第三章排列、組合與二項(xiàng)式定理（復(fù)習(xí)講義）基礎(chǔ)目標(biāo)進(jìn)階目標(biāo)拓展目標(biāo)理解并應(yīng)用平均分組、不平均分組、相同元素分配（隔板法）的解法，能區(qū)分“分組后是否分配到不同對(duì)象”的差異；會(huì)結(jié)合分類討論、間接法（總情況減不符合情況），求解含多個(gè)限制條件的排列組合問題；能將二項(xiàng)式定理與函數(shù)、不等式知識(shí)結(jié)合，解決相關(guān)綜合問題，如求多項(xiàng)式展開式中特定項(xiàng)系數(shù)、證明不等式等，滿足壓軸題及拔高題考查要求。1．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用利用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)時(shí)的解題步驟：①分類:將完成這件事的方法分成若干類；②計(jì)數(shù):求出每一類的方法數(shù).③結(jié)論:將每一類的方法數(shù)相加得出結(jié)果.利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)時(shí)的解題步驟：①分步:將完成這件事的過程分成若干步；②計(jì)數(shù):求出每一步的方法數(shù)；③結(jié)論:將每一步中的方法數(shù)相乘得出最終結(jié)果.2．排列數(shù)、組合數(shù)的應(yīng)用的主要作用:一是計(jì)算較大時(shí)的數(shù);二是對(duì)含有字母的組合數(shù)的式子進(jìn)行變形和證明.3．排列組合常見問題（1）相鄰問題和不相鄰問題：相鄰問題采用捆綁法；不相鄰問題采用插空法（2）定序問題：采用倍縮法，先不考慮順序限制,排列后,再除以定序元素的全排列（3）分組分配問題：①完全均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有組均勻，最后必須除；②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有組均勻，最后必須除；③完全非均勻分組,這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象（5）數(shù)字排序問題：首先明確題目條件對(duì)數(shù)字的要求，針對(duì)這一要求通過分類、分步進(jìn)行組數(shù)；其次注意特殊數(shù)字對(duì)各數(shù)位上數(shù)字的要求，如偶數(shù)的個(gè)位數(shù)字為偶數(shù)，兩位及其以上的數(shù)首位數(shù)字不能是0,被3整除的數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除，等等;最后先分類再分步，從特殊數(shù)字或特殊位置入手進(jìn)行組數(shù).4．二項(xiàng)式定理常見問題：（1）二項(xiàng)展開式的有理項(xiàng)：對(duì)于有理項(xiàng),一般是先寫出通項(xiàng),其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng).解這類問題必須合并通項(xiàng)中同一字母的指數(shù),根據(jù)具體要求,令其屬于整數(shù),再根據(jù)數(shù)的整除性來求解.（2）求三項(xiàng)展開式的指定項(xiàng)：應(yīng)根據(jù)式子的特點(diǎn),轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式來解決(有些題目也可轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)問題解決),轉(zhuǎn)化的方法通常為配方、因式分解、項(xiàng)與項(xiàng)結(jié)合,項(xiàng)與項(xiàng)結(jié)合時(shí)要注意合理性和簡(jiǎn)捷性.（3）求多個(gè)二項(xiàng)式積的展開式的特定項(xiàng)：①分別對(duì)每個(gè)二項(xiàng)展開式進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)它們各自項(xiàng)的特點(diǎn);②找到構(gòu)成展開式中特定項(xiàng)的組成部分;③分別求解再相乘,求和即得.（4）求二項(xiàng)式系數(shù)和、各項(xiàng)（奇偶項(xiàng)）系數(shù)和：“賦值法”普遍適用于恒等式,是一種重要的方法,若求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和,只需令未知數(shù)為1即可.（5）（二項(xiàng)式）系數(shù)的最值①求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng),根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),當(dāng)為奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大;當(dāng)為偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.②求展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的,需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況進(jìn)行判斷,一般采用列不等式組,解不等式組的方法求得.題型一兩種計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用題型一兩種計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用A．12 B．11 C．8 D．6變式11．一個(gè)3×3的正方形花壇被劃分為9個(gè)1×1小方格（如圖），計(jì)劃種植4種花卉（玫瑰、月季、百合、郁金香）每個(gè)小方格種1種花卉.要求：花壇中任意2×2的小區(qū)域內(nèi)，4種花卉必須全部種植且不重復(fù)，則不同的種植方案共有_______種.變式12．從4個(gè)漢字、10個(gè)數(shù)字、3種顏色中選元素組成3個(gè)標(biāo)識(shí)，每個(gè)標(biāo)識(shí)含1個(gè)漢字、1個(gè)數(shù)字、1種顏色，且同一組內(nèi)漢字、數(shù)字、顏色均不重復(fù).最多可設(shè)計(jì)不同標(biāo)識(shí)組的數(shù)量為（

