.3直線的交點坐標與距離公式【考點歸納】【知識梳理】知識點一兩條直線的交點1．兩直線的交點已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.點A(a，b)．(1)若點A在直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，則有A1a＋B1b＋C1＝0.(2)若點A是直線l1與l2的交點，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0.))2．兩直線的位置關(guān)系方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點的個數(shù)一個無數(shù)個零個直線l1與l2的位置關(guān)系相交重合平行知識點二兩點間的距離公式：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).特別提醒：(1)此公式與兩點的先后順序無關(guān)．(2)原點O(0,0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).知識點三點到直線的距離、兩條平行線間的距離點到直線的距離兩條平行直線間的距離定義點到直線的垂線段的長度夾在兩條平行直線間公垂線段的長圖示公式(或求法)點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))【例題詳解】題型一、求相交直線的交點坐標【例1】．（25-26高二上·江蘇連云港）經(jīng)過兩直線和的交點，且與直線平行的直線的方程為.【答案】【分析】設(shè)與平行的直線方程為，求出兩直線交點的坐標并代入即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)與平行的直線方程為，聯(lián)立，解得，又因為點在直線上，即，解得.所以直線方程為.故答案為：【變式1】．（24-25高二上·廣東佛山·期中）已知直線過兩條直線和的交點，且與直線垂直，則直線的方程為(結(jié)果用一般式表示)．【答案】【分析】由題意可得直線過點，且斜率為，由點斜式求解即可.【詳解】解：由，可得，即所求直線過點，又因為所求直線與直線垂直，所以直線的斜率為，所以直線的方程為：，即.故答案為：【變式2】．（24-25高二上·天津·階段練習(xí)）過兩條直線，的交點，且與直線垂直的直線的方程為.【答案】【分析】求出直線與的交點坐標為，利用垂直關(guān)系求得斜率為，再由直線的點斜式方程可得結(jié)果.【詳解】聯(lián)立兩條直線方程，解得，即交點坐標為；易知直線的斜率為，可得所求直線的斜率為；由直線的點斜式方程可得，即.故答案為：題型二：直線交點參數(shù)問題【例2】．（25-26高二上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）直線與直線的交點在第四象限，則實數(shù)k的取值范圍為．【答案】【分析】首先可得，再聯(lián)立兩直線方程求出交點坐標，由交點在第四象限，列不等式組求實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可得，兩條直線不平行，故它們的斜率不相等，即，由，解得，因為兩直線的交點在第四象限，則有，解得，所以實數(shù)k的取值范圍為.故答案為：.【變式1】．（22-23高二上·北京·階段練習(xí)）已知兩直線，．若直線與，不能構(gòu)成三角形，求實數(shù)．【答案】或或【分析】分別討論或或過與的交點時，即可求解.【詳解】由題意可得，①當時，不能構(gòu)成三角形，此時：，解得：；②當時，不能構(gòu)成三角形，此時：，解得：；③當過與的交點時，不能構(gòu)成三角形，此時：聯(lián)立與，得，解得，所以與過點，將代入得：，解得；綜上：當或或時，不能構(gòu)成三角形.故答案為：或或.【變式2】．（24-25高二上·天津南開·期中）若過點的直線與直線的交點位于第一象限，則直線斜率的范圍是.【答案】【分析】先求出直線在軸、軸的交點，再結(jié)合直線的斜率公式與圖形，即可求解．【詳解】設(shè)直線在軸的交點為，在軸的交點為，則,，，，，，過點的直線與直線的交點位于第一象限，直線斜率的取值范圍是．故答案為：．題型三、兩點間的距離問題【例3】．（25-26高二上·河南·階段練習(xí)）已知，是直線上的兩點，若，則．【答案】13【分析】根據(jù)題意結(jié)合直線方程可得，再利用兩點間距離公式運算求解.【詳解】因為，在直線上，則，．又因為，則，所以．故答案為：13.【變式1】．（25-26高二上·河南南陽·開學(xué)考試）已知是直線上的兩點，若，求.【答案】【分析】根據(jù)題設(shè)條件先求出，再利用兩點間的距離公式計算即得.【詳解】因為，在直線l上，所以，.由已知，得，由兩點間的距離公式，得.故答案為：.【變式2】．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線與交于點，若點到坐標原點的距離為，則點的坐標為．【答案】或【分析】求出直線的交點坐標，再利用兩點間距離公式求出即可得解.【詳解】由，解得，即，于是，解得或，所以點的坐標為或.故答案為：或題型四、兩點間的距離求函數(shù)最值問題【例4】．（24-25高二上·福建泉州·期中）函數(shù)的最小值為．【答案】【分析】由題意可得表示與、的距離之和，求出C關(guān)于x的軸對稱點，數(shù)形結(jié)合，求解即可.【詳解】表示、的距離，表示、的距離，又關(guān)于x軸的對稱點，如圖，

