2025考研數(shù)學(xué)（三）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)卷姓名：______班級(jí)：______學(xué)號(hào)：______得分：______第一部分：?jiǎn)芜x題（每題5分，共40分）1.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，若P(X=1)=P(X=2)，則λ的值為A.1B.2C.3D.42.設(shè)A、B為兩個(gè)事件，P(A)=0.6，P(B)=0.4，P(A∪B)=0.8，則P(AB)等于A.0.2B.0.3C.0.4D.0.53.設(shè)隨機(jī)變量X~N(2,9)，則P(X>5)等于A.0.1587B.0.3085C.0.4013D.0.69154.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)=k，當(dāng)0≤x≤1，0≤y≤1時(shí)，其他為0，則k等于A.1B.2C.3D.45.設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)=3，方差D(X)=4，則E(X2)等于A.5B.9C.13D.166.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，D(X)=4，D(Y)=9，則D(2X3Y)等于A.25B.49C.97D.1217.設(shè)X?,X?,,X?為來自總體N(μ,σ2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則樣本均值X?的分布為A.N(μ,σ2/n)B.N(μ,σ2)C.N(μ/n,σ2)D.N(μ/n,σ2/n)8.在假設(shè)檢驗(yàn)中，當(dāng)原假設(shè)H?為真時(shí)拒絕H?的概率稱為A.第一類錯(cuò)誤B.第二類錯(cuò)誤C.檢驗(yàn)功效D.置信水平第二部分：填空題（每題5分，共20分）1.設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p)，第三部分：綜合論述與計(jì)算題（每題15分，共30分）1.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，Y服從參數(shù)為μ的泊松分布，且X與Y相互獨(dú)立。(1)求Z=X+Y的分布及其參數(shù)(2)計(jì)算E(Z)和D(Z)(3)若λ=2，μ=3，求P(Z≤5)2.某工廠生產(chǎn)的零件長(zhǎng)度服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，現(xiàn)隨機(jī)抽取10個(gè)零件測(cè)得長(zhǎng)度如下：12.3,12.5,12.2,12.6,12.4,12.3,12.5,12.2,12.6,12.4(1)求μ的95%置信區(qū)間(2)在顯著性水平α=0.05下，檢驗(yàn)H?：μ=12.4vsH?：μ≠12.4(3)若要求置信區(qū)間的長(zhǎng)度不超過0.2，樣本容量至少應(yīng)取多少？第一部分：?jiǎn)芜x題1.答案：B。解析：由P(X=1)=P(X=2)得e^(λ)λ1/1!=e^(λ)λ2/2!，化簡(jiǎn)得λ=2。2.答案：A。解析：由概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)P(AB)，代入數(shù)值得0.8=0.6+0.4P(AB)，解得P(AB)=0.2。3.答案：B。解析：標(biāo)準(zhǔn)化得P(X>5)=P(Z>(52)/3)=P(Z>1)=0.1587。4.答案：A。解析：由概率密度函數(shù)的歸一性∫∫f(x,y)dxdy=1，得k×1×1=1，故k=1。5.答案：C。解析：由方差公式D(X)=E(X2)[E(X)]2，得E(X2)=D(X)+[E(X)]2=4+9=13。6.答案：C。解析：D(2X3Y)=4D(X)+9D(Y)=4×4+9×9=16+81=97。7.答案：A。解析：樣本均值X?~N(μ,σ2/n)。8.答案：A。解析：第一類錯(cuò)誤是指當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)拒絕原假設(shè)的概率。第二部分：填空題1.答案：2/3。解析：P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.2/0.3=2/3。2.答案：9。解析：由E(X)=λ=3，D(X)=λ=3，得E(X2)=D(X)+[E(X)]2=3+9=12。3.答案：0.5。解析：由概率密度函數(shù)的歸一性∫??kxdx=1，得ka2/2=1，又E(X)=2a/3=2，解得a=3，k=2/9。4.答案：25。解析：相關(guān)系數(shù)ρ=Cov(X,Y)/√[D(X)D(Y)]=3/√(16×9)=3/12=1/4。第三部分：綜合題1.(1)答案：Z~Poisson(λ+μ)。解析：獨(dú)立泊松隨機(jī)變量之和仍服從泊松分布，參數(shù)相加。(2)答案：E(Z)=λ+μ，D(Z)=λ+μ。解析：泊松分布的期望和方差都等于參數(shù)。(3)答案：P(Z≤5)=∑????e^(5)5?/k!≈0.6160。解析：代入λ+μ=5計(jì)算。2.(1)答案：[12.32,12.48]。解析：樣本均值x?=12.4，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=0.158，t?.???(9)=2.262，置信區(qū)間為x?±t×s/√n。(2)答案：接受H?。解析：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=(x?12.4)/