專題6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（重難點題型精講）1．分類加法計數(shù)原理(1)分類加法計數(shù)原理的概念完成一件事直兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，，在第n類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有N=+++種不同的方法.

(2)分類加法計數(shù)原理的特點

分類加法計數(shù)原理又稱分類計數(shù)原理或加法原理，其特點是各類中的每一種方法都可以完成要做的事情，我們可以用第一類有種方法，第二類有???????種方法，，第n類有??????????????種方法，來表示分類加法計數(shù)原理，即強調每一類中的任一種方法都可以完成要做的事，因此一共有+++種不同方法可以完成這件事.(3)分類的原則

分類計數(shù)時，首先要根據(jù)問題的特點，確定一個適當?shù)姆诸悩藴?，然后利用這個分類標準進行分類，分類時要注意兩個基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應的類；二是不同類的任意兩種方法必須是不同的方法，只要滿足這兩個基本原則，就可以確保計數(shù)時不重不漏.2．分步乘法計數(shù)原理(1)分步乘法計數(shù)原理的概念

???????完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事需要n個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有N=×××種不同的方法.

(2)分步乘法計數(shù)原理的特點

分步乘法計數(shù)原理的特點是在所有的各步之中，每一步都要使用一種方法才能完成要做的事，可以利用圖形來表示分步乘法計數(shù)原理，圖中的“”強調要依次完成各個步驟才能完成要做的事情，從而共有×××種不同的方法可以完成這件事.

(3)分步的原則

①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎樣才能完成這件事，也就是說，弄清要經(jīng)過哪幾步才能完成這件事；

②完成這件事需要分成若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件事就不可能完成；不能缺少步驟.

③根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這n個步驟逐步去做，才能完成這件事，各個步驟既不能重復也不能遺漏.3．分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的辨析(1)聯(lián)系

分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理解決的都是有關完成一件事的不同方法的種數(shù)問題.

(2)區(qū)別

分類加法計數(shù)原理每次得到的都是最后結果，而分步乘法計數(shù)原理每步得到的都是中間結果，具體區(qū)別如下表：(3)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的合理選擇在解決有關計數(shù)問題時，應注意合理分類，準確分步，同時還要注意列舉法、模型法、間接法和轉換法的應用.【題型1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的辨析】【方法點撥】根據(jù)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的概念，進行判斷，即可得解.【例1】判斷正誤（1）在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事．(錯誤)（2）在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．(正確)【解題思路】利用分步乘法計數(shù)原理的定義，判斷即可．【解答過程】（1）在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟是不能完成這件事的，故錯誤；（2）在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的，故正確.【變式1-1】在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．錯（判斷對錯）【解題思路】利用分類加法計數(shù)原理的定義判斷即可．【解答過程】解：分類加法計數(shù)原理：完成一件事有n類不同方案：在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，…，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m1+m2+…+mn種不同的方法．所以在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法不相同．故答案為：錯．【變式1-2】判斷正誤（1）在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事．(正確)（2）在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．(錯誤)【解題思路】利用分類加法計數(shù)原理的定義判斷即可．【解答過程】（1）在分類加法計數(shù)原理中，是把能完成這件事的所有方法按某一標準分類的，故每類方案中的每種方法都能完成這件事，故正確；（2）在分類加法計數(shù)原理中，是把能完成這件事的所有方法按某一標準分類的，所以兩類不同方案中的方法不可以相同，故錯誤.【變式1-3】判斷下列各事件哪些是運用分類計數(shù)原理計數(shù)（1）（3）．（1）一個三層書架的上層放有5本不同的數(shù)學書，中層放有3本不同的語文書，下層放有2本不同的英語書，從書架上任取一本書，有多少種不同的取法？（2）一個三層書架的上層放有5本不同的數(shù)學書，中層放有3本不同的語文書，下層放，有2本不同的英語書；從書架上任取三本書，其中數(shù)學書，語文書，英語書各一本，有多少種不同的取法？（3）從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船，假定火車每日1班，汽車每日3班，輪船每日2班，那么一天中從甲地到乙地有多少種不同的走法？【解題思路】直接利用分類計數(shù)原理，即可得出結論．【解答過程】解：分類計數(shù)原理：完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法…，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m1+m2+…+mn種不同的方法．（1）完成從書架上任取一本書，每取一本，都能完成這件事，故運用分類計數(shù)原理計數(shù)；（2）從書架上任取三本書，其中數(shù)學書，語文書，英語書各一本，完成這件事需要3步，故運用分步計數(shù)原理計數(shù)；（3）完成地到乙地，有3類辦法，每一類中辦法都能完成這件事，故運用分類計數(shù)原理計數(shù)．故答案為：（1）（3）．【題型2分類加法計數(shù)原理的應用】【方法點撥】應用分類加法計數(shù)原理解題的一般思路：一、分類：將完成一件事的方法分成若干類；二、分步：求出每一類中的方法數(shù)；三、結論：將每一類的方法數(shù)相加，得出結果.【例2】某學校開設4門球類運動課程、5門田徑類運動課程和2門水上運動課程供學生學習，某位學生任選1門課程學習，則不同的選法共有（