所以，所以．故答案為：【變式1】．（23-24高二上·廣東揭陽·期中）函數(shù)的最小值是.【答案】【分析】由函數(shù)的幾何意義為點至和的距離之和，結(jié)合圖形即可求得.【詳解】函數(shù)，即為點至和的距離之和，點關(guān)于軸對稱的點為，所以,由圖形易得最小值為.故答案為:.【變式2】．（23-24高二上·上海浦東新·期中）已知x，y為實數(shù)，代數(shù)式的最小值是．【答案】5【分析】利用兩點間的距離公式的幾何意義，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題求解，即可得到答案.【詳解】即，幾何意義為點與點的距離；即，幾何意義為點與點的距離；即，幾何意義為點與點的距離，分別作關(guān)于軸的對稱點，關(guān)于軸的對稱點，連接，則，∴，當且僅當分別為與軸，軸的交點時，等號成立，故答案為：5.題型五、點到直線的距離或參數(shù)問題【例5】．（25-26高二上·河北邢臺·階段練習(xí)）已知點到直線的距離與到軸的距離相等，則（

）A．1或-4 B．-1或4 C．-7或3 D．-3或7【答案】D【分析】根據(jù)點到直線的距離公式進行求解即可.【詳解】由題可知，解得或7．故選：D.【變式1】．（24-25高二下·云南玉溪·期中）若點，到直線的距離相等，則（

）A．4 B． C．4或 D．或【答案】C【分析】分在直線的同側(cè)和分別在直線的兩側(cè)兩種情況分析即可求解.【詳解】若，在直線的同側(cè)，則，解得；若，分別在直線的兩側(cè)，則直線經(jīng)過的中點，則，解得．故選：C【變式2】．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）若點到直線的距離相等，則實數(shù)的值為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】利用點到直線的距離公式得到方程，解得即可.【詳解】點到直線的距離公式得，解得或．故選：C題型六、兩平行線間的距離問題【例6】．（24-25高二上·遼寧·階段練習(xí)）直線與之間的距離為（

）A． B． C．2 D．2【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用兩平行線之間的距離公式，即可求解.【詳解】由直線與，可得與平行，根據(jù)兩平行線間的距離公式，可得．即直線與的距離為.故選：A.【變式1】．（23-24高二上·廣東深圳·期末）若直線：與直線：間的距離為，則（

）A．17 B． C．14 D．7【答案】D【分析】根據(jù)平行直線間的距離公式計算即可.【詳解】因為，所以直線與直線間的距離為，解得或，因為，所以.故選：D.【變式2】．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知兩條平行直線與之間的距離為，則的值為（

）A．或8 B．或9 C．或2 D．或2【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合兩平行線間的距離公式，列出方程，即可求解.【詳解】因為兩條平行直線與之間的距離為，由兩平行線間的距離公式，可得，解得或．故選：A.題型七、求點關(guān)于直線對稱問題【例7】．（25-26高二上·河北邯鄲·階段練習(xí)）在中，頂點，點在直線上，點在軸上，則周長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用對稱，將直線同側(cè)折線段化為直線異側(cè)兩定點間的折線段之和，由兩點之間線段最短可知.【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，關(guān)于軸的對稱點為，與的交點即為，與軸的交點即為.如圖，兩點之間線段最短可知，的長即為周長的最小值.設(shè)，則解得即，關(guān)于軸的對稱點為，故周長的最小值為.故選：C.【變式1】．（25-26高二上·江西·階段練習(xí)）一條光線從點射出，與軸交于點，經(jīng)軸反射，則反射光線所在直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由光學(xué)知識可知點關(guān)于軸的對稱點在反射光線上，利用兩點坐標寫出直線方程即可.【詳解】由題知，點關(guān)于軸的對稱點在反射光線上，所以反射光線所在直線的方程為，即.故選：B.【變式2】．（25-26高二上·河南·階段練習(xí)）設(shè)點，點是軸上的動點，點是直線上的動點，則周長的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，先求出點關(guān)于軸的對稱點，關(guān)于直線的對稱點，將折線轉(zhuǎn)化為直線，通過兩點之間線段最短求解即可.【詳解】如圖，作點關(guān)于軸的對稱點，關(guān)于直線的對稱點，

