15.3角的平分線題型一由角平分線的性質求線段長度1．（24-25七年級下·廣東揭陽·期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，以點A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和點N，再分別以點M、N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P．連接AP并延長交BC于點D，若CD=3，則點A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】本題考查了角平分線的性質定理，根據作圖得到AD是角平分線，根據角平分線的性質定理得到點D到直線AB的距離等于CD，由此即可求解．【詳解】解：根據作圖得到AD是∠BAC如圖所示，過點D作DE⊥AB，則DE是點D到直線∵∠C=90°，即∴DC=故選：C．2．（24-25八年級下·山西太原·階段練習）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，S△ABC=7，DE=2A．3 B．4 C．6 D．5【答案】A【分析】本題主要考查了角平分線的性質定理，過D作DF⊥AC于F，由角平分線的性質定理即可求出DE=DF=2，再計算出S【詳解】解：過D作DF⊥AC于∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB∴DE=∵S△∵△ABC的面積為7∴S即12解得：AC=3故選：A．3．（24-25八年級上·湖北恩施·階段練習）如圖，在△ABC中，∠B，∠C的平分線交于點O，OD⊥BC于D，如果ABA．4cm B．5cm C．6【答案】B【分析】本題主要考查了角平分線的性質，三角形面積計算，作OE⊥AC交于點E，作OF⊥AB交于點F，連接OA，證明OD=【詳解】解：作OE⊥AC交于點E，作OF⊥AB交于點∵OC平分∠ACB，OB平分∠ABC∴OD=∵S△即12∴OD=5故選：B．4．（24-25八年級下·安徽宿州·期中）如圖，已知∠AOB=150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于點D，PC∥OB交OA于點CA．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】本題考查角平分線定義，等腰三角形的判定，平行線的性質，角平分線性質定理，30°角直角三角形性質，添加輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．如圖，過點P作PE⊥OC，垂足為E，由角平分線性質，得PE=PD=4，∠POD=∠POE，由平行性質，可推證∠PCO=30°，【詳解】解：如圖，過點P作PE⊥OC，垂足為∵OP平分∠AOB，PD∴PE=PD=4∵PC∥∴∠PCO∠CPO∴∠PCO∠CPO∴CO=Rt△CPE中，∴CO=故選：B．5．（24-25八年級下·安徽淮北·期中）如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠CAB=60°，AC=23，BC=6，AD平分∠CAB交BC于點DA．1 B．2 C．3 D．2【答案】D【分析】本題主要考查了角平分線的性質和定義，含30度角的直角三角形的性質，等角對等邊，三角形內角和定理，過點D作DH⊥AB于H，先由角平分線的定義和三角形內角和定理求出∠CAD=∠DAB=∠B【詳解】解；如圖所示，過點D作DH⊥AB于∵∠CAB=60°，∴∠B∵AD平分∠CAB∴∠CAD∴∠DAB∴AD=∵∠C∴AD=∴CD=又∵DH⊥∴DH=由垂線段最短可知，當DE⊥AB時，線段DE長度最小，即點E與點H重合時線段DE長度最小，最小值為故選：D．題型二由角平分線的性質求周長/面積6．（24-25八年級下·遼寧丹東·期中）如圖，點D是△ABC的三個內角平分線的交點，若△ABC面積為27cm2，點D到邊AC的距離是A．18cm B．9cm C．36cm【答案】A【分析】本題考查的知識點是角平分線的性質，解題關鍵是掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．作DE⊥AB，DF⊥AC，【詳解】解：作DE⊥AB，DF⊥∵點D是△ABC∴DE∵點D到邊AC的距離是3cm∴∵△ABC面積為27即12∴1AB+即△ABC的周長為18故選：A．