）A．2400 B．3200 C．4320 D．5760

題型題型二排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算A．10 B．9C．4 D．3變式23．解關(guān)于x的方程：題型題型三排數(shù)問題例3．用數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)．(1)比20000大的五位偶數(shù)共有多少個(gè)；(2)從小到大排列所有的五位數(shù)，問35214是第幾位？(3)能被6整除的五位數(shù)有多少個(gè)．A．6 B．12 C．24 D．36變式32．從數(shù)字0，1，2，3，4，5中任取四個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)，其個(gè)數(shù)為_____變式33．小明忘記了自己的某軟件的賬戶密碼，只記得如圖所示的三個(gè)數(shù)字.已知小明設(shè)置的密碼滿足以下兩個(gè)原則：②密碼中不存在重復(fù)三次及以上的數(shù)字.則小明在符合以上兩個(gè)原則輸入密碼時(shí)，至多需要嘗試的密碼種數(shù)為.題型題型四相鄰及不相鄰問題例4．（多選）為弘揚(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”，某夏令營(yíng)主辦單位計(jì)劃利用暑假開設(shè)“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”六門體驗(yàn)課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，則下列說法正確的是（

）A．某學(xué)生從中選2門課程學(xué)習(xí)，共有30種選法B．課程“樂”“射”排在相鄰的兩周，共有240種排法C．課程“御”“書”“數(shù)”排在不相鄰的三周，共有72種排法D．課程“禮”不排在第一周，課程“數(shù)”不排在最后一周，共有504種排法變式41．某學(xué)校在讀書節(jié)活動(dòng)中，甲，乙，丙3個(gè)班各有2名同學(xué)獲獎(jiǎng)，現(xiàn)將這6人站成一排拍照，其中甲班的2名同學(xué)相鄰，且乙班的2名同學(xué)不相鄰的站法種數(shù)共有（

）A．36種 B．72種 C．144種 D．288種變式42．中國(guó)古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”．某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開展“六藝”講座活動(dòng)，每“藝”安排一次講座，共開展六次．講座次序要求“射”和“御”必須相鄰，“禮”和“書”不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有______種．變式43．現(xiàn)有3名男生和3名女生要與班主任站成一排合影，班主任站中間，則3名女生有且僅有2名相鄰的站法總數(shù)為.（結(jié)果用數(shù)字作答）.題型題型五涂色問題

A．360 B．420 C．480 D．660變式51．如圖，某停車場(chǎng)有2行4列共8個(gè)停車位，現(xiàn)有2輛紅色汽車和2輛黑色汽車要停車，則相同顏色的車輛不停在同一行也不停在同一列的概率為______.

變式52．用四種顏色給下圖的6個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域不同色，共有多少種不同的涂法（

）

A．72 B．96 C．120 D．144題型題型六分組分配問題A．24 B．36 C．48 D．60變式62．某班5位同學(xué)參加3項(xiàng)跑步比賽，要求每人報(bào)名1項(xiàng)或2項(xiàng)，且每個(gè)項(xiàng)目恰有2人報(bào)名，則不同的報(bào)名方法有_____種.變式63．為了表?yè)P(yáng)三位樂于助人的同學(xué)，班主任購(gòu)買了4個(gè)價(jià)錢相同的禮盒全部分給這3名同學(xué)，若購(gòu)買的4個(gè)禮盒僅有2個(gè)相同，按一人2個(gè)禮盒，另兩人各1個(gè)禮盒進(jìn)行分配，共有_____種分法.（用數(shù)字作答）題型題型七定序問題例7．育才學(xué)校校慶要編制一張演出節(jié)目單，5個(gè)舞蹈節(jié)目已排定順序，要再插入4個(gè)歌唱節(jié)目，則共有_____種插入方法（用數(shù)字作答）.變式71．在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字“0”和“1”排成一行組成的序列，不同的排列表示不同的信號(hào)．已知某信號(hào)由2個(gè)1和4個(gè)0組成，且每個(gè)0的左邊或者右邊位置至少有1個(gè)0與它相鄰，則這樣的信號(hào)有______種．變式72．如圖，3根繩子上共掛有7只氣球，繩子上的氣球個(gè)數(shù)依次為2，2，3，每槍只能打破一只氣球，而且同一條繩上，只有打破下面的氣球才能打上面的氣球，則將這些氣球都打破的不同打法有_____種（請(qǐng)用數(shù)字作答）變式73．現(xiàn)有面值分別為一分的硬幣1枚，二分的硬幣2枚，五分的硬幣3枚，一角的硬幣4枚，五角的硬幣5枚，一元的硬幣6枚共21枚硬幣排成一排，共有多少種排法？題型題型八多面手問題例8．某出版社的名工人中，有人只會(huì)排版，人只會(huì)印刷，還有人既會(huì)排版又會(huì)印刷，現(xiàn)從人中選人排版，人印刷，有（

