lián)系，是在自然科學(xué)、工程科學(xué)及社會(huì)科學(xué)各領(lǐng)域研究隨機(jī)現(xiàn)象的重要工具。二、起源與發(fā)展隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，產(chǎn)生于20世紀(jì)初對(duì)物理學(xué)的研究，如吉布斯、波爾茲曼、龐加萊等人對(duì)統(tǒng)計(jì)力學(xué)的研究。隨機(jī)過(guò)程整個(gè)學(xué)科的理論基礎(chǔ)是由柯?tīng)柲缏宸蚝?/p>

杜布奠定的。(1)1907年前后，馬爾科夫(Markov)研究了一系列有特定相依性的隨機(jī)變量，后人稱(chēng)之為Markov鏈；(2)1923年維納給出布朗(Brown)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)定義，這一過(guò)程成為一個(gè)重要的研究課題。一般理論的研究通常認(rèn)為開(kāi)始于20世紀(jì)30年代：(3)1931年，柯?tīng)柲缏宸?Kolmogorov)《概率論的解析方法》;(4)1934年辛欽(Khinchine)發(fā)表了《平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)理論》，這兩篇著作奠定了馬爾科夫過(guò)程與平穩(wěn)過(guò)程的理論基礎(chǔ)。(5)P.萊維出版了關(guān)于布朗運(yùn)動(dòng)與可加過(guò)程的兩本書(shū)，其中蘊(yùn)含著豐富的概率思想。(6)1953年，J.L.杜布的名著《隨機(jī)過(guò)程論》問(wèn)世，它系統(tǒng)且嚴(yán)格地?cái)⑹隽穗S機(jī)過(guò)程的基本理論。(7)1951年伊藤清建立了關(guān)于布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)微分方程的理論(見(jiàn)隨機(jī)積分)，為研究馬爾可夫過(guò)程開(kāi)辟了新的道路；研究隨機(jī)過(guò)程的方法多種多樣，主要可以分為兩大類(lèi)：一類(lèi)是概率方法，其中用到軌道性質(zhì)、停時(shí)和隨機(jī)微分方程等；另一類(lèi)是分析的方法，其中用到測(cè)度論、微分方程、半群理論、函數(shù)堆和希爾伯特空間等。

實(shí)際研究中常常兩種方法并用。另外組合方法和代數(shù)方法在某些特殊隨機(jī)過(guò)程的研究中也有一定作用。三、隨機(jī)過(guò)程的研究方法(1)賭徒破產(chǎn)問(wèn)題:(gambler’sruinproblem)

賭徒有a元,莊家有n?a元,每賭一次輸贏一元。賭徒每賭完一次后剩下的資本,即形成一具馬爾可夫性質(zhì)的隨機(jī)過(guò)程。賭徒輸光或莊家輸光的時(shí)間與機(jī)率,一向是受矚目的問(wèn)題。(2)泊松過(guò)程:(Poissonprocess)

商店從一早開(kāi)門(mén)到經(jīng)過(guò)t時(shí)間為止,算算光顧的客人總數(shù);或接線生到t時(shí)間為止,接到轉(zhuǎn)接電話的總數(shù);這些經(jīng)過(guò)試驗(yàn)證明,可以都是泊松過(guò)程。四.隨機(jī)過(guò)程(StochasitcProcess)的內(nèi)容：(3)衍生過(guò)程:(branchingProcess)

一個(gè)姓氏的家族,他們的子嗣如果結(jié)婚生子，就是繁衍;否則就沒(méi)有衍生。觀察他們第一代、第二代、...的人口數(shù),就好像一個(gè)樹(shù)圖(treegraph)。幾個(gè)有趣的問(wèn)題是:這家族生生不息的概率，最后減種的概率等。(4)排隊(duì)過(guò)程:(queueingprocess)

顧客隨機(jī)地到柜臺(tái)接受服務(wù),如果服務(wù)員來(lái)不及處理，則顧客要排隊(duì)；電腦使用者不斷地傳送信號(hào)到主機(jī)，如果還未輸?shù)街鳈C(jī)處理，則需要等候。這些排隊(duì)人數(shù)是隨時(shí)間改變的，形成了排隊(duì)過(guò)程。(5)馬爾可夫過(guò)程:如果給定了過(guò)程的現(xiàn)在，其過(guò)去與將來(lái)相互獨(dú)立，這一過(guò)程是馬爾可夫過(guò)程。(6)嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程這類(lèi)隨機(jī)過(guò)程中的任意有限多外隨機(jī)變量的聯(lián)合分布不受參數(shù)平移的影響，即x(t1+h)，…，x(tn+h)的分布與h無(wú)關(guān)。(寬)平穩(wěn)過(guò)程(7)時(shí)間序列分析：時(shí)間序列是按時(shí)間順序的一組數(shù)字序列。時(shí)間序列分析就是利用這組數(shù)列，應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程知識(shí)與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法加以處理，以預(yù)測(cè)未來(lái)事物的發(fā)展。時(shí)間序列分析是定量預(yù)測(cè)方法之一，它的基本原理：一是承認(rèn)事物發(fā)展的延續(xù)性。應(yīng)用過(guò)去數(shù)據(jù)，就能推測(cè)事物的發(fā)展趨勢(shì)。二是考慮到事物發(fā)展的隨機(jī)性。

隨機(jī)過(guò)程教學(xué)內(nèi)容第一章

隨機(jī)過(guò)程的基本概念隨機(jī)過(guò)程的定義，有限維分布函數(shù)，數(shù)字特征、特征函數(shù)，

常見(jiàn)的幾類(lèi)隨機(jī)過(guò)程章-10、勘探現(xiàn)狀。授課提綱第二章隨機(jī)過(guò)程的均方微積分隨機(jī)過(guò)程的均方連續(xù)性，均方可導(dǎo)性、均方可積性章

隨機(jī)過(guò)程的導(dǎo)過(guò)程，隨機(jī)過(guò)程的積分過(guò)程-10從概率論的角度來(lái)講隨機(jī)過(guò)程的基礎(chǔ)知識(shí)從微積分的角度來(lái)講隨機(jī)過(guò)程的基礎(chǔ)知識(shí)第三章

泊松過(guò)程泊松過(guò)程的定義，有限維分布函數(shù)，

數(shù)字特征、特征函數(shù)，狀。泊松過(guò)程泊松過(guò)程相伴的隨機(jī)點(diǎn)過(guò)程泊松過(guò)程相伴的時(shí)間間隔過(guò)程泊松過(guò)程的疊加和分解復(fù)合泊松過(guò)程非齊次泊松過(guò)程泊松過(guò)程的擴(kuò)展基于泊松過(guò)程的校車(chē)輛調(diào)度模型研究基于復(fù)合泊松過(guò)程的機(jī)場(chǎng)客流量分析第四章

平穩(wěn)過(guò)程嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程，平穩(wěn)過(guò)程，聯(lián)合平穩(wěn)過(guò)程，

平穩(wěn)過(guò)程的均值遍歷性、

平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)遍歷性狀。時(shí)域特性頻域特性第五章平穩(wěn)過(guò)程的譜分析譜密度的物理意義，平穩(wěn)過(guò)程的譜密度，

德?tīng)査暮瘮?shù)和譜密度，互譜密度周期寬平穩(wěn)過(guò)程的性質(zhì)驗(yàn)證及其在信號(hào)檢測(cè)應(yīng)用第六章

馬爾可夫鏈

一步轉(zhuǎn)移概率切普曼-柯?tīng)柲缏宸蚍匠?簡(jiǎn)稱(chēng)c

-k方程)

多維分布函數(shù)和數(shù)字特征馬爾科夫鏈基于馬爾可夫鏈的人民幣匯率預(yù)測(cè)馬爾可夫過(guò)程第七章

馬爾可夫鏈的狀態(tài)分類(lèi)和性質(zhì)

基于滾動(dòng)窗口馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)模型的股票指數(shù)波動(dòng)情況研究首達(dá)概率平穩(wěn)分布和極限分布常返態(tài)和瞬時(shí)態(tài)正常返和零常返周期態(tài)狀態(tài)空間的分類(lèi)態(tài)課程要求重點(diǎn)掌握“基礎(chǔ)”+“三大隨機(jī)過(guò)程”

“基礎(chǔ)”

—有關(guān)隨機(jī)過(guò)程的基本定義和基本特征

—隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)、特征函數(shù)、數(shù)字特征各—隨機(jī)過(guò)程的均方微積分的識(shí)別

泊松過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程馬爾科夫過(guò)程三大隨機(jī)過(guò)程正態(tài)過(guò)程布朗運(yùn)動(dòng)教學(xué)思路

加強(qiáng)與精煉基礎(chǔ)知識(shí)