7．（24-25八年級上·新疆烏魯木齊·期中）如圖，△ABC中，AB=8，AC=6，BC=5，∠ABC與∠A．11 B．14 C．13 D．19【答案】B【分析】本題考查平行線的性質和角平分線的定義以及等腰三角形的判定．熟練掌握兩直線平行，內錯角相等，以及等角對等邊，是解題的關鍵．注意題目中既有角平分線又有平行線，往往會有等腰三角形．根據角平分線的定義，以及平行線的性質，得到△BDO【詳解】∵BO，CO∴∠OBD∵DE∴∠BOD∠OBD∴OD∴====8+6=14，故選擇：B．8．（24-25八年級上·廣東珠?！て谀┤鐖D，在四邊形ABCD中，AD=CD，BD平分∠ABC,DE⊥BC,BE【答案】8【分析】本題考查了角平分線的性質定理，三角形全等的判定與性質．過點D作DF⊥AB交BA的延長線于點F，由角平分線的性質得出DF=DE，利用“HL”證明Rt△【詳解】解：如圖，過點D作DF⊥AB交BA的延長線于點∵BD平分∠ABC，DF∴DE=在Rt△ADF和DA=∴Rt△∴S△ADF在Rt△BDF和BD=BD∴Rt△∴S△BDF∵△BCD的面積是20，BE∴12∵AF=CE∴DE=4=∴AB=7-3=4∴△ABD的面積為1故答案為：8．9．（24-25八年級上·福建廈門·期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為50

【答案】6【分析】本題考查了角平分線的性質定理，全等三角形的判定和性質，掌握以上知識，數形結合分析是解題的關鍵．如圖所示，過點D作DH⊥AC于點H，可得DF=DH，可證Rt△ADF≌Rt△ADHHL【詳解】解：如圖所示，過點D作DH⊥AC于點

∵AD是△ABC的角平分線，DF∴∠FAD=∠HAD∵AD=∴Rt△∴S△在Rt△DEF和DE=∴Rt△∴S△∴S△∴S△∴38+S解得，S△故答案為：6．10．（24-25八年級上·江蘇無錫·階段練習）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，AB(1)△ABD與△CBD的面積之比為(2)若△ABC的面積為140，求DE【答案】(1)4∶3(2)5【分析】本題考查了角平分線的性質，三角形的面積，掌握角平分線的性質是解題的關鍵．（1）過點D作DF⊥BC于F，根據角平分線的性質可得DE=DF，根據三角形的面積公式即可求出（2）根據（1）求出的△ABD與△CBD的面積之比，得到△ABD【詳解】（1）解：過點D作DF⊥BC于∵BD平分∠ABC，DE⊥AB∴DE=∴S△∴△ABD與△CBD的面積之比為故答案為：4∶3；（2）解：∵S△∴S△∵S△∴DE=5題型三由角平分線的性質比較大小11．（22-23七年級下·福建莆田·階段練習）如圖，P是△ABC的三條內角平分線的交點，若△PAB，△PBC，△PAC的面積分別為S1，S

A．S1<S2C．S1>S2+S【答案】A【分析】過P點作PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，利用角平分線的性質得到PD=PE=【詳解】解：如圖，過P點作PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，

∵P是△ABC∴PD∴S1=12?∴S∵AB∴S故選：A．【點睛】本題考查了角平分線的性質，三角形面積計算，三角形三邊關系定理，熟練掌握角平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．12．（22-23八年級上·天津·期中）如圖，在△ABC中，外角∠CBD、∠BCE的平分線交于點O，OF⊥ADA．OF>OG BC．OF=OG D．OF與【答案】C【分析】過O作OM⊥BC于M,再根據角平分線的性質即可得出：【詳解】解：如圖：過O作OM⊥BC于∵OB平分∠CBD、OF⊥∴OF=∵OC平分∠BCE，OG⊥∴OG=∴OF=故選：C．【點睛】此題考查了角平分線的性質，能利用角平分線的性質正確做出輔助線是解題的關鍵．13．（24-25八年級下·湖南婁底·期末）如圖，在△ABC的外角∠DAC的平分線上任取一點P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分別為點E、F．則A．BE+PF<C．