2025導(dǎo)數(shù)定義考研考試試卷及答案一、選擇題（每題5分，共25分）

1.設(shè)函數(shù)f(x)在x=1處可導(dǎo)，且f'(1)=2，則下列極限值等于2的是（）

A.lim(x→1)[f(x)f(1)]/(x1)

B.lim(x→1)[f(x)f(1)2(x1)]/(x1)

C.lim(x→1)[f(x)+f(1)]/(x1)

D.lim(x→1)[f(x)+2(x1)]/(x1)

答案：B

解析：由導(dǎo)數(shù)的定義可知，f'(1)=lim(x→1)[f(x)f(1)]/(x1)=2。將2(x1)代入f(x)f(1)中，得到f(x)f(1)2(x1)，故選B。

2.設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處可導(dǎo)，且f'(0)≠0，則下列命題正確的是（）

A.f(x)在x=0處連續(xù)

B.f(x)在x=0處可微

C.f(x)在x=0處有界

D.f(x)在x=0處可導(dǎo)

答案：B

解析：由可導(dǎo)的定義知，f'(0)≠0，則f(x)在x=0處可微。可微意味著連續(xù)，故選B。

3.設(shè)函數(shù)f(x)=x^33x^2+2x+1，求f'(x)=0的解的個數(shù)為（）

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：C

解析：對f(x)求導(dǎo)，得f'(x)=3x^26x+2。令f'(x)=0，解得x=1±√(1/3)，共有兩個解，故選C。

4.設(shè)函數(shù)f(x)=e^x+sin(x)，求f''(x)的值為（）

A.e^x+sin(x)

B.e^x+cos(x)

C.e^xsin(x)

D.e^xcos(x)

答案：B

解析：對f(x)求導(dǎo)，得f'(x)=e^x+cos(x)。再對f'(x)求導(dǎo)，得f''(x)=e^xsin(x)，故選B。

5.設(shè)函數(shù)f(x)=(x^22x+1)/(x1)，求f'(x)的值為（）

A.2x2

B.2

C.0

D.不存在

答案：D

解析：f(x)=(x1)^2/(x1)=x1，當(dāng)x≠1時。但在x=1處，f(x)的導(dǎo)數(shù)不存在，故選D。

二、填空題（每題5分，共25分）

6.設(shè)函數(shù)f(x)=x^36x^2+9x+1，求f'(x)的值。

答案：3x^212x+9

7.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x^2+1)，求f'(x)的值。

答案：2x/(x^2+1)

8.設(shè)函數(shù)f(x)=(xa)^2(xb)^2，求f'(x)的值。

答案：2(xa)(xb)(2xab)

9.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)，求f'(π/4)的值。

答案：√2

10.設(shè)函數(shù)f(x)=(x^2+1)/(x1)，求f'(x)的值。

答案：(x^2+2x+1)/(x1)^2

三、解答題（每題10分，共30分）

11.設(shè)函數(shù)f(x)=x^2e^x，求f'(x)。

解：對f(x)求導(dǎo)，得f'(x)=(2x+x^2)e^x。

12.設(shè)函數(shù)f(x)=(sin(x))/(1+cos(x))，求f'(x)。

解：對f(x)求導(dǎo)，得f'(x)=(cos(x)sin(x)(sin(x)))/(1+cos(x))^2=(sin(x)+cos(x))/(1+cos(x))^2。

13.設(shè)函數(shù)f(x)=x^33x^2+2x+1，求f'(x)=0的解，并判斷解的穩(wěn)定性。

解：對f(x)求導(dǎo)，得f'(x)=3x^26x+2。令f'(x)=0，解得x=1±√(1/3)。當(dāng)x<1√(1/3)或x>1+√(1/3)