.4：圓的方程【知識梳理】【知識梳理】知識點一圓的標準方程(1)條件：圓心為C(a，b)，半徑長為r.(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(3)特例：圓心為坐標原點，半徑長為r的圓的方程是x2＋y2＝r2.知識點二圓的一般方程1．圓的一般方程當D2＋E2－4F>0時，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0稱為圓的一般方程．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形條件圖形D2＋E2－4F<0不表示任何圖形D2＋E2－4F＝0表示一個點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))D2＋E2－4F>0表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))為圓心，以eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)為半徑的圓知識點三點與圓的位置關系點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系及判斷方法位置關系利用距離判斷利用方程判斷點M在圓上|CM|＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2點M在圓外|CM|>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2點M在圓內(nèi)|CM|<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2【例題詳解】題型一、求圓的標準方程【例1】．（25-26高二上·陜西渭南·階段練習）根據(jù)下列條件，求圓的標準方程：(1)過點和點，半徑為；(2)過三點.【變式1】．（25-26高二上·全國·課堂例題）根據(jù)下列條件，求圓的標準方程：(1)圓心在點，且過點；(2)過點和點，半徑為；(3)過三點.【變式2】．（24-25高二上·廣東深圳·期中）求滿足下列條件的圓的標準方程.(1)圓心為，經(jīng)過點；(2)圓心在直線上，且與軸交于點.題型二、圓的一般方程的求圓心與半徑【例2】．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，則該圓的圓心坐標和半徑分別為（

）A．，1 B．，1C．， D．，【變式1】．（24-25高二上·湖南永州·階段練習）圓的圓心坐標為（

）A． B． C． D．【變式2】．（24-25高二上·廣東湛江·期中）圓的圓心和半徑分別為（

）A． B．C． D．題型三：求圓的一般方程【例3】．（23-24高二上·新疆喀什·期中）已知三角形ABC的三個頂點為，，，(1)求三角形ABC外接圓的方程；(2)判斷點是否在這個圓上.【變式1】．（23-24高二上·新疆塔城·期中）已知△ABC三個頂點的坐標分別為，，．(1)求AB邊中線所在直線的方程；(2)求△ABC外接圓的一般方程．【變式2】．（24-25高二上·上?！て谥校┤魣A過點，，.(1)求圓的一般方程；(2)求圓關于直線對稱的圓的標準方程.題型四：二元二次方程表示圓的參數(shù)問題【例4】．（25-26高二上·陜西渭南·階段練習）已知方程表示一個圓.(1)求t的取值范圍；(2)求這個圓的圓心和半徑；【變式1】．（24-25高二上·河南許昌·期中）若方程為表示圓.點，在圓上，(1)求實數(shù)的取值范圍.(2)求出圓的圓心坐標和半徑，并求當時圓的方程.(3)求過點，且圓心在直線上的圓的方程.【變式2】．（22-23高二上·重慶渝中·階段練習）已知圓的方程為：(1)求實數(shù)的取值范圍.(2)當圓半徑最大時，點在圓上，點在直線上，求的最小值.題型五：圓的定點問題【例5】．（23-24高二上·湖北荊州·期末）圓恒過的定點為（

）A． B．C． D．【變式1】．（2024高二·全國·專題練習）已知曲線：．(1)當取何值時，方程表示圓？(2)求證：不論為何值，曲線必過兩定點．【變式2】．（21-22高二上·安徽·階段練習）若圓過坐標原點，則實數(shù)m的值為（