BE+PF【答案】B【分析】本題考查了角平分線的性質，三角形的三邊關系，掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題關鍵．由角平分線的性質可得PE=【詳解】解：∵AP是∠DAC的平分線，PE⊥∴PE∴BE故選：B．14．（24-25八年級上·江蘇揚州·期中）如圖，直角△ABC中，∠BAC=90°，點I是△ABC三條角平分線的交點，△ABI的面積記為S1，△ACI的面積記為S2，△BCI的面積記為SA．S1+S2=S3 B【答案】B【分析】此題考查角平分線的性質和勾股定理，關鍵是根據角平分線的性質得出△ABI和△BIC和【詳解】解：∵點I是△ABC∴△ABI和△BIC和△AIC∵△ABI的面積記為S1，△ACI的面積記為S2，∴S12∵∠BAC∴A∴S故選：B．15．（22-23八年級下·廣東惠州·開學考試）如圖，在∠AOB中，OC平分∠AOB，OA>OB，∠OAC

A．AC=BC B．AC>BC C．【答案】A【分析】作CD⊥OA，垂足為D，CE⊥OB交OB延長線于點E，再根據角平分線的性質得出DC=【詳解】解：作CD⊥OA，垂足為D，CE⊥OB交OB延長線于點

∵OC平分∠AOB，CD⊥OA∴DC=∵∠OAC+∠OBC∴∠OAC在△ADC和△∠OAC∴△ADC∴AC=故選：A．【點睛】此題考查了角平分線的性質，全等三角形的判定和性質，關鍵是添加輔助線來證明三角形全等．題型四由角平分線的性質進行證明16．（24-25八年級上·廣東東莞·期末）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于(1)求證：BE=(2)如果AB=5，AC=3，求【答案】(1)證明見解析(2)1【分析】本題考查了角平分線的性質定理、三角形全等的判定與性質、線段垂直平分線的性質等知識，正確找出全等三角形是解題關鍵．（1）連接BD、CD，先證出BD=CD，DE=（2）先證出Rt△AED≌Rt△【詳解】（1）證明：如圖，連接BD、CD，∵DG⊥BC且平分∴BD∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，∴DE=DF在Rt△BED與DE=DF∴Rt△∴BE（2）解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，∴DE=DF在Rt△AED與AD=AD∴Rt△∴AE由（1）已證：BE=設BE=∵AB=5，AC∴AE=AB-∴5-x解得x=1∴BE=117．（24-25八年級上·安徽安慶·期末）如圖，CD為Rt△ABC斜邊上的高，∠BAC的平分線分別交CD，BC于點E、F，FG(1)求證：CE=(2)若AC=12，AB=15，CE=4【答案】(1)詳見解析(2)54【分析】本題考查了角平分線的性質，三角形內角和，三角形面積，熟練掌握它們的性質是解題的關鍵；（1）先根據角平分線的性質得出FC=FG，∠CAF=∠DAE,再證∠AED=∠（2）先證FG=CF=【詳解】（1）證明：∵AF是∠BAC的平分線，∠ACB=90°∴FC=FG，∠CAF+∠CFA∴∠AED∵∠AED∴∠CEF∴CE=∴CE=（2）解：∵CE=4∴FG=∵AC=12，AB∴S==118．（24-25八年級上·內蒙古烏?！て谥校┤鐖D1，在△ABC中，AD(1)求證：S△(2)如圖2，在△ABC中，AD是它的角平分線，且∠C=2∠B，請同學們探究線段AB、【答案】(1)見解析(2)AB=【分析】本題考查角平分線的性質、等腰三角形的判定、全等三角形的判定與性質、三角形的外角性質，添加輔助線是解答的關鍵．（1）作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為E、（2）在AB上截取AE=AC，連接DE，先證明△ADE≌△ADCSAS，得到AE=【詳解】（1）證明：作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為∵AD平分∠BAC∴DE∴S（2）解：在AB上截取AE=AC，連接∵AD平分∠BAC∴∠DAE又AD=∴△ADE∴AE=AC，DE又∠AED=∠B∴∠B∴BE∴BE∴AB即AB=題型五角平分線的證明19．