經(jīng)典內(nèi)容講授與多媒體教學(xué)相結(jié)合

培養(yǎng)隨機(jī)數(shù)學(xué)思維目錄第一章

隨機(jī)過(guò)程的基本概念第二章均方微積分第三章泊松過(guò)程第四章平穩(wěn)過(guò)程第五章平穩(wěn)過(guò)程的譜分析第六章馬爾可夫鏈第七章馬爾可夫鏈的狀態(tài)分類(lèi)和性質(zhì)學(xué)習(xí)指導(dǎo)一

課上認(rèn)真聽(tīng)

由于隨機(jī)過(guò)程課程是屬于隨機(jī)數(shù)學(xué)的范疇,即是研究不確定性事件的數(shù)學(xué)理論,學(xué)習(xí)掌握比學(xué)習(xí)概率論有更大的難度,這就要求認(rèn)真聽(tīng)課,逐步弄懂隨機(jī)過(guò)程的新概念,新定義,新定理,對(duì)于每一節(jié)課的學(xué)習(xí),最好能認(rèn)真作好筆記,認(rèn)真了解這些概念與定理的理論意義與實(shí)際意義,以及應(yīng)用的范圍,不要隨意缺課,若有缺課,必須爭(zhēng)取在下次上課前補(bǔ)上所缺部分內(nèi)容，因?yàn)殡S機(jī)過(guò)程課程的學(xué)習(xí)具有較強(qiáng)的連貫性。

二

課后勤練習(xí)

由于這門(mén)課學(xué)習(xí)較難,這就更加要求督促自己按時(shí)完成課后作業(yè)。本教材的作者就是按照課后即時(shí)復(fù)習(xí)與練習(xí)的特點(diǎn)編寫(xiě)的,在本教材中,每一節(jié)內(nèi)容之后,編有適當(dāng)?shù)幕揪毩?xí)題,只需對(duì)照書(shū)中相應(yīng)例子,就可順利完成。最好不要拖拉,課后找時(shí)間及時(shí)完成,并及時(shí)驗(yàn)證，爭(zhēng)取牢固掌握隨機(jī)過(guò)程的基本概念與基本知識(shí)，不然,可能會(huì)事倍功半。學(xué)習(xí)指導(dǎo)三

加強(qiáng)綜合練習(xí)

在本教材中,每一節(jié)后的基本練習(xí)只是針對(duì)該節(jié)的教學(xué)內(nèi)容而設(shè),為了貫穿前后所學(xué)知識(shí),了解隨機(jī)過(guò)程的整體知識(shí)，所以在每一章末,按照這一章的基本要求,設(shè)置了綜合練習(xí),通過(guò)完成適當(dāng)數(shù)量的練習(xí),能復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)的概念與定理。數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握都是在循序漸進(jìn)的練習(xí)中實(shí)現(xiàn)的。學(xué)習(xí)指導(dǎo)四

不懂就問(wèn)

在學(xué)習(xí)過(guò)程中,可能會(huì)有各種各樣的問(wèn)題,有問(wèn)題不用怕,怕的是不懂又不問(wèn),怕的是學(xué)習(xí)不投入.要學(xué)好隨機(jī)過(guò)程知識(shí),就是要問(wèn),第一問(wèn)自己,第二問(wèn)同學(xué),第三問(wèn)老師,隨機(jī)過(guò)程的問(wèn)題尤其不能拖。學(xué)習(xí)指導(dǎo)推薦教材或主要參考書(shū)：主要參考書(shū)主要參考書(shū)：(1)應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程(第5版)(21世紀(jì)統(tǒng)計(jì)學(xué)系列教材);作者:張波商豪鄧軍,出版社:中國(guó)人民大學(xué)出版社;出版時(shí)間:2020年01月;(2)隨機(jī)過(guò)程(第五版);作者:劉次華,出版社:華中科技大學(xué)出版社,出版時(shí)間:2022年01月;

(3)隨機(jī)過(guò)程基礎(chǔ)(原書(shū)第2版);作者:RichardDurrett,出版社:機(jī)械工業(yè)出版社,出版時(shí)間:2014年01月;

(4)隨機(jī)過(guò)程(原書(shū)第2版),作者:(美)羅斯|譯者:龔光魯,出版社:機(jī)械工業(yè),出版時(shí)間:2013年07月;(5)應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程,作者:錢(qián)偉民梁漢營(yíng)楊國(guó)慶,出版社:高等教育出版社,出版時(shí)間:2014年08月;(6)應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程,作者，林元烈編著，出版社：清華大學(xué)出版社，出版時(shí)間：2002年11月；習(xí)題指導(dǎo)：(1)概率統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過(guò)程習(xí)題解集(第2版),作者:邢家省劉明菊馬健出版社:機(jī)械工業(yè)出版社,出版時(shí)間:2021年08月;

(2)隨機(jī)過(guò)程學(xué)習(xí)指導(dǎo)及習(xí)題解析,作者:王勇,程廣濤,宋占杰主編,出版社:天津大學(xué)出版社,出版時(shí)間:2013年03月;(3)隨機(jī)過(guò)程學(xué)習(xí)指導(dǎo),作者:袁修久、楊友社、賀筱軍、郭艷鸝、原野、郭云霞出版社:清華大學(xué)出版社,出版時(shí)間:2016年09月;(4)隨機(jī)過(guò)程習(xí)題集,作者:周蔭清,李春升,陳杰

編著,出版社:清華大學(xué)出版社,出版時(shí)間:2004年09月;

西南交通大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)()成績(jī)考評(píng)方式考試形式：閉卷考試成績(jī)比例：平時(shí)20%+期中考試20%+期末60%平時(shí)成績(jī)包括：出勤，作業(yè)，課堂表現(xiàn)期中考試：期末考試：第二章隨機(jī)過(guò)程的基本概念關(guān)鍵詞：第一節(jié)：隨機(jī)過(guò)程的定義狀態(tài)和狀態(tài)空間、樣本函數(shù)第二節(jié)：一維分布、有限維分布函數(shù)均值函數(shù)、方差函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)、自協(xié)方差函數(shù)、二元隨機(jī)過(guò)程、復(fù)隨機(jī)過(guò)程、

隨機(jī)過(guò)程的特征函數(shù)第三節(jié)：二階矩過(guò)程、獨(dú)立過(guò)程

獨(dú)立增量過(guò)程、正態(tài)過(guò)程、維納過(guò)程西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院王沁§2.1隨機(jī)過(guò)程的定義

概率論中討論的是一個(gè)或有限多個(gè)隨機(jī)變量，而這往往不能滿足實(shí)際問(wèn)題的需要。因?yàn)樵S多隨機(jī)現(xiàn)象僅用靜止的有限個(gè)隨機(jī)變量去描述，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。雖然在大數(shù)定律與中心極限定理考慮了無(wú)窮多個(gè)隨機(jī)變量，然而假定了這些隨機(jī)變量之間相互獨(dú)立，若它們并非相互獨(dú)立時(shí)，概率論知識(shí)就無(wú)能為力了。而在實(shí)際中，我們往往需要用一族無(wú)窮多個(gè)相互有關(guān)的隨機(jī)變量去描述自然界與科學(xué)技術(shù)中存在的大量隨機(jī)現(xiàn)象，這就導(dǎo)致了隨機(jī)過(guò)程論的產(chǎn)生與發(fā)展。一、隨機(jī)過(guò)程的定義1、隨機(jī)過(guò)程被認(rèn)為是概率論的“動(dòng)力學(xué)”部分，即它的研究對(duì)象是隨時(shí)間演變的隨機(jī)現(xiàn)象，它是從多維隨機(jī)變量向一族(無(wú)限多個(gè))隨機(jī)變量的推廣。西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院王沁2、引例：拋擲錢(qián)幣試驗(yàn)記錄試驗(yàn)者拋幣次數(shù)n“正面向上”次數(shù)

頻率DeMorgan208410610.518Bufen404020480.5069Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005例1利用重復(fù)拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)，現(xiàn)以此定義此時(shí)，就得到了一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。分析：(1)隨機(jī)過(guò)程是一個(gè)二元函數(shù)。(2)對(duì)于一個(gè)固定的參數(shù)t,X(e,t)是一個(gè)定義在S={H,T}上的一維隨機(jī)變量；對(duì)于一個(gè)固定的參數(shù)t,X(e,t)是一個(gè)定義在S上一維離散型隨機(jī)變量；所以，這個(gè)一維離散型隨機(jī)變量的分布律為:(3)對(duì)于一個(gè)特定的試驗(yàn)結(jié)果e,得到對(duì)應(yīng)于e的樣本函數(shù)。每一個(gè)t時(shí)刻的拋擲的結(jié)果都為H(正面），得到：得到一個(gè)樣本函數(shù)，其圖像為一條樣本曲線。每一個(gè)t時(shí)刻的拋擲的結(jié)果都為T(mén)(反面)，得到得到一個(gè)樣本函數(shù)，其圖像為一條樣本曲線。該隨機(jī)過(guò)程，有若干個(gè)樣本函數(shù)(4）當(dāng)隨機(jī)過(guò)程處于固定的t,e時(shí)，X(e,t)=x，則稱(chēng)該過(guò)程在

t時(shí)刻處于狀態(tài)x，簡(jiǎn)記為

X(t)=x該隨機(jī)過(guò)程的值域?yàn)閷?shí)數(shù)。定義

設(shè)E為隨機(jī)試驗(yàn)，S為其樣本空間。如果對(duì)于每個(gè)參數(shù)t∈T,X(e,t)為建立在S上的隨機(jī)變量，且對(duì)每一個(gè)e∈S,X(e,t)為t的函數(shù)，其值域?yàn)閷?shí)數(shù)或?qū)崝?shù)的一個(gè)子集，那么稱(chēng)隨機(jī)變量族

