8將軍飲馬問題將軍飲馬，也就是“距離最短”問題，一般是利用三角形的邊長關(guān)系，即“三角形的兩邊之和(差)大于(小于)第三邊”，以及“兩點之間，線段最短”進行解決．例(2013四川文壓軸)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點，，，的距離之和最小的點的坐標(biāo)是_______．解；畫出圖形，分析易知，四邊形ABCD的對角線交點即為所求．類型一A、B兩點在直線l的異側(cè)(1)

如左圖，在直線l上找一點P，使得最??？方法連結(jié)AB與直線l的交點，即為所求的點P．(2)

如右圖，在直線l上找一點P，使得最??？方法作點B關(guān)于直線l的對稱點，連結(jié)與直線l的交點，即為所求的點P． 類型二A、B兩點在直線l的同側(cè)(1)

如左圖，在直線l上找一點P，使得最小？方法作點A關(guān)于直線l的對稱點，連結(jié)與直線l的交點，即為所求的點P．(2)

如右圖，在直線l上找一點P，使得最?。糠椒ㄟB結(jié)AB與直線l的交點，即為所求的點P．例(1)

已知兩點，，直線，在直線l上求一點P，使得最??；(2)

已知兩點，，直線，在直線l上求一點P，使得最小；(3)

已知兩點，，直線，在直線l上求一點P，使得最大；(4)

已知兩點，，直線，在直線l上求一點P，使得最大．答案(1)

；(2)

；(3)

；(4)

．例已知x、y滿足，求函數(shù)的最小值．解此函數(shù)的最小值轉(zhuǎn)化為“求直線動點與兩定點、的距離之和的最小值”．易求得點關(guān)于直線的對稱點為，連接交直線l于點P，則的最小值即為．例(1)

求函數(shù)的最小值；(2)

求函數(shù)的最大值和最小值，并寫出取得最大值和最小值時的x值．解(1)

由于，因此，此函數(shù)的最小值轉(zhuǎn)化為“求x軸上的動點與兩定點、的距離之和的最小值”．畫出圖形，具體過程略，易求得最小值為．(2)

由于，因此，的最值可以轉(zhuǎn)化為“求x軸上的動點與兩定點、的距離之差的絕對值的最值”．畫出圖形，具體過程略，易求得在處取得最大值為，在處取得最小值為0．注對于形如或的無理函數(shù)的最值，一般可以嘗試通過上述的方法進行求解，轉(zhuǎn)化為動點與兩定點距離和（差）的最值．例已知兩定點和，動點在直線上移動，橢圓C以A、B為焦點且經(jīng)過點P，則橢圓的離心率的最大值為．法一；由于，故求出a的最小值即可．又，只須求出的最小值即可，則問題轉(zhuǎn)化為：在直線上找一點P使得最?。字c關(guān)于直線的對稱點為，因此，點A關(guān)于l的對稱點為，則，即橢圓的離心率的最大值為．法二設(shè)橢圓方程為：，當(dāng)橢圓和直線l相切時，a最小，離心率最大，利用等效判別式：，即．練習(xí)點，，點M是圓上的動點，點N是圓上的動點，則的最大值是()．A． B．2 C．3 D．答案選B；點P在直線上，先將最值轉(zhuǎn)化到圓心上，設(shè)圓心、圓心，則的最大值為，只須求出的最大值，此時即為將軍飲馬問題了．例(2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江賽區(qū)預(yù)賽)已知向量，且．若，則的最小值為()．A． B．26 C． D．24解選B；如圖，設(shè)，，則，此時問題轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問題：即在線段AB上求一點P，使得的值最小，設(shè)點O關(guān)于AB的對稱點為C，則最小值為．例在平面直角坐標(biāo)系中有兩點、，以原點為圓心，以為半徑作圓，與射線交于點M，與x軸正半軸交于點N，則當(dāng)r變化時，的最小值為．解設(shè)，，則 ，問題等價于點、與x軸上的點連線段長的和最短，即為將軍飲馬問題！因此，作，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值．例在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P在直線上，從點P向圓、分別引切線，切線長分別記為，則的最小值為．略解；設(shè)，結(jié)合切線長公式，整理易得： ．類型三造橋選址問題 (1)

如左圖，A、B分別在兩條平行線m、n的兩側(cè)，MN是與平行線垂直且夾在平行線間的定長線段，當(dāng)MN在運動到何處時，的值最??？方法將點A向下平移MN的長度得到點，連結(jié)交直線n于點N，再作NM⊥m于點M即可．注這個就是所謂的“單橋問題”，類似的，也可以推廣到“雙橋問題”，如中間圖所示．(2)