（25-26八年級上·全國·隨堂練習）如圖，已知BE⊥AC于點E，CF⊥AB于點F，BE、CF相交于點D，若AB=【答案】見解析【分析】連結BC，結合等邊對等角證明△BCF≌△CBE，繼而可證△【詳解】證明：如答圖，連結BC，∵BE⊥AC于點E，CF⊥∴∠CFB∵AB∴∠ABC在△BCF和△∠BFC∴△BCF∴BF在△BFD和△∠FDB∴△BFD∴DF∴AD平分∠【點睛】本題考查的知識點是等邊對等角、全等三角形的判定與性質、角平分線的判定定理，解題關鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質．20．（24-25八年級下·江西吉安·期末）已知，如圖，AE⊥BE,AF⊥CF，點(1)證明：AE=(2)試說明DA平分∠(3)延長EB?FC相交于點D，連結AD．證明：AD垂直平分線段【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，角平分線的判定，中垂線的判定，熟練掌握相關知識點，是解題的關鍵：（1）證明Rt△（2）根據到角兩邊距離相等的點，在角的角平分線上，進行判斷即可；（3）根據到線段兩端點距離相等的點在線段的中垂線上，進行判斷即可．【詳解】（1）證明：∵∠∴∵AE∴∠E又∵∴Rt∴AE（2）∵AE∴DA平分∠（3）證明：∵∴Rt△ADE∴DE∵∴DE-BE又∵AB∴AD垂直平分線BC21．（24-25七年級下·江西吉安·期末）已知，如圖，∠A=∠B=90°，M是AB的中點，(1)試說明：CM平分∠BCD(2)試說明∠DMC【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了角平分線的判定與性質、三角形的內角和定理、平行線的判定和性質，解決本題的關鍵是根據角平分線的性質找邊和角之間的關系．（1）過點M作MN⊥AD，根據角平分線的性質可證MN=MA，根據中點的定義可知（2）根據∠B=∠A=90°可知AD∥BC，根據兩直線平行同旁內角互補可得【詳解】（1）解：作MN⊥CD于∵DM平分∠ADC，∠∴MA⊥∵MN⊥∴MA=∵M是AB的中點，∴MA=∴MB=∵∠B∴MB⊥∵MN⊥∴CM是∠BCD（2）證明：∵∠A∴AD∥∴∠ADC∵CM平分∠BCD，DM平分∠∴∠MDC=1∴∠MDC∴∠DMC∴∠DMC22．（24-25八年級下·全國·期中）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內角∠ABC的平分線BP(1)試探索∠BPC與∠(2)若∠BPC=40°，求【答案】(1)∠BPC(2)50°【分析】本題考查的是角平分線的判定與性質及三角形外角性質，熟練掌握判定與性質是關鍵，（1）先得出∠BPC=∠PCD（2）過點P作PQ⊥BD于點Q，PR⊥AC于點R，PM⊥BA交BA延長線于點M，證明【詳解】（1）解：∠BPC∵∠PCD∴∠BPC∵PB,PC分別平分∴∠BPC∵∠ACD∴∠ACD∴∠BPC（2）解：如圖，過點P作PQ⊥BD于點Q，PR⊥AC于點R，PM⊥∵PB,PC分別是∠∴PQ=∴PR=∴點P在∠CAM即PA平分∠CAM由（1）得∠BAC∴∠CAM∴∠CAP題型六由角平分線的判定求角的度數23．（24-25八年級下·貴州畢節(jié)·期末）如圖，C為∠AOB內部一點，且點C到AO的距離與點C到OB的距離相等，連接OC，若∠AOC=21°A．42° B．30° C．25° D．21°【答案】D【分析】本題考查角平分線的判定，熟練掌握角平分線的判定方法：到角兩邊距離相等的點在角的角平分線上是解題的關鍵，利用角平分線的判定方法判定OC平分∠AOB【詳解】解：∵C為∠AOB內部一點，且點C到AO的距離與點C到OB∴OC平分∠AOB∵∠AOC∴∠BOC故選：D．24．（24-25八年級下·陜西咸陽·期末）如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，連接AD，AB=14，AC=7，△ABD與△ACD的面積之比為2:1，若∠A．36° B．38° C．40° D．45°【答案】C【分析】本題考查角平分線的判定定理，過點D作DE，DF分別垂直于E，F，根據△ABD與△ACD的面積之比為2:1，證的DE=DF，可知【詳解】解：過點D作DE，DF分別垂直于E，F，∵△ABD與△ACD的面積之比為∴12∴DE=∴AD平分∠BAC又∵∠BAC∴∠BAD故選：C．25．（24-25八年級下·安徽宿州·期末）如圖在直線AB的同一側作△ABD和△BCE,△ABD和△BCE都是等邊三角形，連接AE①AE=DC；②∠DHA=60°；③連接HBA．