15.1軸對(duì)稱圖形題型一軸對(duì)稱圖形的識(shí)別1．（24-25七年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）第屆世界乒乓球錦標(biāo)賽于年月日至日在卡塔爾多哈舉辦，我國(guó)乒乓球運(yùn)動(dòng)員在比賽中取得優(yōu)異成績(jī)，下列世乒賽標(biāo)識(shí)中，是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的定義，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：選項(xiàng)B，C，D的圖形均不能找到一條直線，使圖形沿該直線對(duì)折后直線兩旁的部分能夠完全重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；選項(xiàng)A的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿該直線對(duì)折后直線兩旁的部分能夠完全重合，所以是軸對(duì)稱圖形．故選：A．2．（24-25七年級(jí)下·河南周口·期末）下列幾何圖形：①等腰三角形；②直角三角形；③角；④線段；⑤任意三角形．其中，一定是軸對(duì)稱圖形的有．（填序號(hào)）【答案】①③④【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，這時(shí)，我們也可以說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱．直接利用軸對(duì)稱圖形的概念分析得出答案．【詳解】解：一定是軸對(duì)稱圖形的有：①等腰三角形；③角；④線段；故答案為：①③④．3．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）若阿光以四種不同的方式連結(jié)正六邊形的兩條對(duì)角線，連結(jié)后的情形如下列選項(xiàng)中的圖形所示，則下列哪一個(gè)圖形不是軸對(duì)稱圖形（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查軸對(duì)稱圖形的定義，熟記定義并掌握?qǐng)D形的特征是解題的關(guān)鍵.沿著一條直線翻折后兩側(cè)能夠完全重合的圖形是軸對(duì)稱圖形，根據(jù)軸對(duì)稱的定義依次判斷.【詳解】A、是軸對(duì)稱圖形；B、是軸對(duì)稱圖形；C、是軸對(duì)稱圖形；D、不是軸對(duì)稱圖形，故選：D.4．（23-24八年級(jí)上·廣東湛江·期中）如圖四個(gè)圖案中，具有一個(gè)共有的性質(zhì)．則下面四個(gè)數(shù)字中，滿足上述性質(zhì)的一個(gè)是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形，解題關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形．題目中的四個(gè)圖形都是軸對(duì)稱圖形，據(jù)此即可作出判斷．【詳解】解：四個(gè)圖形都是軸對(duì)稱圖形，在6，7，8，9中是軸對(duì)稱圖形的只有8．故選C．題型二求對(duì)稱軸條數(shù)5．（2025·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）下列四個(gè)軸對(duì)稱圖形中，對(duì)稱軸條數(shù)最少的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查軸對(duì)稱圖形的知識(shí)，要求掌握好軸對(duì)稱的概念．軸對(duì)稱的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形折疊后直線兩旁的部分能夠互相重合．根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解，確定各個(gè)圖形有幾條對(duì)稱軸，然后即可得出答案．【詳解】解：選項(xiàng)A的圖形有1條對(duì)稱軸，選項(xiàng)B的圖形有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸，選項(xiàng)C的圖形均有2條對(duì)稱軸，選項(xiàng)D的圖形有3條對(duì)稱軸，所以對(duì)稱軸條數(shù)最少的圖形是A．故選：A．6．（2025·北京·模擬預(yù)測(cè)）下列圖形都是軸對(duì)稱圖形，其中恰有2條對(duì)稱軸的圖形是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，掌握軸對(duì)稱圖形定義，確定對(duì)稱軸是關(guān)鍵．軸對(duì)稱圖形是在平面內(nèi)，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，由此確定對(duì)稱軸即可求解．【詳解】解：A、，有3條對(duì)稱軸，不符合題意；B、，有4條對(duì)稱軸，不符合題意；C、，有2條對(duì)稱軸，符合題意；D、，有6條對(duì)稱軸，不符合題意；故選：C．7．（24-25八年級(jí)上·河北邯鄲·階段練習(xí)）如圖，每個(gè)小方格均為邊長(zhǎng)為1的正方形，四個(gè)涂色的小正方形組成的圖形的對(duì)稱軸有m條，再將剩余的五個(gè)小正方形中的一個(gè)涂色，若由這五個(gè)涂色的小正方形組成的新圖形的對(duì)稱軸的條數(shù)也為m，則涂色的正方形是．【答案】③【分析】本題考查了對(duì)稱軸的數(shù)量，根據(jù)對(duì)稱軸的定義逐一判斷即可．【詳解】解：由題意可知，四個(gè)涂色的小正方形組成的圖形的對(duì)稱軸有條，即，涂色的正方形是①，組成的圖形的對(duì)稱軸有條，不符合題意；涂色的正方形是②，組成的圖形的對(duì)稱軸有條，不符合題意；涂色的正方形是③，組成的圖形的對(duì)稱軸有條，符合題意；涂色的正方形是④，組成的圖形的對(duì)稱軸有條，不符合題意；故答案為：③．8．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·隨堂練習(xí)）指出下列軸對(duì)稱圖形各有幾條對(duì)稱軸，并把它們作出來(lái)．【答案】對(duì)稱軸的條數(shù)分別為1條、2條、2條、4條，圖見(jiàn)解析【分析】本題主要考查畫(huà)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱的定義．如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形．根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐一解答即可．【詳解】解：4個(gè)圖形對(duì)稱軸的條數(shù)分別為1條、2條、2條、4條．如答圖所示．9．（23-24七年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期中）（1）如圖所示的正多邊形的對(duì)稱軸有幾條？把答案寫(xiě)在圖下方的橫線上：

