第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布（測(cè)試）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知的分布列為：01P設(shè)則的值為（）A． B． C． D．52．拋擲一枚質(zhì)地均勻且各個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字的正方體玩具．設(shè)事件為“向上一面點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件為“向上一面點(diǎn)數(shù)為6的約數(shù)”，則等于（

）A． B． C． D．3．在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（

）A．180 B．270 C．360 D．5404．某商場(chǎng)舉辦購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，其中將抽到的各位數(shù)字之和為8的四位數(shù)稱(chēng)為“幸運(yùn)數(shù)”（如2024是“幸運(yùn)數(shù)”），并獲得一定的獎(jiǎng)品，則首位數(shù)字為2的“幸運(yùn)數(shù)”共有（

）A．32個(gè) B．28個(gè) C．27個(gè) D．24個(gè)5．已知，則（

）（注：若隨機(jī)變量，則）A．0.1587 B．0.8413 C．1 D．0.42066．如果隨機(jī)變量，且，則（

）A． B． C． D．7．小剛參與一種答題游戲，需要解答A，B，C三道題.已知他答對(duì)這三道題的概率分別為，，，且各題答對(duì)與否互不影響，若他恰好能答對(duì)兩道題的概率為，則他三道題都答錯(cuò)的概率為（

）A． B． C． D．8．如圖，從1開(kāi)始出發(fā)，一次移動(dòng)是指：從某一格開(kāi)始只能移動(dòng)到鄰近的一格，并且總是向右或向上或右下移動(dòng)，而一條移動(dòng)路線由若干次移動(dòng)構(gòu)成，如從1移動(dòng)到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一條移動(dòng)路線．從1移動(dòng)到數(shù)字的不同路線條數(shù)記為，從1移動(dòng)到11的事件中，跳過(guò)數(shù)字的概率記為，則下列結(jié)論正確的是（

）①，②，③，④．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．假設(shè)是兩個(gè)事件，且，，，則（

）A． B． C． D．10．第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行.現(xiàn)安排小明、小紅、小兵3名志愿者到甲、乙、丙、丁四個(gè)場(chǎng)館進(jìn)行服務(wù).每名志愿者只能選擇一個(gè)場(chǎng)館，且允許多人選擇同一個(gè)場(chǎng)館，下列說(shuō)法中正確的有（