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【分析】本題考查等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，角平分線的判定等，證明△CBD根據△ABD和△BCE都是等邊三角形，得出△CBD≌△EBASAS，可判斷①②，根據【詳解】解：∵△ABD和△∴∠ABD=∠EBC=60°，∴∠CBD∴△CBD∴AE=DC，故∵△CBD∴∠CDB又∵∠DGH∴∠DHG即∠DHA=60°，故∵△CBD∴AE和DC邊上的高相等，即點B到AE和DC邊的距離相等，∴HB平分∠AHC，故③綜上可知，正確的結論有3個，故選：D．26．（24-25八年級下·河南鄭州·期末）如圖，在△ABC中，∠B=100°，點D在△ABC內部，且到三邊的距離相等，則【答案】140【分析】本題考查了角平分線的判定和性質，三角形的內角和定理，解題的關鍵是熟練掌握角平分線的判定和性質．由三角形的內角和定理可得∠BAC與∠【詳解】解：∵在△ABC中，∠∴∠BAC∵點D在△ABC∴AD平分∠BAC，CD平分∠∴∠DAC=1∴∠DAC∴∠ADC故答案為：140．題型七尺規(guī)作角平分線27．（23-24八年級上·福建龍巖·階段練習）尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）

(1)在BC邊上求作一點D，使點D到AB和AC的距離相等；(2)畫△ADC的高CE【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）如圖，作∠BAC的角平分線AM，交BC于點D，根據角平分線的性質，點D（2）如圖，過點C作AE的垂線，交射線AM于點E，線段CE即為所求．【詳解】（1）解：如圖，作∠BAC的角平分線AM，交BC于點D

（2）如圖，過點C作AE的垂線，交射線AM于點E，線段CE即為所求

【點睛】本題考查尺規(guī)作圖作角平分線，角平分線的性質，過一點作已知直線的垂線，掌握基本的尺規(guī)作圖是解題的關鍵．28．（2025·陜西寶雞·模擬預測）如圖，已知△ABC．請用尺規(guī)作圖法，在△ABC內求作一點D，使點D到AB,AC的距離相等，且點【答案】見解析【分析】本題考查尺規(guī)基本作圖-作角平分線、過直線外一點作直線的垂線，熟練掌握尺規(guī)基本作圖和解平分線的性質，垂線段最短是解題的關鍵．作∠BAC的平分線AD，再過點C作CD⊥AD【詳解】解：如圖所示：點D即為所求．∵AD是∠BAC∴點D到AB,∵CD⊥根據垂線段最短可得點C到點D的距離最短．29．（24-25八年級下·陜西西安·期末）如圖，已知∠ABC，AD⊥BC于D．請你利用尺規(guī)在邊BD上求作一點E，使E到AB【答案】見解析【分析】本題考查了角平分線的性質：角平分線上的點到角的兩邊距離相等，分析“AD⊥BC，使E到AB的距離與ED長度相等”，得出作∠DAB的角平分線，與BD【詳解】解：如圖，點E，即為所求．∵AE是∠DAB的角平分線，ED∴ED題型八角平分線的實際應用30．（24-25八年級上·北京朝陽·期中）三條公路將A、B、C三個村莊連成一個如圖的三角形區(qū)域，如果在這個區(qū)域內修建一個集貿市場，要使集貿市場到三條公路的距離相等，那么這個集貿市場應建的位置是（

）A．三條高線的交點 B．三條中線的交點C．三條角平分線的交點 D．三邊垂直平分線的交點【答案】C【分析】本題主要考查了角平分線的應用．根據“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”，即可獲得答案．【詳解】解：要使集貿市場到三條公路的距離相等，那么這個集貿市場應建的位置是三條角平分線的交點．故選：C．31．（24-25八年級下·遼寧沈陽·期中）如圖，直線l1，l2，l3表示三條公路．現要建造一個中轉站P，使P到三條公路的距離都相等，則中轉站P【答案】4【分析】本題考查了角平分線的性質，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等，分情況找點P的位置．【詳解】解：①三角形兩個內角平分線的交點，共一處；②三個外角兩兩平分線的交點，共三處，∴中轉站P可選擇的點有共有4個．故答案為：4．32．