正三角形有______條對(duì)稱軸，正四邊形有______條對(duì)稱軸，正五邊形有______條對(duì)稱軸，正六邊形有______條對(duì)稱軸，正七邊形有______條對(duì)稱軸，正八邊形有______條對(duì)稱軸；（2）一個(gè)正n邊形有______條對(duì)稱軸；（3）在圖①中畫(huà)出正六邊形的一條對(duì)稱軸l；

在圖②中，只能用無(wú)刻度的直尺，準(zhǔn)確畫(huà)出正五邊形的一條對(duì)稱軸m．（不寫(xiě)畫(huà)法，保留畫(huà)圖痕跡）

【答案】（1）3，4，5，6，7，8；（2）n；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）由正多邊形有幾個(gè)頂點(diǎn)，就有幾條對(duì)稱軸，從而可得答案；（2）由正多邊形有幾個(gè)頂點(diǎn)，就有幾條對(duì)稱軸，從而可得答案；（3）利用正六邊形有偶數(shù)條邊，畫(huà)出正六邊形的對(duì)稱軸即可，利用全等三角形的性質(zhì)或等腰三角形的性質(zhì)畫(huà)正五邊形的對(duì)稱軸即可．【詳解】解：（1）正三角形有3條對(duì)稱軸，正四邊形有4條對(duì)稱軸，正五邊形有5條對(duì)稱軸，正六邊形有6條對(duì)稱軸，正七邊形有7條對(duì)稱軸，正八邊形有8條對(duì)稱軸；（2）一個(gè)正n邊形有條對(duì)稱軸；（3）如圖所示，在圖①中直線l即為所求；在圖②中直線m即為所求．

