1．直線與圓的位置關(guān)系反映在三個(gè)方面：一是點(diǎn)到直線的距離與半徑大小的關(guān)系；二是直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；三是兩方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)．因此，若給出圖形，可根據(jù)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷；若給出直線與圓的方程，可選擇用幾何法或代數(shù)法，幾何法計(jì)算量小，代數(shù)法可一同求出交點(diǎn)．解題時(shí)可根據(jù)條件作出恰當(dāng)?shù)倪x擇．2．與圓有關(guān)的弦長(zhǎng)、切線問(wèn)題常利用幾何法求解，體現(xiàn)了直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，但注意驗(yàn)證所求直線的斜率不存在的情形，避免漏解．3．坐標(biāo)法解決問(wèn)題的一般步驟(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；(2)設(shè)出已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求出未知點(diǎn)的坐標(biāo)及曲線的方程；(3)利用所學(xué)公式列出方程(組)，通過(guò)計(jì)算得出代數(shù)結(jié)論；(4)反演回去，得到幾何問(wèn)題的結(jié)論．4．判斷兩圓的位置關(guān)系或利用兩圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍有以下幾個(gè)步驟：(1)化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，寫出圓心和半徑；(2)計(jì)算兩圓圓心的距離d；(3)通過(guò)d，r1＋r2，|r1－r2|的關(guān)系來(lái)判斷兩圓的位置關(guān)系或求參數(shù)的范圍，必要時(shí)可借助于圖形，數(shù)形結(jié)合．5．過(guò)兩圓的交點(diǎn)的圓的方程已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．6．判斷兩圓的位置關(guān)系的方法(1)由兩圓的方程組成的方程組有幾個(gè)實(shí)數(shù)解確定，這種方法計(jì)算量比較大，一般不用．(2)依據(jù)圓心距與兩圓半徑的和或兩圓半徑的差的絕對(duì)值的大小關(guān)系．相交?|R－r|＜d＜R＋r.相切eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(外切?d＝R＋r，,內(nèi)切?d＝|R－r|.))相離eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(外離?d＞R＋r，,內(nèi)含?0＜d＜|R－r|.))(特別地d＝0時(shí)，兩圓為同心圓)7．當(dāng)兩圓相交時(shí)，把兩圓的方程作差消去x2和y2就得到兩圓的公共弦所在的直線方程．即若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.知識(shí)點(diǎn)1直線與圓的位置關(guān)系1.直線與圓的三種位置關(guān)系位置關(guān)系交點(diǎn)個(gè)數(shù)相交有兩個(gè)公共點(diǎn)相切只有一個(gè)公共點(diǎn)相離沒(méi)有公共點(diǎn)2.直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)一個(gè)零個(gè)判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d＜rd＝rd＞r代數(shù)法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2))消元得到一元二次方程的判別式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0【例1】已知直線方程mx－y－m－1＝0，圓的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.當(dāng)m為何值時(shí)，圓與直線：(1)有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)沒(méi)有公共點(diǎn)．【解析】法一：將直線mx－y－m－1＝0代入圓的方程化簡(jiǎn)整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，∴(1)當(dāng)Δ>0時(shí)，即m>0或m<－eq\f(4,3)時(shí)，直線與圓相交，即直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)當(dāng)Δ＝0時(shí)，即m＝0或m＝－eq\f(4,3)時(shí)，直線與圓相切，即直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)當(dāng)Δ<0時(shí)，即－eq\f(4,3)<m<0時(shí)，直線與圓相離，即直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)．法二：已知圓的方程可化為(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圓心為C(2,1)，半徑r＝2.圓心C(2,1)到直線mx－y－m－1＝0的距離d＝eq\f(|2m－1－m－1|,\r(1＋m2))＝eq\f(|m－2|,\r(1＋m2)).