易得的坐標為，設(shè)點的坐標為，則，解得，所以，因為，，所以的周長為，所以當、、、四點共線時，的周長最小，最小值為．故選：A題型八、求直線關(guān)于直線對稱問題【例8】．（24-25高二上·山東濰坊·期中）已知一條光線從點發(fā)出被直線反射，若反射光線過點，則反射光線所在的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出發(fā)光點關(guān)于直線的對稱點，再借助光的反射定律求出反射光線所在直線的方程.【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，因此反射光線所在直線過點，方程為，即.故選：A【變式1】．（24-25高二上·吉林長春·階段練習(xí)）已知光線從點射出，經(jīng)直線反射，且反射光線所在直線過點，則反射光線所在直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出點關(guān)于直線的對稱點，再利用反射光線過點，即可求解．【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，故反射光線過點與點，則反射光線所在直線的方程為，即．故選：D．【變式2】．（24-25高二上·河南周口·階段練習(xí)）已知從點發(fā)出的一束光線，經(jīng)過直線反射，反射光線恰好過點，則反射光線所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】運用點關(guān)于線的對稱找出對稱點，結(jié)合光線反射性質(zhì)計算即可.【詳解】點關(guān)于對稱的點設(shè)為，則，反射光線經(jīng)過點，則反射光線所在的直線方程為，即.故選:C.題型九、直線關(guān)于點、直線對稱問題【例9】．（24-25高一上·四川自貢·階段練習(xí)）已知直線，求：(1)原點關(guān)于的對稱點坐標；(2)直線關(guān)于的對稱直線方程；(3)直線關(guān)于點的對稱直線方程.【答案】(1) (2) (3)【詳解】（1）設(shè)原點關(guān)于直線的對稱點為，則線段的中點在直線上，且直線垂直于直線，即，解得，即，所以原點關(guān)于的對稱點坐標為；（2）聯(lián)立，解得，則點在所求直線上，在直線上任取一點，由（1）得關(guān)于的對稱點坐標為，所以點也在所求直線上，由兩點式得直線方程為，整理得，所以直線關(guān)于的對稱直線方程為；（3）在直線上取兩點，，則，關(guān)于點的對稱點分別為，.因為點，在所求直線上，所以由兩點式得直線方程為，整理得，所以直線關(guān)于點的對稱直線方程為.【變式1】．（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）已知直線，試求：(1)點關(guān)于直線的對稱點的坐標；(2)直線關(guān)于直線對稱的直線方程；(3)直線關(guān)于點對稱的直線方程．【答案】【小題1】【小題2】【小題3】【分析】（1）已知點和直線，求點關(guān)于直線的對稱點問題，設(shè)出對稱點的坐標，利用點和點中點在直線上以及直線與直線垂直列方程組，解方程組即可求解.（2）如果兩條直線相交，求一條直線關(guān)于另一條直線的對稱直線的方程，可以先求兩條已知直線的交點，再求直線上任取的一點關(guān)于另一條直線的對稱點，兩點和可以確定要求直線的方程，從而求得方程.（3）求直線關(guān)于點的對稱直線的方程，可以轉(zhuǎn)化成求直線上兩點關(guān)于已知點的對稱點，通過兩個對稱點的坐標求出直線方程即可.【詳解】（1）設(shè)點關(guān)于直線的對稱點的坐標為，則有題意可得，解得，故點關(guān)于直線的對稱點的坐標為．（2）由可得，直線與直線的交點為，再在直線上取一點，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則由解得，即．由題意可得、兩點是所求直線上的兩個點，則直線斜率為，則直線方程為，化簡為．（3）在直線上任意取出兩個點，求出這兩個點關(guān)于點對稱點分別為由題意可得，是所求直線上的兩個點，則直線斜率為3，則所求直線方程為，即．【變式2】．（25-26高二上·河南南陽·階段練習(xí)）已知直線，試求：(1)直線關(guān)于直線對稱的直線方程；(2)直線關(guān)于對稱的直線方程．【答案】(1) (2)【分析】（1）先求直線與的交點，再求直線上關(guān)于的對稱點，進而求出所求直線的斜率，利用點斜式方程求解直線即可；（2）分別求出直線上點關(guān)于點的對稱點，進而求出所求直線的斜率，利用點斜式方程求解直線即可.【詳解】（1）由可得， 直線與直線的交點為，再在直線上取一點，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則由解得，即．