）A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1【變式3】．（25-26高二上·湖北武漢·階段練習）對任意實數(shù)，動圓恒過兩個定點，請寫出一個定點坐標．題型六：圓的方程綜合問題【例6】．（25-26高二上·寧夏銀川·階段練習）已知圓C經(jīng)過點，且圓心C在直線上．(1)求圓C的方程；(2)若點在圓C上，求的最大值與最小值．【變式1】．（25-26高二上·河南南陽·開學考試）根據(jù)下列條件，求圓的方程.(1)圓心是，且過點；(2)經(jīng)過點，且以線段AB為直徑的圓的方程；(3)已知的三個頂點為，求的外接圓方程.【變式1】．（22-23高二上·江蘇·期末）已知圓的圓心在軸上，并且過，兩點．(1)求圓的方程；(2)若為圓上任意一點，定點，點滿足，求點的軌跡．【高分演練】一、單選題1．（25-26高二上·江蘇·階段練習）若方程表示一個圓，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（25-26高二上·浙江舟山·階段練習）已知圓的方程為，則該圓的半徑為（

）A． B．3 C． D．93．（25-26高二上·黑龍江大慶·階段練習）已知直線恒過定點，則以為圓心，2為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．4．（25-26高二上·湖南長沙·階段練習）圓關于直線對稱的圓的方程是（

）A． B．C． D．5．（25-26高二上·重慶·開學考試）點在圓上運動，它與點所連線段中點為，則點軌跡方程為（

）A．B． C． D．6．（24-25高二下·甘肅白銀·期末）圓心在直線上，且經(jīng)過點，的圓的方程為（

）A． B．C． D．7．（2025·江蘇連云港·模擬預測）已知線段的端點的坐標是，端點在圓上運動，則線段的中點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．8．（24-25高二下·上海寶山·期中）已知圓，圓分別是圓、上的動點，為軸上的動點，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．二、多選題9．（25-26高二上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）已知表示圓，則下列結論正確的是（

）．A．圓心坐標為 B．圓心坐標為C．半徑 D．半徑10．（25-26高二上·山東菏澤·階段練習）已知實數(shù)滿足圓的方程，則（

）A．圓心，半徑為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的最大值為11．（25-26高二上·全國·單元測試）已知圓及點，則下列說法中正確的是（

）A．圓心的坐標為B．點在圓外C．若點在圓上，則直線PQ的斜率為D．若是圓上任一點，則｜MQ｜的取值范圍為12．（2025高三·全國·專題練習）已知圓的方程為，點是圓上任意一點，為坐標原點，則下列結論中正確的是（

）A．圓的半徑為4B．滿足的點有兩個C．的最大值為D．若點在軸上，則滿足的點有兩個13．（24-25高三下·全國·開學考試）已知圓經(jīng)過點和，且圓被軸，軸截得的弦長相等，則圓的方程可以是（

）A． B．C． D．14．（24-25高二上·海南·期中）已知圓，則下列說法正確的是（

）A．圓的半徑為B．圓關于直線對稱C．若，則圓過坐標原點D．若圓的圓心到軸的距離等于圓的半徑，則或三、填空題15．（25-26高二上·江蘇無錫·階段練習）已知圓C過點，，且圓心C在直線：上，則圓C的標準方程為.16．（25-26高二上·山東泰安·階段練習）已知兩點，則以為直徑的圓的標準方程為．17．（25-26高二上·河北邢臺·階段練習）已知，圓是圓上的動點，是軸上的動點，則的最小值是.18．（25-26高二上·天津·階段練習）已知點是圓上的動點，點，則線段中點的軌跡方程為.19．（24-25高二上·北京房山·期中）已知點在同一個圓上，則這個圓的方程為.20．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）若是圓上的一個動點，是坐標原點，，則的最小值為．四、解答題21．（2025高二上·全國·專題練習）寫出下列圓的標準方程：(1)圓心是，且過點；(2)圓心是直線與的交點，半徑長為．22．（24-25高二上·廣東惠州·期中）的三個頂點分別是、、.(1)求邊上的高所在直線的方程；(2)求的外接圓（為圓心）的標準方程.23．（24-25高二上·黑龍江·期末）已知，直線：與圓C：交于A，B兩點.(1)證明恒過定點，并求出原點到直線的最大距離；(2)已知點在圓C上，求的取值范