如右圖，點A、B在直線l的同側(cè)，MN是在直線l滑動的定長線段，當(dāng)MN在運動到何處時，最小？方法將點A向右平移MN的長度得到點，作關(guān)于直線l的對稱點，連結(jié)交直線l于點N，再將N向左平移MN的長度即可得到點M．例如圖，已知，，，，問a為何值時，四邊形APQB的周長最?。看鸢府?dāng)時，四邊形APQB的周長取得最小值為．類型四雙對稱問題(1)

如左圖，點A在∠MON內(nèi)，在射線OM、ON上分別找一點B、C，使得△ABC的周長最??？方法作點A分別作關(guān)于射線OM、ON的對稱點、，連結(jié)與射線OM、ON的交點，即為所求的點B、C．(2)

如中間圖，點A、B在∠MON內(nèi)，在射線OM、ON上分別找一點D、C，使得四邊形ABCD的周長最小？方法作點A、B分別作關(guān)于射線OM、ON的對稱點、，連結(jié)與射線OM、ON的交點，即為所求的點D、C．(3)

如右圖，點A、B分別為邊OM、ON上的的定點，在邊OM、ON上分別求點D、C，使得最??？方法作點A、B分別作關(guān)于射線OM、ON的對稱點、，連結(jié)與射線OM、ON的交點，即為所求的點D、C．例在四邊形ABCD中，，，則△ACD周長的最小值為．解；如是所示，分別作D關(guān)于直線BA、BC的對稱點，則，，故△ACD周長的最小值為．例如圖，，點C在∠AOB內(nèi)，且．以C為圓心，1為半徑作圓，點X、Y分別是射線OB、OA上異于O的動點，點P在圓C上運動，若圓C和∠AOB兩邊都沒有交點，則的最小值為．解做P關(guān)于射線OA、OB的對稱點，則，且，顯然，只有當(dāng)共線時，有最小，同時，欲使得最小，只須最小即可，顯然，的最小值為2，故的最小值為．練習(xí)已知點A是圓上的動點，點B、C分別是y軸于直線上的動點，則△ABC周長的最小值為．解設(shè)點A關(guān)于y軸于直線上的對稱點分別為、，則，，顯然，只有當(dāng)共線時，△ABC的周長取得最小值為．例已知是大小為的二面角，C為二面角內(nèi)一定點，且到半平面、的距離分別為、6，A、B分別是半平面、內(nèi)的動點，則△ABC周長的最小值為()．A． B． C．15 D．解選D；如圖，設(shè)點C關(guān)于半平面、的對稱點分別為、，則 ．情形五垂線段最短(1)

如左圖，點A在∠MON外部，在射線OM上找一點P，使得PA與點P到射線ON的距離之和最??？方法過點A作AB⊥ON于點B，則AB與射線OM的交點P即為所求．(2)

如右圖，點A在∠MON內(nèi)部，在射線OM上找一點P，使得PA與點P到射線ON的距離之和最??？法一作點A關(guān)于射線OM的對稱點，過點作⊥ON于點B，則與射線OM的交點P即為所求．法二作射線OB關(guān)于射線OM的對稱射線，過點A作AB⊥于點B，則AB與射線OM的交點P即為所求．例已知正實數(shù)x、y滿足，則的最小值為()．A． B． C．2 D．法一通法先行，利用判別式！令，并將代入，整理可得：，令，解得，當(dāng)且僅當(dāng)、時取得等號，故選A．法二利用幾何意義，數(shù)形結(jié)合！設(shè)是線段上一點，則x為點P到y(tǒng)軸的距離，且．易求得原點O關(guān)于直線的對稱點為，則 ．法三利用柯西不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號．注柯西不等式配的系數(shù)，一般都是特殊的數(shù)，熟練了，可以直接目測嘗試；當(dāng)然，試不出來，可以利用待定系數(shù)法得到：，令，解得．法四對于含有“”的結(jié)構(gòu)，可以嘗試?yán)脴O坐標(biāo)代換；設(shè)，則即為，又，即等價于求的最小值．令，即為，令，解得．例已知有向線段PQ的起點P和終點Q的坐標(biāo)分別是、，若直線與線段PQ的延長線相交，則實數(shù)m的取值范圍是．解；9曲線間的距離─“圓”來如此距離最小模型已知定點和動點，當(dāng)取得最小值時，點的坐標(biāo)滿足關(guān)系式：．注(1)

