四川省南充市百校聯(lián)考2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線，，則“”的充要條件是（）A. B.C.或 D.或4【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，?解得或．當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)兩直線重合，舍去；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)．故“”的充要條件是“”．故選：A.2.已知為空間的一組基底，則下列各組向量中，能構(gòu)成空間的一組基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】C【解析】對(duì)于A，設(shè)，解得，所以，，共面，不能構(gòu)成空間的一組基底.所以選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B，設(shè)，解得，所以，，共面，不能構(gòu)成空間的一組基底，則B不正確；對(duì)于C，設(shè)，所以，x，y無實(shí)數(shù)解，所以，，不共面，能構(gòu)成空間的一組基底，則C正確；對(duì)于D，設(shè)，解得，所以，，共面，不能構(gòu)成空間的一組基底，則D不正確．故選：C.3.過點(diǎn)可以向圓引兩條切線，則t的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榉匠瘫硎緢A，所以，解得．又點(diǎn)在圓外，所以，解得，所以t的取值范圍為．故選：D.4.在四面體中，點(diǎn)滿足，為的中點(diǎn)，若，則（）A.3 B. C.4 D.【答案】B【解析】由題意知，因?yàn)椋?，則.故選：B.5.已知是平面內(nèi)一點(diǎn)，是平面外一點(diǎn)，且平面的一個(gè)法向量為，則點(diǎn)Q到平面的距離為（）．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】因?yàn)椋?，則，又平面的一個(gè)法向量為，所以點(diǎn)Q到平面的距離為．故選：A．6.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，四點(diǎn)，則三棱錐的體積為（）A.10 B.20 C. D.【答案】D【解析】由，，，得，，所以，．又，，平面，所以平面．因?yàn)?，所以，所以．故選：D.7.若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】直線為過點(diǎn)的動(dòng)直線，曲線，即為半圓，圓心為，半徑為1，設(shè)半圓最下方的點(diǎn)為，如圖，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，有，解得；當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，有，即；因?yàn)橹本€與半圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，則的取值范圍是.故選：B.8.如圖1，在平行四邊形中，，，如圖2，沿將折起到的位置，使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則二面角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解法一：翻折前，平行四邊形中，，，則，翻折后，則有，，由題意可得，，，設(shè)二面角的大小為，則，由，得，因?yàn)椋?，解得，則，故二面角余弦值為.解法二：翻折前，在平行四邊形中，，，則，則，翻折后，則有，，，設(shè)二面角的大小為，則，由題意可得，，，因?yàn)椋?，即，故，因?yàn)?，所以．故二面角余弦值?故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知空間向量，，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若在上的投影向量為，則m只有一個(gè)實(shí)數(shù)解D.若與的夾角為鈍角，則【答案】AB【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋?，A正確．對(duì)于B，因?yàn)?，所以，得，B正確．對(duì)于C，因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，所以，即，化簡可得，因?yàn)?，所以m有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，C錯(cuò)誤．對(duì)于D，因?yàn)榕c的夾角為鈍角，且與不共線，所以，解得，假設(shè)，此時(shí)無解，所以與的夾角為鈍角，則，D錯(cuò)誤．故選：AB.10.已知圓，下列說法正確的是（）A.若過點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍為B.圓上有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為C.若圓與圓沒有公切線，則的取值范圍為D.過直線上任意一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，，則直線必過定點(diǎn)【答案】AB【解析】圓的方程為，該圓的圓心為，半徑．選項(xiàng)A：，點(diǎn)在圓內(nèi)，則圓心到過點(diǎn)的直線的距離，，故A正確；選項(xiàng)B：圓心到直線的距離，又圓的半徑為3，圓上有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故B正確；選項(xiàng)C：圓的圓心為，半徑為，，圓與圓沒有公切線，兩圓內(nèi)含，，即，解得16，的取值范圍為，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：設(shè)，則以為直徑的圓為，整理得，直線為圓與圓的公共弦所在的直線，聯(lián)立兩圓方程，得，整理得，令，解得，直線必過定點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．故選：．11.如圖，正方體的棱長為2，F(xiàn)是線段的中點(diǎn)，E是線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.B.三棱錐的體積為定值C.直線與平面所成角正弦值為D.直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為【答案】ACD【解析】對(duì)于A：，故A正確．對(duì)于B：如圖，連接，因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，所以平面．