）A．40種 B．20種 C．15種 D．11種【解題思路】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，即可得到答案.【解答過程】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同的選法共有4+5+2=11種．故選：D.【變式2-1】某日，甲、乙、丙三個單位被系統(tǒng)隨機預約到A，B，C三家醫(yī)院接種疫苗且每個單位只能被隨機預約到一家醫(yī)院，每家醫(yī)院每日至多接待兩個單位．已知A醫(yī)院接種的是只需要打一針的腺病毒載體疫苗，B醫(yī)院接種的是需要打兩針的滅活疫苗，C醫(yī)院接種的是需要打三針的重組蛋白疫苗，則甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的預約方案種數(shù)為（

）A．27 B．24 C．18 D．16【解題思路】根據(jù)題意，甲不可預約C醫(yī)院，則甲可預約A，B兩家醫(yī)院，分若甲預約A醫(yī)院，乙預約A醫(yī)院；若甲預約A醫(yī)院，乙預約B或C醫(yī)院；③若甲預約B醫(yī)院，乙預約A或C醫(yī)院；若甲預約B醫(yī)院，乙預約B醫(yī)院，四種情況，即可求解.【解答過程】由題意，甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗，即甲不可預約C醫(yī)院，則甲可預約A，B兩家醫(yī)院，①若甲預約A醫(yī)院，乙預約A醫(yī)院，則丙可預約B，C醫(yī)院，共2種情況；②若甲預約A醫(yī)院，乙預約B或C醫(yī)院，則丙可預約A，B，C醫(yī)院，共2×3＝6種情況；③若甲預約B醫(yī)院，乙預約A或C醫(yī)院，則丙可預約A，B，C醫(yī)院，共2×3＝6種情況；④若甲預約B醫(yī)院，乙預約B醫(yī)院，則丙可預約A，C醫(yī)院，共2種情況，所以甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的預約方案種數(shù)為2+6+6+2=16種．故選：D．【變式2-2】如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為a1，a2，…，a12．設1≤i<j<k≤12，若k?j=3且j?i=4，則稱ai，aj，ak為大三和弦；若k?j=4且j?i=3，則稱ai，aA．5 B．8 C．10 D．15【解題思路】由大三和弦滿k?j=3，j?i=4，列舉出i和j的取值；小三和弦滿足k?j=4，j?i=3，列舉出i和j的取值；進而可得答案．【解答過程】根據(jù)題意可知，大三和弦滿k?j=3，j?i=4，所以有5種情況，即i=1，j=5，k=8；i=2，j=6，k=9；i=3，j=7，k=10；i=4，j=8，k=11；i=5，j=9，k=12．小三和弦滿足k?j=4，j?i=3，所以有5種情況，即i=1，j=4，k=8；i=2，j=5，k=9；i=3，j=6，k=10；i=4，j=7，k=11；i=5，j=8，k=12．故大三和弦與小三和弦個數(shù)之和為5+5=10，故選:C．【變式2-3】從數(shù)字1，2，3，4中取出3個數(shù)字（允許重復），組成三位數(shù)，各位數(shù)字之和等于6，則這樣的三位數(shù)的個數(shù)為（

