浙江省金華十校2026屆高三上學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則集合（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，，則.故選：D.2.已知等差數(shù)列滿足，則（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】由題設(shè)，而，所以.故選：B.3.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B.4.已知，則（）A.3 B.9 C.27 D.81【答案】C【解析】，所以，則，解得.故選：C.5.已知隨機(jī)變量，且，則的值為（）A.0.2 B.0.4 C.0.7 D.0.35【答案】B【解析】由題設(shè)，且，則，由正態(tài)分布曲線關(guān)于對(duì)稱，則.故選：B.6.若圓上存在兩點(diǎn)，直線上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】當(dāng)直線與圓相交時(shí)，如圖所示，若A、B離直線越近時(shí)，直至與直線和圓C的兩交點(diǎn)重合，此時(shí)，若A、B相距越來(lái)越近時(shí)，直至A、B兩點(diǎn)重合，此時(shí)，所以一定存在A、B及P，使得；當(dāng)直線與圓相切時(shí)，同直線與圓相交分析可知，一定存在A、B及P，使得；當(dāng)直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，對(duì)直線上的任一點(diǎn)P，若A、B相距越來(lái)越近時(shí)，直至A、B兩點(diǎn)重合時(shí)，仍有，另一方面，若PB與圓C相切于B，PA與圓C相切于A，此時(shí)必為該P(yáng)點(diǎn)所能達(dá)到的最大情況，如圖所示，由圖可知，，CP最短時(shí)，即等于圓心C到直線的距離d，最大，也最大，同時(shí)最大，所以若圓上存在兩點(diǎn)，直線上存在點(diǎn)，使得，則必有，解得，又因?yàn)閳A的半徑，圓心到直線的距離，所以，解得．故選：A．7.設(shè)為兩個(gè)非零向量所成的角，已知對(duì)任意，的最小值為，則（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】令，如下圖示，即為線段的長(zhǎng)度，由對(duì)任意，的最小值為，即，而，顯然時(shí)，線段最短，此時(shí)，所以，又，故或.故選：C.8.若雙曲線不存在以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦，則該雙曲線離心率的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意得點(diǎn)在雙曲線外部或在雙曲線上，則，得，假設(shè)存在以為中點(diǎn)的弦，設(shè)弦與雙曲線交于點(diǎn)，，則，，由點(diǎn)，在雙曲線上，得，兩式作差得，所以，因?yàn)椴淮嬖谠撝悬c(diǎn)弦，所以直線AB與雙曲線至多一個(gè)交點(diǎn)，則，也即，所以，則．故選：C．二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑等于2的半圓，則圓錐的（）A.底面半徑為1 B.表面積為C.體積為 D.外接球與內(nèi)切球半徑比值為3【答案】AC【解析】由題意，圓錐的母線長(zhǎng)為2，底面周長(zhǎng)為，若底面半徑為，則，A對(duì)，表面積為，B錯(cuò)，由上，圓錐的高，則圓錐體積為，C對(duì)，由上，圓錐軸截面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，其外接圓和內(nèi)切圓半徑，分別為圓錐的外接球和內(nèi)切球半徑，所以圓錐的外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，所以外接球與內(nèi)切球半徑比值為2，D錯(cuò).故選：AC.10.已知函數(shù)在處取得極小值，為其導(dǎo)函數(shù)，則（）A. B.C.的解集為 D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，由題意可知，解得，此時(shí)，故A正確；對(duì)于B，由，其為二次函數(shù)，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，則到對(duì)稱軸的距離為，到對(duì)稱軸的距離為，結(jié)合開(kāi)口向上的二次函數(shù)圖像特點(diǎn)可知，離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的點(diǎn)函數(shù)值更大，也即，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，解不等式，即，整理為，因式分解得，解得，故解集為，故C正確；對(duì)于D，對(duì)于，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，同時(shí)，由于，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，，所以，故D正確．故選：ACD．11.在中，若，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】根據(jù)與在上的圖象，如下圖示，顯然與在上有且僅有唯一交點(diǎn)，即在上有且僅有一個(gè)根，而，，由，所以，且，A對(duì)，又，，則所以，即，B對(duì)，C錯(cuò)，由，則，而中，由在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，只需，可得，令且，則，對(duì)于且，則，故在上單調(diào)遞增，所以，即，則，所以在上單調(diào)遞增，故，即，所以，而，則，即，所以，故，即，D對(duì).故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)____________．【答案】【解析】的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.13.的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿足，且，則的面積為_(kāi)___________．【答案】1【解析】由余弦定理可得：，又，得，解得，所以的面積為；故答案為：.14.