2026屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)三角函數(shù)、解三角形（復(fù)習(xí)講義）第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式【考試要求】理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α+能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出π2±α【命題規(guī)律】考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式解決條件求值問題，常與三角恒等變換相結(jié)合，可起到化簡三角函數(shù)關(guān)系的作用，強調(diào)利用三角公式進行恒等變形的技能以及基本的運算能力?；A(chǔ)知識：1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：eq\o(□,\s\up1(1))sin2α＋cos2α＝1．(2)商數(shù)關(guān)系：sinαcosα＝tanαα≠π注意：平方關(guān)系對任意角都成立，而商數(shù)關(guān)系中α≠2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式角正弦余弦正切一2kπ＋α(k∈Z)sinαcosαtanα二－αeq\o(□,\s\up1(2))－sinαeq\o(□,\s\up1(3))cosαeq\o(□,\s\up1(4))－tanα三π＋αeq\o(□,\s\up1(5))－sinαeq\o(□,\s\up1(6))－cosαeq\o(□,\s\up1(7))tanα四π－αeq\o(□,\s\up1(8))sinαeq\o(□,\s\up1(9))－cosαeq\o(□,\s\up1(10))－tanα五eq\f(π,2)－αeq\o(□,\s\up1(11))cosαeq\o(□,\s\up1(12))sinα1六eq\f(π,2)＋αeq\o(□,\s\up1(13))cosαeq\o(□,\s\up1(14))－sinα－1注意：誘導(dǎo)公式可簡記為：奇變偶不變，符號看象限?！捌妗薄芭肌敝傅氖恰発?π2+αk∈Z”中的k是奇數(shù)還是偶數(shù)?！白儭迸c“不變”是指函數(shù)的名稱的變化，若k是奇數(shù)，則正、余弦互變；若類型一同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1.已知α∈0,π,cosα=?A.34B.?34C.43[解析]因為cosα=?35且α∈2.已知角α是第二象限角，且滿足sin5π2+A.3B.?3C.?33[解析]由sin5π2+α+3cosα3.已知sinπ2+θ+A.15B.25C.35[解析]由已知sinπ2+4.已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4A.?23B.23C.13[解析]因為θ是第三象限角，所以sinθ<0,cosθ<0,故sinθcos5.已知α是三角形的內(nèi)角，且tanα=?13，則[解析]由tanα=?13，得sinα=?13cosα，將其代入sin2α+6.已知tanαsinα?3cos解（1）由已知得tanα=12，（2）sin2α7.已知x∈?π,0（1）求sinx（2）求sin解（1）由sinx+cosx=1整理得2sinxcos由x∈?π,0，知sinx<0，又sinx+cos故sinx?cos（2）sin2x+2sin8.若θ∈0，π2，tanθ＝12，則sinθ－cos解析：因為θ∈0，π2，則sinθ＞0，cosθ＞0，又tanθ則cosθ＝2sinθ，且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝55或sinθ＝－55(舍去)，所以sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－答案：－59.若tan(α－π)＝2，則1?A．－13B．－3C．13解析：A由tan(α－π)＝2，得tanα＝2，則1?10.已知3sinθ+π2＋sin(θ＋π)＝0，且θ∈(－π，0)，則sinA．－31010B．－1010C．310解析：A由3sinθ+π2＋sin(θ＋π)＝0，得3cosθ－sin又θ∈(－π，0)，且sin2θ＋cos2θ＝1，所以sinθ＝－31011.已知sinα＋cosα＝2，則tanα＋cosαA．－1B．－2C．12解析：D∵sinα＋cosα＝2，∴sinαcosα＝12，∴tanα＋cos12.已知sinαcosα＝38，且π4<α<π2，則cosαA．12B．±12C．－14解析：D∵sinαcosα＝38∴(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－2sinαcosα＝1－2×38∵π4<α<π2，∴cosα<sinα，則cosα－sinα<0，∴cosα－sinα＝－13.