）A．7 B．9 C．10 D．13【解題思路】根據(jù)各位數(shù)字之和等于6的所有可能情況，①1，1，4，②1，2，3，③2，2，2三種情況分別討論求和即可【解答過程】其中各位數(shù)字之和等于6的三位數(shù)可分為以下情形：①由1，1，4三個數(shù)字組成的三位數(shù)：114，141，411共3個；②由1，2，3三個數(shù)字組成的三位數(shù)：123，132，213，231，312，321共6個；③由2，2，2三個數(shù)字可以組成1個三位數(shù)，即222．∴共有3+6+1=10個，故選：C．【題型3分步乘法計數(shù)原理的應用】【方法點撥】應用分布乘法計數(shù)原理解題的一般思路：一、分步：將完成一件事的過程分成若干步；二、計數(shù)：求出每一步中的方法數(shù)；三、結論：將每一步中的方法數(shù)相乘，得出結果.【例3】某省新高考采用“3+1+2”模式：“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學、外語，所有學生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史科目中選擇1個科目；“2”為再選科目，考生可在思想政治、地理、化學、生物4個科目中選擇2個科目．已知小明同學必選化學，那么他可選擇的方案共有（

）A．4種 B．6種 C．8種 D．12種【解題思路】應用分步乘法求小明選擇方案的方法數(shù).【解答過程】根據(jù)題意，分2步進行分析：①小明必選化學，則須在思想政治、地理、生物中再選出1個科目，選法有3種；②小明在物理、歷史科目中選出1個，選法有2種．由分步乘法計數(shù)原理知，小明可選擇的方案共有3×2=6（種）．故選：B.【變式3-1】如圖，要給①、②、③、④四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，則不同的涂色方案種數(shù)為（

）．A．180 B．160 C．96 D．60【解題思路】按照①→②→③→④的順序，結合乘法計數(shù)原理即可得到結果.【解答過程】首先對①進行涂色，有5種方法，然后對②進行涂色，有4種方法，然后對③進行涂色，有3種方法，然后對④進行涂色，有3種方法，由乘法計數(shù)原理可得涂色方法種數(shù)為5×4×3×3=180種，故選:A.【變式3-2】如圖所示，用不同的五種顏色分別為A，B，C，D，E五部分著色，相鄰部分不能用同一種顏色，但同一種顏色可以反復使用，也可不使用，則復合這些要求的不同著色的方法共有（

）ABCDEA．500種 B．520種 C．540種 D．560種【解題思路】由于規(guī)定一個區(qū)域只·涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可分步進行，區(qū)域A有5種涂法，B區(qū)有4種涂法，C區(qū)有3種，D區(qū)有3種，E區(qū)有3種，根據(jù)乘法原理即可.【解答過程】先涂A，則A有5種涂法，再涂B，因為B與A相鄰，所以B的顏色只要與A不同即可，有4種涂法，同理C有3種涂法，D有3種涂法，E有3種涂法，由分步乘法計數(shù)原理可知，復合這些要求的不同著色的方法共有為5×4×3×3×3＝540，故選：C.【變式3-3】洛書，古稱龜書，是陰陽五行術數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上有此圖象，如圖，結構是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四隅黑點為陰數(shù)（圖中白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù)）.現(xiàn)利用陰數(shù)和陽數(shù)構成一個四位數(shù)，規(guī)則如下：（從左往右數(shù)）第一位數(shù)是陽數(shù)，第二位數(shù)是陰數(shù)，第三位數(shù)和第四位數(shù)一陰一陽和為7，則這樣的四位數(shù)的個數(shù)有（

）A．120 B．90 C．48 D．12【解題思路】根據(jù)已知條件得出陽數(shù)和陰數(shù)，結合列舉法及分步乘法計數(shù)原理即可求解.【解答過程】根據(jù)題意，陽數(shù)為1，3，5，7，9，陰數(shù)為2，4，6，8，第一位數(shù)的選擇有5種，第二位數(shù)的選擇有4種，第三位數(shù)和第四位數(shù)的組合可以為(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)共6種選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，這樣的四位數(shù)共有5×4×6=120（個）.故選:A.【題型4兩個原理的綜合應用】【方法點撥】(1)“類中有步”計數(shù)問題：完成一件事有幾類方案，每一類方案中分若干步，利用分步乘法計數(shù)原理求出每一類方案中的方法數(shù)，再利用分類加法計數(shù)原理把各類方案的方法數(shù)相加，即可得出結果.(2)“步中有類”計數(shù)問題：完成一件事的過程分成若干步，完成每一步的方法分成若干類，利用分類加法計數(shù)原理求出完成每一步中的方法數(shù)，再利用分步乘法計數(shù)原理把每一步的方法數(shù)相乘，即可得出結果.【例4】某校高二年級舉行健康杯籃球賽，共20個班級，其中1、3、4班組成聯(lián)盟隊，2、5、6班組成聯(lián)盟隊，一共有16支籃球隊伍，先分成4個小組進行循環(huán)賽，決出8強（每隊與本組其他隊賽一場），即每個組取前兩名（按獲勝場次排名，如果獲勝場次相同的就按凈勝分排名）；然后晉級的8支隊伍按照確定的程序進行淘汰賽，淘汰賽第一輪先決出4強，晉級的4支隊伍要決出冠亞軍和第三、四名，同時后面的4支隊伍要決出第五至八名，則總共要進行籃球賽的場次為（

