第九章統(tǒng)計(jì)與成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（測(cè)試）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知一組數(shù)據(jù)：的平均數(shù)為6，則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（

）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【答案】C【解析】依題意，，解得，將數(shù)據(jù)從小到大排列可得：，又，則分位數(shù)為.故選：C.2．法國(guó)當(dāng)?shù)貢r(shí)間2024年7月26日晚，第三十三屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在巴黎舉行開(kāi)幕式.“奧林匹克之父”顧拜旦曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，奧運(yùn)會(huì)最重要的不是勝利，而是參與；對(duì)人生而言，重要的不是凱旋，而是拼搏.為弘揚(yáng)奧運(yùn)精神，某學(xué)校組織高一年級(jí)學(xué)生進(jìn)行奧運(yùn)專(zhuān)題的答題活動(dòng).為了調(diào)查男生和女生對(duì)奧運(yùn)會(huì)的關(guān)注程度，在高一年級(jí)隨機(jī)抽取10名男生和10名女生的競(jìng)賽成績(jī)（滿分100分），按從低到高的順序排列，得到下表中的樣本數(shù)據(jù)：男生82858687889090929496女生82848587878788889092則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．男生樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)是86B．男生樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)小于男生樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)C．女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變D．女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后所得數(shù)據(jù)的方差不變【答案】D【解析】對(duì)于A：，所以男生樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)是，故A正確；對(duì)于B：男生樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，男生樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，故B正確；對(duì)于C：女生樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故C正確；對(duì)于D：女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，但是極差變小，所以方差變小，故D錯(cuò)誤.故選：D3．已知一組數(shù)據(jù)丟失了其中一個(gè)，另外六個(gè)數(shù)據(jù)分別是8，8，8，10，11，16，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列，則丟失數(shù)據(jù)的所有可能值的和為（

）A．12 B．20 C．25 D．27【答案】D【解析】這個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)是，設(shè)丟失的數(shù)據(jù)是，則平均數(shù)為，若，則中位數(shù)是，則，解得.若，則中位數(shù)是，平均數(shù)，此時(shí)不成等差數(shù)列，不符合題意.若，則中位數(shù)是，則，解得.若，則中位數(shù)是，則，不成等差數(shù)列，不符合題意.若，則中位數(shù)是，則，解得.所以丟失數(shù)據(jù)的所有可能值的和為.故選：D4．“綠水青山就是金山銀山”的理念深入人心，人民群眾的生態(tài)環(huán)境獲得感、幸福感、安全感不斷提升.某校高一年級(jí)舉行環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，共500人參加，若參賽學(xué)生成績(jī)的第60百分位數(shù)是80分，則關(guān)于競(jìng)賽成績(jī)不小于80分的人數(shù)的說(shuō)法正確的是（

）A．至少為300人 B．至少為200人C．至多為300人 D．至多為200人【答案】D【解析】由題意，，因此競(jìng)賽成績(jī)不小于80分的人數(shù)至多有人，故選：D．5．為了解某校今年準(zhǔn)備報(bào)考飛行員的學(xué)生的體重情況，對(duì)所得的體重?cái)?shù)據(jù)（單位：）進(jìn)行分組，區(qū)間為，將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，……，第五組．畫(huà)出頻率分布直方圖（如圖所示），已知第一組，第二組和第三組的頻率之比為，且第一組的頻數(shù)為6，則報(bào)考飛行員的學(xué)生人數(shù)是（

）A．48 B．5 C．54 D．60【答案】A【解析】由題前三組頻率之和為，又第一組、第二組和第三組的頻率之比為，所以第一組的頻率為，又第一組的頻數(shù)為，所以報(bào)考飛行員的學(xué)生人數(shù)為人.故選：A.6．已知數(shù)據(jù)，…，（，）的平均數(shù)、中位數(shù)、方差均為4，則這組數(shù)據(jù)的極差為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】根據(jù)題意，不妨設(shè)，且，可得，由平均數(shù)為4，得，即；由方差為4，得，即；聯(lián)立，由可解得；根據(jù)極差定義可得這組數(shù)據(jù)的極差為.故選：D7．已知實(shí)數(shù)，則使和最小的實(shí)數(shù)分別為的（

