2025年專升本理工科專業(yè)線性代數(shù)專項訓練試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：（每小題2分，共10分）1.設A是3階矩陣，若|A|=-2，則|3A|等于（）。A.-2B.3C.-6D.182.已知矩陣A=，B=，則矩陣AB是（）。A.B.C.D.3.向量組α?=(1,0,1),α?=(0,1,0),α?=(1,1,1)線性（）。A.相關B.無關C.無法確定D.至少有兩個向量可由其余向量線性表示4.齊次線性方程組x?+x?+x?=0的通解是（）。A.k(1,0,-1)(k為任意常數(shù))B.k(0,1,-1)(k為任意常數(shù))C.k(1,1,1)(k為任意常數(shù))D.k?(1,0,-1)+k?(0,1,-1)(k?,k?為任意常數(shù))5.矩陣A=有特征值λ=2，則|A|等于（）。A.2B.-2C.4D.-4二、填空題：（每小題3分，共15分）6.行列式|A|的元素a??的代數(shù)余子式A??與元素a??的比值為__________。7.若矩陣X滿足AX=B，其中A=，B=，則X的值為__________。8.向量組α?=(1,2,3),α?=(0,1,2),α?=(0,0,1)的秩為__________。9.設A是n階可逆矩陣，則矩陣A的伴隨矩陣A*的行列式|A*|等于__________。10.線性方程組Ax=b中，若系數(shù)矩陣A的秩r(A)=2，增廣矩陣ρ(A,b)的秩r(ρ(A,b))=3，則此方程組有__________解。三、計算題：（每小題6分，共18分）11.計算行列式|A|的值，其中A=。12.設矩陣A=，求矩陣A的逆矩陣A?1。（若A可逆）13.求線性方程組3x?+x?-x?=2,x?+2x?+x?=1,x?-x?=0的解。四、證明題：（每小題7分，共14分）14.證明：若向量組α?,α?,α?線性無關，則向量組α?+α?,α?+α?,α?+α?也線性無關。15.證明：若n階矩陣A滿足A2-2A-3I=O，則A可逆，并求A?1。---試卷答案一、選擇題：1.D2.B3.B4.A5.D二、填空題：6.-17.8.39.|A|^(n-2)10.無三、計算題：11.解：利用行展開式（或按第一行展開）|A|=1*|-12||2-1|=1*((-1)*(-1)-2*2)=1*(1-4)=1*(-3)=-312.解：利用初等行變換求逆（或伴隨矩陣法）（A|I）=（|100||210||121）進行行變換至（I|A?1）|011||-1-21）A?1=13.解：寫出增廣矩陣并利用行變換化為行最簡形（31-1|2）|121|1||01-1|0|→（101|1）(R?-R?,R?-3R?)01-1|0|000|1）(R?-R?)→（101|1）(R?-R?)01-1|0|000|1）(R?-R?)系數(shù)矩陣秩r(A)=2，增廣矩陣秩r(ρ(A,b))=3，r(A)<r(ρ(A,b))，方程組無解。四、證明題：14.證明：設存在常數(shù)k?,k?,k?使得k?(α?+α?)+k?(α?+α?)+k?(α?+α?)=0即(k?+k?)α?+(k?+k?)α?+(k?+k?)α?=0因為α?,α?,α?線性無關，所以系數(shù)必須全為0：{k?+k?=0{k?+k?=0{k?+k?=0解此齊次線性方程組，其系數(shù)行列式|101||110||011|=1(1*1-0*1)-0(1*1-0*0)+1(1*1-1*0)=1+1=2≠0故方程組只有零解：k?=k?=k?=0因此，向量組α?+α?,α?+α?,α?+α?線性無關。15.證明：由A2-2A-3I=O得A2-2A=3I因為det(A2-2A)=det(A(A-2I))=det(A)det(A-2I)而det(A)=-3≠0所以det(A)det(A-2I)=(-3)det(A-2I)=3得det(A-2I)=-1≠0故矩陣A-2I可逆。由A2-2A=3I，兩邊左乘(A-2I)?1得A(A-2I)A?1-2A?1=3(A-2I)A?1A?1