(多選題)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝15A．sinθ＝45 B．cosθ＝－C．tanθ＝－34 D．sinθ－cosθ＝解析：ABD由題意知sinθ＋cosθ＝15，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝1∵2sinθcosθ＝－2425<0，又∵θ∈(0，π)，∴π2<θ<π，∴sinθ－cos∴sinθ－cosθ＝1?2sinθcos∴sinθ＝45，cosθ＝－35.∴tanθ＝－43反思總結(jié)1.注意公式的逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.2.應(yīng)用公式時注意方程思想的應(yīng)用：對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．3.化簡的式子中同時出現(xiàn)正弦、余弦、正切時，一般利用公式tanα＝sinα4.利用平方關(guān)系求值時，要注意角所在象限，以免出現(xiàn)函數(shù)值的符號錯誤．5.形如asinx+bcosxcsinx+dcosx，asin2x＋類型二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用1．已知sinx?π3＝3A．35B．45C．－35解析：C因為sinx?π3＝35，所以cosx+π6＝cos2．已知a＝tan?7π6，b＝cos23π4，c＝sin?25πA．b>a>cB．a(chǎn)>b>cC．b>c>aD．a(chǎn)>c>b解析：Aa＝tan?π6＝－tanb＝cos6π?π4＝cosc＝sin?6π?π4由a2<c2，知a>c，從而b>a>c.3．已知sinα＝12，則cosα?π2sin5π2+α·sin(解析：原式＝cosπ2?αsin2π+π2＝sinαcosα·(－sinα)·cosα＝－sin2α答案：－14．若P(cosθ，sinθ)與Q(cosθ+π6，sin(θ+π6))解析：由于點P與Q關(guān)于y軸對稱．所以sinθ＝sinθ+π6，且cosθ＝－cos由誘導(dǎo)公式sinθ＝sin(π－θ)，cosθ＝－cos(π－θ)，所以θ＋π6＝π－θ，解得θ＝5則符合題意的θ值可以為5π答案：5π5.化簡：sin?α?[解析]原式=cos6.已知sinα+π12=13，則cos[解析]cosα+77.已知角α的終邊過點P?7,24，則A.?4825B.4825C.0[解析]因為角α的終邊過點P?7,24，所以8.已知cos2π3+A.13B.79C.?13[解析]sinπ9.已知A=sinkπ+A.{1,?1,2,?2}B.{?1[解析]當(dāng)k為偶數(shù)時，A=sinαsinα反思總結(jié)1．誘導(dǎo)公式的兩個應(yīng)用口訣(1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角就終了．(2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少目的到．2．(1)靈活使用誘導(dǎo)公式的關(guān)鍵是“奇變偶不變，符號看象限”．(2)常見的互余和互補的角①互余的角：π3－α與π6＋α；π4＋α與π②互補的角：π3＋θ與2π3－θ；π4＋θ與類型三同角關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用1.已知sin3π2?α＋cos(π－α)＝sinα，則2sin2α－sinA．2110B．32C．32解析：D∵sinα＝sin3π2?α＋cos(π－α)，∴sinα＝－2cos因此2sin2α－sinαcosα＝2sin2.已知α是第三象限角，且cosα＝－1010.則cosπ?解析：∵α是第三象限角，且cosα＝－1010∴sinα＝－1?cos2α＝答案：13.已知sinα＋cosα＝－15，且π2<α<π，則1sin解析：由sinα＋cosα＝－15，平方化簡得sinαcosα＝－12∵π2<α<π，∴sinα－cosα>0.又(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝49∴sinα－cosα＝75，∴1sinπ答案：354.已知tanα=3解：因為tanα=3,sin2α5.若3sinα+cosαA.103B.53C.23[解析]由3sinα=?cosα6.已知sinθ+cosθ=713,[解析]因為sinθ+cosθ=713,所以sinθ+cosθ2=7.已知sinα?cosα=2,α[解析]解法一：由sinα?cosα=2,sin2α+cos2α解法二：因為sinα?cosα=2，所以sinα?cosα2=2，得sin8.