{X(e,t),t∈T,e∈S}

稱(chēng)為一元實(shí)隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)記為{X(e,t),t∈T}或X(t)。3、隨機(jī)過(guò)程的定義隨機(jī)過(guò)程X(t)實(shí)際上可以看成是兩個(gè)變量e和t的具有特殊意義函數(shù)：（1）對(duì)于一個(gè)特定的試驗(yàn)結(jié)果e,X(e,t)就是對(duì)應(yīng)于e的樣本函數(shù)，簡(jiǎn)記為X(t)，由它作出的圖形就是一條樣本曲線，它可以理解為隨機(jī)過(guò)程的一次實(shí)現(xiàn)；（2）對(duì)于一個(gè)固定的參數(shù)t,X(e,t)是一個(gè)定義在S上的隨機(jī)變量；(3）當(dāng)隨機(jī)過(guò)程處于t,e時(shí)，X(e,t)=x，則稱(chēng)該過(guò)程在

t時(shí)刻處于狀態(tài)x，簡(jiǎn)記為

X(t)=x狀態(tài)空間與參數(shù)集對(duì)于隨機(jī)過(guò)程X(e,t)的一切全部可能取值的集合I，稱(chēng)為該隨機(jī)過(guò)程的狀態(tài)空間，有時(shí)也稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程的狀態(tài)集。參數(shù)t的變化范圍T稱(chēng)為參數(shù)集，或參數(shù)空間.二、典型實(shí)例例2

考慮拋擲骰子的試驗(yàn):設(shè)Xn

是第n次拋擲的點(diǎn)數(shù)，對(duì)于n=1,2,…的不同值，Xn

為不同的隨機(jī)變量。因而{Xn,n≥1}構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，稱(chēng)為貝努利過(guò)程或貝努利隨機(jī)序列；(1）對(duì)于一個(gè)特定的試驗(yàn)結(jié)果e,Xn就是對(duì)應(yīng)于e的樣本函數(shù)例如，次次拋擲骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)都是6，那么，這就是一個(gè)樣本函數(shù)。例如，拋擲骰子，第n次拋擲的點(diǎn)數(shù)依次為2，1，5，3，1，1，6，5…..那么，這就是一個(gè)樣本函數(shù)。樣本函數(shù)是隨機(jī)過(guò)程的一次實(shí)現(xiàn)，實(shí)際上就是觀察得到的數(shù)據(jù)。(2）對(duì)于一個(gè)特定的n=1，2，….,Xn就是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布律為：P{Xn=i}=1/6，i=1，2，3，4，5，6(3）參數(shù)集：T={1，2，3，4…….}，離散的狀態(tài)空間：I={1，2，3，4，5，6}，有限的(3)參數(shù)集：T={t,t>=0};連續(xù)的；狀態(tài)空間：I={0,1，2，3，4，5，6，….}，離散的該隨機(jī)過(guò)程稱(chēng)為隨機(jī)相位正弦波。狀態(tài)時(shí)刻連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程連續(xù)連續(xù)連續(xù)隨機(jī)序列連續(xù)離散離散型隨機(jī)過(guò)程離散連續(xù)離散隨機(jī)序列離散離散隨機(jī)過(guò)程的分類(lèi)57離散參數(shù)集、離散狀態(tài)集:例如貝努利過(guò)程離散參數(shù)集、連續(xù)狀態(tài)集:例如連續(xù)參數(shù)集、離散狀態(tài)集:例如，計(jì)數(shù)過(guò)程、漲跌過(guò)程連續(xù)參數(shù)集、連續(xù)狀態(tài)集:例如，拋硬幣的例子，隨機(jī)相位正弦波2.2隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)(1)一維分布函數(shù)(2)二維分布函數(shù)(3)有限維分布函數(shù)一、一維分布函數(shù)族定義2.1設(shè)X(t)為隨機(jī)過(guò)程，對(duì)任意固定的t，及實(shí)數(shù)x，稱(chēng)

為隨機(jī)過(guò)程的一維分布函數(shù),而稱(chēng)為此隨機(jī)過(guò)程的一維分布函數(shù)族.定義2.2設(shè)X(t)為隨機(jī)過(guò)程，對(duì)任意固定的t，X(t)為離散型隨機(jī)變量，則稱(chēng)

為隨機(jī)過(guò)程的一維分布律。定義2.3設(shè)X(t)為隨機(jī)過(guò)程，對(duì)任意固定的t，X(t)為連續(xù)型隨機(jī)變量，則

其中稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程的一維概率密度函數(shù)。例，考慮隨機(jī)過(guò)程

此處

為常數(shù)，X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。試求X(t)的一維概率密度。解：在一個(gè)給定時(shí)刻t0，隨機(jī)變量X(t0)為X的線性函數(shù)，而X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，由概率論知X(t0)服從正態(tài)分布故其一維概率密度為例

設(shè)隨機(jī)過(guò)程為其中X服從參數(shù)為

的指數(shù)分布，試求Y(t)的一維概率密度。分析：(1)當(dāng)t固定，Y(t)是一維連續(xù)型隨機(jī)變量。(2)參數(shù)空間：T={t|t>0}對(duì)于固定的t>0，Y(t)的一維分布函數(shù)方法一：先求分布函數(shù)，再求導(dǎo)得到概率密度因?yàn)閄～Z(λ),即其概率為密度其中，定理

設(shè)X是一個(gè)取值于區(qū)間[a,b]，具有概率密度f(wàn)(x)的連續(xù)型r.v,又設(shè)y=g(x)處處可導(dǎo)，且對(duì)于任意x,恒有

或恒有，則Y=g(X)是一個(gè)連續(xù)型r.v，它的概率密度為方法二：x=h(y)

是y=g(x)的反函數(shù).解因?yàn)閄～Z(λ),即其概率為密度二、二維分布函數(shù)族定義2.4

設(shè)X(t)為隨機(jī)過(guò)程，對(duì)于任意兩個(gè)時(shí)刻t1,t2，t1t2及實(shí)數(shù)x1,x2，稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程的二維分布函數(shù),而稱(chēng)為此隨機(jī)過(guò)程的二維分布函數(shù)族.定義2.2設(shè)X(t)為隨機(jī)過(guò)程，對(duì)任意固定的t,s，(X(t),X(s))為二維離散型隨機(jī)變量，則稱(chēng)

為隨機(jī)過(guò)程的二維分布律，或稱(chēng)為（X(t),X(s))的聯(lián)合分布律。例：利用重復(fù)拋擲硬幣的試驗(yàn)，定義一個(gè)隨機(jī)過(guò)程：(1)一維分布律(2)二維分布律1234稱(chēng)之為隨機(jī)過(guò)程X(t)的二維概率密度。定義2.4設(shè)X(t)為隨機(jī)過(guò)程，對(duì)任意固定的t1，t2(X(t1),X(t2))為二維連續(xù)型隨機(jī)變量：那么例

設(shè)隨機(jī)過(guò)程為其中X服從參數(shù)為

的指數(shù)分布，試求Y(t)的二維分布函數(shù)。定義2.3

設(shè)X(t)為隨機(jī)過(guò)程，對(duì)于任意n個(gè)時(shí)刻，及實(shí)數(shù)，稱(chēng)三、有限維分布函數(shù)族為X(t)的有限維分布函數(shù)族。為隨機(jī)過(guò)程的n維分布函數(shù)。稱(chēng)關(guān)于隨機(jī)過(guò)程X(t)的所有有限維分布函數(shù)的集合隨機(jī)過(guò)程X(t)的有限維分布函數(shù)族的意義何在?

