2/37第10章空間直線與平面章末大總結(jié)教學(xué)目標(biāo)①熟練掌握畫空間圖形的基本技能，能夠準(zhǔn)確繪制直觀圖②學(xué)會運(yùn)用平移法、三垂線法等方法，準(zhǔn)確找出異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的平面角，并能借助解三角形等知識進(jìn)行角度的計(jì)算③能夠靈活運(yùn)用空間直線與平面的相關(guān)定理和性質(zhì)，進(jìn)行邏輯推理與證明教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：空間角和平行，垂直關(guān)系的證明難點(diǎn)：垂直關(guān)系的證明；二面角知識點(diǎn)01公理1、2及其三推論、公理3公理1：如果一條直線上有兩點(diǎn)在一個平面上，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個平面上．符號表示：Al，Bl，且Aα，Bα?l?α．如圖所示：公理2：①過不在一條直線上的三個點(diǎn)，有且只有一個平面；②圖形語言：③應(yīng)用：確定平面的依據(jù)；判斷兩個平面是否重合；證明點(diǎn)線共面.作用：①確定一個平面；②判斷兩個平面重合；③證明點(diǎn)、線共面．（1）推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個平面（2）推論2:經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面（3）推論3:經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面公理3：①如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線②符號語言和圖形語言，且【即學(xué)即練】給出下列命題：①書桌面是平面；②平面與平面相交，它們只有有限個公共點(diǎn)；③如果兩個平面有三個不共線的公共點(diǎn)，那么這兩個平面重合.正確的是（填寫序號）.【答案】③【分析】對于①：根據(jù)平面的性質(zhì)分析判斷；對于②：根據(jù)公理2分析判斷；對于③：根據(jù)公理3分析判斷.【詳解】對于①：由平面性質(zhì)知，平面具有無限延展性，所以桌面只是平面一部分，不是平面，故①錯誤；對于②：根據(jù)公理2可知，若兩個平面有一個共點(diǎn)，則有過該點(diǎn)的唯一交線，可知有無限個公共點(diǎn)，且在一條直線上，故②錯誤；對于③：根據(jù)公理3可知，不共線的三個點(diǎn)確定一個平面，因此兩個平面有三個不共線的公共點(diǎn)，那么這兩個平面重合，③正確.故答案為：③.知識點(diǎn)02異面直線1、異面直線判定定理：過平面外一點(diǎn)與平面上一點(diǎn)的直線，和此平面上不經(jīng)過該點(diǎn)的任何一條直線都是異面直線2、異面直線所成角：①已知兩條異面直線，，經(jīng)過空間任一點(diǎn)分別作直線，，我們把直線與所成的角叫做異面直線與所成的角(或夾角)．②空間兩條直線所成角的取值范圍是.【即學(xué)即練】如圖，在直三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn)．若，則異面直線與所成角的余弦值為．【答案】/【分析】通過平移至與相交，作出異面直線所成的角即可求解.【詳解】解法1：如圖，延長至點(diǎn)，使．因?yàn)槭侵比庵?，所以四邊形是平行四邊形，故，所以（或其補(bǔ)角）即為異面直線與所成的角．設(shè)，則，從而，．在中，，，，所以，所以．解法2：如圖，取的中點(diǎn)，連結(jié)．由是直三棱柱得，，由分別是，的中點(diǎn)得，，所以，，故四邊形是平行四邊形，所以，所以（或其補(bǔ)角）即為異面直線與所成的角．設(shè)，則，，，由余弦定理得．故答案為：知識點(diǎn)03直線與平面平行（1）判定定理：如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．（2）性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行．【即學(xué)即練】如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別為線段，上的點(diǎn)，，，．求證：平面．【答案】證明見解析【分析】由平行線分線段成比例定理推得，利用三棱柱的性質(zhì)易得，即可由線線平行證得線面平行.【詳解】因，，則，故，在三棱柱中，，則，因平面，平面，則平面.知識點(diǎn)04直線與平面垂直1．直線與平面垂直的定義如果一條直線與一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線垂直于平面，記作，直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面，垂線和平面的交點(diǎn)稱為垂足．