四川省成都市郫都區(qū)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的）1.已知向量，若與共線，則的值為（）A.5 B.4 C. D.【答案】C【解析】由題意可設(shè)，即，解得.故選：C.2.據(jù)統(tǒng)計，2023年12月成都市某區(qū)域一周指數(shù)按從小到大的順序排列為：45，50，51，53，53，57，60，則這組數(shù)據(jù)的25百分位數(shù)是（）A.45 B.50 C.51 D.53【答案】B【解析】由這組數(shù)據(jù)共個，因為不是整數(shù)，所以這組數(shù)據(jù)的25百分位數(shù)為第個數(shù)據(jù)，即：.故選：B.3.在正方體中，異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C.0 D.1【答案】C【解析】設(shè)正方體的棱長為，以為原點,所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:則,所以,所以,所以,異面直線與所成角為90°，其余弦值為0.故選：C.4.已知軸上一點到點與點距離相等，則點的豎坐標(biāo)為（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】由題：設(shè)，點到點與點的距離相等，所以，，，解得：，則點的豎坐標(biāo)為故選：A.5.某校為了解學(xué)生的身高情況，隨機對部分學(xué)生進行抽樣調(diào)查，已知抽取的樣本中，男生、女生人數(shù)相同，分組情況為（單位：），，，，，利用所得數(shù)據(jù)繪制如下統(tǒng)計圖表：根據(jù)圖表提供的信息，可知樣本數(shù)據(jù)中下列信息正確的是（）A.身高在區(qū)間的男生比女生多人B.B組中男生和女生占比相同C.超過一半的男生身高在以上D.女生身高在組的人數(shù)有人【答案】D【解析】抽取的男生總?cè)藬?shù)為（人），因為抽取的樣本中，男生、女生人數(shù)相同，所以抽取的女生總?cè)藬?shù)為人，由直方圖可知，身高在區(qū)間的男生人數(shù)為12人，由扇形統(tǒng)計圖可知，身高在區(qū)間的女生人數(shù)為（人），則身高在區(qū)間的男生比女生少3人，選項A錯誤；B組中男生和女生占比不相同，選項B錯誤；男生身高在以上的占比為，則選項C錯誤；女生中E組的人數(shù)為（人），則選項D正確；故選：D.6.已知隨機事件A，B，C中，與相互獨立，與對立，且，，則（）A.0.4 B.0.58 C.0.7 D.0.72【答案】B【解析】，，所以.故選：B.7.兩條異面直線所成的角為，在直線上分別取點和點，使，且.已知，則線段的長為（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】B【解析】由題意知，，所以，又異面直線a、b所成的角為，即，所以，所以或，故選：B.8.閱讀下面材料：在空間直角坐標(biāo)系中，過點且一個法向量為的平面的方程為，過點且方向向量為的直線的方程為根據(jù)上述材料，解決下面問題：直線是兩個平面與的交線，則（）是的一個方向向量．A. B. C. D.【答案】A【解析】同理可得平面與一個法向量為和，設(shè)直線的一個方向向量為，則，不妨取，則，故選：A.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對得部分分）9.有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（）A.的平均數(shù)等于的平均數(shù)B.的中位數(shù)等于的中位數(shù)C.的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差D.的極差不大于的極差【答案】BD【解析】對于選項A：設(shè)的平均數(shù)為，的平均數(shù)為，則，因為沒有確定的大小關(guān)系，所以無法判斷的大小，例如：，可得；例如，可得；例如，可得；故A錯誤；對于選項B：不妨設(shè)，可知的中位數(shù)等于的中位數(shù)均為，故B正確；對于選項C：舉反例說明，例如：，則平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，，則平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，顯然，即，所以的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差，這一論斷不成立，故C錯誤；對于選項D：不妨設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確；故選：BD.10.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的數(shù)字是5”，乙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是7”，丙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之積是12”，則下列說法正確的是（）A.甲、乙對立 B.甲、丙互斥 C.甲、乙相互獨立 D.乙、丙相互獨立【答案】BC【解析】由題意可知，先后拋擲兩枚骰子出現(xiàn)點數(shù)的所有可能情況為36種，甲表示事件“第一次骰子正面向上的數(shù)字是5”記為事件A，則，可得；乙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是7”記為事件B，則，可得；丙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之積是12”記為事件C，則，可得；對于A：因為，可知事件甲、乙不是互斥事件，更不可能為對立事件，故A錯誤；對于B：因為，即事件甲、丙不可能同時發(fā)生，所以事件甲、丙互斥，故B正確；對于C：因為，則，即，所以甲、乙相互獨立，故C正確；對于D：因為，則，即，所以乙、丙不相互獨立，故D錯誤；故選：BC.11.在正方體中，，點P滿足，其中，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)平面時，不可能垂直B.若與平面所成角為，則點P的軌跡長度為C.當(dāng)時，正方體經(jīng)過點、P、C的截面面積的取值范圍為D.