隨機(jī)過(guò)程的n維分布函數(shù)（或概率密度）能夠近似地描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，而且，n越大，則n維分布函數(shù)越趨完善地描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性。所以有很多數(shù)學(xué)家研究了隨機(jī)過(guò)程X(t)與其有限維分布函數(shù)族的關(guān)系，1931年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸蜃C明了關(guān)于有限維分布函數(shù)族的重要性的定理：

（1）對(duì)稱(chēng)性：對(duì)于(1,2,…,n)的任一排列i1,i2,…,in

，有則F必為某個(gè)隨機(jī)過(guò)程的有限維分布族。即（2）相容性，對(duì)于任意自然數(shù)m<n，隨機(jī)過(guò)程的m維分布函數(shù)與n維分布函數(shù)之間有關(guān)系：定理2.1(存在定理)例:考慮拋擲骰子的試驗(yàn):設(shè)Xn

是第n次拋擲的點(diǎn)數(shù)，對(duì)于n=1,2,…的不同值，Xn

為不同的隨機(jī)變量。因而{Xn,n≥1}

構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，稱(chēng)為貝努利過(guò)程或貝努利隨機(jī)序列；求其有限維分布函數(shù)族。我們主要討論隨機(jī)過(guò)程X(t)的五大數(shù)字特征(1)均值函數(shù)(5)自協(xié)方差函數(shù)(4)自相關(guān)函數(shù)(3)方差函數(shù)(2)均方值函數(shù)2.2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征從上面的分析可知，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)，要研究它的變化規(guī)律，常常需要建立起它的“函數(shù)關(guān)系”，也就是建立隨機(jī)過(guò)程的有限維分布函數(shù)族。因?yàn)殡S機(jī)過(guò)程X(t)的有限維分布族可以完全地描述隨機(jī)過(guò)程的整個(gè)變化規(guī)律的統(tǒng)計(jì)特性，但要建立過(guò)程的有限維分布函數(shù)族一般比較復(fù)雜，使用也不便，甚至不可能。怎么辦呢？事實(shí)上，在許多實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)隨機(jī)過(guò)程的“有限維分布函數(shù)族不好確定時(shí)，我們往往可以退而求其次，像引入隨機(jī)變量的數(shù)字特征一樣，引入隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征。用這些數(shù)字特征我們認(rèn)為基本上能刻劃隨機(jī)過(guò)程變化的某些重要統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而且用隨機(jī)過(guò)程的X(t)的數(shù)字特征，又便于運(yùn)算和實(shí)際測(cè)量。顯然，主要介紹了均值函數(shù)、均方值函數(shù)、方差函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)、自協(xié)方差函數(shù)來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程X(t)的主要統(tǒng)計(jì)特性。二、隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征

對(duì)于隨機(jī)過(guò)程X(t)，固定時(shí)刻t，則X(t)為隨機(jī)變量，它應(yīng)具有相應(yīng)的數(shù)字特征，我們據(jù)此定義隨機(jī)過(guò)程的相應(yīng)數(shù)字特征。（1）若對(duì)于任意給定的t，EX(t)存在，則稱(chēng)它為隨機(jī)過(guò)程的均值函數(shù)，記為設(shè)X(t)為隨機(jī)過(guò)程，對(duì)任意固定的t，X(t)為連續(xù)型隨機(jī)變量，則

設(shè)X(t)為隨機(jī)過(guò)程，對(duì)任意固定的t，X(t)為離散型隨機(jī)變量，則

式中，是X(t)的一維概率密度函數(shù)。稱(chēng)為X(t)的均值，這個(gè)均值函數(shù)可以理解為在某一給定時(shí)刻t隨機(jī)過(guò)程的所有樣本函數(shù)的平均值。如圖2.1所示。圖2.1隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望mX(t)顯然由圖2.1可看出，隨機(jī)過(guò)程X(t)就在附近起伏變化，圖中細(xì)線表示樣本函數(shù)，粗線表示均值函數(shù)。如果我們計(jì)論的隨機(jī)過(guò)程是接收機(jī)輸出端的一條噪聲電壓，這個(gè)就是噪聲電壓在某一瞬時(shí)t的統(tǒng)計(jì)平均值（又稱(chēng)集平均值）。（2）若對(duì)于任意給定的t，EX2(t)存在，則稱(chēng)它為隨機(jī)過(guò)程的均方值函數(shù)，記為對(duì)于某一固定的時(shí)刻，隨機(jī)過(guò)程X(t)為一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，由此可給出隨機(jī)過(guò)程均方值定義。隨機(jī)過(guò)程X(t)的均方值：式中，f(x,t)為X(t)的一維概率密度函數(shù)。顯然是關(guān)于t的函數(shù)，且為非負(fù)函數(shù)。對(duì)于某一固定的時(shí)刻，隨機(jī)過(guò)程X(t)為一個(gè)離散型隨機(jī)變量，由此可給出隨機(jī)過(guò)程均方值定義。隨機(jī)過(guò)程X(t)的均方值為：隨機(jī)過(guò)程的均方值函數(shù)為（3）若對(duì)于任意給定的t,E[X(t)-mX(t)]2存在，則稱(chēng)它為隨機(jī)過(guò)程的方差函數(shù)（又可稱(chēng)二階中心矩)，記為顯然是關(guān)于t的函數(shù)，且為非負(fù)函數(shù)。方差函數(shù)對(duì)于某一固定的時(shí)刻，隨機(jī)過(guò)程X(t)為一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，由此可給出隨機(jī)過(guò)程方差定義。隨機(jī)過(guò)程X(t)的方差：對(duì)于某一固定的時(shí)刻，隨機(jī)過(guò)程X(t)為一個(gè)離散型隨機(jī)變量，由此可給出隨機(jī)過(guò)程方差定義。隨機(jī)過(guò)程X(t)的方差：顯然是關(guān)于t的函數(shù)，且為非負(fù)函數(shù)。注：隨機(jī)過(guò)程的標(biāo)準(zhǔn)差是表示了隨機(jī)過(guò)程在t時(shí)刻偏離均值的程度大小，如圖2.2所示。圖2.2定義隨機(jī)過(guò)程的標(biāo)準(zhǔn)差：（定義：若對(duì)于任意給定的t1,t2,E[X(t1)X(t2)]存在，則稱(chēng)它為隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù),記為這就是隨機(jī)過(guò)程X(t)在兩個(gè)不同時(shí)刻的狀態(tài)之間的混合原點(diǎn)矩，自相關(guān)函數(shù)就反映了X(t)在兩個(gè)不同時(shí)刻的狀態(tài)之間的相關(guān)程度。若在定義式中取，則有（4）自相關(guān)函數(shù)對(duì)于某一固定的時(shí)刻，隨機(jī)過(guò)程X(t)就成為一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，根據(jù)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)定義，可以給出連續(xù)型下隨機(jī)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)的公式：

式中，的二維概率密度函數(shù)。對(duì)于某一固定的時(shí)刻，隨機(jī)過(guò)程X(t)就成為一個(gè)離散型隨機(jī)變量，根據(jù)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)定義，可以給出連續(xù)型下隨機(jī)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)的公是：（定義：若對(duì)于任意給定的t1,t2

，存在E[(X(t1)-mX(t1))(X(t2)-mX(t2))]

則稱(chēng)它為隨機(jī)過(guò)程的自協(xié)方差函數(shù)，記為（5）自協(xié)方差函數(shù)由定義可知，當(dāng)取

此時(shí)的協(xié)方差就是方差。注意，實(shí)際上自相關(guān)函數(shù)

所描述的特性是幾乎一致的。均值函數(shù)，均方值函數(shù)與方差函數(shù)是刻畫(huà)隨機(jī)過(guò)程在某個(gè)孤立時(shí)刻狀態(tài)的數(shù)字特征，而自相關(guān)函數(shù)與自協(xié)方差函數(shù)則是刻畫(huà)隨機(jī)過(guò)程自身在兩個(gè)不同時(shí)刻狀態(tài)之間的線性依從關(guān)系的數(shù)字特征。（6）自相關(guān)系數(shù)數(shù)字特征之間具有如下關(guān)系

復(fù)習(xí)一下：1.2.3.分布參數(shù)數(shù)學(xué)期望方差兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布常見(jiàn)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的均值函數(shù)，方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。其中，a,

為常數(shù)，

是在(0,2

)上均勻分布的隨機(jī)變量。其概率密度為解:因?yàn)槔?