化簡sinnπ+[解析]①當(dāng)n=2kk∈Z②當(dāng)n=2k+=?sinα?cos反思總結(jié)1．利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進行變形．2．運用兩類公式解題，要善于觀察所給角之間的關(guān)系，利用整體代換的思想簡化解題過程．注意角的范圍對三角函數(shù)值符號的影響．基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時間：15分鐘）1．若α是第四象限角，tanα＝－512，則sinαA．15B．－14C．513解析：D因為tanα＝sinαcosα＝?512，sin2α＋cos因為α是第四象限角，所以sinα＝－5132．(多選題)已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，則下列不等關(guān)系中成立的是()A．sinθ<0B．sinθ>0C．cosθ>0D．cosθ<0解析：BD∵sin(θ＋π)＝－sinθ<0，∴sinθ>0，知B正確．又cos(θ－π)＝－cosθ>0，∴cosθ<0，知D正確．3．若cos2α＝1＋2cosα，則sin2α＋sin4α的值為()A．5－1B．5?12C．1解析：C由cos2α＝1＋2cosα得－2sin2α＝2cosα.∴sin2α＝－cosα，所以sin2α＋sin4α＝－cosα＋cos2α＝1.4．已知tanα＝－3，則sin3αA．－34B．34C．310解析：C原式＝sin3α?sinαcosα＝sin5．已知sinα＋cosα＝－2，則tanα＋1tanA．2B．12C．－2D．－解析：A由已知得1＋2sinαcosα＝2，∴sinαcosα＝12∴tanα＋1tanα＝sin6．已知角α的頂點在原點，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與直線2x＋y＋3＝0平行，則sinαA．－2B．－14C．2解析：D因為角α的終邊與直線2x＋y＋3＝0平行，即角α的終邊在直線y＝－2x上，所以tanα＝－2.所以sinα7．已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，則sinα＝()A．53B．23C．13解析：A由3cos2α－8cosα＝5，得3(2cos2α－1)－8cosα＝5，即3cos2α－4cosα－4＝0，解得cosα＝－23或cosα＝2(舍去)．又因為α∈(0，π所以sinα＝1?cos2重難突破練（測試時間：10分鐘）1．(多選題)給出下列四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是()A．sin(π＋α)＝－sinα成立的條件是角α是銳角B．若cos(nπ－α)＝13(n∈Z)，則cosα＝C．若α≠kπ2(k∈Z)，則tanπD．若sinα＋cosα＝1，則sinnα＋cosnα＝1解析：CDsin(π＋α)＝－sinα對α∈R恒成立，A錯誤．當(dāng)n＝2k＋1(k∈Z)時，cos(nπ－α)＝cos(π－α)＝－cosα，所以－cosα＝13，則cosα＝－1當(dāng)α≠kπ2(k∈Z)時，tanπ2若sinα＋cosα＝1，則sinαcosα＝0，所以sinα與cosα有一個為0.若sinα＝0，則cosα＝1，此時sinnα＋cosnα＝1；若cosα＝0，則sinα＝1，此時sinnα＋cosnα＝1，故sinnα＋cosnα＝1，所以D正確．2．已知cosπ6?α＝13，則cos5π6+α解析：cos5π6+α＝cosπ?πsin2π3?α＝sin[π2＋π答案：－13．已知θ為三角形的內(nèi)角，且sin2θ＝sin2θ，則sinθ1?解析：因為θ為三角形的內(nèi)角，sinθ≠0，且sin2θ＝sin2θ，所以2cosθ＝sinθ，所以tanθ＝2，所以sin2θ＋cos2θ＝4cos2θ＋cos2θ＝5cos2θ＝1，可得cos2θ＝15則sinθ答案：84．已知sinαcosα＝18，且5π4<α<3π2，則cosα解析：∵5π4<α<3π2，∴cosα<0，sinα<0且cos∴cosα－sinα>0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×18＝34，∴cosα－sin答案：35.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于原點對稱．若α∈π6，π3，則cos解析：因為α與β的終邊關(guān)于原點對稱，所以β＝2kπ＋π＋α(k∈Z)，所以cosβ＝cos(2kπ＋π＋α)＝－cosα.因為α∈π6，π3，所以cosα∈12，32，所以cos答案：－1綜合拓展練（測試時間：15分鐘）1．(多選題)已知tanθ＝2，則下列結(jié)論正確的是()A．tan(π－θ)＝－2B．tan(π＋θ)＝－2C．sinθ?3cosθ解析：ACD由誘導(dǎo)公式，tan(π－θ)＝－