）種不同的選法.A． B． C． D．變式81．9名學(xué)生報(bào)名參加學(xué)校聯(lián)歡晚會(huì)，其中4人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞，其余3人既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞，現(xiàn)從中選6人，3人唱歌，3人跳舞，共有______種不同的選法.變式82．某旅行社有導(dǎo)游9人，其中3人只會(huì)英語(yǔ)，4人只會(huì)日語(yǔ)，2人既會(huì)英語(yǔ)，也會(huì)日語(yǔ)，現(xiàn)從中選6人，其中3人進(jìn)行英語(yǔ)導(dǎo)游，另外3人進(jìn)行日語(yǔ)導(dǎo)游，則不同的選擇方法有_____種.變式83．某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左舷，4人只會(huì)劃右舷，2人既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有_____題型題型九二項(xiàng)展開式的正用與逆用題型題型十二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)A．2 B．3 C．4 D．5A．6 B．16 C．24 D．216A．3 B．4 C．5 D．6題型題型十一二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)和題型題型十二二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)最值A(chǔ)．常數(shù)項(xiàng)為 B．各項(xiàng)的系數(shù)和為C．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng) D．有理項(xiàng)的系數(shù)和為題型題型十三三項(xiàng)展開式問題A． B．C．160 D．80C．展開式中含的各項(xiàng)系數(shù)之和為100 D．展開式中不含字母的各項(xiàng)的系數(shù)之和為1題型題型十四多個(gè)二項(xiàng)式積的展開式A． B．24 C． D．16A．60 B．30 C．45 D．15A．162 B．168 C．180 D．185基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測(cè)基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測(cè)一、單選題1．（2025·26高三上·山東濰坊·階段練習(xí)）從分別標(biāo)有1，2，3，4，5的5個(gè)小球中無放回地隨機(jī)摸取2個(gè)，則摸到的2個(gè)小球上數(shù)字之和是2的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．A． B． C． D．A．3 B．4 C．5 D．64．（2024·25高二下·天津·期末）某高中舉行益智闖關(guān)團(tuán)隊(duì)賽，共4個(gè)關(guān)卡.現(xiàn)有包含甲、乙、丙在內(nèi)的5名選手組團(tuán)參賽，若甲負(fù)責(zé)第一關(guān)，最后一關(guān)由2名選手共同完成，且乙、丙不在同一關(guān)卡，則不同的參賽方案有（

）A．8種 B．10種 C．12種 D．14種5．（2025·26高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）一支軍事特別任務(wù)部隊(duì)由18名士兵組成，當(dāng)中共有6名女士兵，其余的是男士兵．若從該部隊(duì)中隨機(jī)選出8名士兵，求選出不多于4名女士兵的概率．（）A． B． C． D．A．120 B．120 C．180 D．180二、多選題7．（2024·25高二下·江蘇連云港·階段練習(xí)）、、、、五個(gè)人并排站在一起，則下列說法正確的有（

）A．若、兩人站在一起有種方法B．若、不相鄰共有種方法C．若在左邊有種排法D．若不站在最左邊，不站最右邊，有種方法三、填空題9．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）假定有一排蜂房，形狀如圖所示，一只蜜蜂在左下角，由于受了傷，只能爬行，假設(shè)只能向右（包括右上，右下）從一間蜂房爬到與之相鄰的蜂房中去，則從最初位置爬到號(hào)蜂房共有______．種方法．10．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）將大小相同的8個(gè)小球排成一排，其中4個(gè)紅球，4個(gè)黑球，從左至右依次編號(hào)為1，2，…，8，則紅球的編號(hào)之和小于黑球的編號(hào)之和的排法有______．種.11．（2024·25高二下·河北邯鄲·期末）已知小張、小王等6名同學(xué)需要到甲、乙、丙、丁4個(gè)單位去實(shí)習(xí)，要求每名同學(xué)只去一個(gè)單位實(shí)習(xí)，每個(gè)單位都有學(xué)生參加實(shí)習(xí)，則在小張去丁單位實(shí)習(xí)的前提下，小王不去丁單位實(shí)習(xí)的概率為______．.四、解答題12．（2024·25高二下·寧夏吳忠·期中）求值（用數(shù)字表示）15．（2025·26高二上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）（1）6名學(xué)生站成一排照相留念，其中男生4人，女生2人，2名女生必須相鄰而站，且女生不站兩端，有多少種不同的站法？（2）某傳統(tǒng)文化學(xué)習(xí)小組有10名同學(xué)，其中男生5名，女生5名，現(xiàn)要從中選取4人參加學(xué)校舉行的匯報(bào)展示活動(dòng)，男生甲與女生乙至少有1人參加，有多少種選法？（3）從0，2，4，6中任取2個(gè)數(shù)字，從1，3，5中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？能力提升進(jìn)階練能力提升進(jìn)階練

3．（2025·26高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）（多選）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項(xiàng)式系數(shù)表.數(shù)學(xué)愛好者對(duì)楊