試求隨機(jī)相位余弦波當(dāng)取定是一個(gè)隨機(jī)變量，且該隨機(jī)變量X(t)顯然是隨機(jī)變量的函數(shù)。由求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理，有

又∵當(dāng)令，所以，二維隨機(jī)過(guò)程與復(fù)隨機(jī)過(guò)程一、二維隨機(jī)過(guò)程1.定義與分布函數(shù)；2.獨(dú)立性；3.二維隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征；二、復(fù)隨機(jī)過(guò)程1.復(fù)隨機(jī)過(guò)程的定義；2.復(fù)隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)；3.復(fù)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征；一、二維隨機(jī)過(guò)程定義2.7

設(shè)X(t)與Y(t)為二個(gè)隨機(jī)過(guò)程，則(X(t),Y(t))稱(chēng)為二維隨機(jī)過(guò)程。為二維隨機(jī)過(guò)程(X(t),Y(t))的n+m維分布函數(shù)。（一）、定義對(duì)于任意給定的t1,…,tn及s1,…,sm，稱(chēng)n+m個(gè)隨機(jī)變量X(t1),…,X(tn),Y(s1),…,Y(sm)的聯(lián)合分布函數(shù)（二）、兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的相互獨(dú)立性定義2.8

對(duì)于任意正整數(shù)n和m，以及任意給定的t1,…,tn及s1,…,sm,若二隨機(jī)過(guò)程X(t)與Y(t)的聯(lián)合分布函數(shù)恒為則稱(chēng)此二隨機(jī)過(guò)程X(t)與Y(t)是相互獨(dú)立的。（三）、二隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)性

1.定義若X(t)與Y(t)為二個(gè)隨機(jī)過(guò)程,則稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程X(t)與Y(t)的互協(xié)方差函數(shù)。為隨機(jī)過(guò)程X(t)與Y(t)的互相關(guān)函數(shù);對(duì)于某一固定的時(shí)刻，隨機(jī)過(guò)程X(t)為一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，隨機(jī)過(guò)程Y(s)為一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，由此可給出兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)：為兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互協(xié)方差函數(shù)。性質(zhì)2.2

2、X(t)與Y(t)的互協(xié)方差函數(shù)的性質(zhì)注意二、復(fù)隨機(jī)過(guò)程定義2.4

設(shè)X(t)與Y(t)為二個(gè)實(shí)隨機(jī)過(guò)程。則稱(chēng)

定義2.5

設(shè)Z(t)=X(t)+iY(t))

為復(fù)隨機(jī)過(guò)程，稱(chēng)(X(t),Y(t))的聯(lián)合分布函數(shù)為Z(t)的分布函數(shù)。即對(duì)于任意給定的t1,t2,…,tn∈T,

1.復(fù)隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)為一復(fù)隨機(jī)過(guò)程，為Z(t)的2n維分布函數(shù)。2.復(fù)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征定義2.6

復(fù)隨機(jī)過(guò)程(1)對(duì)于任意t,Z(t)的均值函數(shù)為的數(shù)字特征定義如下：（2）對(duì)于任意的t,Z(t)的均方值函數(shù)為（5）對(duì)于任意的t1,t2,Z(t)的自協(xié)方差函數(shù)為（3）對(duì)于任意的t,Z(t)的方差函數(shù)為（4）對(duì)于任意的t1,t2,Z(t)的自相關(guān)函數(shù)為一、二維隨機(jī)過(guò)程1.二維隨機(jī)過(guò)程的實(shí)例——推廣到多維隨機(jī)過(guò)程2.二維隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)（1）與一維隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)的區(qū)別；（2）與復(fù)隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)的區(qū)別；二、復(fù)隨機(jī)過(guò)程1.為何要講復(fù)隨機(jī)過(guò)程——為了引入特征函數(shù)，進(jìn)一步擴(kuò)展隨機(jī)過(guò)程。2.復(fù)隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)（1）與一維隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)的區(qū)別；（2）與二維隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)的區(qū)別；隨機(jī)過(guò)程的特征函數(shù)一、復(fù)習(xí)隨機(jī)變量的特征函數(shù)二、隨機(jī)過(guò)程的特征函數(shù)-------為何要講隨機(jī)變量的特征函數(shù)——由于隨機(jī)變量的數(shù)字特征不一存在，所以，要引入。隨機(jī)變量的特征函數(shù)，完美地刻畫(huà)了隨機(jī)變量。

一隨機(jī)變量的特征函數(shù)定義2.1

設(shè)X為隨機(jī)變量，稱(chēng)復(fù)隨機(jī)變量eivX的數(shù)學(xué)期望為X的特征函數(shù)，記為，即由于對(duì)任意的實(shí)數(shù)v，總有|eivX|=1，所以對(duì)一切隨機(jī)變量，其特征函數(shù)總是存在的。易見(jiàn)，若X為離散型隨機(jī)變量，概率分布為

則其特征函數(shù)為若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為f(x)，則其特征函數(shù)為1391

設(shè)a,b為常數(shù)，則Y=aX+b的特征函數(shù)為

特征函數(shù)的基本性質(zhì)2

若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則有

這由于X與Y相互獨(dú)立，因此其函數(shù)eivX與eivY也相互獨(dú)立，故由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)知3

若隨機(jī)變量X的n階矩存在，則它的特征函數(shù)可微分n次，且當(dāng)1≤k≤n時(shí)，有因?yàn)?若設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度f(wàn)(x)，則其特征函數(shù)為

因而特征函數(shù)的k(1≤k≤n)階導(dǎo)數(shù)存在，且有當(dāng)v=0時(shí),即有

這樣由此性質(zhì)，若已知X的特征函數(shù)，就可通過(guò)微分運(yùn)算方便地求出X的k階矩：特別地，當(dāng)k=1時(shí)，X的數(shù)學(xué)期望當(dāng)k=2時(shí),X的二階矩為4

一維隨機(jī)變量的分布函數(shù)

與其特征函數(shù)一一對(duì)應(yīng)。

n維隨機(jī)變量的特征函數(shù)定義2.6

稱(chēng)為其特征函數(shù).

2

多維分布函數(shù)與其多維特征函數(shù)一一對(duì)應(yīng)。（唯一性）。因此,可以借助特征函數(shù)來(lái)區(qū)別不同類(lèi)型的隨機(jī)變量.從而,我們討論隨機(jī)變量可從分布函數(shù),數(shù)字特征與特征函數(shù)來(lái)開(kāi)展隨機(jī)變量的研究.2、

隨機(jī)過(guò)程的特征函數(shù)

2.若X(t)為連續(xù)型隨機(jī)變量，即具有一維概率密度函數(shù)f

(x,t)，則其一維特征函數(shù)為

1.定義：設(shè)有隨機(jī)過(guò)程X(t)，對(duì)于每一個(gè)固定的t,X(t)為隨機(jī)變量，依照隨機(jī)變量的特征函數(shù)的定義，可知X(t)的一維特征函數(shù)為例

試求隨機(jī)過(guò)程X(t)=X1+X2t的一維特征函數(shù),其中X1與X2相互獨(dú)立，且均服從正態(tài)分布。

解因X1與X2相互獨(dú)立，且均服從正態(tài)分布

因此有例

設(shè){Yn,n=0,1,2,…}為隨機(jī)過(guò)程,

隨機(jī)變量Xk,k=1,2,…相互獨(dú)立，且均服從相同的兩點(diǎn)分布，即其分布律為試?yán)锰卣骱瘮?shù)求出Yn的一維概率分布.其中Y0=0,解：因?yàn)閅n的特征函數(shù)為而隨機(jī)變量Xk,k=1,2,…相互獨(dú)立，因此Xk的函數(shù)eivXk,k=1,2,…亦相互獨(dú)立，再將此二項(xiàng)式展開(kāi)對(duì)照得知:3.隨機(jī)過(guò)程X(t)的n維特征函數(shù)定義

隨機(jī)過(guò)程X(t)的一維，二維，…，n維特征函數(shù)的全體

稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程的有限維特征函數(shù)族。隨機(jī)過(guò)程的特征函數(shù)族也能較全面描述該過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，并具有與隨機(jī)變量的特征函數(shù)相類(lèi)似的性質(zhì)。二階矩過(guò)程

1.定義2.例子3.性質(zhì)（一）.二階矩隨機(jī)過(guò)程（實(shí)隨機(jī)過(guò)程）1.定義1設(shè)X(t)為實(shí)隨機(jī)過(guò)程，若其均方值函數(shù)EX2(t)，對(duì)于任意的t都存在，則稱(chēng)此X(t)為實(shí)二階矩過(guò)程；。2.二階矩過(guò)程的簡(jiǎn)單性質(zhì)設(shè)X(t)為實(shí)隨機(jī)過(guò)程，而且隨機(jī)過(guò)程X(t)為二階矩過(guò)程，那么，其均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)必然存在。例3.1