圖②也可以如下作法．

【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形的性質(zhì)，理解正多邊形是軸對(duì)稱圖形，正多邊形有幾個(gè)頂點(diǎn)就有幾條對(duì)稱軸是解本題的關(guān)鍵．題型三根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行判斷10．（24-25七年級(jí)下·山西晉中·期末）如圖1是山西博物院主館，整體外觀造型“如斗似鼎”．小明繪制了從正面看到的主館圖（圖2），該圖形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，直線是它的對(duì)稱軸，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A． B．線段被直線垂直平分C． D．【答案】C【分析】本題考查的是軸對(duì)稱圖形，熟知關(guān)于軸對(duì)稱圖形的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，利用性質(zhì)逐一對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】A選項(xiàng)，軸對(duì)稱圖形對(duì)應(yīng)角相等A選項(xiàng)，所以，故A正確；B選項(xiàng)，軸對(duì)稱圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段被對(duì)稱軸垂直平分，因?yàn)?，是?duì)應(yīng)點(diǎn)，所以線段被直線垂直平分，故B正確；C選項(xiàng)，由圖可知，和為一組對(duì)應(yīng)角，所以，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，軸對(duì)稱圖形對(duì)應(yīng)線段相等，所以，故D正確．故答案選：C．11．（24-25八年級(jí)上·內(nèi)蒙古通遼·期中）如圖，與關(guān)于直線對(duì)稱，P為上任一點(diǎn)（與共線），下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．B．垂直平分，C．與面積相等D．直線、的交點(diǎn)不一定在上【答案】D【分析】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)與運(yùn)用，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等，對(duì)應(yīng)的角、線段都相等．據(jù)對(duì)稱軸的定義，與關(guān)于直線對(duì)稱，P為上任意一點(diǎn)，可以判斷出圖中各點(diǎn)或線段之間的關(guān)系．【詳解】解：∵與關(guān)于直線對(duì)稱，P為上任意一點(diǎn)，∴，垂直平分，，這兩個(gè)三角形的面積相等，A、B、C選項(xiàng)正確；直線、關(guān)于直線對(duì)稱，因此交點(diǎn)一定在上，D錯(cuò)誤；故選：D．12．（2025·河北邢臺(tái)·三模）剪紙是我國(guó)傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一．嘉嘉將一張圓形紙片按圖3的流程進(jìn)行操作，即先沿虛線對(duì)折兩次，再沿虛線剪開(kāi)，則展開(kāi)后的剪紙形狀是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，觀察選項(xiàng)中右下角的圖是否符合圖3最右邊的圖即可得出答案．【詳解】解：A、中右下角的圖符合圖3最右邊的圖，符合題意；B、中右下角的圖不符合圖3最右邊的圖，不符合題意；C、中右下角的圖不符合圖3最右邊的圖，不符合題意；D、中右下角的圖不符合圖3最右邊的圖，不符合題意；故選：A．13．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期中）如圖，和關(guān)于直線對(duì)稱，下列結(jié)論中不正確的（）（1）．（2）．（3）直線l垂直平分．（4）直線和的交點(diǎn)不一定在直線l上．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】D【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等三角形的判定及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，依次對(duì)所給結(jié)論進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：因?yàn)楹完P(guān)于直線對(duì)稱，所以和能完全重合，則．故（1）正確．由（1）可知，．故（2）正確．因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線垂直平分．故（3）正確．因?yàn)橹本€和直線關(guān)于直線對(duì)稱，所以當(dāng)直線與直線有交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)一定在對(duì)稱軸上．故（4）錯(cuò)誤．故選：D．題型四根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行求解14．（24-25七年級(jí)下·江蘇徐州·期中）如圖，已知，D為內(nèi)一點(diǎn)，且，若點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)分別記作點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，則的面積為．【答案】【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)及三角形的面積，熟知軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出及，再結(jié)合三角形的面積公式即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖所示，∵點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)分別記作點(diǎn)E，F(xiàn)，∴，又∵，∴，∴的面積為．故答案為：．15．（24-25八年級(jí)下·廣東茂名·階段練習(xí)）如圖，一種滑翔傘的形狀是左右對(duì)稱的四邊形，其中，，則的度數(shù)是；【答案】/65度【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)以及多邊形的內(nèi)角和定理，掌握四邊形內(nèi)角和是360度是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．利用四邊形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵滑翔傘的形狀是左右成軸對(duì)稱的四邊形，，∴，故答案為：．16．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，則圖中陰影部分的面積為．【答案】8【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可得下方的陰影部分的梯形面積等于上方空白部分的梯形面積，則陰影部分面積等于的面積，據(jù)此求解即可．【詳解】解：由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可得，故答案為：；17．（24-25八年級(jí)下·上?！て谥校┰谥?，點(diǎn)的坐標(biāo)為、點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，要使以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與全等（與不重合），則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】此題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意可得與關(guān)于直線成軸對(duì)稱，據(jù)此即可求出的坐標(biāo)．【詳解】解：∵以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與全等（與不重合），∴與關(guān)于直線成軸對(duì)稱，∴與關(guān)于直線成軸對(duì)稱，由題意可得直線為，∵的坐標(biāo)為∴的坐標(biāo)為，故答案為：題型五畫(huà)軸對(duì)稱圖形17．（24-25八年級(jí)上·廣東東莞·階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，的位置如圖所示．(1)請(qǐng)畫(huà)出關(guān)于x軸對(duì)稱的；(2)寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)（

