廣東省肇慶市2026屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)榧?，所以或，?所以.故選：A.2.已知方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根分別為，，則（）A.0 B. C. D.3【答案】D【解析】由得，可得方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根分別為，，所以.故選：D.3.已知點(diǎn)，向量，，點(diǎn)P是線段AB靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，所以，即，設(shè)，則，所以.故選：B.4.設(shè)為正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，∵，∴.由得，∴.故選：C.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，∴，∴，∴（），∴.故選：C.6.已知，若成立，則x的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，則函數(shù)是奇函數(shù)，而函數(shù)在R上都單調(diào)遞增，則函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不等式，則，解得，所以x的取值范圍是.故選：A7.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，所以，令有，當(dāng)，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，即，所以，即；令，所以，當(dāng)，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以，即；綜上所述，.故選：B.8.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得，令，則，即，于是，，，所以.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則（）A. B.C.當(dāng)或時(shí)，取最大值 D.的最小值為0【答案】BC【解析】∵，所以，故A錯(cuò)誤；∵，∴，∴，，所以，故B正確；由，所以當(dāng)或時(shí)，取最大值，即，故C正確；由，無最小值，故D錯(cuò)誤；故選：BC.10.已知函數(shù)，其中，若的最小正周期為，則下列說法正確的是（）A.B.的定義域?yàn)镃.在上單調(diào)遞增D.若，且，則a的最大值為【答案】BCD【解析】∵，∴，∴，故A錯(cuò)誤；∵，∴，∴的定義域?yàn)?，故B正確；由，解得，∴的單調(diào)增區(qū)間為，，時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為，顯然，故C正確；由得，，∴，，∵，∴時(shí)，a取最大值為，故D正確.故選：BCD.11.不動(dòng)點(diǎn)理論是泛函分析與拓?fù)鋵W(xué)中的重要理論，簡單地講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，而稱為該函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，依據(jù)不動(dòng)點(diǎn)理論，下列說法正確的是（）A.只有1個(gè)不動(dòng)點(diǎn)B.若（）沒有不動(dòng)點(diǎn)，則沒有零點(diǎn)C.若（）沒有不動(dòng)點(diǎn)，則方程無實(shí)根D.有3個(gè)不動(dòng)點(diǎn)【答案】AC【解析】對(duì)于A，令，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，則在上單調(diào)遞減，而，即在上只有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，A正確；對(duì)于B，沒有不動(dòng)點(diǎn)等價(jià)于的圖象與直線沒有交點(diǎn)，沒有零點(diǎn)等價(jià)于的圖象與軸沒有交點(diǎn)，顯然，當(dāng)對(duì)稱軸在軸左邊，的圖象與沒有交點(diǎn)時(shí)，不能推出與軸沒有交點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，依題意，沒有不動(dòng)點(diǎn)等價(jià)于方程無實(shí)數(shù)根無實(shí)數(shù)根，即，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向上，則恒成立，即，恒有，而，因此有恒成立，即方程無實(shí)根，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向下，則恒成立，即，恒有，而，因此有恒成立，即方程無實(shí)根，所以函數(shù)（）沒有不動(dòng)點(diǎn)，則方程無實(shí)根，C正確；對(duì)于D，由，得，易知當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，的圖象與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.令，得，解得，此時(shí)，所以直線與曲線相切于點(diǎn).所以直線與曲線共有兩個(gè)交點(diǎn)，所以只有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；故選：AC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，且，則__________.【答案】【解析】由題意知，∴，即，∴，．故答案為：．13.已知曲線在處的切線也是曲線的切線，則______.【答案】2【解析】設(shè)，則，又，所以，則切線方程為，設(shè)，則，令，解得，所以.故答案為：2.14.在中，三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，是鈍角，，則的最大值是__________.【答案】【解析】∵，∴，∴，∵是鈍角，∴，則，又∵為三角形內(nèi)角，，∴，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，∴，，∴，∵，∴，令，，設(shè)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為.（1）求的值；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，在縱坐標(biāo)不變的情況下，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到函數(shù)的圖象，求的函數(shù)解析式與對(duì)稱中心.解：（1）由題意得，∵兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，∴，∵，∴；（2）函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，得的圖象，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的可得的圖象，令，，解得，，∴的對(duì)稱中心為，.16.已知a，，，（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，若在上有極值，求b的取值范圍并證明此極值小于b．解：（1）由題意知的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，由，解得；由，解得.即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由題意得，所以的定義域?yàn)?，在上有極值等價(jià)于在上有變號(hào)零點(diǎn).令，即在上有變號(hào)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，顯然在上恒成立，無變號(hào)零點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，令，解得，此時(shí)在上有唯一零點(diǎn).∵在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，故在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，故是的極小值點(diǎn).方法一：由上分析，，∵，∴，即極小值小于b.方法二：因，由，可得，則，令，顯然在上單調(diào)遞減，則，即，故，即極小值小于b．17.已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且.（1）求A；（2）設(shè)D為邊AB上一點(diǎn)，且，若，的周長為，求的面積.解：（1）由正弦定理得，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴.（2）由題意知，，由余弦定理得，即，聯(lián)立得，代入得，所以∴，，∴.18.記與分別是數(shù)列與的前n項(xiàng)和，已知，，，，.（1）證明：是等比數(shù)列并求；（2）數(shù)列是等差數(shù)列嗎？若是，求出的通項(xiàng)公式，若不是，說明理由；（3）設(shè)，判斷是否存在互不相等的正整數(shù)j，k，m，使得j，k，m成等差數(shù)列，并且，，成等比數(shù)列.解：（1）∵，∴，∵，∴是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列.∴，即.（2）方法一：∵，∴（），兩式相減得，整理得，∴，兩式相減得，即，∴是等差數(shù)列，由于，，∴公差，∴的通項(xiàng)公式為.方法二（數(shù)學(xué)歸納法）：∵，∴，∵，，代入上式解得，猜想.當(dāng)時(shí)，，猜想成立，假設(shè)時(shí)，猜想成立，即.下證時(shí)，猜想成立，即證，∵，∴，，∵，，∴，解得.由數(shù)學(xué)歸納可得是等差數(shù)列，.（3）由（1）知，，∴當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足上式，∴（），，假設(shè)存在這樣的三個(gè)正整數(shù)，則，，即，∵，∴，即，∴，∴，解得，不滿足題意，∴假設(shè)不成立，不存在這樣的正整數(shù).19.已知函數(shù).（1）當(dāng)，時(shí)，求證：；（2）當(dāng)時(shí)，（?。┣笤谏系乃袠O大值點(diǎn)之和；（ⅱ）若在上有兩個(gè)實(shí)根，，比較與的大小關(guān)系.（1）證明：當(dāng)，時(shí)，，要證，即證：.設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞減，∵，∴，即，∴得證.（2）解：（?。┊?dāng)時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，由得或，解得，，，，或，當(dāng)，，，時(shí)，，∴在，，，上單調(diào)遞增；當(dāng)，