結(jié)論：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，過一點(diǎn)有且只有一個平面與已知直線垂直．2.直線與平面垂直的判定定理如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．3．直線與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩條直線同時垂直于一個平面，那么這兩條直線平行．4．與線面垂直有關(guān)的重要結(jié)論(1)如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于平面內(nèi)的任何一條直線．(2)如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面．(3)如果一條直線與兩個平面都垂直，那么這兩個平面平行．(4)過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直；過一點(diǎn)有且只有一個平面和已知直線垂直．【即學(xué)即練】如圖所示，正方體中，連接，，，．求證：平面．【答案】證明見解析【分析】只需證明、，再結(jié)合線面垂直的判定定理即可得證.【詳解】平面，是在平面內(nèi)的射影，又，由三垂線定理得．同理可證．又平面．平面．知識點(diǎn)05直線與平面所成角如圖，一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足，過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影，平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.【即學(xué)即練】如圖，正方體中，點(diǎn)為中點(diǎn)，則直線與平面所成角的余弦值為.【答案】【分析】借助正方體的性質(zhì)，根據(jù)線面角的定義作出所求的角，然后在直角三角形中求解余弦值即可.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，所以直線與平面所成角即與平面所成角，連接，由正方體的性質(zhì)可知平面，故是與平面所成角，設(shè)正方體的棱長為2，在中，，所以直線與平面所成角的余弦值為.故答案為：知識點(diǎn)06三垂線定理平面上的一條直線和這個平面的一條斜線垂直的充要條件是它和這條斜線在平面上的投影垂直【即學(xué)即練】如圖所示，在四棱錐中，底面，且底面各邊都相等，是PC上的一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)滿足時，平面平面PCD．（只要填寫一個你認(rèn)為是正確的條件即可）

【答案】【分析】由題意要得到平面平面，容易推得，只需垂直平面內(nèi)的與相交的直線即可．【詳解】連接，

因?yàn)榈酌娓鬟叾枷嗟龋?，因?yàn)榈酌?，底面，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫裕援?dāng)（或時，則PC與平面MBD內(nèi)兩條相交直線垂直，即有平面，而平面，平面平面．故答案為：（或等）．知識點(diǎn)07平面與平面平行1、平面與平面平行的判定定理（1）如果一個平面內(nèi)的有兩條相交直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.（定理簡述：線面平行，則面面平行。）（2）符號語言（3）圖形語言2、平面與平面平行的性質(zhì)定理（1）如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.（2）符號語言（3）圖形語言【即學(xué)即練】如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別為線段，上的點(diǎn)，，，．(1)求證：平面．(2)在線段上是否存在一點(diǎn)G，使平面平面？請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在點(diǎn)，滿足即可，理由見解析【分析】（1）由平行線分線段成比例定理推得，利用三棱柱的性質(zhì)易得，即可由線線平行證得線面平行；（2）線段上存在點(diǎn)，滿足，即可由線線平行推得線面平行再證明面面平行即可.【詳解】（1）因，，則，故，在三棱柱中，，則，因平面，平面，則平面.（2）如圖，線段上存在點(diǎn)，滿足，即可使平面平面，理由如下：因，則，則，因平面，平面，故平面，由（1），因平面，平面，故平面，又平面，故平面平面.