，

），（

，

）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，【分析】本題考查平面直角坐標(biāo)系中作關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形，點(diǎn)的坐標(biāo)，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)軸對(duì)稱的定義，即可解答；（2）根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可解答．【詳解】（1）解：作圖如圖（2）由圖可知，，．18．（24-25八年級(jí)上·湖北恩施·階段練習(xí)）如圖，在下列帶有坐標(biāo)系的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上，．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫(huà)圖，畫(huà)圖過(guò)程用虛線表示，畫(huà)圖結(jié)果用實(shí)線表示，并完成下列問(wèn)題．(1)在圖1中，畫(huà)出關(guān)于y軸對(duì)稱的（點(diǎn)D與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)），點(diǎn)E的坐標(biāo)為_(kāi)_____；(2)在圖1中，畫(huà)出的中線，點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)_____；(3)在圖2中，畫(huà)出的高；（保留作圖痕跡）(4)在圖2中，P為線段上任一點(diǎn)，畫(huà)出點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)．【答案】(1)圖見(jiàn)解析，(2)圖見(jiàn)解析，(3)見(jiàn)解析(4)見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了在網(wǎng)格中作三角形的高和中線以及作軸對(duì)稱圖形，解題的關(guān)鍵是作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)，掌握網(wǎng)格的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)．（1）作出點(diǎn)A、B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D、E，然后順次連接即可，寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）連接，交于一點(diǎn)M，連接即可，根據(jù)點(diǎn)M為的中點(diǎn)，寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可；（3）連接，交于一點(diǎn)F，則即為的高；（4）作出點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，連接，即可得到答案．【詳解】（1）解：作出點(diǎn)A、B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D、E，則即為所求作的三角形．點(diǎn)E的坐標(biāo)為：．故答案為：．（2）解：連接，交于一點(diǎn)M，連接，點(diǎn)M即為所求，根據(jù)作圖可知，點(diǎn)M為所在方格的中點(diǎn)上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為．故答案為：；（3）解：連接，交于一點(diǎn)F，如圖所示：（4）作出點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，連接，即可得到點(diǎn)．19．（24-25八年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）在邊長(zhǎng)為個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上(小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)),請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)畫(huà)出關(guān)于軸對(duì)稱的，并寫(xiě)出點(diǎn)為（___________，___________）；(2)求出的面積為_(kāi)__________；(3)在軸上存在一點(diǎn)使得最小，在圖中畫(huà)出點(diǎn)的位置，則點(diǎn)為（___________，___________）．【答案】(1)畫(huà)圖見(jiàn)解析，，(2)(3)畫(huà)圖見(jiàn)解析，，【分析】（）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作出圖形，再根據(jù)圖形寫(xiě)出坐標(biāo)即可；（）利用割補(bǔ)法求三角形的面積即可；（）連接，交軸于點(diǎn)，由軸對(duì)稱性可得，進(jìn)而得，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知此時(shí)的值最小，故點(diǎn)即為所求，再根據(jù)圖形寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；本題考查了作圖軸對(duì)稱變換，軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題，坐標(biāo)與圖形，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求，由圖可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：，；（2）解：的面積，故答案為：；（3）解：如圖所示，點(diǎn)即為所求，由圖可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：，．題型六軸對(duì)稱圖形的設(shè)計(jì)20．（24-25八年級(jí)上·吉林·期中）軸對(duì)稱（或稱對(duì)稱軸）的概念早在古希臘時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)．古希臘哲學(xué)家柏拉圖在其著作《會(huì)晤篇》中，就提到了“對(duì)稱”的概念，并闡述了對(duì)稱的重要性．在數(shù)學(xué)和物理學(xué)等領(lǐng)域中，軸對(duì)稱一直都是一個(gè)重要的概念，被廣泛應(yīng)用于各種理論和實(shí)踐中．如圖是由三個(gè)陰影的小正方形組成的圖形，請(qǐng)你在三個(gè)網(wǎng)格圖中，各補(bǔ)畫(huà)出一個(gè)有陰影的小正方形，使補(bǔ)畫(huà)后的圖形為軸對(duì)稱圖形．