）A．平均數(shù)；平均數(shù) B．平均數(shù)；中位數(shù)C．中位數(shù)；平均數(shù) D．標(biāo)準(zhǔn)差；平均數(shù)【答案】C【解析】，表示2025個(gè)絕對(duì)值之和，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義知，絕對(duì)值的和的最小值表示距離和的最小值，因?yàn)?025為奇數(shù)，所以取的中位數(shù)時(shí)，有最小值；為關(guān)于的一元二次函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，有最小值，即為的平均數(shù)時(shí)，有最小值.故選：C8．某校積極開(kāi)展“戲曲進(jìn)校園”活動(dòng)，為了解該校各班參加戲曲興趣小組的人數(shù)，從全校隨機(jī)抽取5個(gè)班級(jí)，把每個(gè)班級(jí)參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)．已知樣本平均數(shù)為7，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2，且樣本數(shù)據(jù)互不相等，則該樣本數(shù)據(jù)的極差為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】不妨設(shè)該五個(gè)班級(jí)的樣本數(shù)據(jù)分別為，且，則依題意有，化簡(jiǎn)得易知，又易知五個(gè)數(shù)據(jù)減7的平方數(shù)為整數(shù)，五個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不超過(guò)4，當(dāng)時(shí)，，由數(shù)據(jù)為整數(shù)且均不相同得不成立，當(dāng)時(shí)，，由數(shù)據(jù)為整數(shù)且均不相同得該四個(gè)平方數(shù)只能為，則，符合題意，此時(shí)極差為6；當(dāng)時(shí)，，由數(shù)據(jù)為整數(shù)且均不相同得不成立；綜上，五組數(shù)據(jù)的極差為6.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．某公司計(jì)劃組織秋游活動(dòng)，定制了一套文化衫，女職工需要不同尺碼文化衫的頻數(shù)如圖．根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．文化衫尺碼的眾數(shù)為187 B．文化衫尺碼的平均數(shù)為165C．文化衫尺碼的方差為28 D．文化衫尺碼的中位數(shù)為165【答案】BD【解析】由題圖知，眾數(shù)為165，故A錯(cuò)誤；總數(shù)為，平均數(shù)為，故B正確；方差為，故C錯(cuò)誤；中位數(shù)為165，故D正確．故選：BD10．已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為．若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則

（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】當(dāng)時(shí)，，A正確；當(dāng)時(shí)，取則m與n不一定相等，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，C正確；當(dāng)時(shí),，有，故即，所以，D正確．故選：ACD.11．北京時(shí)間2024年8月12日凌晨，第33屆法國(guó)巴黎奧運(yùn)會(huì)閉幕式正式舉行，中國(guó)體育代表團(tuán)以出色的表現(xiàn)再次證明了自己的實(shí)力，最終取得了40枚金牌、27枚銀牌和24枚銅牌的最佳境外參賽成績(jī)，也向世界展示了中國(guó)體育的蓬勃發(fā)展和運(yùn)動(dòng)員們頑強(qiáng)拼搏的精神.某校社團(tuán)為發(fā)揚(yáng)奧運(yùn)體育精神舉辦了競(jìng)技比賽，此比賽共有5名同學(xué)參加，賽后經(jīng)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得到該5名同學(xué)在此次比賽中所得成績(jī)的平均數(shù)為8，方差為4，比賽成績(jī)，且，則該5名同學(xué)中比賽成績(jī)的最高分可能為（