試問(wèn)隨機(jī)過(guò)程

在下列兩種情況下是否為二階矩過(guò)程？

解1）

所以,此X(t)為二階矩過(guò)程。解2）即其二階矩不是有限的,所以此X(t)不是一個(gè)二階矩過(guò)程。定理：設(shè)X(t)為實(shí)隨機(jī)過(guò)程，而且隨機(jī)過(guò)程X(t)為二階矩過(guò)程，那么，其均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)必然存在。所以，自相關(guān)函數(shù)必然存在。(3)自相關(guān)函數(shù)RX(s,t)具有非負(fù)定性,即對(duì)于對(duì)于任意的正整數(shù)n，任意的t1,…,tn和任意的n個(gè)實(shí)數(shù)a1,…,an,有3.二階矩過(guò)程的存在性定理設(shè)T為實(shí)參數(shù)集,R(s,t)為定義在T上的二元非負(fù)函數(shù),則必存在一個(gè)二階矩過(guò)程X(t),此R(s,t)為其相關(guān)函數(shù).且當(dāng)R(s,t)為實(shí)值二元非負(fù)函數(shù)時(shí),X(t)是一個(gè)實(shí)二階矩過(guò)程.定義2:若Z(t)為復(fù)隨機(jī)過(guò)程，對(duì)于任意的t,其均方值函數(shù)都存在，則稱(chēng)此Z(t)為復(fù)二階矩過(guò)程（二）.二階矩隨機(jī)過(guò)程（復(fù)隨機(jī)過(guò)程）2.二階矩過(guò)程的簡(jiǎn)單性質(zhì)(1)二階矩過(guò)程的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)必然存在。故EX(t)和EY(t)均存在,從而EZ(t)亦存在.證明：因?yàn)槿鬦(t)為復(fù)二階矩過(guò)程,可得:(2)自相關(guān)函數(shù)RZ(s,t)具有Hermite性質(zhì),即實(shí)際上因此自相關(guān)函數(shù)RZ(s,t)也存在.(3)自相關(guān)函數(shù)RZ(s,t)具有非負(fù)定性,即對(duì)于對(duì)于任意的正整數(shù)n，任意的t1,…,tn和任意的n個(gè)復(fù)數(shù)a1,…,an,有因?yàn)橐?、?dú)立隨機(jī)過(guò)程1.定義；2.例子；3.性質(zhì)二、獨(dú)立增量隨機(jī)過(guò)程1.定義；2.例子；3.性質(zhì)；4.擴(kuò)展

一、

獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程1.定義：設(shè)X(t)為一隨機(jī)過(guò)程。若對(duì)于任意的正整數(shù)n，任意的t1,…,tn,n個(gè)隨機(jī)變量X(t1),…,X(tn)相互獨(dú)立，則稱(chēng)X(t)為獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程。注意：(1)兩個(gè)任意。。。例1

考慮拋擲骰子的試驗(yàn):設(shè)Xn

是第n次拋擲的點(diǎn)數(shù)，對(duì)于n=1,2,…的不同值，Xn

為不同的隨機(jī)變量。因而{Xn,n≥1}構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，稱(chēng)為貝努利過(guò)程或貝努利隨機(jī)序列；該過(guò)程是一個(gè)獨(dú)立過(guò)程。2、獨(dú)立過(guò)程X(t)的數(shù)字特征

二、

獨(dú)立增量隨機(jī)過(guò)程（1）注意：以后都是在二階矩存在的前提下，談?wù)摢?dú)立增量隨機(jī)過(guò)程。（2）注意：以后都是討論實(shí)隨機(jī)過(guò)程，談?wù)摢?dú)立增量隨機(jī)過(guò)程，其值域是實(shí)數(shù)，或?qū)崝?shù)的子集。（3）注意：以后都是在參數(shù)集T={t,t>=0}的前提下，并默認(rèn)X(0)=0的前提下談?wù)摢?dú)立增量隨機(jī)過(guò)程。2.

獨(dú)立增量過(guò)程的性質(zhì)：(4).設(shè)增量Y(t,s)=X(s)-X(t)(t<s)的分布函數(shù)為F(x,t,s),則對(duì)于任意的t1<t2<t3，總有

F(x,t1,t3)=F(x,t1,t2)*F(x,t2,t3)其中*表示卷積.例

設(shè){Yn,n=0,1,2,…}為隨機(jī)過(guò)程,

隨機(jī)變量Xk,k=1,2,…相互獨(dú)立，且均服從相同的兩點(diǎn)分布，即其分布律為試求出Yn的均值函數(shù)、方差函數(shù)、自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù).其中Y0=0,3.平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程4.不相關(guān)增量過(guò)程定義：設(shè)X(t)為一實(shí)隨機(jī)過(guò)程，若對(duì)于存在，且對(duì)于任意的滿足等式則稱(chēng)此X(t)為不相關(guān)增量過(guò)程。注意：不相關(guān)增量過(guò)程一定是二階矩過(guò)程二階矩過(guò)程不一定是不相關(guān)增量過(guò)程注意：二階矩下的獨(dú)立增量過(guò)程一定是不相關(guān)增量過(guò)程。但不相關(guān)增量過(guò)程不一定是獨(dú)立增量過(guò)程。正態(tài)過(guò)程1.定義；2.有限維分布函數(shù)；3.如何證明隨機(jī)過(guò)程是正態(tài)過(guò)程；正態(tài)過(guò)程設(shè)X(t)為隨機(jī)過(guò)程，若對(duì)任意的n及任意的t1,…,tn

，n維隨機(jī)變量(X(t1),…,X(tn))服從n維正態(tài)分布，即其概率密度為2.正態(tài)過(guò)程的n維分布函數(shù)3.正態(tài)過(guò)程的k維特征函數(shù)假設(shè)是k維正態(tài)隨機(jī)向量，則其特征函數(shù)為：4、如何證明一個(gè)隨機(jī)過(guò)程是正態(tài)隨機(jī)過(guò)程：

定理：n維隨機(jī)變量(X1,…,Xn)服從n維正態(tài)分布的充要條件是n個(gè)隨機(jī)變量X1,…,Xn的任意線性組合均服從一維正態(tài)分布.

易見(jiàn)，正態(tài)過(guò)程的有限維分布均為正態(tài)分布，n維正態(tài)分布由其協(xié)方差陣C唯一確定，故正態(tài)過(guò)程的有限維分布由X(t)的協(xié)方差函數(shù)

{CX(ti,tj),i,j=1,2,…,n}唯一確定。注意：X和Y的獨(dú)立性，不能少。

例3.4

試證隨機(jī)過(guò)程證由于A,B為相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量,故其線性組合亦服從正態(tài)分布.任取為一正態(tài)隨機(jī)過(guò)程,其中A,B為相互獨(dú)立同服從N(0,σ2)分布的隨機(jī)變量,ω為一實(shí)常數(shù)。

仍為A與B的線性變換,故服從一維正態(tài)分布,從而知n維隨機(jī)變量(X(t1),…,X(tn))服從n維正態(tài)分布,所以X(t)為正態(tài)過(guò)程.取任意常數(shù)則X(t1),…,X(tn)的線性組合定義3.6

設(shè)X(t)與Y(t)為實(shí)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程，則稱(chēng)Z(t)=X(t)+iY(t)為復(fù)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程。

例3.5

復(fù)隨機(jī)過(guò)程其中Ak,k=1,2,…,n相互獨(dú)立，且均服從正態(tài)分布N(0,σ2),ωk,k=1,2,…,n為實(shí)常數(shù),則此復(fù)隨機(jī)過(guò)程Z(t)即為復(fù)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程。（1）EX(t)X(t+1)=6exp(-1/2)試寫(xiě)出次隨機(jī)過(guò)程種隨機(jī)變量X(t),X(t+1),X(t+2),X(t+3)的協(xié)方差矩陣C.（2）1.布朗運(yùn)動(dòng)的引入；2.布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型3.布朗運(yùn)動(dòng)的定義；4.布朗運(yùn)動(dòng)的分布；5.布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)字特征；布朗運(yùn)動(dòng)1.布朗運(yùn)動(dòng)的引入；Brown運(yùn)動(dòng)最初是由英國(guó)生物學(xué)家R.Brown于1827年根據(jù)觀察花粉在液面上作”無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)”的物理現(xiàn)象而提出的.Einstein于1905年首次對(duì)這一現(xiàn)象的物理規(guī)律給出了一種數(shù)學(xué)描述,使這一課題有了顯著的發(fā)展.Wiener于1918年對(duì)這一現(xiàn)象在理論上作出了精確的數(shù)學(xué)描述,并進(jìn)一步研究的Brown運(yùn)動(dòng)的軌道性質(zhì),提出了在Brown運(yùn)動(dòng)空間上定義測(cè)度與積分.Brown運(yùn)動(dòng)作為具有連續(xù)參數(shù)和連續(xù)狀態(tài)空間的一個(gè)隨機(jī)過(guò)程,是一個(gè)最基本,最簡(jiǎn)單同時(shí)又是最重要的隨機(jī)過(guò)程.許多其它的隨機(jī)過(guò)程常?？梢钥醋魇撬姆汉蚰撤N意義下的推廣.Brown運(yùn)動(dòng)及其推廣廣泛出現(xiàn)在許多科學(xué)領(lǐng)域中,如物理,經(jīng)濟(jì),通信理論等.同時(shí),由于Brown運(yùn)動(dòng)與微分方程有密切聯(lián)系,它又成為概率與分析聯(lián)系的重要渠道.2、布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型以B(t)表示運(yùn)動(dòng)中一微粒從時(shí)刻t=0到時(shí)刻t>0的位移的橫坐標(biāo)，且設(shè)B(0)=0。由于微粒的運(yùn)動(dòng)是受到大量隨機(jī)的、相互獨(dú)立的分子碰撞的結(jié)果，于是:

粒子在時(shí)段(s,t]上的位移可看作是許多微小位移的 和，根據(jù)中心極限定理，假設(shè)位移B(t)-B(s)服從正 態(tài)分布是合理的。(2)由于粒子的運(yùn)動(dòng)完全由液體分子不規(guī)則碰撞而引起 的，這樣，在不相重疊的時(shí)間間隔內(nèi)，碰撞的次數(shù)、 大小和方向可假設(shè)相互獨(dú)立，即B(t)具有獨(dú)立增量， 同時(shí)B(t)的增量具有平穩(wěn)性。3.Brown運(yùn)動(dòng)的定義不失一般性，僅僅討論標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)4.布朗運(yùn)動(dòng)的分布：布朗運(yùn)動(dòng)是正態(tài)過(guò)程。證明：所以：布朗運(yùn)動(dòng)是正態(tài)過(guò)程。設(shè)X(t)為布朗運(yùn)動(dòng)，若對(duì)任意的n及任意的t1<t2<t3…,<tn

，n維隨機(jī)變量(B(t1),…,B(tn))服從n維正態(tài)分布，即其概率密度為5、維納過(guò)程的數(shù)字特征(1)維納過(guò)程的均值函數(shù)、方差函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)與相關(guān)函數(shù)為例:

設(shè){B(t),t≥0}是以σ2

為參數(shù)的布朗過(guò)程,求下列過(guò)程的協(xié)方差函數(shù):解:(1)設(shè)Z(t)=B(t)+At,則(1)B(t)+At,(A為常數(shù));(2)B(t)+Xt,X為與{B(t),t≥0}相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量.(3)aB(t/a2),a

為正常數(shù).(2)設(shè)Z(t)=B(t)+At,則均值為其中，因?yàn)閄

與B(t)獨(dú)立，所以(3)設(shè)Z(t)=aB(t/a2),則均值為§3.1均方極限§3.2均方連續(xù)§3.3均方導(dǎo)數(shù)§3.4均方積分§3.5正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的均方微積分220第3章二階矩過(guò)程的均方微積分第三章基本要求1、了解均方極限的概念和性質(zhì)，會(huì)求簡(jiǎn)單隨機(jī)過(guò)程的均方極限；2、了解均方連續(xù)性的概念和性質(zhì)，會(huì)確定簡(jiǎn)單隨機(jī)過(guò)程的均方連續(xù)性；3、了解均方導(dǎo)數(shù)的概念和性質(zhì)，會(huì)求簡(jiǎn)單隨機(jī)過(guò)程的均方導(dǎo)數(shù)；4、了解均方積分的概念和性質(zhì)，會(huì)求簡(jiǎn)單隨機(jī)過(guò)程的均方積分；5、了解正態(tài)過(guò)程的均方微積分性質(zhì)。221為了深入研究隨機(jī)過(guò)程，如討論隨機(jī)信號(hào)的線性變換，就必須借助隨機(jī)過(guò)程的微分與積分。因此，有必要將高等數(shù)學(xué)中的極限、連續(xù)、微分和積分等概念進(jìn)行推廣。本課程將引入建立在隨機(jī)極限上的均方連續(xù)、均方可微和均方可積等概念。222一、隨機(jī)變量序列的均方極限二、均方極限的性質(zhì)三、隨機(jī)過(guò)程的均方極限223§3.1均方極限數(shù)列的極限函數(shù)的極限函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的可導(dǎo)性函數(shù)的可積性一、相關(guān)背景2251.回顧數(shù)列的極限：數(shù)列{X(n),n≥1}的極限：2262.類(lèi)比隨機(jī)變量序列{X(n),n≥1}的極限？X(1)X(2)XX(N)“變動(dòng)”的數(shù)列有極限？極限固定？變動(dòng)的數(shù)列與變動(dòng)的極限之間的距離也變動(dòng)？E|X(n)-X|2D(X)=E(X-EX)2227二、均方范數(shù)1.定義1.1

二階矩存在的隨機(jī)變量的全體組成的集合稱(chēng)為二階矩變量空間。注2：如無(wú)特別指明,本章討論的均是二階矩過(guò)程。注1：若X為復(fù)隨機(jī)變量，定義中的絕對(duì)值符號(hào)理解為模。2282.定義1.2在二階矩變量空間H中，定義范數(shù)為注：該范數(shù)應(yīng)該滿足三條基本性質(zhì)。229（1）Cauchy不等式（2）Jessen不等式3.重要不等式230則稱(chēng)Xn均方收斂于X，稱(chēng)X為Xn的均方極限，記作1.定義：

設(shè)隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1}和隨機(jī)變量X的二階矩有限，注1：L·i·m即limitinmeansquare，表示均方意義下的極限。三、隨機(jī)序列的均方極限注2：是普通的極限。

（A）數(shù)列{X(n),n≥1}的極限定義：(B)設(shè)r.v.序列{Xn，n=1,2,···}存在二階矩，r.v.X也存在二階矩，若232四、隨機(jī)序列均方極限的性質(zhì)（1）均方極限唯一性。概率密度1.性質(zhì)1：均方極限唯一性定理r.v.序列的均方極限在概率1意義下是唯一的。2.[定理]

設(shè)

{Xn},{Yn},都是二階矩隨機(jī)序列，U是二階矩隨機(jī)變量，{cn}是常數(shù)序列，a,b,c為常數(shù)。令l.i.mXn=X,l.i.mYn=Y,limcn=c

，則有235注1：即均方極限與期望可交換順序。2363.如果且，則特別地推論：若,則237對(duì)任意常數(shù)a,b有(4)若(5)若，X是隨機(jī)變量，則238(6)判別準(zhǔn)則(柯西準(zhǔn)則)：均方極限存在的充要條件(7)均方收斂準(zhǔn)則。{Xn}均方收斂的充要條件定義設(shè)r.v.序列{Xn，n=1,2,···}存在二階矩，r.v.X也存在二階矩，若1.依概率收斂的定義則稱(chēng)Xn（n=1,2,···）依概率收斂于X，記作五、隨機(jī)序列的三種極限定義設(shè)r.v.序列{Xn，n=1,2,···}存在二階矩，r.v.X也存在二階矩，若2、依分布收斂的定義則稱(chēng)Xn（n=1,2,···）依分布收斂于X，記作3、均方收斂定義定義設(shè)r.v.序列{Xn，n=1,2,···}存在二階矩，r.v.X也存在二階矩，若則稱(chēng)Xn（n=1,2,···）均方收斂于X，或稱(chēng)X是{Xn}的均方極限，記作L·i·m表示均方意義下的極限，即limitinmean的縮寫(xiě)。242245對(duì)于連續(xù)參數(shù)集的隨機(jī)過(guò)程，討論極限。首先回顧函數(shù){f(t),t∈T}

的極限：六、隨機(jī)過(guò)程的均方極限246定義

設(shè)隨機(jī)過(guò)程{X(t),t∈T}和隨機(jī)變量X的二階矩有限，若則稱(chēng)X(t)依均方收斂于X，稱(chēng)X為X(t)的均方極限，記作注：隨機(jī)變量序列的均方極限一些性質(zhì)，對(duì)隨機(jī)過(guò)程依然成立。247以均方極限為基礎(chǔ)，可定義隨機(jī)過(guò)程的均方連續(xù)性、均方導(dǎo)數(shù)、均方積分。（1）對(duì)比數(shù)列情形的極限，均方度量隨機(jī)變量間的距離。（2）隨機(jī)變量序列均方極限的定義，基本運(yùn)算可交換順序，后知均方的重要性。（3）隨機(jī)過(guò)程均方極限的定義。小結(jié)：一、均方連續(xù)性的概念二、均方連續(xù)性的性質(zhì)三、均方導(dǎo)數(shù)的概念四、均方導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)248§3.2均方連續(xù)性與均方導(dǎo)數(shù)249一、隨機(jī)過(guò)程的均方連續(xù)性回顧《高等數(shù)學(xué)》中函數(shù)的連續(xù)性：t0t0處的極限≠t0處的函數(shù)值定義

如果二階矩過(guò)程X(t)滿足則稱(chēng)X(t)在t0處均方連續(xù)。若對(duì)t∈T，X(t)都均方連續(xù)，則稱(chēng)X(t)在T上均方連續(xù)。注1：均方連續(xù)的等價(jià)定義：注：回憶均方極限的定義2512、均方連續(xù)準(zhǔn)則分析：證明：[定理]

若二階矩實(shí)隨機(jī)過(guò)程

{X

(t),t

T}是均方連續(xù)的，則它的數(shù)學(xué)期望也必定連續(xù)。推論二階矩過(guò)程{Xt,<t<

}在(

,

)上均方連續(xù)R(s,t)在{(t,t),<t<

}上連續(xù)。

R(s,t)在{(s,t)，(s,t)