（24-25八年級上·甘肅天水·期末）為響應眉山市委市政府創(chuàng)建“全國衛(wèi)生城市”的工作，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)擬在兩個村莊A、B與兩條公路l1、l2附近修建一個垃圾中轉站C，要求垃圾中轉站C到兩條公路l1、l2的距離相等，到兩個村莊A、B的距離也相等并且運送距離和最短，那么點【答案】見解析【分析】本題考查了線段垂直平分線和角平分線的作圖以及性質，解答本題的關鍵是熟練掌握線段垂直平分線和角平分線的作圖以及性質．根據線段垂直平分線和角平分線的性質即可畫出中轉站的位置．【詳解】解：如圖所示：點C即為中轉站．作線段AB的垂直平分線，兩條公路的夾角的平分線，兩條線相交于點C．題型一角平分線的性質與判定綜合運用33．（24-25八年級下·湖南懷化·期中）如圖，∠B=∠C=90°，M是BC中點，DM平分【答案】見解析【分析】先利用角平分線的性質證明MC=ME，根據角平分線的意義，得出2∠DAM=∠BAD，再利用中點的意義結合已知證明BM=MC=ME，從而可判定AM平分∠DAB，根據角平分線的意義，得出【詳解】證明：過M作ME⊥AD于∵DM平分∠ADC，∠C=90°∴MC=ME，∵M為BC的中點，∴BM=∵∠B=90°，∴AM平分∠DAB∴2∠DAM∵∠B∴AB∥∴∠BAD∴2∠DAM∴∠DAM∴∠DMA即∠DMA【點睛】本題考查了角平分線的判定，角平分線的意義，直角三角形的判定，平行線的性質，三角形內角和定理，解題關鍵是掌握上述知識點，并能熟練運用求解．34．（24-25七年級下·福建福州·期末）如圖，點E在∠BAC的平分線上，過點E作EF⊥AB于點F，EG⊥CD(1)求證：CE是∠ACD(2)求證：AC=【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】此題考查了角平分線的性質定理和判定定理，全等三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是掌握以上知識點．（1）過點E作EH⊥AC于點（2）證明出Rt△AEF≌Rt△【詳解】（1）過點E作EH⊥AC∵點E在∠BAC的平分線上，EF∴EF∵EF∴EH又∵∴CE是∠ACD（2）∵EF∴∠在Rt△AEF和AE∴Rt∴同理可得CH=∴AF35．（24-25八年級下·廣東深圳·期中）如圖，△ABC中，點D在邊BC延長線上，∠ACB=110°,∠ABC的平分線交AD于點E，過點E作EH⊥(1)∠ACE的度數是(2)求證：AE平分∠CAF(3)若AC+CD=14,AB=8【答案】(1)35°(2)證明見解析(3)12【分析】本題主要考查了角平分線的判定與性質，三角形內角和定理的應用；（1）先求出∠ACD=70°，再根據直角三角形的兩個銳角互余可得∠DCE（2）過點E作EM⊥BF于點M，作EN⊥AC于點N，先根據角平分線的性質可得（3）過點E作EM⊥BF于點M，作EN⊥AC于點N，則EM=EH=EN，設【詳解】（1）解：∵∠ACB∴∠ACD∵EH∴∠DCE∴∠ACE（2）證明：如圖，過點E作EM⊥BF于點M，作EN⊥AC∵BE平分∠ABC，EM∴EM由（1）可知，∠ACE=∠DCE=35°，即∴EN∴EM又∵點E在∠CAF∴AE平分∠（3）解：如圖，過點E作EM⊥BF于點M，作EN⊥由（2）已得：EM=設EM=∵S∴S∴12AC又∵AC∴x∴EM∵AB∴△ABE的面積為1題型二與角平分線的性質與判定相關的多結論問題36．（24-25八年級上·浙江寧波·期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AD平分∠BAC交BC于點D，CE平分∠ACB交AB于點E，AD、CE交于點F．①∠AFC=120°；②若CE⊥AB，則AB=2AEA．