）A．13 B．12 C．11 D．10【答案】BC【解析】設(shè)該5名同學(xué)在此次比賽中所得成績(jī)分別為，，，，，由題得，則，且，則，不妨設(shè)最大，對(duì)于A選項(xiàng)，若，則不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，則滿足題意，例如5位同學(xué)的成績(jī)可為7，7，7，7，12，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，則滿足題意，例如5位同學(xué)的成績(jī)可為5，7，8，9，11，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則且，則，，則可得，該方程組無(wú)正整數(shù)解，故D錯(cuò)誤.故選：BC.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．現(xiàn)利用隨機(jī)數(shù)表發(fā)從編號(hào)為的20支水筆中隨機(jī)選取6支，選取方法是從下列隨機(jī)數(shù)表第1行的第9個(gè)數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第6支水筆的編號(hào)為．【答案】18【解析】依次選出的編號(hào)為：則選出來(lái)的第6支水筆的編號(hào)為18，故答案為：.13．某公司對(duì)來(lái)應(yīng)聘的人進(jìn)行筆試，統(tǒng)計(jì)出200名應(yīng)聘者的筆試成績(jī)，整理得到下表：組號(hào)123456成績(jī)分組累積頻率0.050.15a注：第n組的累積頻率指的是前n組的頻率之和．若公司計(jì)劃150人進(jìn)入面試，則估計(jì)參加面試的最低分?jǐn)?shù)線為．【答案】65【解析】由各組累積頻率為1得，，則．又由知，面試的最低分?jǐn)?shù)線為筆試成績(jī)從低到高排列的第25百分位數(shù)，由題表知，筆試成績(jī)分別在與的累積頻率分別為，故，解得，從而可估計(jì)參加面試的最低分?jǐn)?shù)線為65．故答案為：6514．已知一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則函數(shù)的最小值為．【答案】【解析】由，得，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以函數(shù)的最小值為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．（13分）為了了解某中學(xué)學(xué)生的身高情況，隨機(jī)對(duì)該校男生、女生的身高進(jìn)行抽樣調(diào)查，已知抽取的樣本中，男生、女生的人數(shù)相同，根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖表．組別身高（cm）ABCDE