）A．所有可能的方法有34種B．若場(chǎng)館甲必須有志愿者去，則不同的安排方法有37種C．若志愿者小明必須去場(chǎng)館甲，則不同的安排方法有16種D．若三名志愿者所選場(chǎng)館各不相同，則不同的安排方法有24種11．端午將至，超市特推出“粽情一夏，情濃端午”為主題的甲乙兩款端午粽子禮盒，但是由于工作人員分裝時(shí)的疏忽，禮盒內(nèi)的粽子發(fā)生了錯(cuò)亂，此時(shí)甲款禮盒內(nèi)已有一個(gè)肉粽，乙款禮盒內(nèi)有三個(gè)肉粽和三個(gè)甜粽，現(xiàn)從乙款禮盒內(nèi)隨機(jī)取出個(gè)粽子，其中含個(gè)肉粽，放入甲款禮盒后，再?gòu)募卓疃Y盒內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)粽子，記取到肉粽的個(gè)數(shù)為，其中，下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布 B．隨著的增大，減少，增加C．當(dāng)時(shí)，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布 D．隨著的增大，增加，減小第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為4，則．13．某市為了傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進(jìn)行了一次文化知識(shí)答題競(jìng)賽.已知某同學(xué)答對(duì)每道題的概率均為，且每次答題相互獨(dú)立，若該同學(xué)連續(xù)作答20道試題后結(jié)束比賽，記該同學(xué)答對(duì)道試題的概率為，則當(dāng)時(shí)，取得最大值.14．高三開(kāi)學(xué)，學(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)，女子啦啦隊(duì)排成一排坐在跑道外側(cè).因烈日暴曬，每個(gè)班的啦啦隊(duì)兩側(cè)已經(jīng)擺好了兩個(gè)遮陽(yáng)傘，但每個(gè)遮陽(yáng)傘的蔭蔽半徑僅為一名同學(xué)，為了效益最佳，遮陽(yáng)傘的擺放遵循傘與傘之間至少要有一名同學(xué)的規(guī)則.高三(一)班共有七名女生現(xiàn)在正坐成一排，因兩邊的遮陽(yáng)傘蔭蔽范圍太小，現(xiàn)在考慮在她們中間添置三個(gè)遮陽(yáng)傘.則添置遮陽(yáng)傘后，曬黑女生人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．（13分）某品牌汽車(chē)4S店搞活動(dòng)，消費(fèi)者對(duì)"圈圈套西瓜"活動(dòng)的參與度較高.該活動(dòng)的游戲規(guī)則如下：參加活動(dòng)的每位消費(fèi)者可領(lǐng)3個(gè)圈圈且均需用完，1個(gè)圈圈只能套一次西瓜，每次套中西瓜與否相互獨(dú)立，套中的西瓜可被消費(fèi)者帶走.已知甲每次套中西瓜的概率為，乙每次套中西瓜的概率為.(1)求甲恰好套中1個(gè)西瓜的概率；(2)若甲、乙均套完第一次，記此時(shí)甲、乙兩人套中西瓜的個(gè)數(shù)之和為，求隨機(jī)變量的分布列與期望.16．（15分）某次文化藝術(shù)展，以體現(xiàn)了中華文化的外圓內(nèi)方經(jīng)典的古錢(qián)幣造型作為該活動(dòng)的舉辦標(biāo)志，舉辦方計(jì)劃在入口處設(shè)立一個(gè)如下圖所示的造型.現(xiàn)擬在圖中五個(gè)不同的區(qū)域栽種花卉，要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域的花卉品種不一樣.現(xiàn)有木繡球、玫瑰、廣玉蘭、錦帶花、石竹等5各不同的品種.(1)（i）共有多少種不同的栽種方法；（ⅱ）記“在③和⑤區(qū)域栽種不同的花卉”為事件A，“完成該標(biāo)志花卉的栽種共用了4種不同的花卉”為事件，求；(2)設(shè)完成該標(biāo)志的栽種所用的花卉品種數(shù)為，求的概率分布及期望.17．（15分）足球比賽積分規(guī)則為：球隊(duì)勝一場(chǎng)積分，平一場(chǎng)積分，負(fù)一場(chǎng)積分．常州龍城足球隊(duì)年月將迎來(lái)主場(chǎng)與隊(duì)和客場(chǎng)與隊(duì)的兩場(chǎng)比賽．根據(jù)前期比賽成績(jī)，常州龍城隊(duì)主場(chǎng)與隊(duì)比賽：勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為；客場(chǎng)與隊(duì)比賽：勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為，且兩場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求常州龍城隊(duì)月主場(chǎng)與隊(duì)比賽獲得積分超過(guò)客場(chǎng)與隊(duì)比賽獲得積分的概率；(2)用表示常州龍城隊(duì)月與隊(duì)和隊(duì)比賽獲得積分之和，求的分布列與期望．18．（17分）某企業(yè)對(duì)某品牌芯片開(kāi)發(fā)了一條生產(chǎn)線進(jìn)行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級(jí)劃分為五個(gè)層級(jí)，分別對(duì)應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：.根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，得到芯片的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量指標(biāo)值不小于80的產(chǎn)品稱(chēng)為等品，其它產(chǎn)品稱(chēng)為等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件作為樣本，統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，該芯片質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為11，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計(jì)該芯片為等品的概率(保留小數(shù)點(diǎn)后面兩位有效數(shù)字)；(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表；②參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.)(2)（i）從樣本的質(zhì)量指標(biāo)值在和[85，95]的芯片中隨機(jī)抽取3件，記其中質(zhì)量指標(biāo)值在[85，95]的芯片件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ii）該企業(yè)為節(jié)省檢測(cè)成本，采用隨機(jī)混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知一件等品芯片的利潤(rùn)是元，一件等品芯片的利潤(rùn)是元，根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，試求的值，使得每箱產(chǎn)品的利潤(rùn)最大.19．（17分）設(shè)離散型隨機(jī)變量X，Y的取值分別為，．定義X關(guān)于事件“”的條件數(shù)學(xué)期望為：．已知條件數(shù)學(xué)期望滿足全期望公式：．解決如下問(wèn)題：為了研究某藥物對(duì)于微生物A生存狀況的影響，某實(shí)驗(yàn)室計(jì)劃進(jìn)行生物實(shí)驗(yàn)．在第1天上午，實(shí)驗(yàn)人員向培養(yǎng)皿中加入10個(gè)A的個(gè)體．從第1天