(1)當(dāng)d<2時(shí)，即m>0或m<－eq\f(4,3)時(shí)，直線與圓相交，即直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)當(dāng)d＝2時(shí)，即m＝0或m＝－eq\f(4,3)時(shí)，直線與圓相切，即直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)當(dāng)d>2時(shí)，即－eq\f(4,3)<m<0時(shí)，直線與圓相離，即直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)二直線與圓相切問(wèn)題圓的切線方程的求法(1)點(diǎn)在圓上時(shí)求過(guò)圓上一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程：先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，再由垂直關(guān)系得切線的斜率為－eq\f(1,k)，由點(diǎn)斜式可得切線方程．如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y＝y(tǒng)0或x＝x0.(2)點(diǎn)在圓外時(shí)①幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)．由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，也就得切線方程．②代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程聯(lián)立，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切線方程．【例2】過(guò)點(diǎn)A(4，－3)作圓(x－3)2＋(y－1)2＝1的切線，求此切線方程．【解析】因?yàn)?4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以點(diǎn)A在圓外，故切線有兩條．①若所求直線的斜率存在，設(shè)切線斜率為k，則切線方程為y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0.設(shè)圓心為C，因?yàn)閳A心C(3,1)到切線的距離等于半徑1，所以eq\f(|3k－1－3－4k|,\r(k2＋1))＝1，即|k＋4|＝eq\r(k2＋1)，所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－eq\f(15,8).所以切線方程為－eq\f(15,8)x－y＋eq\f(15,2)－3＝0，即15x＋8y－36＝0.②若直線斜率不存在，圓心C(3,1)到直線x＝4的距離為1，這時(shí)直線x＝4與圓相切，所以另一條切線方程為x＝4.綜上，所求切線方程為15x＋8y－36＝0或x＝4.知識(shí)點(diǎn)三直線與圓相交問(wèn)題求弦長(zhǎng)常用的三種方法(1)利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d，弦長(zhǎng)l之間的關(guān)系eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)l))eq\s\up12(2)＋d2＝r2解題．(2)利用交點(diǎn)坐標(biāo)，若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，直接用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算弦長(zhǎng)．(3)利用弦長(zhǎng)公式，設(shè)直線l：y＝kx＋b，與圓的兩交點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系得弦長(zhǎng)l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]).【例3】求直線l：3x＋y－6＝0被圓C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦長(zhǎng)|AB|.【解析】聯(lián)立直線l與圓C的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－6＝0，,x2＋y2－2y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,y1＝3，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2，,y2＝0，))所以交點(diǎn)為A(1,3)，B(2,0)．故直線l：3x＋y－6＝0被圓C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦長(zhǎng)|AB|＝eq\r(1－22＋3－02)＝eq\r(10).知識(shí)點(diǎn)四圓與圓的位置關(guān)系的判斷圓與圓位置關(guān)系的判定(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1，r2的關(guān)系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|0＜d＜|r1－r2|(2)代數(shù)法：通過(guò)兩圓方程組成方程組的公共解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(圓C1方程,圓C2方程))eq\o(→,\s\up17(消元))一元二次方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0?相交，,Δ＝0?內(nèi)切或外切，,Δ＜0?外離或內(nèi)含.))【例4】當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，兩圓C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外離？【解析】將兩圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圓C1的圓心為C1(－2,3)，半徑長(zhǎng)r1＝1；圓C2的圓心為C2(1,7)，半徑長(zhǎng)r2＝eq\r(50－k)(k＜50)，從而|C1C2|＝eq\r(－2－12＋3－72)＝5.