根據(jù)圖表中信息，回答下列問(wèn)題：(1)在樣本中，男生身高的中位數(shù)落在________組（填組別序號(hào)），女生身高在B組的有________人；(2)在樣本中，身高在之間的共有________人，身高人數(shù)最多的在________組（填組別序號(hào)）；(3)已知該校共有男生500人，女生480人，請(qǐng)估計(jì)身高在之間的學(xué)生約有多少人？【解析】（1）∵在樣本中，共有男生（人），∴中位數(shù)是第20和第21人的平均數(shù)，∴男生身高的中位數(shù)落在D組，女生身高在B組的有（人）．（4分）（2）在樣本中，身高在之間的共有（人），身高人數(shù)最多的在C組．（3）由于（人），（9分）故估計(jì)身高在之間的學(xué)生約有541人．（13分）16．（15分）某公司為了了解顧客對(duì)其旗下產(chǎn)品的滿意程度，隨機(jī)抽取n名顧客進(jìn)行滿意度問(wèn)卷調(diào)查，按所得評(píng)分（滿分100分）從低到高將滿意度分為四個(gè)等級(jí)：調(diào)查評(píng)分40,5050,6060,7080,9090,100滿意度等級(jí)不滿意一般良好滿意并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．已知調(diào)查評(píng)分在的顧客為80人．(1)求n的值及頻率分布直方圖中t的值；(2)若某段時(shí)間有10000名顧客購(gòu)買(mǎi)該公司的產(chǎn)品，請(qǐng)估計(jì)這10000名顧客中對(duì)該公司產(chǎn)品滿意度達(dá)到“滿意”的人數(shù)；(3)該公司設(shè)定的預(yù)案是：以抽取的樣本作為參考，若顧客滿意度評(píng)分的均值低于80分，則需要對(duì)該公司旗下產(chǎn)品進(jìn)行調(diào)整，否則不需要調(diào)整、根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，判斷該公司是否需要對(duì)旗下產(chǎn)品進(jìn)行調(diào)整，并說(shuō)明理由．（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值代替）【解析】（1），，所以，；（5分）（2），估計(jì)的人數(shù)為人；（10分）（3）由頻率分布直方圖得，顧客滿意度評(píng)分的均值為：，由題意知不需要對(duì)該公司旗下產(chǎn)品進(jìn)行調(diào)整.（15分）17．（15分）為進(jìn)一步推動(dòng)防范電信網(wǎng)絡(luò)詐騙工作，預(yù)防和減少電信網(wǎng)絡(luò)詐騙案件的發(fā)生，某市開(kāi)展防騙知識(shí)大宣傳活動(dòng).舉辦了“網(wǎng)絡(luò)防騙”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(jī)（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：40,50，50,60，…，90,100得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求圖中的值，根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算樣本成績(jī)的平均數(shù)和下四分位數(shù)；(2)已知若總體劃分為2層，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，；，，，記總的樣本平均數(shù)為，樣本方差為.證明：；(3)已知落在50,60的平均成績(jī)是59，方差是7，落在60,70的平均成績(jī)?yōu)?5，方差是4，求兩組樣本成績(jī)的總平均數(shù)和總方差.【解析】（1）由題意可知，，解得：；平均數(shù)為，前2組的頻率和為，前3組的頻率和為，所以下四分位數(shù)在第3組，設(shè)為，則，得所以下四分位數(shù)為；（4分）（2），，，總體方差，又，，，因?yàn)?，，，同理，故，；?2分）（3）的頻率是，頻數(shù)是，的頻率是，頻數(shù)是所以總體平均數(shù)，總體方差.（15分）18．（17分）機(jī)器模型預(yù)測(cè)常常用于只有正確與錯(cuò)誤兩種結(jié)果的問(wèn)題.表1為根據(jù)模型預(yù)測(cè)結(jié)果與真實(shí)情況的差距的情形表格，定義真正例率，假正例率.概率閾值為自行設(shè)定的用于判別正(反)例的值，若分類(lèi)器(分類(lèi)模型)對(duì)該樣例的預(yù)測(cè)正例概率大于等于設(shè)定的概率閾值，則記分類(lèi)器預(yù)測(cè)為正例，反之預(yù)測(cè)為反例.總例預(yù)測(cè)結(jié)果正例反例真實(shí)情況正例真正例假反例反例假正例真反例表1分類(lèi)結(jié)果樣例劃分利用這些指標(biāo)繪制出的ROC曲線可衡量模型的評(píng)價(jià)效果：將各樣例的預(yù)測(cè)正例概率與從大到小排序并依次作為概率閾值，分別計(jì)算相應(yīng)概率閾值下的與.以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，得到標(biāo)記點(diǎn).依次連接各標(biāo)記點(diǎn)得到的折線就是ROC曲線.圖1為甲分類(lèi)器對(duì)于8個(gè)樣例的ROC曲線，表2為甲，乙分類(lèi)器對(duì)于相同8個(gè)樣例的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù).樣例數(shù)據(jù)甲分類(lèi)器乙分類(lèi)器樣例標(biāo)號(hào)樣例屬性預(yù)測(cè)正例概率預(yù)測(cè)正例概率1正例0.230.342正例0.580.533反例0.150.134反例0.620.395正例0.470.876反例0.470.537反例0.330.118正例0.770.63表2甲，乙分類(lèi)器對(duì)于相同8個(gè)樣例的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)

(1)當(dāng)概率閾值為0.47時(shí)，求甲分類(lèi)器的ROC曲線中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；(2)在圖2中繪制乙分類(lèi)器對(duì)應(yīng)的ROC曲線(無(wú)需說(shuō)明繪圖過(guò)程)，并直接寫(xiě)出甲，乙兩分類(lèi)器的ROC曲線與軸，直線所圍封閉圖形的面積；(3)按照上述思路，比較甲，乙兩分類(lèi)器的預(yù)測(cè)效果，并直接寫(xiě)出理想分類(lèi)器的ROC曲線與軸，直線所圍封閉圖形的面積為1的充要條件.【解析】（1）概率閾值為0.47時(shí)，真正例為，假反例為，假正例為，真反例為，則.所以橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，故當(dāng)概率閾值為0.47時(shí)，求甲分類(lèi)器的ROC曲線中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.（5分）（2）乙分類(lèi)器對(duì)應(yīng)的ROC曲線如下圖所示.由已知題意可得，甲、乙分類(lèi)器的ROC曲線都經(jīng)過(guò)，作如下圖所示的輔助線，每個(gè)小直角三角形的面積都等于，大直角三