電路分析基礎(chǔ)第7章非正弦周期電流電路目錄CATALOG濾波器

7.1非正弦周期信號(hào)

7.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)7.3有效值、平均值和平均功率7.4非正弦周期電流電路的計(jì)算7.5應(yīng)用案例頻譜分析儀

(

，★)

(

，★)本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖非正弦周期電流電路濾波器

7.5應(yīng)用案例頻譜分析儀

系數(shù)求取(

，★)7.1非正弦周期信號(hào)：諧波分析法

7.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)7.3有效值、平均值和平均功率7.4非正弦周期電流電路的計(jì)算對(duì)稱函數(shù)的系數(shù)特點(diǎn)頻譜圖有效值：平均值：平均功率：計(jì)算：濾波(無源)(

，★)幅值頻譜相位頻譜7.1非正弦周期信號(hào)

在電子技術(shù)、自動(dòng)控制、計(jì)算機(jī)和無線電技術(shù)等工程實(shí)際中，電壓和電流往往都是周期性的非正弦波形。一、產(chǎn)生非正弦周期電壓和電流的原因1.激勵(lì)(電源或信號(hào)源)本身是非正弦信號(hào)0tuT函數(shù)信號(hào)發(fā)生器中的方波電壓

0tuT2T電子示波器掃描電壓的鋸齒波

非正弦電壓或電流

線性電路同頻正弦電源

非正弦信號(hào)2.電路中含有非線性元件uR0tT半波整流電路的輸出波形R+-+-uSuRD

t0uS

非線性電路激勵(lì)

非正弦電壓或電流3.電路中有不同頻率的電源共同作用+VCC

uS

C1u0u0tRb1Rb2+-+-

RS

RCC2交直流共存電路RL非正弦信號(hào)：不是按正弦規(guī)律變化的周期信號(hào)。正弦信號(hào)：按正弦規(guī)律變化的周期信號(hào)。信號(hào)周期信號(hào)非周期信號(hào)：不是周期性的信號(hào)。(“信號(hào)與系統(tǒng)”中研究)含有周期性非正弦信號(hào)的電路，稱為非正弦周期性電流電路。本章僅討論在非正弦周期電流、電壓信號(hào)的作用下，線性電路的穩(wěn)態(tài)分析和計(jì)算方法。非正弦周期信號(hào)可以分解為直流量和一系列不同頻率正弦量之和，每一信號(hào)單獨(dú)作用下的響應(yīng)，與直流電路及正弦電流電路的求解方法相同，再應(yīng)用疊加定理求解，是前面內(nèi)容的綜合。本章的討論對(duì)象及處理問題的思路：非正弦周期變化的電源線性時(shí)不變電路(穩(wěn)態(tài)分析)(1)f(t+kT)=A0+

Akmcos(kt+k)

k=1(2)線性時(shí)不變電路—疊加定理適用電源中不同頻率成分的正弦波分別作用于電路。

非正弦周期量

(激勵(lì))

不同頻率正弦量的和

各個(gè)正弦量單獨(dú)作用下的響應(yīng)分量

非正弦穩(wěn)態(tài)量

(響應(yīng))正弦穩(wěn)態(tài)分析疊加定理

？

諧波分析法是把非正弦周期電流電路的計(jì)算化為一系列正弦電流電路的計(jì)算。諧波分析法示意圖二、諧波分析法

----非正弦周期電流電路的分析方法首先，應(yīng)用傅里葉級(jí)數(shù)展開的數(shù)學(xué)方法，將非正弦周期激勵(lì)電壓、電流或信號(hào)分解為一系列不同頻率的正弦量之和；然后，根據(jù)疊加定理，分別計(jì)算在各個(gè)正弦量單獨(dú)作用下在電路中產(chǎn)生的不同頻率正弦電流分量和電壓分量；最后，把所得分量按時(shí)域形式疊加。得到電路在非正弦周期激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)電流和電壓。

這種方法稱為諧波分析法。實(shí)質(zhì)上是把非正弦周期電流電路的計(jì)算化為一系列正弦電流電路的計(jì)算。思考與練習(xí)1.什么叫非正弦周期波，你能舉出幾個(gè)實(shí)際中的非正弦周期波的例子嗎？

2.電路中產(chǎn)生非正弦周期波的原因是什么？試舉例說明。

3.有人說：“只要電源是正弦的，電路中各部分的響應(yīng)也一定是正弦波”，這種說法對(duì)嗎？為什么？4.試述諧波分析法的應(yīng)用范圍和應(yīng)用步驟。