由題意可得、兩點是所求直線上的兩個點，則直線斜率為，則直線方程為，化簡為．（2）在直線上任意取出兩個點，求出這兩個點關(guān)于點對稱點分別為由題意可得，是所求直線上的兩個點，則直線斜率為，則所求直線方程為，即．題型十、交點與距離的綜合應(yīng)用問題【例10】．（25-26高二上·江西·階段練習(xí)）已知的兩頂點坐標為是邊的中點，是邊上的高.(1)求所在直線的方程；(2)求高所在直線的方程；(3)求過點，且到距離相等的直線的方程.【答案】(1)(2)(3)和【分析】（1）由條件結(jié)合中點坐標公式求的坐標，利用兩點式求直線方程，再化為一般式即可；（2）根據(jù)垂直直線的斜率關(guān)系求直線的斜率，利用點斜式求直線方程，再化為一般式即可.（3）當過中點時由兩點式可得，與平行時由點斜式可得.【詳解】（1）因為是邊的中點，由中點坐標公式可得，由兩點式可得，整理可得.（2）因為是邊上的高，結(jié)合上問結(jié)論可知：，，所以，因此高所在直線的方程為：，即.（3）由題意可得當所求直線過的中點，所以由兩點式可得，整理可得；當所求直線平行于時，其斜率為，由點斜式可得，整理可得.綜上，所求直線方程為和.【變式1】．（25-26高二上·遼寧·階段練習(xí)）已知直線與x軸交于點A，把繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得直線，與y軸交于點B．(1)求a的值；(2)若點A，B在直線的兩側(cè)，求b的取值范圍；(3)若直線，關(guān)于直線l對稱，求l的斜率．【答案】(1) (2) (3)【詳解】（1）設(shè)直線的傾斜角為，則直線的傾斜角與的終邊相同，因為直線的斜率為，所以，，所以，所以．（2）由已知可得，當直線經(jīng)過點時，，即，當直線經(jīng)過點時，，即，所以當點在直線的兩側(cè)時，．（3）直線關(guān)于直線對稱，則的交點在上，由已知可知，直線的斜率存在，設(shè)為，則的方程為，因為在上，關(guān)于的對稱點在上，設(shè)，由得，即，由的中點在上，得，即，代入得，解得．【變式2】．（25-26高二上·安徽阜陽·階段練習(xí)）在直角坐標系中，直線與軸和軸分別交于點，直線與線段交于點，與軸交于點.(1)求與平行且距離為的直線的方程；(2)若與在某種對應(yīng)方式下相似，求實數(shù)的值；(3)若點滿足為等腰直角三角形，求實數(shù)的值.【答案】(1)或(2)若，；若，(3)或或【分析】（1）根據(jù)直線平行，設(shè)出方程，然后根據(jù)平行線間的距離公式，即可求解；（2）根據(jù)圖形，與有兩種相似情況，分別求解即可；（3）分三種情況利用向量表示直線垂直，以及線段相等列方程組，分別求解即得.【詳解】（1）設(shè)與平行的直線方程為，則，解得或，即所求直線方程為或.（2）由題知，點坐標為，若，則，即，解得；若，則，即，解得.故若，；若，.（3）由題知，，點坐標為，則，若為直角，則，解得；若為直角，則，即，解得或（舍去）；若為直角，則，即，解得.綜上，若點滿足為等腰直角三角形，則或或.【高分演練】一、單選題1．（25-26高二上·江西·階段練習(xí)）過直線與直線的交點和原點的直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先解方程組得交點坐標，再由直線過原點即可求解.【詳解】由題，解得，則交點為，又因直線過原點，所以直線斜率為，則直線方程為，即，故B正確.故選：B.2．（25-26高二上·江蘇·階段練習(xí)）兩條直線，之間的距離為（