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形，如果一個(gè)圖形沿著某條直線折疊后，直線兩旁的部分可以完全重合，這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形中已有的陰影正方形的位置和軸對(duì)稱圖形的定義作圖．【詳解】解：如下圖所示，（答案不唯一）21．（24-25八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期中）在圖分別補(bǔ)充個(gè)小方塊，在圖中分別補(bǔ)充個(gè)小方塊，分別使它們成為軸對(duì)稱圖形．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義解答即可，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形的定義，軸對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．【詳解】解：如圖，（答案不唯一）22．（24-25八年級(jí)上·四川廣安·期中）如圖甲，正方形被劃分成16個(gè)全等的三角形，將其中若干個(gè)三角形涂黑，且滿足下列條件：（1）涂黑部分的面積是原正方形面積的一半；（2）涂黑部分成軸對(duì)稱圖形．圖乙與圖丙是一種涂法，請(qǐng)?jiān)趫D中分別設(shè)計(jì)另外三種涂法．（注：在所設(shè)計(jì)的圖案中，若涂黑部分全等，則認(rèn)為是同一種涂法，如圖乙與圖丙）【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了作圖軸對(duì)稱圖形，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖即可．【詳解】解：如圖所示，23．（24-25八年級(jí)上·四川廣安·階段練習(xí)）如圖所示，在的方格內(nèi)，已將其中的2個(gè)小正方形涂成黑色，請(qǐng)你分別在圖①、圖②、圖③、圖④中再將兩個(gè)空白的小正方形涂成黑色，使4個(gè)黑色小正方形組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，畫(huà)出與示意圖不同的4種方案．（每個(gè)的方格內(nèi)限畫(huà)一種）要求：（1）4個(gè)黑色小正方形必須相連；（有公共邊或公共頂點(diǎn)視為相連）（2）將選中的小正方形方格用黑色簽字筆涂成陰影圖形．（若兩個(gè)方案的圖形經(jīng)過(guò)翻折、平移、旋轉(zhuǎn)后能夠重合，均視為一種方案）【答案】見(jiàn)解析【分析】此題主要考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案，正確掌握相關(guān)圖形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平移的性質(zhì)分別得出符合題意的答案．【詳解】解：如圖所示：．題型一折疊問(wèn)題1．（24-25八年級(jí)上·遼寧大連·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)D在上，，，將沿著翻折得到，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由等腰三角形的性質(zhì)得，再由三角形的外角性質(zhì)得，則，然后由折疊的性質(zhì)得，即可求解．【詳解】解：，，，，由折疊的性質(zhì)得：，，故選：A．2．（24-25八年級(jí)下·內(nèi)蒙古包頭·期末）如圖，將平行四邊形沿對(duì)角線折疊，點(diǎn)恰好落在延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處，若交于點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．是直角三角形C．平分 D．【答案】D【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)，數(shù)形結(jié)合分析是關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合分析逐一判定即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵折疊，∴，∴，，∴，，則，∴，∴，即，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，故D選項(xiàng)正確，符合題意；∴是等腰三角形，∵，∴是直角三角形，錯(cuò)誤，故B選項(xiàng)不符合題意；如圖所示，連接，∴四邊形是矩形，∵的數(shù)量關(guān)系不確定，∴平分錯(cuò)誤，故C選項(xiàng)不符合題意；∵，但的位置關(guān)系不確定，∴，∴，故A選項(xiàng)不符合題意；綜上所述，只有D選項(xiàng)正確，故選：D．3．（24-25八年級(jí)下·河南開(kāi)封·期末）在學(xué)習(xí)《三角形的證明》這一章的內(nèi)容時(shí)，小強(qiáng)認(rèn)為“在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°，為了證明這個(gè)命題的準(zhǔn)確性，他畫(huà)出了如圖1所示的圖形，并寫(xiě)出了已知和求證．(1)在證明這個(gè)命題時(shí)，小強(qiáng)聯(lián)想到“在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”這個(gè)命題，由于這兩個(gè)命題是互逆命題，就想著在方法上有可借鑒的地方，嘗試著做了下面的輔助線：延長(zhǎng)到，使，連接．請(qǐng)?jiān)谛?qiáng)思路的基礎(chǔ)上完成證明過(guò)程．已知：中，，，求證：，證明：延長(zhǎng)到，使，連接．…(2)如圖2，小強(qiáng)取了一張長(zhǎng)方形紙片，且，沿過(guò)點(diǎn)的折痕將翻折，使得點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)，則的度數(shù)為．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查翻折的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，命題與定理，含度的直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題．（1）延長(zhǎng)到，使，連接．證明是等邊三角形可得結(jié)論；（2）證明可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)到，使，連接．，，，，，，是等邊三角形，，；（2）解：四邊形是長(zhǎng)方形，，，，，，，由（1）可得，，．故答案為：．題型二鏡面對(duì)稱1．（24-25七年級(jí)下·江蘇鹽城·期中）若看到鏡子中的一串?dāng)?shù)字為