7.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)

f(t)=f(t+kT)(k=1,2,3,…)若滿足狄里赫利條件則f(t)可展開為一個(gè)由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)組成的三角函數(shù)，即收斂的傅里葉級(jí)數(shù)。f(t)在任一周期內(nèi)絕對(duì)可積f(t)在任一周期內(nèi)具有有限個(gè)極值f(t)在任一周期內(nèi)具有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)f(t)滿足非正弦周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)基波(或一次諧波)二次諧波(2倍頻)直流分量k≥2高次諧波+…..周期函數(shù)f(t)=f(t+kT)T為周期函數(shù)f(t)的周期，k=0，1，2，……滿足狄里赫利條件，7.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)分解為傅立葉級(jí)數(shù)，目的是：把復(fù)雜周期信號(hào)(非正弦信號(hào))視作不同頻率簡(jiǎn)單周期信號(hào)(正弦信號(hào))的疊加。系數(shù)之間的關(guān)系為：f(t)=A0+

Akmcos(k1t+Ψk)--傅里葉級(jí)數(shù)也可表示成：

k=1求出A0、ak、bk便可得到原函數(shù)f(t)

的展開式。系數(shù)的計(jì)算：利用函數(shù)的對(duì)稱性可使系數(shù)的確定簡(jiǎn)化。注意f(t)

-T/2t

T/2

0

-T/2t

T/2f(t)

0

如果非正弦周期信號(hào)的波形對(duì)稱于縱軸，其傅里葉級(jí)數(shù)中只含有余弦項(xiàng)和直流分量，而沒有正弦項(xiàng)。如果信號(hào)的波形對(duì)稱于原點(diǎn)，傅里葉級(jí)數(shù)中不含有直流分量和余弦項(xiàng)，它僅由正弦項(xiàng)所組成。2.偶函數(shù)，1.奇函數(shù)，函數(shù)的波形在橫軸上下部分包圍的面積相等，a0=0。tf(t)T/2T0

鏡像對(duì)稱，只含有奇次諧波分量，而不含有直流分量和偶次諧波分量。23.奇諧波函數(shù)0

2==+-=kbaTtftf)()(，-k2將f(t)波形移動(dòng)半個(gè)周期后，與原波形對(duì)稱于橫軸。24.偶諧波函數(shù)

+=Ttftf)()(-兩個(gè)相差半個(gè)周期的函數(shù)值大小相等，符號(hào)相同。偶諧波函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中只含直流分量和各偶次諧波分量，而不含有奇次諧波分量。故稱偶諧波函數(shù)。只需計(jì)算a0，a2k，b2k。

tf(t)T/2T0非正弦周期函數(shù)的頻譜由于只要求得各諧波分量的振幅和初相，就可確定一個(gè)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)。在電路中為了直觀地表示，常用頻譜圖表示。頻譜——描述各諧波分量振幅和相位隨頻率變化的圖形稱為頻譜圖或頻譜。1.幅度頻譜：f(t)展開式中Akm與(=k1)的關(guān)系。反映了各頻率成份

的振幅所占的“比重”。因k是正整數(shù)，故頻譜圖是離散的，也稱

線頻譜。

7.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)0的圖形k12.相位頻譜：以角頻率為橫坐標(biāo),Ψk為縱坐畫出的圖形(Ψk~的圖形)

Akm0k

1

1

2

1

3

1

4

1

k

1

0

2

2譜線Ψk

2.相位頻譜的圖形k

1Ψk～1.幅度頻譜的圖形Akm～k

1應(yīng)用舉例例：解：7-1設(shè)鋸齒波i(t)的波形如圖(a)所示，試畫出其振幅頻譜。其中傅里葉級(jí)數(shù)為

i0tI-IT/2-T/2T

今后若無說明，均指振幅頻譜。i(t)=

2Icos(

1t-90o)+21cos(2

1t+90o)+31cos(3

1t-90o)+41cos(4

1t+90o)+

0wIkmw12w13w14w15w12I/pI/p2I/3pI/2p由于傅里葉級(jí)數(shù)是收斂的，一般諧波次數(shù)越高，振幅越小。1.非正弦周期信號(hào)的諧波表達(dá)式是什么形式？其中每一項(xiàng)的意義是什么？2.舉例說明什么是奇次諧波和偶次諧波？波形具有偶半波對(duì)稱時(shí)是否一定有直流成分？3.能否定性地說出具有奇次對(duì)稱性的波形中都含有哪些諧波成分？4.穩(wěn)恒直流電和正弦交流電有諧波嗎？什么樣的波形才具有諧波？試說明。檢驗(yàn)學(xué)習(xí)結(jié)果7.3有效值、平均值和平均功率若則有效值:非正弦周期函數(shù)的有效值7-2

