2025年考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)強(qiáng)化卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)f(x)=arcsin(2x-1)的定義域是().(A)[-1/2,3/2](B)[-1/2,1](C)[0,1](D)[-1,1]2.極限lim(x→0)(e^x-cosx)/x2=().(A)1/2(B)1(C)3/2(D)23.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?處可導(dǎo)，且f'(x?)≠0，則當(dāng)x→x?時(shí)，下列說法正確的是().(A)f(x)必是x-x?的無窮小量(B)x-x?必是f(x)的無窮小量(C)f(x)-f(x?)必是x-x?的高階無窮小量(D)f(x)-f(x?)必是x-x?的同階無窮小量，但非高階4.曲線y=ln(x-1)在點(diǎn)(2,ln1)處的切線斜率是().(A)-1(B)1(C)-1/2(D)1/25.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(x)>0，則由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸所圍成的平面圖形的面積S可表示為().(A)∫[a,b]f(x)dx(B)-∫[a,b]f(x)dx(C)∫[0,f(b)]dx(D)∫[0,f(a)]dx二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。6.設(shè)函數(shù)f(x)=x2*arcsin(3x)，則f'(0)=_______.7.計(jì)算lim(x→∞)(x+sinx)/(x-cosx)=_______.8.若函數(shù)y=x3-ax+1在x=1處取得極值，則常數(shù)a=_______.9.反常積分∫[1,+∞](1/x2)dx的值是_______.10.設(shè)向量α=(1,k,1)，β=(2,1,3)，若向量α與β垂直，則常數(shù)k=_______.三、解答題：本大題共6小題，共50分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。11.(本題滿分8分)討論函數(shù)f(x)=|x-1|*|x+2|在區(qū)間[-3,3]上的連續(xù)性，并指出其間斷點(diǎn)類型（如果存在）。12.(本題滿分8分)求函數(shù)y=x*ln(x)-x2的單調(diào)區(qū)間和極值。13.(本題滿分9分)計(jì)算不定積分∫x*sin(2x)dx.14.(本題滿分9分)計(jì)算定積分∫[0,π/2]x*cosxdx.15.(本題滿分10分)已知向量組α?=(1,1,1)，α?=(1,2,3)，α?=(1,3,t)。(1)當(dāng)t取何值時(shí)，向量組α?，α?，α?線性無關(guān)？(2)當(dāng)t取何值時(shí)，向量組α?，α?，α?線性相關(guān)？并求出此時(shí)向量組的一個(gè)極大無關(guān)組。16.(本題滿分10分)設(shè)A是3階矩陣，且A的行列式|A|=2。若矩陣B=2A?1-3E（其中E為3階單位矩陣），求矩陣B的行列式|B|。試卷答案1.B2.C3.B4.D5.A6.07.18.39.110.-211.解析：函數(shù)f(x)=|x-1|*|x+2|可以分段表示為：f(x)={(x-1)(x+2),x≥1{-(x-1)(x+2),x<1即f(x)={x2+x-2,x≥1{-x2-x+2,x<1在分段點(diǎn)x=-2和x=1處，需要檢查左右極限和函數(shù)值是否相等。當(dāng)x=-2時(shí)：lim(x→-2?)f(x)=-(-2)2-(-2)+2=-4+2+2=0lim(x→-2?)f(x)=(-2)2+(-2)-2=4-2-2=0f(-2)=0左右極限相等且等于函數(shù)值，故f(x)在x=-2處連續(xù)。當(dāng)x=1時(shí)：lim(x→1?)f(x)=-(1)2-(1)+2=-1-1+2=0lim(x→1?)f(x)=(1)2+(1)-2=1+1-2=0f(1)=0左右極限相等且等于函數(shù)值，故f(x)在x=1處連續(xù)。