因?yàn)椋渣c(diǎn)E到平面的距離等于點(diǎn)A到平面的距離，即，那么，所以三棱錐的體積，故B錯(cuò)誤．對(duì)于C：連接，，如圖以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．因?yàn)槠矫婢褪瞧矫妫环猎O(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)椋杂?，令，則，則平面的一個(gè)法向量為，又，設(shè)直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為，C正確．對(duì)于D：，，，設(shè)，且，則．設(shè)直線與直線所成的角為，則．令，因?yàn)?，所以，，所以．設(shè)，則，.，則，所以，故直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為，D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線l過點(diǎn)，傾斜角為，則直線l的一般式方程為______．【答案】【解析】直線l的傾斜角為，則斜率為，又過點(diǎn)，所以直線l的方程為，故直線l的一般式方程為．故答案為：.13.過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則______．【答案】【解析】連接、，易知圓心，半徑為，因?yàn)槭菆A的切線，所以．又，所以．故答案為：.14.對(duì)于兩個(gè)空間向量與，定義它們之間的曼哈頓距離為．如圖，在棱長為2的正方體中，若點(diǎn)P在上底面內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)，且，設(shè)的最大值為M，最小值為N，則______．【答案】【解析】易知，，．因?yàn)镻在上底面內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)，且，所以，，即P在上底面內(nèi)，點(diǎn)P在以為圓心，1為半徑的圓周上，可設(shè)，，，所以，．因?yàn)?，所以，則，從而．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在四棱錐中，底面，，，，M為棱的中點(diǎn)．用向量方法證明：（1）；（2）平面．（1）證明：∵，，∴．由底面，得．以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又，M為棱的中點(diǎn)．則，，，，，．∵，，∴，∴，則．（2）證明：∵，，∴．由底面，得．又，∴平面，則向量是平面的一個(gè)法向量．∵，且平面，∴平面．16.設(shè)直線與．（1）若，求m的值；（2）當(dāng)直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積最大時(shí)，求m的值．解：（1）因?yàn)椋?，解得或，?dāng)時(shí)，不是直線，舍去，所以．（2），可化為．因?yàn)榕c兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成三角形，所以，則，所以與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積，所以當(dāng)時(shí)，三角形的面積S取得最大值．17.如圖，在直三棱柱中，，，，的中點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)．（1）證明：平面平面；（2）若，且與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：在直三棱柱中，E，F(xiàn)分別為矩形的邊，的中點(diǎn)，則，，又，所以．因?yàn)?，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．?）解：在直三棱柱中，平面，由（1）知，，則平面，因?yàn)槠矫?，所以．因?yàn)槠矫妫允桥c平面所成的角，即．又，設(shè)，則，，．以E為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則，取，得．設(shè)平面法向量為，則，取，得．因?yàn)椋云矫媾c平面夾角的余弦值是．18.已知圓，圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）寫出圓與圓的一條公切線方程；（不需要寫出解題過程）（3）已知點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，對(duì)于經(jīng)過點(diǎn)且與圓交于，兩點(diǎn)的任意直線，恒有？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）線段的中垂線方程為，即，所以圓心在直線上，又圓心在直線上，所以直線與直線的交點(diǎn)就是圓心.解方程組得即.因?yàn)閳A的半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)?，等于兩圓的半徑之和，所以兩圓外切，如圖，兩圓的一條公切線為；圓與圓的方程相減得公切線；兩圓的連心線所在直線方程為，即，所以直線與交點(diǎn)為，則另外一條公切線過點(diǎn)，設(shè)，因?yàn)樵c(diǎn)到的距離為4，所以，解得，所以，即，綜上，兩圓的公切線方程有或或.（3）顯然當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，只要直線與圓交于兩點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性恒有.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn).由得，所以，且，由，得，即，所以，整理得將代入上式可得直線即，該直線恒過點(diǎn)，所以存在滿足條件的定點(diǎn).19.在空間直角坐標(biāo)系中，定義：過點(diǎn)，且方向向量為的直線的點(diǎn)方向式方程為，過點(diǎn)，且法向量為的平面的點(diǎn)法向式方程為，將其整理為一般式方程，即，其中．（1）已知直線的點(diǎn)方向式方程為，平面的一般式方程為，求直線與平面所成角的正弦值；（2）已知平面的一般式方程為，平面的一般式方程為，平面的一般式方程為，若，，證明：；（3）在斜三棱柱中，側(cè)面所在平面經(jīng)過三點(diǎn)，，，側(cè)面所在平面的一般式方程為，側(cè)面所在平面的一般式方程為，求平面與平面夾角的余弦值．（1）解：由直線的點(diǎn)方向式方程為，可知直線的一個(gè)方向向量為，由平面的一般式方程為，可知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．（2）證明：由平面的一般式方程為，可知平面的一個(gè)法向量為，由平面的一般式方程為