已知周期電流i=1+0.707cos(ωt-200)+0.42cos(2ωt+500)A，試求其有效值。

例：解：應(yīng)用舉例7.3有效值、平均值和平均功率非正弦周期函數(shù)的平均值

以電流i

為例，其定義如下：即非正弦周期電流的平均值等于此電流絕對(duì)值的平均值。正弦電流的平均值為

它相當(dāng)于正弦電流經(jīng)過全波整流后的平均值，這是因?yàn)槿‰娏鞯慕^對(duì)值相當(dāng)于把負(fù)半周的值變?yōu)閷?duì)應(yīng)的正值。

對(duì)于周期量。還用波形因子Kf

來反映波形的性質(zhì)，定義Kf

等于周期量的有效值與平均值的比值。即例：解：應(yīng)用舉例7-3

計(jì)算正弦電壓i(t)=Imcosωt的平均值，并求正弦電壓的有效值與平均值之比。波形因子

設(shè)i(t)=Imcosωt平均值為測(cè)量?jī)x表的使用

對(duì)非正弦周期電流電路的測(cè)量，使用不同的測(cè)量?jī)x表將得出不同的結(jié)果。

磁電式儀表

(直流儀表)

直流分量

電磁式儀表

有效值

全波整流儀表

平均值非正弦周期電流與電壓的測(cè)量7.3有效值、平均值和平均功率非正弦周期函數(shù)的平均功率利用三角函數(shù)的正交性，得：平均功率＝直流分量的功率＋各次諧波的平均功率平均功率只取決于電阻，與電容和電感無關(guān)，又有若u=u1+u2,i=I0+i1+i32.若已知電路參數(shù)，平均功率還可用以下公式計(jì)算：式中，I為非正弦周期電流的有效值。1.只有同頻率的電壓諧波和電流諧波才能構(gòu)成平均功率。非同頻率的平均功率為零。

注意非正弦周期函數(shù)的視在功率(3)平均功率：應(yīng)用舉例(1)的有效值：(2)的有效值：

7-4電路如圖所示，施加于二端網(wǎng)絡(luò)N的電壓、電流分別為：求(1)的有效值；(3)平均功率。(2)的有效值；，例：解：+-Nab應(yīng)用舉例例：解：

7-5已知某無獨(dú)立電源的一端口網(wǎng)絡(luò)的端口電壓、電流分別為：試求：(1)電壓、電流的有效值；(2)網(wǎng)絡(luò)消耗的平均功率和網(wǎng)絡(luò)的功率因數(shù)。(1)(2)2.何謂非正弦周期函數(shù)的平均值？如何計(jì)算？

3.非正弦周期函數(shù)的平均功率如何計(jì)算？不同頻率的諧波電壓和電流能否構(gòu)成平均功率？4.非正弦波的“峰值越大，有效值也越大”的說法對(duì)嗎？試舉例說明。1.非正弦周期量的有效值和正弦周期量的有效值在概念上是否相同？其有效值與它的最大值之間是否也存在的數(shù)量關(guān)系？思考回答7.4非正弦周期電流電路的計(jì)算諧波分析法非正弦周期信號(hào)諧波分析法=直流分析+相量法+時(shí)域疊加線性定常電路諸次諧波之和(直流分量)分解疊加定理可用直流分量單獨(dú)作用直流分析法可用各次諧波分別單獨(dú)作用的穩(wěn)態(tài)解相量法時(shí)域疊加可用新問題用老方法7.4非正弦周期電流電路的計(jì)算諧波分析法步驟諧波分析法的步驟圖示(分析用相量法，疊加在時(shí)域內(nèi))：RLC+_RLC+_+_+_RL短

C開+_+_+_疊加定理7.4非正弦周期電流電路的計(jì)算諧波分析法步驟

對(duì)于線性電路，可用疊加定理，即求出直流、基波及各次諧波分量單獨(dú)作用時(shí)的值，然后再疊加。一般步驟：1.求所給定的非正弦激勵(lì)源的傅里葉級(jí)數(shù)(給定或查表)，根據(jù)準(zhǔn)確度要求取若干項(xiàng)。2.分別求出激勵(lì)的直流分量和各次諧波分量單獨(dú)作用時(shí)的響應(yīng)。畫各分電路圖注意點(diǎn)：