，則這串?dāng)?shù)字實(shí)際是．【答案】【分析】本題考查鏡面反射的原理與性質(zhì)，根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱．解決此類題應(yīng)認(rèn)真觀察，注意技巧．【詳解】解：若看到鏡子中的一串?dāng)?shù)字為

，則這串?dāng)?shù)字實(shí)際是，故答案為：．2．（24-25八年級(jí)上·江蘇連云港·期中）小強(qiáng)從鏡子中看到的電子表的度數(shù)如圖所示，則電子表的實(shí)際讀數(shù)是．【答案】【分析】本題考查的是鏡面成像原理，根據(jù)鏡面成像原理，所成的像為反像，可判斷電子表的實(shí)際讀數(shù)．【詳解】解：∵鏡面所成的像為反像，∴此時(shí)電子表的實(shí)際讀數(shù)是．故答案為：．3．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）雨后，地上的積水猶如一塊澄澈的平面鏡，某路段監(jiān)控?cái)z像頭在雨后拍攝，由于位置偏離，拍攝中心聚集在了水面上，攝像頭偵測(cè)到一小轎車超速行駛，積水中倒映的車牌為“”，那么該小轎車的真實(shí)車牌號(hào)為．【答案】蘇【分析】本題考查了鏡面對(duì)稱，解決本題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的對(duì)稱軸；難點(diǎn)是作出相應(yīng)的對(duì)稱圖形．根據(jù)成軸對(duì)稱的性質(zhì)求解即可．【詳解】由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，該小轎車的真實(shí)車牌號(hào)為蘇．故答案為：蘇．4．（24-25八年級(jí)上·廣東珠?！て谥校┟髅髟阽R中看到身后墻上的時(shí)鐘如下，你認(rèn)為實(shí)際時(shí)間最接近的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，在平面鏡中的鐘面上的時(shí)針、分針的位置和實(shí)物應(yīng)關(guān)于過(guò)12時(shí)、6時(shí)的直線成軸對(duì)稱，然后分別求出每個(gè)選項(xiàng)中的時(shí)間，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：A、實(shí)際時(shí)間大約為；B、實(shí)際時(shí)間大約為；C、實(shí)際時(shí)間大約為；D、實(shí)際時(shí)間大約為；∴實(shí)際時(shí)間最接近的是．故選：D．5．（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，，，，是四面互相垂直擺放的鏡子，鏡面向內(nèi)，在鏡面上放了寫(xiě)有字母“”的紙片，某人站在處可以看到鏡面上的字母在鏡面，，中的影像，則下列判斷中正確的是（）