）A．32 B．34 C．36 D．38【解題思路】利用分類加法原理以及分步乘法原理，可得答案.【解答過程】在循環(huán)賽階段，4個小組，每個小組由4支球隊組成，每個球隊都要進行三場比賽，故每組要進行3×4÷2=6場，4組要進行4×6=24場；在淘汰賽階段，第一輪：8支球隊，2支一場，則共進行8÷2=4；第二輪：8支球隊，2支一場，共進行8÷2=4場，此時決出分別爭奪冠亞軍、第三四名、第五六名、第七八名的球隊，再分別進行4場，決出冠軍、亞軍、第三名、第四名、第五名、第六名、第七名、第八名.綜上，可得共進行24+4+4+4=36場.故選：C.【變式4-1】某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分，如圖所示．現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有（

）．A．80種 B．120種 C．160種 D．240種【解題思路】由題意，按照一定順序，由1,2,3,5的順序，在5號區(qū)域的選擇上進行分情況，根據(jù)分類加法原理和分步乘法原理，可得答案.【解答過程】第一步，對1號區(qū)域，栽種有4種選擇；第二步，對2號區(qū)域，栽種有3種選擇；第三步，對3號區(qū)域，栽種有2種選擇；第四步，對5號區(qū)域，栽種分為三種情況，①5號與2號栽種相同，則4號栽種僅有1種選擇，6號栽種有2中選擇，②5號與3號栽種相同，情況同上，③5號與2、3號栽種都不同，則4、6號只有1種；綜上所述，4×3×2×1×2×2+1×1故選：B.【變式4-2】已知集合M=1,?2,3，N=?4,5,6,?7，若從這兩個集合中各取一個元素作為點的橫坐標或縱坐標，則可得平面直角坐標系中第一、二象限內不同點的個數(shù)是（A．18 B．16 C．14 D．10【解題思路】分M中的元素作點的橫坐標，N中的元素作點的縱坐標和N中的元素作點的橫坐標，M中的元素作點的縱坐標兩類討論求解.【解答過程】分兩類情況討論：第一類，從M中取的元素作為橫坐標，從N中取的元素作為縱坐標，則第一、二象限內的點共有3×2=6（個）；第二類，從M中取的元素作為縱坐標，從N中取的元素作為橫坐標，則第一、二象限內的點共有2×4=8（個），由分類加法計數(shù)原理，所以所求個數(shù)為6+8=14．故選：C.【變式4-3】給四面體ABCD的六條棱涂色，每條棱可涂紅、黃、藍、綠四種顏色中的任意一種，且任意共頂點的兩條棱顏色都不相同，則不同的涂色方法種數(shù)為（

）A．24 B．72 C．96 D．144【解題思路】可按分步原理求解本題，第一步涂DA有四種方法，第二步涂DB有三種方法，第三步涂DC有二種涂法，第四步涂AB時分兩類，若AB與CD同色與不同色，即可得出涂法總數(shù)選出正確答案．【解答過程】由題意，第一步涂DA有四種方法，第二步涂DB有三種方法，第三步涂DC有二種涂法，第四步涂AB，若AB與DC同，則一種涂法，第五步可分兩種情況，若BC與AD同色，最后一步涂AC有2種涂法，若第四步涂AB，AB與CD不同，則AB涂第四種顏色，此時BC，AC各有一種涂法綜上，總的涂法種數(shù)是4×3×2×[1×(1×1+1×1)+1×1×2]=96．故選：C．專題6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（重難點題型檢測）一．單選題1．“完成一件事需要分成n個步驟，各個步驟分別有m1,mA．加法原理 B．減法原理 C．乘法原理 D．除法原理【解題思路】根據(jù)分步計數(shù)原理的概念即得.【解答過程】根據(jù)分步計數(shù)原理的概念可知，解決“完成一件事需要分成n個步驟，各個步驟分別有m1應用的是乘法原理.故選：C.2．甲、乙、丙三個同學報名參加學校運動會中設立的跳高、鉛球、跳遠、100米比賽，每人限報一項，共有多少種不同的報名方法（