因此，函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,3]上連續(xù)，無間斷點(diǎn)。12.解析：函數(shù)y=x*ln(x)-x2的定義域?yàn)?0,+∞)。求導(dǎo)數(shù)：y'=d/dx(x*ln(x))-d/dx(x2)=1*ln(x)+x*(1/x)-2x=ln(x)+1-2x令y'=0，得ln(x)+1-2x=0，即ln(x)=2x-1。分析導(dǎo)數(shù)符號(hào)：當(dāng)0<x<1/e時(shí)，ln(x)<0,2x-1<0,故y'<0。當(dāng)1/e<x<(e+1)/2時(shí)，ln(x)>0,2x-1>0,但ln(x)<2x-1(因?yàn)榇藭r(shí)2x-1的增長速度快于ln(x))，故y'>0。當(dāng)x>(e+1)/2時(shí)，ln(x)>0,2x-1>0,且ln(x)<2x-1，故y'<0。因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,(e+1)/2)，單調(diào)遞增區(qū)間為((e+1)/2,+∞)。極值點(diǎn)在x=(e+1)/2處。此時(shí)極值為：y((e+1)/2)=[(e+1)/2]*ln[(e+1)/2]-[(e+1)/2]213.解析：使用分部積分法，設(shè)u=x,dv=sin(2x)dx。則du=dx,v=∫sin(2x)dx=-1/2cos(2x)?！襵*sin(2x)dx=-1/2*x*cos(2x)-∫(-1/2)*cos(2x)dx=-1/2*x*cos(2x)+1/4*∫cos(2x)d(2x)=-1/2*x*cos(2x)+1/4*sin(2x)+C14.解析：使用分部積分法，設(shè)u=x,dv=cos(x)dx。則du=dx,v=sin(x)?！襕0,π/2]x*cos(x)dx=[x*sin(x)]|[0,π/2]-∫[0,π/2]sin(x)dx=(π/2*sin(π/2)-0*sin(0))-[-cos(x)]|[0,π/2]=(π/2*1-0)-[-cos(π/2)-(-cos(0))]=π/2-[-0-(-1)]=π/2-115.解析：(1)計(jì)算向量組α?，α?，α?的秩。構(gòu)成矩陣A=|111||123||13t|對(duì)矩陣A進(jìn)行初等行變換：R?→R?-R?=>|111||012||13t|R?→R?-R?=>|111||012||02t-1|R?→R?-2*R?=>|111||012||00t-5|若向量組線性無關(guān)，則矩陣A的秩為3，即R?的最后一個(gè)元素不為0。所以t-5≠0，即t≠5。當(dāng)t≠5時(shí)，向量組α?，α?，α?線性無關(guān)。(2)若向量組線性相關(guān)，則矩陣A的秩小于3，即R?的最后一個(gè)元素為0。所以t-5=0，即t=5。當(dāng)t=5時(shí)，向量組α?，α?，α?線性相關(guān)。此時(shí)矩陣A變?yōu)椋簗111||123||135|秩為2。根據(jù)行最簡形，取前兩個(gè)向量作為極大無關(guān)組。故向量組α?，α?，α?的一個(gè)極大無關(guān)組為{α?,α?}。16.解析：方法一：利用行列式的性質(zhì)。|B|=|2A?1-3E|=|2A?1|-|3E|(行列式性質(zhì)：|kA|=k?|A|，這里n=3,k=2和k=-3)=23|A?1|-(-3)3|E|=8|A?1|-(-27)|E|=8*1/|A|-(-27)*1=8*1/2+27=4+27=31方法二：利用矩陣乘法和行列式性質(zhì)。|B|=|2A?1-3E|=|2A?1-3AA?1|(因?yàn)锳*A?1=E)=|(2I-3A)A?1|(矩陣乘法結(jié)合律)=|2I-3A|*|A?1|(行列式乘法性質(zhì))=|-3A+2I|*1/|A|(|A?1|=1/|A|,|I|=1)=|-1*(3A-2I)|*1/|A|(行列式性質(zhì)：|kA|=k?|A|,|cA|=c?|A|,這里n=3,k=-1)=(-1)3|3A-2I|*1/|A|=-1*|3A-2I|*1/|A|=-|3A-2I|/|A|=-|3*A-2*I|/|A|因?yàn)閨A|=2，所以|A|=2。=-|3*A-2*I|/2計(jì)算|3A-2I|：|3A-2I|=|3*|