A．鏡面與中的影像一致 B．鏡面與中的影像一致C．鏡面與中的影像一致 D．在鏡面中的影像是“”【答案】C【分析】本題考查鏡面反射的原理與性質(zhì)．根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱，可求得鏡面與中的影像一致．【詳解】解：根據(jù)題意得：在處可以看到鏡面上的字母在鏡面與中的影像都是“”，鏡面與中的影像一致．故選：C．題型三臺(tái)球桌面的軸對(duì)稱圖形1．（22-23八年級(jí)上·廣東深圳·期中）如圖動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，沿如圖所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到矩形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)點(diǎn)第2014次碰到長(zhǎng)方形的邊時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)反彈時(shí)反射角等于入射角作出圖形，可知每6次反彈為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2014除以6，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】解：如圖，經(jīng)過(guò)6次反彈后點(diǎn)回到出發(fā)點(diǎn)，∵，∴當(dāng)點(diǎn)P第2014次碰到矩形的邊時(shí)為第336個(gè)循環(huán)組第4次碰到矩形的邊，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律探索，作出圖形，觀察出每6次反彈為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵．2．（23-24八年級(jí)上·遼寧鐵嶺·期中）2005年4月3日，斯諾克中國(guó)公開(kāi)賽，中國(guó)江蘇神奇小子丁俊暉奇跡般地戰(zhàn)勝了世界頭號(hào)選手亨德利，奪得了自己首個(gè)世界臺(tái)球職業(yè)排名賽冠軍，如圖，是一個(gè)經(jīng)過(guò)改造的臺(tái)球桌面的示意圖，圖中陰影部分分別表示六個(gè)入球孔，如果一個(gè)球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過(guò)多次反射），那么該球最后將落入的球袋是號(hào)袋．【答案】3【分析】主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)．根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由軸對(duì)稱的性質(zhì)判定正確選項(xiàng)．【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，臺(tái)球走過(guò)的路徑為：∴該球最后將落入的球袋是3號(hào)．故答案為：3．3．（22-23八年級(jí)上·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，桌面上有A、B兩球，若要將B球射向桌面的任意一邊，使一次反彈后擊中A球，則如圖所示8個(gè)點(diǎn)中，可以瞄準(zhǔn)的點(diǎn)有個(gè)．【答案】2【分析】根據(jù)入射角等于反射角，結(jié)合網(wǎng)格特點(diǎn)即可求解．【詳解】解：如圖，將B球射向桌面的點(diǎn)1和點(diǎn)6，可使一次反彈后擊中A球，故可以瞄準(zhǔn)的點(diǎn)有2個(gè)，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)找到使入射角等于反射角相等的點(diǎn)．4．（23-24八年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）【情境】2023年3月11日，2023斯諾克6紅球世錦賽決賽，丁俊暉以8﹣6擊敗本土作戰(zhàn)的塔猜亞?烏諾，繼2016年后第二次奪得冠軍．在臺(tái)球比賽中，球臺(tái)邊也叫“庫(kù)”，球撞擊一次球臺(tái)邊叫做“一庫(kù)”，球撞擊兩次球臺(tái)邊叫做“兩庫(kù)”，以此類推…【建?！浚?）在臺(tái)球桌上也有我們熟悉的數(shù)學(xué)模型：如圖①，在長(zhǎng)方形球臺(tái)內(nèi)有白球B、紅球H兩點(diǎn)，從點(diǎn)B出發(fā)，擊中球臺(tái)邊，反彈擊中點(diǎn)H（“一庫(kù)”）．請(qǐng)畫(huà)出白球B的路徑，并用箭頭標(biāo)出方向．【應(yīng)用】（2）若讓白球B彈“兩庫(kù)”擊中紅球H會(huì)有_____種情況，請(qǐng)選擇一種情況在圖②中畫(huà)出白球B的路徑，并用箭頭標(biāo)出方向．【拓展】（3）若讓白球B彈“三庫(kù)”擊中紅球H會(huì)有_______種情況，請(qǐng)?jiān)趫D③中畫(huà)出白球B的路徑，并用箭頭標(biāo)出方向．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）6，見(jiàn)解析；（3）4，見(jiàn)解析【分析】本題考查了軸對(duì)稱的運(yùn)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，鏡面對(duì)稱，軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行畫(huà)圖和推理是解此題的關(guān)鍵．（1）按要求作圖即可；（2）根據(jù)要求畫(huà)出6種路徑即可；（3）根據(jù)要求畫(huà)出4種路徑即可．【詳解】解：（1）作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，連接，則為白球的路徑，如圖①所示．；（2）如圖②⑦共6種情況，故答案為：6．（3）如圖所示，共有4種，故答案為：4．題型三軸對(duì)稱中的光線反射問(wèn)題1．（2025·山西呂梁·二模）如圖，為平面鏡，為水面，．一束光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過(guò)平面鏡反射后，從光線變成光線，再經(jīng)過(guò)水面折射，從光線變成光線．若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查求角度，涉及反射性質(zhì)、平行線性質(zhì)、對(duì)頂角相等等知識(shí)，如圖所示，由反射性質(zhì)得到，再由平行線性質(zhì)、對(duì)頂角相等確定，最后數(shù)形結(jié)合表示出即可得到答案．?dāng)?shù)形結(jié)合，掌握反射性質(zhì)、平行線性質(zhì)、對(duì)頂角相等等知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖所示：由反射性質(zhì)可知，，，，則，，，，，，故選：B．2．（2024·江西·二模）我們知道光的反射是一種常見(jiàn)的物理現(xiàn)象.如圖，某V型路口放置如圖所示的兩個(gè)平面鏡，，兩個(gè)平面鏡所成的夾角為，位于點(diǎn)D處的甲同學(xué)在平面鏡中看到位于點(diǎn)A處的乙同學(xué)的像，其中光的路徑為入射光線經(jīng)過(guò)平面鏡反射后，又沿射向平面鏡，在點(diǎn)C處再次反射，反射光線為，已知入射光線，反射光線，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了光的反射定律，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．由光的反射定律以及平行線的性質(zhì)，推出，再結(jié)合三角形內(nèi)角和，推出的度數(shù)．【詳解】如圖所示，由光的反射定律，可以知道，，，故選：C．3．（23-24八年級(jí)上·陜西西安·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸交于兩點(diǎn)，一束光從點(diǎn)發(fā)出，射向軸上的點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)反射后經(jīng)過(guò)上一點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是(