）A．12 B．24 C．64 D．81【解題思路】根據(jù)題意，可知三個同學中每人有4種報名方法，由分步計數(shù)原理即可得到.【解答過程】甲、乙、丙三個同學報名參加學校運動會中設立的跳高、鉛球、跳遠、100米比賽，每人限報一項,每人有4種報名方法，根據(jù)分步計數(shù)原理，可知共有4×4×4=64種不同的報名方法.故選：C.3．若一個m、n均為非負整數(shù)的有序數(shù)對m,n，在做m+n的加法時，各位均不進位，則稱m,n為“簡單的有序實數(shù)對”，m+n稱為有序實數(shù)對m,n之值，則值為2004的“簡單的有序實數(shù)對”的個數(shù)是（

）．A．10 B．15 C．20 D．25【解題思路】根據(jù)定義，列舉出所有的情況，即可求解.【解答過程】因為在做m+n的加法時，各位均不進位則稱m,n為“簡單的有序實數(shù)”，m+n稱為有序實數(shù)對m,n之值，其中m、n均為非負整數(shù)，所以值為2004的“簡單的有序實數(shù)對”可能為(0，2004)，(1，2003)，(2，2002)，(3，2001)，(4，2000)；(2004，0)，(2003，1)，(2002，2)，(2001，3)，(2000，4)；(1000，1004)，(1001，1003)，(1002，1002)；(1003，1001)，(1004，1000)共15種.故選：B.4．中國古代十進制的算籌計數(shù)法，在數(shù)學史上是一個偉大的創(chuàng)造，算籌實際上是一根根同長短的小木棍．如圖，是利用算籌表示1?9的一種方法．則據(jù)此，3可表示為“”，26可表示為“”，現(xiàn)有6根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則可以用1?9這9數(shù)字表示的兩位數(shù)的個數(shù)為（

）A．9 B．12 C．15 D．16【解題思路】6根算籌可分為1、5，2、4，3、3，再根據(jù)圖示寫出可能的組合，即可得出答案．【解答過程】解：根據(jù)題意，現(xiàn)有6根算籌，可以表示的數(shù)字組合為1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；數(shù)字組合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每組可以表示2個兩位數(shù)，則可以表示2×7=14個兩位數(shù)；數(shù)字組合3、3，7、7，每組可以表示1個兩位數(shù)，則可以表示2×1=2個兩位數(shù)；則一共可以表示14+2=16個兩位數(shù).故選D．5．用4種不同顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，不同的涂色方法共有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種【解題思路】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理逐一按①②③和④涂色，即可求解.【解答過程】對于①②③，兩兩相鄰，依次用不同顏色涂，共有4×3×2=24種涂色方法，對于④，與②③相鄰，但與①相隔，此時可用剩下的一種顏色或者與①同色，共2種涂色方法，則由分步乘法計數(shù)原理得故選:C.6．四色定理又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學難題之一．它是于1852年由畢業(yè)于倫敦大學的格斯里提出來的，其內容是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色”．某校數(shù)學興趣小組在研究給四棱錐P?ABCD的各個面涂顏色時，提出如下的“四色問題”：要求相鄰面（含公共棱的面）不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的涂法有（

）A．36種 B．72種 C．48種 D．24種【解題思路】利用分步乘法原理和分類加法原理分析求解.【解答過程】依次涂色，底面ABCD的涂色有4種選擇，側面PAB的涂色有3種選擇，側面PBC的涂色有2種選擇．①若側面PCD與側面PAB所涂顏色相同，則側面PAD的涂色有2種選擇；②若側面PCD與側面PAB所涂顏色不同，則側面PCD的涂色有1種選擇，側面PAD的涂色有1種選擇．綜上，不同的涂法種數(shù)為4×3×2×1×2+1×1故選：B．7．甲、乙、丙共3人參加三項知識競賽，每項知識競賽第一名到第三名的分數(shù)依次為10，5，3.競賽全部結束后，甲獲得其中兩項的第一名及總分第一名，則下列說法錯誤的是（