這個模型的證明，可以利用，借助導(dǎo)數(shù)證得，不過并不嚴(yán)密，是有bug的，因此，此模型在大題中是不能直接使用的，切記切記！！(2)

如果從圖像上理解這個模型，相當(dāng)于是以定點P為圓心的圓，即為，此圓的半徑r不斷增大，直至和的圖象相切時，r剛剛好取得最小值，亦即的最小值．例函數(shù)，因其圖象像“囧”字，被稱為“囧函數(shù)”．我們把函數(shù)的圖象與y軸的交點關(guān)于原點對稱的點稱為函數(shù)的“囧點”；以函數(shù)的“囧點”為圓心，與函數(shù)的圖象有公共點的圓，皆稱為函數(shù)的“囧圓”．當(dāng)時，有下列命題：①對任意，都有成立；②存在，使得成立；③函數(shù)的“囧點”與函數(shù)圖象上的點的最短距離是；④函數(shù)的所有“囧圓”中，其周長的最小值為．其中的正確命題有．（寫出所有正確命題的序號）【②③④】解是偶函數(shù)，故只需要作出的圖象，再對稱到y(tǒng)軸左邊就可以了；分式函數(shù)的作圖方法，只要漸近線畫出來，圖象基本也就定了，易知的漸近線為x軸和，如圖所示，為囧點．①當(dāng)時，顯然，故①錯誤．②易知，而當(dāng)時，，故②正確．③法一構(gòu)造圓，利用切線垂直法【通法】利用以囧點J為圓心的圓和相切時臨界，設(shè)此時的切點為，由于，即，，由于單調(diào)遞增，觀察可知，只能?。ǘ懗鼍嚯x的表達式，然后求導(dǎo)或者利用不等式放縮，令，利用導(dǎo)數(shù)求解即可，求解也比較簡單，故具體過程略．法三聯(lián)想到的反函數(shù)求點到距離的最小值，由于也過點，且和互為反函數(shù)，顯然，最小距離即為點到點的距離，故③正確．法四寫出距離的表達式，利用權(quán)方和不等式和常用放縮不等式求解，當(dāng)且僅當(dāng)和取等號，易知兩者都在處取等．④根據(jù)對稱性，只需要求出第一象限的圖象上的點到囧點J的最小值即可，即求到“囧點”的最短距離，設(shè)“囧圓”的半徑為R．法一構(gòu)造圓，利用切線垂直法【通法】同上類似，設(shè)切點為，由于，即，此時，會得到一個四次方程：，，……，此時易求得，且．【分母是誰就湊誰！】顯然，高中階段，大多數(shù)同學(xué)對上述的解法是想不到的．法二寫出距離，然后換元＋配方【此類型題的常用套路】，令，則，且，則，令，則，【故下面的等號必定能取到！】則，所以“囧圓”的半徑最小值為，故④正確．注此處給出了配方的一般過程，熟練的話，也可不換元，一次到位．例(1)

若圓與曲線沒有公共點，則半徑r的取值范圍是()．A． B． C． D．(2)

關(guān)于x的方程有四個相異實根，則實數(shù)a的取值范圍為()．A． B． C． D．解(1)

選C；等價于圓與曲線沒有公共點．法一注意到圓心在曲線的對稱軸上，，設(shè)臨界切點為，則 ，即，解得，不妨取，則，由于沒有公共點，故．法二利用配方法：，故．(2)

選B；等價于曲線和圓有四個交點，因此，此題和上題實質(zhì)一樣．另法關(guān)鍵還是配方得到：，即．方向一可以看成飄帶函數(shù)和有四個交點；方向二轉(zhuǎn)化成兩個二次方程：，兩個方程的判別式都大于0即可．方向三利用導(dǎo)數(shù)作出函數(shù)的圖象，平移直線，與其有四個交點即可．例已知點P為曲線上任意一點，O為坐標(biāo)原點，則的最小值為()．A． B． C． D．分析曲線化為：，結(jié)合圖形，只需考慮左支即可，此時．法一通法先行，利用圓！設(shè)，則，令，，…，，可得此時點P為，故，故選D．法二常數(shù)替換法＋配方法【下面是以y主元進行的配方！】，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．法三常數(shù)替換法＋多元函數(shù)極值【利用了偏導(dǎo)數(shù)，解唯一必定就是所求！】，令，令，可得，故．法四條件極值，可利用拉格朗日乘法，解法方程組，后略．例(1)

已知點P是拋物線上的動點，點Q為函數(shù)上的動點，則的最小值為()．A． B． C． D．(2)