)

A． B． C． D．【答案】B【分析】在上方取點(diǎn)，使，過(guò)作軸交延長(zhǎng)線于，證明，可求出，直線函數(shù)表達(dá)式為，聯(lián)立解析式，即可求解．【詳解】解：在上方取點(diǎn)，使，過(guò)作軸交延長(zhǎng)線于，如圖：

由反射定律可得，，．，，，，由，得直線函數(shù)表達(dá)式為，解得：∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)反射定律，構(gòu)造三角形全等解決問(wèn)題．4．（24-25八年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·期末）如圖，一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)軸上的點(diǎn)反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值是．【答案】2【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的關(guān)系式及光的反射定律是解題的關(guān)鍵．求出點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)光的反射定律，點(diǎn)在所在的直線上，根據(jù)待定系數(shù)法求出所在的直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入該函數(shù)，從而求出的值即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則，根據(jù)光的反射定律，點(diǎn)在所在的直線上，設(shè)所在的直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為、為常數(shù)，且，將坐標(biāo)和分別代入，得，解得，所在的直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，將代入，得，經(jīng)整理，得．故答案為：2．5．（22-23八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）當(dāng)光線經(jīng)過(guò)鏡面反射時(shí)，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對(duì)應(yīng)相等．例如：在圖①、圖②中都有．設(shè)鏡子與的夾角．(1)如圖①，若，判斷入射光線與反射光線的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)如圖②，若，入射光線與反射光線的夾角．探索與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖③，若，設(shè)鏡子與的夾角為鈍角，入射光線與鏡面的夾角．已知入射光線從鏡面開(kāi)始反射，經(jīng)過(guò)為正整數(shù)，且）次反射，當(dāng)?shù)诖畏瓷涔饩€與入射光線平行時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)（可用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)，見(jiàn)解析(2)，見(jiàn)解析(3)或【分析】（1）根據(jù)，可得，進(jìn)而得出利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行加以證明；（2）根據(jù)，得出利用三角形的外角性質(zhì)證明即可；（3）分兩個(gè)鏡面夾角為直角和鈍角兩種情形求解即可．【詳解】（1）解：理由如下：在中，，，，；（2）．理由如下：在中，在中，；（3）或如圖，當(dāng)夾角為鈍角時(shí)，根據(jù)（2）中的結(jié)論，得，根據(jù)平行線性質(zhì)，得：，∴；如圖，當(dāng)夾角為直角時(shí)，根據(jù)（1）中的結(jié)論，得，根據(jù)三角形外角性質(zhì)，得：∴．∴的度數(shù)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，數(shù)學(xué)的分類思想，三角形內(nèi)角和定理，類比思想，根據(jù)前面的結(jié)論，靈活進(jìn)行分類求解是解題的關(guān)鍵．1．（24-25七年級(jí)下·湖北襄陽(yáng)·期末）學(xué)科融合：物理學(xué)中把經(jīng)過(guò)入射點(diǎn)O并垂直于反射面的直線叫作法線，入射光線與法線的夾角i叫入射角，反射光線與法線的夾角r叫作反射角（如圖1）．在反射現(xiàn)象中，反射光線、入射光線和法線都在同一個(gè)平面內(nèi)；反射光線和入射光線分別位于法線的兩側(cè)；入射角等于反射角．這就是光的反射定律．問(wèn)題解決：（1）如圖2，潛望鏡中的兩面鏡子是互相平行放置的，已知入射光線與平面鏡的夾角，那么入射光線經(jīng)過(guò)兩次反射后，兩反射光線形成的夾角，；（2）如圖3，當(dāng)兩個(gè)平面鏡，的夾角是多少度時(shí)，可以使任何射到平面鏡上的入射光線，經(jīng)過(guò)平面鏡，兩次反射后，得到．請(qǐng)說(shuō)明理由；嘗試探究：（3）人們發(fā)現(xiàn)了一種曲面的反射光罩，使汽車燈泡在點(diǎn)O處發(fā)出的光線反射后都能平行射出，在如圖4所示的截面內(nèi)，已知入射光線的反射光線為，．若一入射光線（點(diǎn)D是入射光線與反射光罩的交點(diǎn)）經(jīng)反射光罩后沿射出，且，請(qǐng)求出的度數(shù)．【答案】（1）；（2），見(jiàn)解析；（3）或【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)、光線的反射問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)，掌握平行線的判定與性質(zhì)以及分類討論思想成為解題的關(guān)鍵.（1）根據(jù)光的反射定律以及平行線的性質(zhì)即可解答；（2）根據(jù)光的反射定律和平行線的判定和性質(zhì)求解即可；（3）分點(diǎn)D在點(diǎn)C下方和上方兩種情況，分別根據(jù)光的反射定律和平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）由光的反射定律可知，∴，又∵，∴，∴∠2=180°-2∠PCB=180°-100°=80°，故答案為：．（2）時(shí)，可以使任何射到平面鏡上的入射光線，經(jīng)過(guò)平面鏡，兩次反射后，得到，理由如下：根據(jù)光的反射定律及等角的余角相等，可得，，如圖，過(guò)點(diǎn)O作，∵，，，，，，，，，，，，．（3）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C下方時(shí)，由題意可知，，，，，，；如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C上方時(shí)，由題意可知，，，．綜上，的度數(shù)為或．2．（24-25七年級(jí)下·山西晉中·期末）項(xiàng)目化學(xué)習(xí)：萬(wàn)花筒是一種通過(guò)光的反射產(chǎn)生對(duì)稱圖形的光學(xué)玩具．是1816年蘇格蘭物理學(xué)家大衛(wèi)·布魯斯特發(fā)明．為了尋找萬(wàn)花筒成像完整的方法，項(xiàng)目化小組將兩面鏡的背面用膠帶粘貼形成一個(gè)可以自由開(kāi)合的“鏡子門”，通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究“鏡子門”張角的大小對(duì)成像完整的影響，發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律，請(qǐng)你協(xié)助他們完成下列數(shù)據(jù)的填寫(xiě)．【實(shí)驗(yàn)一】如圖（1）當(dāng)“鏡子門”張角的大小為時(shí)，在兩鏡面夾角的平分線上放一個(gè)小球，可以在兩平面鏡中看到完整的2個(gè)小球．（1）【實(shí)驗(yàn)二】如圖（2），當(dāng)“鏡子門”張角的大小為時(shí)，在兩鏡面夾角的平分線上放一個(gè)小球，可以在兩平面鏡中看到完整的______個(gè)小球．項(xiàng)目化小組成員通過(guò)查閱資料，了解到其中的原理：左邊的鏡子成一個(gè)像，右邊的鏡子成一個(gè)像，這是兩個(gè)基本像點(diǎn)，只要它們落在另一鏡前就會(huì)相互反射形成多個(gè)鏡像，因此左邊的鏡像在右邊的鏡子里又成一個(gè)像，右邊的鏡像在左邊的鏡子里也成一個(gè)像，但是由于角度問(wèn)題這兩個(gè)像是重合的．如圖（3），當(dāng)鏡子M，N形成的“鏡子門”張角大小為時(shí)，在兩鏡面夾角的平分線上放一個(gè)小球S，小球S在平面鏡中所成的像為，，像在鏡面N里又成像同理在鏡面M里又成像，由角度可以推算出，，是重合的．（2）【實(shí)驗(yàn)三】如圖（4），當(dāng)“鏡子門”張角的大小為時(shí)，在兩鏡面夾角的平分線上放一個(gè)小球，它在兩平面鏡中所成完整像的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．（3）【實(shí)驗(yàn)四】當(dāng)“鏡子門”張角的大小為時(shí)，在兩鏡面夾角的平分線上放一個(gè)小球，它在兩平面鏡中所成完整像的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．……（4）【規(guī)律總結(jié)】當(dāng)“鏡子門”張角的大小為（且能被整除）時(shí)，在兩鏡面夾角的平分線上放一個(gè)小球，它在兩平面鏡中所成完整像的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．（用含n的式子表示）【答案】（1）3（2）5（3）7（4）【分析】本題考查了折射的提醒，在于觀察生