）A．第二名、第三名的總分之和為29分或31分B．第二名的總分可能超過18分C．第三名的總分共有3種情形D．第三名不可能獲得其中任何一場比賽的第一名【解題思路】根據(jù)給定條件按甲的得分情況分類，再求出第二名、第三名的得分即可判斷作答.【解答過程】依題意，甲的得分情況有兩種：10，10，5和10，10，3，顯然3人的總得分為54分，甲得分為10，10，5時，第二名、第三名的總分之和為29分，甲得分為10，10，3時，第二名、第三名的總分之和為31分，A正確；甲得分為10，10，5時，第二名得分有三種情況：5，5，10；5，3，10；3，3，10，總分分別為20分，18分，16分，第三名得分對應有三種情況：3，3，3；3，5，3；5，5，3，總分分別為9分，11分，13分，甲得分為10，10，3時，第二名得分有三種情況：5，5，10；5，3，10；3，3，10，總分分別為20分，18分，16分，第三名得分對應有三種情況：3，3，5；3，5，5；5，5，5，總分分別為11分，13分，15分，選項B，D正確，第三名總分有4種情況，C不正確.故選：C.8．幾只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝A，B，C；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝D，E，F(xiàn)；（3）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝G，A，C；（4）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝B，D，H；（5）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝I，C，E,則這九棵樹枝從高到低不同的順序共有（

）A．23 B．24 C．32 D．33【解題思路】先判斷出G,A,B，按順序排在前四個位置中的三個位置，C>E>F，D>E>F，且E,F一定排在后四個位置，然后分I排在前四個位置中的一個位置與I不排在前四個位置中的一個位置兩種情況討論，利用分類計數(shù)加法原理可得結果.【解答過程】不妨設A,B,C,D,E,F,G,H,I代表樹枝的高度，五根樹枝從上至下共九個位置，根據(jù)甲依次撞擊到樹枝A,B,C；乙依次撞擊到樹枝D,E,F；丙依次撞擊到樹枝G,A,C；丁依次撞擊到樹枝B,D,H；戊依次撞擊到樹枝I,C,E可得G>A>B，在前四個位置，C>E>F，D>E>F，且E,F一定排在后四個位置，（1）若I排在前四個位置中的一個位置，前四個位置有4種排法，若第五個位置排C,則第六個位置一定排D，后三個位置共有3種排法，若第五個位置排D，則后四個位置共有4種排法，所以I排在前四個位置中的一個位置時，共有4×(3+4)=28種排法；（2）若I不排在前四個位置中的一個位置，則G,A,B,D按順序排在前四個位置，由于I>C>E>F，所以后五個位置的排法就是H的不同排法，共5種排法，即若I不排在前四個位置中的一個位置共有5種排法，由分類計數(shù)原理可得，這9根樹枝從高到低不同的次序有28+5=33種.故選：D.二．多選題9．如圖，標注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內可以通過的最大信息量，現(xiàn)從結點A向結點B傳遞消息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，小圓圈表示網(wǎng)絡的結點，結點之間的連線表示他們有網(wǎng)線相連，則單位時間內傳遞的信息量可以為（

）A．18 B．19 C．24 D．26【解題思路】先求出每一條線路單位時間內傳遞的最大信息量，再由分類加法原理求解即可【解答過程】第一條線路單位時間內傳遞的最大信息量為3；第二條線路單位時間內傳遞的最大信息量為4；第三條線路單位時間內傳遞的最大信息量為6；第四條線路單位時間內傳遞的最大信息量為6．因此該段網(wǎng)線單位時間內可以通過的最大信息量為3+4+6+6=19，故選：AB.10．已知數(shù)字0,1,2,3,4，由它們組成四位數(shù)，下列說法正確的有（

）A．組成可以有重復數(shù)字的四位數(shù)有500個B．組成無重復數(shù)字的四位數(shù)有96個C．組成無重復數(shù)字的四位偶數(shù)有66個D．組成無重復數(shù)字的四位奇數(shù)有28個【解題思路】根據(jù)題意，由分類分步計數(shù)原理依次分析各選項，即可得答案.【解答過程】解：對A：四位數(shù)的首位不能為0，有4種情況，其他數(shù)位有5種情況，則組成可以有重復數(shù)字的四位數(shù)有4×5×5×5=500個，故選項A正確；對B：四位數(shù)的首位不能為0，有4種情況，在剩下的4個數(shù)字中任選3個，排在后面3個數(shù)位，有4×3×2=24種情況，則組成無重復數(shù)字的四位數(shù)有4×24=96個，故選項B正確；對C：若0在個位，有4×3×2=24個四位偶數(shù)，若0不在個位，有3×3×2×2=36個四位偶數(shù)，則組成無重復數(shù)字的四位偶數(shù)共有24+36=60個四位偶數(shù)，故選項C錯誤；對D：組成無重復數(shù)字的四位奇數(shù)有3×3×2×2=36個，故選項D錯誤；故選：AB.11．現(xiàn)有不同的紅球4個，黃球5個，綠球6個，則下列說法正確的是（