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤【答案】B【分析】設∠BAC=2α，∠ACB=2β，由角平分線的定義結合三角形內角和定理可得α+β=60°，再由三角形內角和定理計算即可判斷①；證明△ACE≌△BCEASA，得出AE=BE即可判斷②；由CE平分∠ACB，但AE與AE不一定相等即可判斷③；在AC邊上截取AG=AE，連接FG，證明△AFE≌△AFGSAS，△FDC≌△FGC【詳解】解：①設∠BAC=2α∵在△ABC中，∠ABC=60°，AD平分∠BAC交BC于點D，CE平分∠ACB∴∠EAF=∠FAC=α∴α+∴∠AFC=180°-∠②∵CE⊥AB，CE平分∴∠AEC=∠BEC∵CE=∴△ACE∴AE=∴AB=2AE，故③∵CE平分∠ACB，但AE與BE∴S△ACE與S△④如圖，在AC邊上截取AG=AE，連接，∵AD平分∠BAC∴∠BAD∵AG=AE，∴△AFE∴∠AEF∴∠FGC∵∠FDC=∠B∴∠FDC∴∠FDC∵CE平分∠ACB∴∠ABE∵CE=∴△FDC∴CD=∴AC=AG+⑤如圖，作EM⊥AF于M，DN⊥，由④可得，△AFE≌△AFG∴EF=∵EM⊥AF，DN⊥∴△MFE∴EM=∵S△AEF=∴S△AEF:綜上所述，正確的有①②④⑤．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的性質、三角形外角的定義及性質、三角形內角和定理等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當的輔助線是解此題的關鍵．37．（2025·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，點C為線段AE上一動點（不與A、E重合），在AE同側分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ，以下四個結論①∠AOB=60°；②PQ∥AE；③OC平分∠【答案】①②③④【分析】首先結合等邊三角形的性質證明△ACD≌△BCE，由全等三角形的性質可得AD=BE,∠PAC=∠QBC，進而證明△ACP≌△BCQ，易得PC=QC，結合“有一個角為60度的等腰三角形為等邊三角形”可得△PCQ為等邊三角形，進一步可知∠CPQ=60°=∠ACB，可證明PQ∥AE，即可判定結論②；證明BC∥DE，易得∠CBE=∠DEO=∠DAC，結合三角形外角的定義性質可得∠AOB=∠DEC=60°，即可判定結論①【詳解】解：∵△ABC，△∴AB=BC=∴∠ACB+∠BCD在△ACD和△AC=∴△ACD∴AD=∵∠ACB∴∠BCD在△ACP和△∠ACP∴△ACP∴PC=又∵∠PCQ∴△PCQ∴∠CPQ∴PQ∥AE，故結論∵∠EDC∴BC∥∴∠CBE∴∠AOB=∠DAC如圖，過C作CM⊥AD,∵△ACD≌△BCE∴S△ACD=∴CM=∴OC平分∠AOE，故結論③如圖，在OE上取點F，使得OF=∵∠DOF∴△ODF∴DF=DO，∴∠ODC∴∠ODC在△ODC和△DO=∴△ODC∴OC=∴OE=OF+綜上所述，結論正確的有①②③④．故答案為：①②③④．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、三角形外角的定義和性質、角平分線的判定等知識，綜合性較強，熟練運用相關知識是解題關鍵．38．（24-25八年級下·福建三明·期末）如圖，點P為∠AOB的平分線上的一個定點，且∠CPD與∠AOB互補．若∠CPD在繞點P旋轉的過程中，其兩條邊分別與OA，OB相交于①OM+②∠PMN③MN的長度不變；④四邊形PMON的面積不變；其中正確的是．（寫出所有正確結論的序號）【答案】①②④【分析】本題考查全等三角形的性質、角平分線的性質定理、四邊形的面積等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如圖所示，根據題中條件，只要證明【詳解】解：作PE⊥OA于E，PF⊥∵∠PEO=∠∴∠EPF∵∠MPN∴∠EPF∴∠EPM∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，∴PE在△POE和△∠POE∴△POE≌△∴OE在△PEM和△∠MPE∴△PEM≌△∴EM=NF∵OM∴OM+ON∵∠MPN+∠AOB=180°，設∴∠MPN∵PM=∴∠PMN∴∠PNM=∠PON∵△PEM≌△∴S∴S四邊形PMON在旋轉過程中，△PMN∵PM∴MN的長度是變化的，故③則正確的有①②④．故答案為：①②④．39．（24-25七年級下·貴州畢節(jié)·期末）如圖1，OM⊥ON，點A，D在OM上，點B，C在ON上，CD平分∠ACO，與(1)若∠CAO+∠BDO=90°，線段(2)如圖2，在1的條件下，OC=4，E為AC上一點，且∠DEA=∠(3)如圖3，過點D作DF⊥AC于點F，H為FC上一動點，G為OC上一動點．當點H在FC上移動，點G在OC上移動時，始終滿足∠GDH【答案】(1)線段A