）A． B． C． D．13【答案】A【分析】根據(jù)平行線之間的距離公式即可求解.【詳解】直線可化為，所以兩平行線之間的距離.故選：A3．（25-26高二上·北京·階段練習(xí)）與直線關(guān)于y軸對稱的直線的方程為（

）.A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點關(guān)于y軸對稱的點為，利用相關(guān)點法求直線方程.【詳解】在所求直線上任取一點，則點關(guān)于y軸對稱的點為，可知點在直線上，可得，即，所以所求直線方程為.故選：A.4．（25-26高二上·山西晉中·階段練習(xí)）兩條平行直線與之間的距離為（

）A．6 B．5 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件得，再利用兩平行線間的距離公式，即可求解.【詳解】因為直線與平行，所以，直線即，所以兩條平行直線之間的距離為.故選：C.5．（25-26高二上·山西晉中·階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根據(jù)兩點間距離公式，結(jié)合兩點間線段最短進行求解即可.【詳解】由，設(shè)，，.得的幾何意義為的值.點關(guān)于軸對稱點，所以.故選：B6．（25-26高二上·河南·階段練習(xí)）已知點的坐標分別為為動點，且的面積總為10，則動點的軌跡方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】由三角形的面積確定點到直線上的距離，再由直線平行即可求解.【詳解】，設(shè)點到直線上的距離為，則，則，直線的方程為，即，所以動點的軌跡是與平行的直線，設(shè)直線方程為，則4，解得或12，則動點的軌跡方程為或．故選：D．7．（25-26高二上·江蘇·階段練習(xí)）若某直線被兩平行線與所截得的線段的長為，則該直線的傾斜角大小為（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【分析】先求出兩平行線間的距離，再根據(jù)截得線段的長度求出直線與平行線的夾角，最后結(jié)合平行線的傾斜角，即可得出所求直線的傾斜角.【詳解】因為直線與平行，所以兩直線之間的距離，設(shè)直線與兩平行線的夾角為，則有，即夾角，又的斜率為，則其傾斜角為，所以直線的傾斜角為或.故選：B.8．（25-26高二上·北京·階段練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形中，點是邊上異于、的一點.光線從點出發(fā)，經(jīng)過、反射后又回到點.若光線經(jīng)過的重心，且，則（

）

A． B． C．2 D．【答案】D【分析】建立平面直角坐標系，利用光的反射以及軸對稱的性質(zhì)確定出直線的方程，再將重心坐標代入方程即可求解出的長度.【詳解】建立平面直角坐標如圖，作關(guān)于的對稱點，作關(guān)于軸的對稱點，設(shè)，

因為，，所以，解得，由光的反射原理可知：四點共線，所以，所以，代入重心坐標即，所以，解得或(舍).故選：D.9．（25-26高二上·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）已知定點和直線，則點P到直線l的距離d的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出直線所過定點，然后根據(jù)兩點間的距離公式求得正確答案.【詳解】直線，由，解得，則直線過定點，所以點P到直線l的距離d的最大值為.故選：A10．（25-26高二上·河南·階段練習(xí)）在平面直角坐標系中，點的坐標分別為，點的坐標為，則的最小值是（

）A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】求出點所在直線方程，再求關(guān)于直線的對稱點，轉(zhuǎn)化為求的最小值即可得解.【詳解】如圖，在直線上，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，設(shè)所在直線為，代入點，可得，解得，故所在直線為，聯(lián)立，解得，故直線與直線交點為，則點關(guān)于直線的對稱點的坐標為，，因為，所以的最小值是.故選：B.