1)直流分量激勵(lì)下，C開路，L短路；

2)各次諧波分量激勵(lì)下，電抗值不同3.將直流分量和各次諧波分量的瞬時(shí)響應(yīng)疊加求和。IC010V+-I02W2WIL0(b)

(1)

10V分量作用。電路如圖(b)所示：IC0=0，I0=IL0=5A(2)100cost

V分量作用，

電路如圖(c)所示：iC(t)LRu(t)iL(t)+-i(t)(a)RC+-(c)2W2Wj2W-j2W應(yīng)用舉例解：

7-6

電路如圖(a)所示，已知。求：，。例：(3)分量作用，電路如圖(d)所示：(4)在時(shí)間域進(jìn)行疊加：+-2W2Wj6W(d)+-IL0(b)(1)單獨(dú)作用：1)

2V分量作用,電路如圖(b)所示：2)V分量作用,電路如圖(c)

所示：解：例：7-7電路如圖(a)所示，已知，，求：。+-(a)iL(t)iS(t)uS(t)(c)j5S+-j5Ω應(yīng)用舉例(2)單獨(dú)作用，電路如圖(d)所示：(3)和共同作用：(d)j4S(d)(1)應(yīng)用舉例解：例：7-8電路如圖所示，已知ω=1000rad/s，C=1μF，R=1Ω，在穩(wěn)態(tài)時(shí)，uR中不含基波，而二次諧波與電源二次諧波電壓相同，求：(1)uS的有效值；(2)電感L1和L2；(3)電源發(fā)出的平均功率。其中。(2)并聯(lián)諧振相當(dāng)于開路。-+uS+uR-

若使uR中二次諧波與電源二次諧波電壓相同，則L1、C

、

L2電路發(fā)生串聯(lián)諧振，即串聯(lián)諧振相當(dāng)于短路：(3)-+uS+uR-小結(jié)

當(dāng)激勵(lì)函數(shù)中的直流分量單獨(dú)作用時(shí)，電容相當(dāng)于開路，電感相當(dāng)于短路。判斷電路是否發(fā)生諧振(3)激勵(lì)函數(shù)中各次諧波分別作用時(shí)求得的頻域響應(yīng)，必須變成時(shí)域響應(yīng)才能

進(jìn)行疊加。也就是說，只能用各次諧波的時(shí)域函數(shù)(瞬時(shí)值)進(jìn)行加減，不同

頻率正弦量不能用相量相加。(2)當(dāng)激勵(lì)函數(shù)中的各諧波分量分別作用時(shí)，由于感抗與諧波次數(shù)成正比即有

(

)，容抗與諧波次數(shù)成反比(

)，因而電路對(duì)不同頻率

的諧波所呈現(xiàn)的阻抗(或?qū)Ъ{)也必然不同。2.對(duì)非正弦周期信號(hào)作用下的線性電路應(yīng)如何計(jì)算？計(jì)算方法根據(jù)什么原理？3.若已知基波作用下的阻抗Z=30+j20Ω，求在三次和五次諧波作用下負(fù)載的復(fù)阻抗又為多少？4.為什么對(duì)各次諧波分量的電壓、電流計(jì)算可以用相量法？而結(jié)果不能用各次諧波響應(yīng)分量的相量疊加？1.線性R、L、C組成的電路，對(duì)不同頻率的阻抗分量阻抗值是否相同？變化規(guī)律是什么？檢驗(yàn)學(xué)習(xí)結(jié)果7.5應(yīng)用案例7-9若輸入信號(hào)為非正弦周期信號(hào)，試分析電路的輸出u0與輸入ui相比有何變化？解：例：電感通低頻，阻高頻：電容通高頻，阻低頻：濾波電路LLC輸入輸出++--(a)低通濾波器u0uiCCL輸入輸出++--u0ui(b)高通濾波器低通濾波器：使低頻電流分量順利通過，抑制高頻電流分量。高通濾波器：使高頻電流分量順利通過，抑制低頻電流分量。

感抗和容抗對(duì)各次諧波的反應(yīng)不同，這種性質(zhì)在工程上有廣泛的應(yīng)用。通常

可以利用電感和電容組成不同的電路，接在輸入和輸出之間，可讓某些所需

頻率分量順利通過而抑制某些不需要的分量，這種電路稱為濾波器。濾波器是一種有用頻率信號(hào)順利通過而同時(shí)抑制(或大大衰減)無用頻率信號(hào)的電子裝置。工程上常用來進(jìn)行信號(hào)處理、數(shù)據(jù)傳遞和抑制干擾。