當(dāng)1＋eq\r(50－k)＝5，即k＝34時(shí)，兩圓外切．當(dāng)|eq\r(50－k)－1|＝5，即eq\r(50－k)＝6，即k＝14時(shí)，兩圓內(nèi)切．當(dāng)|eq\r(50－k)－1|＜5＜1＋eq\r(50－k)，即14＜k＜34時(shí)，兩圓相交．當(dāng)eq\r(50－k)＋1|<5，即34＜k＜50時(shí)，兩圓外離．知識(shí)點(diǎn)五兩圓相切問(wèn)題處理兩圓相切問(wèn)題的兩個(gè)步驟(1)定性，即必須準(zhǔn)確把握是內(nèi)切還是外切，若只是告訴相切，則必須分兩圓內(nèi)切還是外切兩種情況討論．(2)轉(zhuǎn)化思想，即將兩圓相切的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對(duì)值(內(nèi)切時(shí))或兩圓半徑之和(外切時(shí))．【例5】求半徑為4，與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直線y＝0相切的圓的方程．【解析】設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝16，由圓與直線y＝0相切、半徑為4，則圓心C的坐標(biāo)為C1(a,4)或C2(a，－4)．已知圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的圓心A的坐標(biāo)為(2,1)，半徑為3.由兩圓相切，則|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1.①當(dāng)圓心為C1(a,4)時(shí)，(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(無(wú)解)，故可得a＝2±2eq\r(10)，故所求圓的方程為(x－2－2eq\r(10))2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2eq\r(10))2＋(y－4)2＝16.②當(dāng)圓心為C2(a，－4)時(shí)，(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(無(wú)解)，解得a＝2±2eq\r(6).故所求圓的方程為(x－2－2eq\r(6))2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2eq\r(6))2＋(y＋4)2＝16.綜上所述，所求圓的方程為(x－2－2eq\r(10))2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2eq\r(10))2＋(y－4)2＝16或(x－2－2eq\r(6))2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2eq\r(6))2＋(y＋4)2＝16.一、直線與圓的位置關(guān)系一、選擇題【答案】D公共弦所在的直線即直線，A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定4．圓x2+y2+4x﹣2y+1＝0截x軸所得弦的長(zhǎng)度等于（）A．2 B．2 C．2 D．4【答案】D【詳解】如圖，6．(多選題)直線l與圓C有公共點(diǎn)，則直線l與圓C的位置關(guān)系可能是（）A．相交 B．相切C．相離 D．不能確定【答案】AB【詳解】根據(jù)直線與圓位置關(guān)系的確定，有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)相切，有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)相交．相離時(shí)無(wú)公共點(diǎn)．7．(多選題)已知圓x2＋y2－2x＋4y＋3＝0與直線x－y＝1，則（）A．圓心坐標(biāo)為(1，－2)B．圓心到直線的距離為C．直線與圓相交D．圓的半徑為【答案】AD【詳解】二、填空題8．已知直線：12x－5y＝3與圓x2＋y2－6x－8y＋16＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________.【答案】49．過(guò)點(diǎn)P(2，1)作圓x2＋(y－2)2＝1的切線，則切線長(zhǎng)為_(kāi)_______．10．圓x2＋y2－2x＋4y＝0與直線2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置關(guān)系為_(kāi)_______．【答案】相交【詳解】直線2tx－y－2－2t＝0恒過(guò)點(diǎn)(1，－2)．因?yàn)?2＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，所以點(diǎn)(1，－2)在圓x2＋y2－2x＋4y＝0內(nèi)，所以直線2tx－y－2－2t＝0與圓x2＋y2－2x＋4y＝0相交．三、解答題（1）當(dāng)為何值時(shí)，直線與圓相切；【詳解】二、圓與圓的位置關(guān)系一、選擇題A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離【答案】A3．圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋(y－3)2＝1的內(nèi)公切線有且僅有（）A．1條 B．2條C．3條 D．4條【答案】B【詳解】圓心距為3，半徑之和為2，故兩圓外離，內(nèi)公切線條數(shù)為2.故選：B．A．0 B． C． D．5．(多選題)集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r＞0}，且M∩N＝N，則r可能的取值是（）A． B． C．1 D．【答案】AB【詳解】故選：AB.6．(多選題)已知圓A、圓B相切，圓心距為10cm，其中圓A的半徑為4cm，則圓B的半徑為（）A．6cm B．10cmC．14cm D．18cm【答案】AC【詳解】令圓A、圓B的半徑分別為r1，r2，當(dāng)兩圓外切時(shí)，r1＋r2＝10，所以r2＝10－r1＝10－4＝6；當(dāng)兩圓內(nèi)