若點P在曲線上，點Q在曲線上，則的最小值為()．A． B． C． D．分析對于含有超越函數(shù)、的此類題，如果是超越函數(shù)和非超越函數(shù)組合類型，則一般可以直接觀察，先猜出臨界點，而且，臨界點一般是超越函數(shù)和坐標(biāo)軸的交點，當(dāng)然，并不絕對，需要借助切線法驗證的！解(1)

選A；猜想是臨界點，然后，利用切線法驗證臨界點即為所求．另法利用權(quán)方和不等式，三個等號依次是、、，解得時取等號．(2)

選D；過點，聯(lián)想到的反函數(shù)也過點．例(1)(2012新課標(biāo)理壓軸)設(shè)點P在曲線上，點Q在曲線上，則的最小值為()．A． B． C． D．(2)(2016廈門一中高三12月月考)已知點P在曲線上，點Q在曲線上，線段PQ的中點為M，O是坐標(biāo)原點，則線段OM長的最小值是．分析對于含有超越函數(shù)、的此類題，如果是雙超越函數(shù)組合類型，則一般是利用反函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求到對稱軸的距離，然后，利用求出相應(yīng)的平行切線即可（和構(gòu)造圓是相通的?。?1)選D；注意到曲線與曲線互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，故可先求點P到直線的最近距離．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，由得，，所以，當(dāng)P點為點時，點到直線的最近距離為，即，故選D．(2)；設(shè)P關(guān)于O的對稱點為R，則R在曲線上，且，注意到曲線與曲線互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，同上題類似，易求得最小值是．例已知點P為函數(shù)的圖象上任意一點，點Q為圓上任意一點，則線段PQ的長度的最小值為．法一利用圓的切線垂直找臨界切點，此時的零點一般也需要借助瞪眼法觀察設(shè)圓的圓心為O，則，即，此時同樣瞪眼觀察，e為此方程的零點，可得臨界切點為，……，故線段PQ的長度的最小值為．法二直接寫出距離，利用導(dǎo)數(shù)求解，此時的極值點一般需要借助瞪眼法觀察設(shè)圓的圓心為O，則，令，則，此時瞪眼觀察，可知，故．例已知點P、Q分別是曲線與直線上的動點，則線段PQ長的最小值為．答案．法一利用平行切線法設(shè)臨界的相切直線為，與雙曲線聯(lián)立：，令，可解得或9，因此，當(dāng)時，．法二利用導(dǎo)數(shù)求出臨界的切點坐標(biāo)令，解得，結(jié)合圖形可知，點到直線的距離即為．法三利用點到直線的距離設(shè)，則點P到直線的距離為，又，因此，當(dāng)，即時，，亦即．例直線，當(dāng)k變化時，直線被橢圓截得的最大弦長是()．A．4 B．2 C． D．不能確定解選C；常規(guī)方法就是聯(lián)立利用弦長公式，此處略過．當(dāng)然，如果能注意到直線恒過橢圓的短軸上頂點，因此，設(shè)橢圓上任意一點，故，此時．或者構(gòu)造圓，利用斜率，設(shè)最大弦長為PQ，，則，易得．例(1990全國卷文壓軸、理)設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點，長軸在x軸上，離心率，已知點到這個橢圓上的點的最遠距離是，求這個橢圓的方程，并求橢圓上到點P的距離等于的點的坐標(biāo)．分析此題實質(zhì)是考察二次函數(shù)的最值和對稱軸之間的關(guān)系．法一設(shè)橢圓方程為，則，即，故橢圓方程為．設(shè)橢圓上的點到點P的距離為d，則 ，其中.①若，即時，在處取得最大值，故，解得，又，與矛盾，故舍去．②當(dāng)時，在對稱軸處取得最大值，故，即，因此，橢圓的方程為，同時，令，可得點到點P的距離等于．注也可以利用的參數(shù)方程，則，討論同上類似．法二法一是利用距離結(jié)合最值討論求解的，相對繁瑣一些！也可以從臨界情形出發(fā)求解，不過切記，此法不能用在大題中??！設(shè)橢圓上到點P的距離等于的點為，橢圓在點Q的切線斜率為．則臨界情形為以P為圓心，為半徑的圓和橢圓相切，此時有，又（中點點差法的極限形式），可得：，即，解得，后續(xù)同上．例(2013重慶文壓軸、理)如圖，橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，離心率，過左焦點作x軸的垂線交橢圓于兩點，．(1)

求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)(理)取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點，過作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點均在圓Q外．若，求圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)(文壓軸)取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點，過作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點均在圓Q外．求的面積S的最大值，