）A．從中選出2個球，正好一紅一黃，有9種不同的選法B．若每種顏色選出1個球，有120種不同的選法C．若要選出不同顏色的2個球，有31種不同的選法D．若要不放回地依次選出2個球，有210種不同的選法【解題思路】根據(jù)分步與分類計數(shù)原理逐個求解即可【解答過程】對A，從中選出2個球，正好一紅一黃，有4×5=20種不同的選法，所以該選項錯誤：對B，若每種顏色選出1個球，有4×5×6=120種不同的選法，所以該選項正確；對C，若要選出不同顏色的2個球，有4×5+5×6+4×6=74種不同的選法，所以該選項錯誤；對D，若要不放回地依次選出2個球，有15×14=210種不同的選法，所以該選項正確.故選：BD.12．甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝A，B，C；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝D，E，F(xiàn)；（3）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝G，A，C；（4）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝B，D，H；（5）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝I，C，E，則下列結論正確的是（

）A．最高處的樹枝為G，I中的一個B．最低處的樹枝一定是FC．這九根樹枝從高到低不同的順序共有33種D．這九根樹枝從高到低不同的順序共有32種【解題思路】由題判斷出部分樹枝由高到低的順序為GABCEF，還剩下D，H，I，且樹枝I比C高，樹枝D在樹枝B，E之間，樹枝H比D低，根據(jù)I的位置不同分類討論，求得這九根樹枝從高到低不同的順序共33種.【解答過程】由題判斷出部分樹枝由高到低的順序為GABCEF，還剩下D，H，I，且樹枝I比C高，樹枝D在樹枝B，E之間，樹枝H比D低，最高可能為G或I，最低為F或H，故A選項正確，B錯誤；先看樹枝I，有4種可能，若I在B，C之間，則D有3種可能：①D在B，I之間，H有5種可能；②D在I，C之間，H有4種可能；③D在C，E之間，H有3種可能，此時樹枝的高低順序有5+4+3=12（種），若I不在B，C之間，則I有3種可能，D有2中可能，若D在B，C之間，則H有3種可能，若D在C，E之間，則H有三種可能，此時樹枝的高低順序有3×(4+3)=21（種）可能，故這九根樹枝從高到低不同的順序共有12+21=故選：AC.三．填空題13．甲、乙、丙、丁四人準備到A、B、C、D四座城市旅游，每人只到其中一座城市旅游．若A、B、C三座城市為低風險城市，D為中風險城市，且規(guī)定疫苗接種未成功的人不能到中高風險城市，接種成功的人不受限制，已知這四人中只有丁疫苗接種還未成功，則這四人到這四座城市旅游共有192種安排方法．【解題思路】丁不能去D城市，甲乙丙三人不受限制，進而由分步計數(shù)原理可得結果.【解答過程】丁疫苗接種還未成功，即丁不能去D城市，甲乙丙三人不受限制，則共有3×4×4×4=192種安排方法.故答案為：192.14．如圖所示，玩具計數(shù)算盤的三檔上各有5個算珠，現(xiàn)將每檔算珠分為左右兩部分，左側的每個算珠表示2，右邊的每個算珠表示1（允許一側無珠），記上、中、下三檔的數(shù)字和分別為a,b,c.例如，圖中上檔的數(shù)字和a=7.若a,b,c成等差數(shù)列，則不同的分珠計數(shù)法個數(shù)為18.【解題思路】先確定a,b,c的范圍，再按照公差分類計算．【解答過程】根據(jù)題意知，a,b,c的取值范圍都是區(qū)間5,10中的6個整數(shù)，當公差d=0，有6種；當公差d=±1時，b不取5和10，有2×4=8種；當公差d=±2時，b只能取7、8，有2×2=4種；綜上，不同的分珠計數(shù)法有6+8+4=故答案為：18．15．如圖，用4種不同的顏色對圖中4個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂1種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有48種．【解題思路】利用分步計數(shù)原理，一個個按照順序去考慮涂色.【解答過程】按照分步計數(shù)原理，第一步：涂區(qū)域1，有4種方法；第二步：涂區(qū)域2，有3種方法；第三步：涂區(qū)域3，分兩類：（1）區(qū)域3與1同色，則區(qū)域4有2種方法；（2）區(qū)域3與1不同色，則區(qū)域3有2種方法，區(qū)域4有1種方法；所以不同的涂色種數(shù)有4×3×(1×2+2×1)=48種．故答案為：48.16．