是研究電信號(hào)頻譜結(jié)構(gòu)的儀器，是從事電子產(chǎn)品研發(fā)、生產(chǎn)、檢驗(yàn)的常用工具，它以圖形方式顯示信號(hào)幅度按頻率的分布，它的顯示窗口的橫坐標(biāo)表示頻率，縱坐標(biāo)表示信號(hào)幅度，可以全景顯示，也可以選定帶寬測(cè)試。其應(yīng)用十分廣泛，用于信號(hào)失真度、調(diào)制度、頻率穩(wěn)定度和交調(diào)失真等信號(hào)參數(shù)的測(cè)量，是一種多用途的電子測(cè)量?jī)x器，是對(duì)無線電信號(hào)進(jìn)行測(cè)量的必備手段。頻譜分析儀一、周期函數(shù)的諧波分析：展開成傅里葉級(jí)數(shù)：小結(jié)：看看記記

2.偶函數(shù)

1.奇函數(shù)f(t)

-T/2t

T/2

0

-T/2t

T/2f(t)

0tf(t)T/2T0tf(t)T/2T023.奇諧波函數(shù)0

2==+-=kbaTtftf)()(，-k2鏡像對(duì)稱，只含有奇次諧波分量。24.偶諧波函數(shù)

+=Ttftf)()(-鏡像對(duì)稱，只含有直流分量和偶次諧波分量。二、有效值、平均值和平均功率磁電系儀表：恒定分量(直流分量)電磁系儀表：

有效值全波整流儀表：平均值2.平均值：1.有效值：3.平均功率：三、非正弦周期電流電路的計(jì)算1.求所給定的非正弦激勵(lì)源的傅里葉級(jí)數(shù)(查表)，根據(jù)準(zhǔn)確度要求

取若干項(xiàng)。2.分別求出激勵(lì)的直流分量和各次諧波分量單獨(dú)作用時(shí)的響應(yīng)。畫各分電路圖注意點(diǎn)：

1)直流分量激勵(lì)下，C開路，L短路；2)各次諧波分量激勵(lì)下，電抗值不同。3.將直流分量和各次諧波分量的瞬時(shí)響應(yīng)疊加求和。課后習(xí)題7-1已知某非正弦周期信號(hào)在四分之一周期內(nèi)的波形為一鋸齒波，且在橫軸上方，幅值等于1V。如圖所示，試根據(jù)下列情況分別繪出一個(gè)周期的波形。u(t)/Vt0T/41(1)u(t)為偶函數(shù)，且具有偶半波對(duì)稱性；(2)u(t)為奇函數(shù)，且具有奇半波對(duì)稱性；(3)u(t)為偶函數(shù)，無半波對(duì)稱性；(4)u(t)為奇函數(shù)，無半波對(duì)稱性；(5)u(t)為偶函數(shù)，只含有偶次諧波；(6)u(t)為奇函數(shù)，只含有奇次諧波；u(t)/Vt0T/4(1)1u(t)/Vt0T/4(2)1u(t)/Vt0T/41(4)u(t)/Vt0T/41(3)u(t)/Vt01(5)u(t)/Vt0T/41(6)(1)電壓的有效值解：7-2一個(gè)RLC串聯(lián)電路，其

(2)電路中的電流(3)電路消耗的功率。；，外加電壓為。試求：(1)電壓的有效值；(2)直流U0=11V作用時(shí),L短路,C開路,I0=0,P0=0?；ㄗ饔脮r(shí),Ri(t)u(t)L+-C二次諧波作用時(shí)：7-3有效值為100V的正弦電壓加在電感L兩端時(shí)得電流I=10A，當(dāng)電壓中有3次諧波分量，而有效值仍為100V時(shí)，得電流I=8A，試求這一電壓的基波和3次諧波電壓的有效值。解：

(1)由于基波的電壓和電流同相位，RLC電路在基波

頻率下發(fā)生串聯(lián)諧振，有：7-4己知一個(gè)RLC串聯(lián)電路的端口電壓和電流為：試求：(1)R、L、C的值；(2)的值；(3)電路消耗的P。解：Ri(t)u(t)L+-C(2)三次諧波時(shí)，Z3的阻抗角為：(3)電路消耗的P為：？Ri(t)u(t)L+-C7-5下圖所示