當(dāng)時，的最小值為【答案】BD【解析】對于A，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，所以，令，則，即平面的法向量為，若平面，則，即，由，則，即P為中點時，有平面，且，A錯誤；對于B，因為平面，連接，則即為與平面所成角，若與平面所成角為，則，所以，即點P的軌跡是以為圓心，以1為半徑的個圓，于是點P的軌跡長度為，B正確；對于C，因為，所以點P一定在上，又因為當(dāng)或1時，的面積取最大值，此時截面面積為，設(shè)的中點為H，由圖形的變化可得當(dāng)點P在DH和運動時，所得截面對稱相同，于是當(dāng)時，的面積取最小值，此時截面面積為，C錯誤；對于D，如圖，將平面與平面沿展成平面圖形，線段即為的最小值，利用余弦定理得，所以，D正確.故選：BD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.在一次射擊訓(xùn)練中，某運動員5次射擊的環(huán)數(shù)依次是，則該組數(shù)據(jù)的方差__________.【答案】或【解析】因為平均數(shù)，所以方差.故答案為：.13.已知點，，，則點C到直線的距離為______.【答案】【解析】設(shè)點到直線的距離為，因為，，所以，故.故答案為：.14.九宮格的起源可以追溯到遠(yuǎn)古神話中的洛書，洛書上的圖案正好對應(yīng)著從1到9九個數(shù)字，并且縱向、橫向、斜向三條線上的三個數(shù)字的和（這個和叫做幻和）都等于15，即現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的三階幻方.根據(jù)洛書記載：“以五居中，五方皆為陽數(shù)，四隅為陰數(shù)”，其意思為：九宮格中5位于居中位置，四個頂角為偶數(shù)，其余位置為奇數(shù).如圖所示，若隨機填寫一組幻和等于15的九宮格數(shù)據(jù)，記事件”，則的值為____________.5【答案】或【解析】由題意九宮格的中間位置填，位置填偶數(shù)，位置填奇數(shù)，因為每一橫行，每一豎列以及兩條對角線上三個數(shù)字之和都等于，所以、位置填或，先從中任意選出一個數(shù)填入位置，則有個結(jié)果，若填，則填，填，填，填，填，填，填；或填，填，填，填，填，填，填；共包含個結(jié)果；所以總的結(jié)果個數(shù)為個其中符合的情況有，，，，，共個，所以.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.如圖所示，平行六面體中，．（1）用向量表示向量，并求；（2）求．解：（1），則，所以.（2）由空間向量的運算法則，可得，因為且，所以，，則.16.為增強市民的節(jié)能環(huán)保意識，某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者．從符合條件的500名志愿者中隨機抽取100名志愿者，其年齡頻率分布直方圖如圖所示，其中年齡的分組區(qū)間是：第1組、第2組、第3組、第4組、第5組．（1）求圖中的值并根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在的人數(shù)；（2）估計抽出的100名志愿者年齡的眾數(shù)、中位數(shù)；（3）若在抽出的第2組、第4組和第5組志愿者中，采用按比例分配分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加中心廣場的宣傳活動，再從這6名中采用簡單隨機抽樣方法選取2名志愿者擔(dān)任主要負(fù)責(zé)人．求抽取的2名志愿者中恰好來自同一組的概率．解：（1）由直方圖知：，可得，∴500名志愿者中年齡在的人數(shù)為人.（2）由頻率分布直方圖可得眾數(shù)為，前兩個矩形的面積為，又第三個矩形的面積為，所以中位數(shù)在內(nèi)，為.（3）由題設(shè)，第2組、第4組和第5組的頻率之比為，知6名志愿者有2名來自，3名來自，1名來自，不妨設(shè)第2組、第4組和第5組抽取的志愿者為，則抽取兩人的基本事件有，，共15種，恰好來自同一組的基本事件有，，共4種，∴抽取的2名志愿者中恰好來自同一組的概.17.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面是中點，作交于點．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求平面與平面的夾角的大?。?）證明：在四棱錐中，底面，底面，則，由底面是正方形，得，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，則，而平面，所以平面.（2）證明：由（1）知，，由，得，又，且平面，所以平面.（3）解：由（1）知，，且，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，，而，則，即，則的一個法向量為，因此，而，則，所以平面與平面的夾角為.18.某企業(yè)為了推動技術(shù)革新，計劃升級某電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品核心系統(tǒng)的某個部件由2個電子元件組成．如圖所示，部件是由元件與元件組成的串聯(lián)電路，已知元件，正常工作的概率都為，且元件工作是相互獨立的．（1）求部件正常工作的概率；（2）為了促進產(chǎn)業(yè)革新，該企業(yè)計劃在核心系統(tǒng)中新增兩個另一產(chǎn)地的電子元件，使得部件正常工作的概率增大．已知新增元件正常工作的概率為，且四個元件工作是相互獨立的．現(xiàn)設(shè)計以下兩種方案：方案一：新增兩個元件都和元件并聯(lián)后，再與串聯(lián)；方案二：新增兩個元件，其中一個和元件并聯(lián)，另一個和元件并聯(lián)，再將兩者串聯(lián)．則該公司應(yīng)選擇哪一個方案，可以使部件正常工作的概率達到最大？解：（1）記事件分別表示元件正常工作，則，事件表示正常工作，由元件工作是相互獨立的，則．（2）設(shè)方案一、二正常工作的概率分別為，設(shè)新增的兩個元件為，記事件分別表示新增兩個元件正常工作，則．事件分別表示元件不正常工作，由于四個元件工作相互獨立，則．所以..所以，所以選擇方案二可以使部件正常工作的概率最大．19.在四棱錐中，底面為正方形，是中點，平面，平面平面．（1）求證：；（2）如圖，且，求點到平面的距離；（3）設(shè)四棱錐的外接球球心為，點，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．（1