一雜技團有8名會表演魔術或口技的演員，其中有6人會表演口技，有5人會表演魔術，現(xiàn)從這8人中選出2人上臺表演，1人表演口技，1人表演魔術，則不同的安排方法有27種．【解題思路】由題可得有2人只會表演魔術，3人只會表演口技，3人既會表演魔術又會表演口技，然后以只會表演魔術的人分類討論結合兩個基本原理即得.【解答過程】由題可知有2人只會表演魔術，3人只會表演口技，3人既會表演魔術又會表演口技，針對只會表演魔術的人討論，先從只會表演魔術的人表演魔術有2種選擇，再從其他的6人選1人表演口技有6種選擇，故共有2×6=12種選擇；不選只會表演魔術的人，從既會表演魔術又會表演口技的3人中選1人表演魔術，有3種選擇，再從只會表演口技的3人和既會表演魔術又會表演口技的剩余2人選1人表演口技，有5種選擇，故共有3×5=15種選擇；所以不同的安排方法有12+15=27種.故答案為：27.四．解答題17．在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，A，B兩所大學各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，如表：A大學B大學生物學數(shù)學化學會計學醫(yī)學信息技術學二物理學法學工程學如果這名同學只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇？【解題思路】分為A大學和B大學兩類專業(yè)來選，根據(jù)分類加法計算原理即可求解﹒【解答過程】解：這名同學可以選擇A，B兩所大學中的一所．在A大學中有5種專業(yè)選擇方法，在B大學中有4種專業(yè)選擇方法，∵沒有一個強項專業(yè)是兩所大學共有的，∴根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這名同學可能的專業(yè)選擇種數(shù)N=5+4=9．18．用4種不同的顏色給圖中的A，B，C，D四個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域只能涂一種顏色.(1)有多少種不同的涂法？(2)若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，有多少種不同的涂法？【解題思路】（1）根據(jù)分步計數(shù)原理，對每個區(qū)域進行涂色即可；（2）根據(jù)分步計數(shù)原理，結合相鄰區(qū)域不能同色，對每個區(qū)域進行涂色即可.【解答過程】（1）分4步完成涂色，依次為A，B，C，D各個區(qū)域，每個區(qū)域各有4種涂法，共有44（2）由可分4步進行涂色，第一步：A有4種涂法，第二步B有3種涂法，第三步C有2種涂法，第四步D有2種涂法有4×3×2×2=48種不同的涂色.19．相鄰的4個車位中停放了4輛不同的車，現(xiàn)將所有車開出后再重新停入這4個車位中．(1)若要求有3輛車不得停在原來的車位中，有多少種不同的停法？(2)若要求所有車都不得停在原來的車位中，有多少種不同的停法？【解題思路】（1）利用分步乘法計數(shù)原理直接計算即可；（2）利用分步乘法計數(shù)原理直接計算即可.【解答過程】（1）可分成兩步完成：第一步，先選出停在原來車位的那輛車，有4種情況，第二步，停放剩下的3輛車，將剩余3輛車分別編號為A，B，C，將剩余3個停車位分別編號為一、二、三，設A車先選停車位，此時有2種停法，剩余兩輛車有且只有1種停法，所以第二部有2種停法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有4×2=8種停法；（2）將4輛車分別編號為A，B，C，D，將4個停車位分別編號為一、二、三、四．不妨設A車先選停車位，此時有3種停法，若A車選了二號停車位，那么B車再選，有3種停法，剩下的C車和D車都只有1種停法，故共有3×3=9種停法．20．書架上放有3本不同的數(shù)學書，5本不同的語文書，6本不同的英語書．(1)從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？(2)從這些書中取數(shù)學書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？(3)從這些書中取不同科目的書共兩本，有多少種不同的取法？【解題思路】（1）根據(jù)分類加法計數(shù)原理求解即可；（2）根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求解即可；（3）分三種情況討論求解即可；【解答過程】（1）由于書架上有3+5+6=14本書，則從中任取一本，共有14種不同的取法.（2）由題意分步完成，第一步：取任取一本數(shù)學書，有3種取法；第二步：取任取一本語文書，有5種取法；第三步：取