平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)處有一只螞蟻，每過(guò)1秒，該螞蟻都會(huì)隨機(jī)地選擇上、下、左、右四個(gè)方向之一移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，那么在6秒后，螞蟻到原點(diǎn)的距離等于的概率為_(kāi)__________．【答案】【解析】螞蟻每一秒有4種移動(dòng)方向，共移動(dòng)6秒，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，總路徑數(shù)為，若螞蟻到原點(diǎn)O的距離為，原點(diǎn)到該點(diǎn)的距離滿足，設(shè)螞蟻右移a次、左移b次，則，上移c次、下移d次，則，總步數(shù)，要滿足，即，由于都是非負(fù)整數(shù)，可能的組合必須滿足，，此時(shí)，，，且，設(shè)左右移動(dòng)總次數(shù)為，上下移動(dòng)總次數(shù)為，則，由于，需為整數(shù)，則m與同奇偶，所以m為奇數(shù)，同理，n也為奇數(shù)，又，可能的組合有、、，當(dāng)，時(shí)，左右移動(dòng)1次，滿足的方式有2種，即左或右，上下移動(dòng)5次，滿足的方式有，或，，共種，即選3次上移，剩下2次下移，或選2次上移，剩下3次下移，其次，在6步中選1步用于左右移動(dòng)，其余5步用于上下移動(dòng)，種，因此，此情況的路徑數(shù)為；當(dāng)，時(shí)，左右移動(dòng)3次，滿足的方式有，或，，共種，上下移動(dòng)3次，滿足的方式同理，共種，此外，6步中選擇3步左右移動(dòng)，剩余上下移動(dòng)，共種，因此，此情況的路徑數(shù)為；當(dāng)，時(shí)，與，對(duì)稱，路徑數(shù)為240；滿足條件的總路徑數(shù)有，概率為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖，長(zhǎng)方體中，，，，三等分．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的大?。?）證明：根據(jù)題意，六面體為長(zhǎng)方體，所以，，，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，，為的三等分點(diǎn)，得各點(diǎn)坐標(biāo)，，，，，則，，所以，即.（2）解：因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面，所以為平面的一個(gè)法向量，結(jié)合，設(shè)直線與平面所成角為,，則，所以直線與平面所成角為.16.近些年汽車市場(chǎng)發(fā)生了翻天覆地的變化，新能源汽車發(fā)展迅速，下表統(tǒng)計(jì)了2021年到2024年某地新能源汽車銷量（單位：千輛）年份2021202220232024年份代號(hào)1234銷量336993129附：相關(guān)系數(shù)；回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，（1）試根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的值判斷該地汽車銷量與年份代號(hào)的線性相關(guān)性強(qiáng)弱（，則認(rèn)為與的線性相關(guān)性較強(qiáng)，，則認(rèn)為與的線性相關(guān)性較弱）；（精確到0.001）（2）建立關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該地2025年的新能源汽車銷量．解：（1）已知，，則，，則，，，所以，已知，故，又，代入相關(guān)系數(shù)公式，可得，因?yàn)椋耘c具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．（2）根據(jù)，由（1）可知，，所以，由，已知，，，則，所以關(guān)于的線性回歸方程為，將代入線性回歸方程（千輛）．17.已知數(shù)列，滿足()，且．（1）證明：數(shù)列與均為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前25項(xiàng)和．(其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如)（1）證明：由，可得，又，所以與均為等比數(shù)列；（2）解：由（1）知，，所以，則，，.18.已知函數(shù)．（1）求在處的切線方程；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，討論在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．解：（1）由，則，顯然，所以切線方程為；（2），此時(shí)，法一：分離參數(shù)法，從而，令，則，所以，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因此，故的取值范圍為；法二：必要性探路，，令，，下證：，時(shí)，恒成立，由一次函數(shù)在上遞減，則，在和上恒成立，且時(shí)，所以恒成立，故的取值范圍為；（3）在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)，理由如下：由于，所以是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)恒成立，又由（1）知恒成立，從而恒成立，所以在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，若是的導(dǎo)數(shù)，則，由于恒成立，所以，即在上單調(diào)遞增，從而存在使得，且，，即在區(qū)間上遞減，區(qū)間上遞增，從而，又，所以在有唯一零點(diǎn)，即在上有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，從而，由于時(shí)，，所以，又，從而恒成立，即在上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，因此在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn).19.如圖，已知點(diǎn)到兩點(diǎn)，距離的乘積為8，點(diǎn)的軌跡記為曲線，與軸交點(diǎn)分別記為．（1）求曲線的方程；（2）求的周長(zhǎng)的