二、多選題11．（25-26高二上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）已知直線：，：（），則（）A．直線過定點 B．當時，C．當時， D．當時，兩直線，之間的距離為2【答案】AB【分析】將直線變形為即可求解定點坐標，進而可判斷A；將直線化為斜截式方程，再根據(jù)兩直線垂直和平行滿足的關(guān)系判斷BC；根據(jù)兩平行線間距離公式可判斷D.【詳解】將直線的方程變形為，由，則，因此直線過定點，故A正確；當時，，，斜率相等，縱截距不等，故兩直線平行，故B正確；當時，，：，因斜率之積不為，故兩直線不垂直，故C錯誤；當時，則滿足，解得，此時：，：，則兩直線間的距離為，故D錯誤．故選：AB．12．（25-26高二上·浙江溫州·階段練習(xí)）對于直線，下列說法正確的有（

）A．直線過點 B．直線與直線垂直C．直線的一個方向向量為 D．原點到直線的距離為1【答案】ABC【分析】點代入直線可判斷A；利用兩直線垂直的充要條件可判斷B；利用直線的方向向量和斜率的關(guān)系可判斷C；利用點到直線的距離公式計算可判斷D.【詳解】對于A，因為滿足方程，所以直線l過點，故A正確；對于B，直線斜率為，直線斜率為1，所以直線與直線垂直，故B正確；對于C，直線的一個方向向量為，則斜率為，故C正確；對于D，原點到直線的距離為，故D錯誤.故選：ABC13．（24-25高二上·遼寧·階段練習(xí)）在平面直角坐標系中，直線過定點，直線過定點與交于點，則（

）A．點坐標為B．C．與的方向向量的數(shù)量積為1D．面積的最大值為【答案】BD【分析】根據(jù)直線方程確定定點坐標，結(jié)合兩點距離公式判斷A、B；由直線垂直的判定得，進而可得兩直線方向向量的數(shù)量積，即可判斷C；根據(jù)分析得，由勾股定理得，再應(yīng)用基本不等式求三角形面積的最大值判斷D.【詳解】對于A，由顯然恒過，錯誤；對于B，將化為恒過定點，故，正確；對于C，由，則兩條直線垂直，垂足為，故，故與的方向向量的數(shù)量積為0，錯誤；對于D，由A、B分析有，由勾股定理知，故的面積，當且僅當時等號成立，正確．故選：BD14．（25-26高二上·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知直線：與：，則下列選項正確的是（）A．當時，B．若，則，間的距離為C．當時，D．原點到的距離的最大值為【答案】BD【分析】根據(jù)直線一般式中平行和垂直滿足的系數(shù)關(guān)系即可求解AC,結(jié)合距離公式即可求解BD.【詳解】對于A，當時，，兩直線重合，錯誤；對于B，若，則，解得或.當時，重合，當時，，∴的方程為，的方程為，間的距離為，正確；對于C，當時，則，解得或，故C錯誤，對于D，由，可得恒過點，所以原點到的距離的最大值為，正確；故選：BD.15．（25-26高二上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）對于直線，下列選項正確的是（

）A．直線恒過點B．當時，直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為1C．若直線不經(jīng)過第二象限，則D．坐標原點到直線的距離的最大值為【答案】AD【分析】求出過的定點判斷A，當時，求出直線l的橫縱截距計算判斷B，根據(jù)的取值情況判斷C；求出原點到定點的距離即判斷D.【詳解】可變形為，由，得所以直線l恒過點，故A正確；當時，直線方程為，在x，y軸上的截距分別為1，1，所以直線l與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，故B不正確；當時，直線l的方程為，直線l也不經(jīng)過第二象限，故C不正確；因為直線l過定點，所以坐標原點到直線l的距離的最大值為，故D正確．故選：AD三、填空題16．（25-26高二上·江蘇連云港·階段練習(xí)）直線關(guān)于直線對稱的直線的方程是.【答案】【分析】法1，求出直線與的交點坐標，利用直線上的點到直線與的距離相等，列式計算得解；法2，利用直線關(guān)于特殊直線對稱結(jié)論求解.【詳解】（方法1）聯(lián)立，得兩直線的交點為，設(shè)直線的方程為，直線上的點到直線與的距離相等，即，解得或（舍去），故的方程是.故答案為：.（方法2：直線關(guān)于特殊直線對稱）利用直線關(guān)于直線的對稱直線為.所以關(guān)于直線對稱的直線為：，即.故答案為：.17．（25-26高二上·福建廈門·階段練習(xí)）一條光線從射出，經(jīng)y軸后反射，反射光線經(jīng)過點，則反射光線所在直線方程為.【答案】【分析】求出點關(guān)于軸的對稱點，然后根據(jù)兩點式求解直線方程即可.【詳解】設(shè)關(guān)于軸的對稱點，則有，即，反射光線所在直線為：，整理得：.故答案為：.18．（25-26高二上·河南南陽·階段練習(xí)）已知點，是直線上的兩點，若，則【答案】【分析】由兩點間的距離公式可求解.【詳解】因為，是直線上的兩點，所以，．根據(jù)兩點間的距離公式，得，解得.故答案為：19．（25-26高二上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）設(shè)，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的最大值為．【答案】4【分析】求得直線恒過的定點，判斷兩直線位置關(guān)系，找到與的關(guān)系，利用均值不等式求最值.【詳解】直線可整理為，故恒過定點，即為A的坐標；直線整理為，故恒過定點，即為B的坐標；又兩條直線垂直，故可得，即整理得,即，解得，當且僅當時取得最大值.故答案為：420．（25-26高二上·天津濱海新·階段練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知點，點，為直線上一動點，則的最小值是，對應(yīng)點的坐標是．【答案】4【分析】利用對稱關(guān)系求出點的對稱點為，則最小值為之間的距離.【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，所以，所以，當且僅當點為線段與直線的交點時等號成立，因為，所以直線的方程為，聯(lián)立：，解得，所以點，故答案為：4；