(

,

)}上連續(xù)(1)二階矩過(guò)程X(t)在t0處均方連續(xù)的充要條件，自相關(guān)函數(shù)RX(s,t)在點(diǎn)(t0,t0)處連續(xù)。(2)二階矩過(guò)程X(t)在t0處均方連續(xù)的充要條件，自協(xié)方差函數(shù)CX(s,t)在點(diǎn)(t0,t0)處連續(xù)。(3)若二階矩過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)RX(s,t)在對(duì)角線上連續(xù)，則它在整個(gè)平面T2上每一點(diǎn)(s,t)處都均方連續(xù)，反之亦然。(4)若二階矩過(guò)程X(t)在T上均方連續(xù)，則均值函數(shù)及方差函數(shù)也在T上連續(xù)。均方連續(xù)性的一些總結(jié)：試問(wèn)此隨機(jī)過(guò)程X(t)是否均方連續(xù)？例2.1

設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)的相關(guān)函數(shù)為解：因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，且當(dāng)t=s時(shí)連續(xù)，故此隨機(jī)過(guò)程均方連續(xù)。解:布朗運(yùn)動(dòng)B(t)的自相關(guān)函數(shù)為例2.2參數(shù)為σ2的布朗運(yùn)動(dòng)B(t)是否均方連續(xù)?在任意點(diǎn)(t,t)處連續(xù),故布朗運(yùn)動(dòng)均方連續(xù).二、均方導(dǎo)數(shù)的概念1.回顧：函數(shù)X(t)在t=t0處的導(dǎo)數(shù)，定義為如下極限259則稱(chēng)為X(t)在t0處的均方導(dǎo)數(shù)，也稱(chēng)X(t)在t0處均方可導(dǎo)。記為2、均方導(dǎo)數(shù)的概念定義3.1若隨機(jī)過(guò)程X(t)在時(shí)刻t0處存在如下均方極限注：若X(t)在T上每點(diǎn)t都均方可導(dǎo)，則稱(chēng)X(t)在T上均方可導(dǎo)，記作，是一新的隨機(jī)過(guò)程，其概率空間與X(t)相同。類(lèi)似地，可定義X(t)的二階均方導(dǎo)數(shù)與n階均方導(dǎo)數(shù)262存在，等價(jià)于如下極限存在如何判定均方導(dǎo)數(shù)存在呢？263tt+htt+h’R(t+h,t+h’)R(t,t+h’)R(t,t)R(t+h,t)264則稱(chēng)

f(s,t)在(s,t)處廣義二階可導(dǎo)或廣義二階可微，此極限稱(chēng)為在(s,t)處的廣義二階導(dǎo)數(shù)，記為定義3.2

設(shè)f(s,t)為普通二元函數(shù)，若存在極限3、廣義二階導(dǎo)數(shù)回憶《高等數(shù)學(xué)》中的二階偏導(dǎo)數(shù)：二者不一定相等若一階偏導(dǎo)數(shù)存在若二階混合偏導(dǎo)數(shù)存在廣義二階偏導(dǎo)數(shù)與二階偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：如果f(s,t)滿足如下三條，（1）一階偏導(dǎo)數(shù)都存在，（2）二階混合偏導(dǎo)數(shù)都存在,（3）二階混合偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，則f(s,t)廣義二階導(dǎo)數(shù)存在且4、均方可微準(zhǔn)則[定理]

二階矩過(guò)程

{X

(t),t

T}在t點(diǎn)均方可微的充要條件是相關(guān)函數(shù)

RX(t1,t2)的廣義二階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(t,t)處存在。271例，設(shè)是一維布朗運(yùn)動(dòng),判斷它是否均方可微.解:根據(jù)均方可微準(zhǔn)則,均方可微R(s,t)在(t,t)處廣義二次可微。令s=t,0<h≤k它不是均方可微的.試問(wèn)此隨機(jī)過(guò)程是否均方連續(xù)、均方可導(dǎo)？例：設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)為解：此隨機(jī)過(guò)程是均方連續(xù)，但是不是均方可導(dǎo)。此隨機(jī)過(guò)程是不是均方可導(dǎo)。解:它不是均方可微的.275例3.1試求隨機(jī)過(guò)程X(t)=At+B的均方導(dǎo)數(shù)，其中A，B為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。解：(1)任一r.v.（或常數(shù)）的均方導(dǎo)數(shù)為零；

(2)若{Xt

，tT}、{Yt，tT}是兩個(gè)均方可微的隨機(jī)過(guò)程，a,b為兩個(gè)常數(shù)，則aXt+bYt也均方可微，且

(3)設(shè){Xt

，tT}均方可微，f(t)為一個(gè)普通的可微函數(shù)，則f(t)Xt也均方可微，且4、均方可微性質(zhì)(4)隨機(jī)過(guò)程若均方可微，則必均方連續(xù)，反之不然。[推論]

若相關(guān)函數(shù)

RX(t1,t2)在{(t,t),t

T}上每一點(diǎn)廣義二階可微，則在T

上以及在T

T

上存在，且有數(shù)學(xué)期望與求導(dǎo)運(yùn)算可以交換順序4、均方可微性質(zhì)280例3.2

設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)的均值與相關(guān)函數(shù)為試求的均值與協(xié)方差。例設(shè){X

(t),t

T}是實(shí)均方可微過(guò)程，求其導(dǎo)數(shù)過(guò)程{X

(t),t

T}的協(xié)方差函數(shù)CX

(s,t)。[解]小結(jié)（1）均方導(dǎo)數(shù)的定義，基于均方極限；（2）均方導(dǎo)數(shù)存在的判定準(zhǔn)則，基于自相關(guān)函數(shù)的廣義二階導(dǎo)數(shù)。（3）均方導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，數(shù)學(xué)期望與求導(dǎo)可交換順序。一二階矩過(guò)程的均方積分概念二二階矩過(guò)程的均方積分性質(zhì)§3.4隨機(jī)過(guò)程的均方積分一、均方積分的概念回顧：《高等數(shù)學(xué)》中的定積分微元的思想：曲邊梯形的面積≈小矩形面積和近似一、均方積分的概念1.定義

設(shè)隨機(jī)過(guò)程{X(t),t∈T=[a,b]},普通函數(shù)f(t),t∈T(1)分割T：將[a,b]分成n個(gè)子區(qū)間，分點(diǎn)為(3)求極限：若△n→0時(shí)Yn均方收斂于Y（不依賴(lài)于分點(diǎn)和

k）則稱(chēng)f(t)X(t)在T=[a,b]上均方可積，并稱(chēng)Yn的極限Y為f(t)X(t)在T上的均方積分，記作特別地當(dāng)f(t)=1，t∈[a,b]時(shí)，2二階矩過(guò)程的均方積分存在性1)（均方可積準(zhǔn)則）設(shè)f(t)為普通函數(shù)，X(t)為隨機(jī)過(guò)程,則f(t)X(t)在[a,b]上均方可積的充要條件是下面的普通二重積分

如果隨機(jī)過(guò)程在[a,b]上均方連續(xù)，則X(t)在[a,b]上均方可積。3）定理(均方可積充要條件)對(duì)于二階矩過(guò)程Xt,Xt在[a,b]上均方可積二重積分存在；且EX設(shè)是一維標(biāo)準(zhǔn)維納運(yùn)動(dòng),判斷它是否均方可積.解:根據(jù)均方可積準(zhǔn)則,但時(shí)極限不存在.三、均方積分的性質(zhì)

(1)（線性）設(shè){Xt，tT}、{Yt，tT}是兩個(gè)二階矩過(guò)程，若它們?cè)赱a,b]T上均方可積，A、B為常數(shù)或r.v.，則有(2)（可加性）若X

(t)在[a,b]上均方可積，則(3)若Xt在[a,b]及[c,d]上均方可積，則

(4)若Xt在[a,b]上均方連續(xù)，則它在[a,b]上均方可積。特別是則有(6)（唯一性）

(5)若Xt在[a,b]上均方連續(xù)，則(7)若X(t)在[a,b]上均方連續(xù)，則(8)若Xt在[a,b]上均方可微，且在[a,b]上均方連續(xù)，均方可微，且并稱(chēng)Yt是Xt的不定積分。均方連續(xù)，則此式相當(dāng)于黎曼微積分中熟知的牛頓-萊布尼茲公式。即:導(dǎo)數(shù)與積分過(guò)程互為逆運(yùn)算過(guò)程設(shè){Xt，tT}是一個(gè)二階矩過(guò)程，若它在[a,b]T上均方連續(xù)，那么，它在[a,b]T上均方可積。設(shè){Xt，tT}是一個(gè)二階矩過(guò)程，若參數(shù)集T上均方可積例4.2

設(shè)隨機(jī)過(guò)程

的協(xié)方差函數(shù)求的方差。

0≦t1≦t2uvu=vt1t2u>vu<v0討論：t2>t1的大小0≦t1≦t2uvu=vt1t2u>vu<v0所以例設(shè)隨機(jī)信號(hào)