21．（25-26高二上·江蘇·階段練習(xí)）若動點，分別在直線：與：上移動，則的中點到原點的距離的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)動點，滿足的關(guān)系式，結(jié)合中點公式可得中點滿足的方程，利用點到直線的距離求解.【詳解】設(shè)的中點的坐標為，則有，又，分別在直線：與：上，∴聯(lián)立得，兩式相加得，∴，即，即的中點在直線上移動，∴到原點距離的最小值即原點到直線的距離.故答案為：四、解答題22．（25-26高二上·安徽·階段練習(xí)）已知直線：和直線：.(1)求直線恒過的定點，及該定點到直線的距離；(2)若，求兩直線與間的距離.【答案】(1)定點，距離為(2)【分析】先求出直線的定點，再利用點到直線的距離公式求解即可；（2）利用兩條直線平行的條件求出，再利用平行線之間的距離公式即可得到答案.【詳解】（1）直線：恒過定點，定點到直線的距離為.（2）由，則，即，此時：，即，：，滿足，則兩直線與間的距離為.23．（25-26高二上·寧夏·階段練習(xí)）根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程.(1)經(jīng)過直線與直線的交點，且與直線平行的直線的方程；(2)已知點.求線段的垂直平分線的方程；(3)經(jīng)過點，并且在兩坐標軸上的截距相等.【答案】(1)；(2)；(3)或.【分析】（1）聯(lián)立直線，方程可得交點M坐標，然后由題設(shè)所求直線方程為：，代入坐標可得答案；（2）由垂直平分線定義，結(jié)合直線AB斜率及線段AB中點坐標可得答案；（3）分直線過原點與不過兩種情況，對于直線不過原點時，設(shè)滿足題意直線方程為：，由題及可得答案.【詳解】（1），則交點為.又所求直線與平行，設(shè)所求直線方程為：，代入，得，則所求方程為：.（2）由題，直線AB斜率為：，則所求直線斜率為：，又所求直線過線段AB中點，即過點，即，則所求直線方程為：.（3）當直線過原點時，顯然滿足條件，此時方程為：；當直線不過原點，設(shè)滿足題意的直線方程為：.則，則方程為：.則所求直線方程為：或.24．（25-26高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，在中，BC邊上的高所在的直線方程為的平分線所在的直線方程為，若點B的坐標為，求(1)點A的坐標和直線AC的方程；(2)直線BC的方程和點C的坐標；(3)的值．【答案】(1)，(2)，(3)【分析】（1）聯(lián)立即可求出點坐標，再利用對稱性求出直線的斜率，利用點斜式求方程；（2）先求出直線的斜率，利用點斜式求方程，再與直線聯(lián)立，即可求出點；（3）利用兩點間距離公式求出的邊長，再利用余弦定理即可.【詳