知識點(diǎn)08二面角平面角1、定義：在二面角的棱上任取一點(diǎn),以點(diǎn)為垂足,在半平面和內(nèi)分別作垂直與直線的射線,,則射線和構(gòu)成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.2、二面角的平面角求法（1）定義法：利用二面角的平面角的定義，在二面角的棱上取一點(diǎn)（一般取特殊點(diǎn)），過該點(diǎn)在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，兩射線所成的角就是二面角的平面角，這是一種最基本的方法，要注意用二面角的平面角定義的三要素來找出平面角.（2）三垂線定理及其逆定理①定理：平面內(nèi)的一條直線如果和經(jīng)過這個平面的一條斜線在這個平面上的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.②三垂線定理（逆定理）法：由二面角的一個面上的斜線的射影與二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也與二面角的棱垂直.從而確定二面角的平面角.(3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是二面角的平面角.（4）面積射影法：根據(jù)圖形及其在某一個平面上的射影面積之間的關(guān)系，利用射影的面積比上原來的面積等于二面角的余弦值，來計(jì)算二面角。此法常用于無棱的二面角；【即學(xué)即練】如圖，棱長為1的正方體中中，二面角的正切值為．【答案】【分析】根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)可得即為所求的二面角的平面角，利用三角形的邊角關(guān)系即可求解.【詳解】取的中點(diǎn)為，連接,由于正方體中,,故，，故即為所求的二面角的平面角，由于平面，平面，故，因此,故答案為：知識點(diǎn)09平面與平面垂直1、平面與平面垂直的判定定理（1）定理：如果一個平面過另一個平面的的垂線，那么這兩個平面垂直.(線面垂直，則面面垂直)（2）符號（圖形）語言:，2、平面與平面垂直的性質(zhì)定理（1）定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直．(2)符號（圖形）語言：，，.【即學(xué)即練】如圖，在三棱錐中，，底面，M，N分別是，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，由三角形中位線得線線平行，再說明線面平行即可；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理，證得線面垂直，由面面垂直的判定定理說明面面垂直.【詳解】（1）因?yàn)镸，N分別是，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）因?yàn)椋?，因?yàn)榈酌妫酌?，所以?平面，平面，平面，平面，平面平面．知識點(diǎn)10異面直線的距離（1）定理：對于任意給定的兩條異面直線，存在唯一的一條直線與這兩條直線都垂直并且相交；（2）兩條異面直線之間的距離定義：將與兩條異面直線都垂直且相交的直線稱為這兩條異面直線的公垂線，公垂線的兩個垂足之間的線段稱為異面直線的公垂線段；兩條異面直線的公垂線段的長度就叫做兩條異面直線的距離；（3）異面直線的距離公式如圖，已知兩條異面直線、所成的角為，它們的公垂線段的長度為，在直線、上分別取：點(diǎn)、，設(shè)，則.（4）求異面直線距離的常用方法①直接法：找出（或作出）公垂線，計(jì)算公垂線段的長度②轉(zhuǎn)化為線面距離：過其中一條直線b上的任一點(diǎn)作另一條直線a的平行線c，b和c所決定的平面與a之間的距離即為異面直線的距離③轉(zhuǎn)化為平行平面距離：過兩條異面直線作兩個互相平行的平面，這兩個平面間的距離即為異面直線的距離【即學(xué)即練】已知正方體的棱長為a，異面直線DB與之間的距離為．【答案】a【分析】利用異面直線距離的意義求解即得.【詳解】在正方體中，平面平面，且平面，平面，因此平面與平面的距離為，而平面，平面，所以異面直線DB與之間的距離為面與平面的距離.故答案為：

題型01平面及其基本性質(zhì)【典例1】如圖，在直三棱柱ABC-中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，平面AEF與線段交于點(diǎn)G，則=.【答案】/【分析】根據(jù)面面相交的性質(zhì)，結(jié)合平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】延長交于點(diǎn)，連接交一點(diǎn)，該點(diǎn)為點(diǎn)G，因?yàn)镕是的中點(diǎn)，，所以是的中點(diǎn)，因?yàn)镋是的中點(diǎn)，所以，因此有，于是有，故答案為：【變式1】如圖，矩形是水平放置的平面四邊形用斜二測畫法畫出的直觀圖，其中，則原四邊形的周長為.【答案】【分析】由題意，結(jié)合斜二測畫法將直觀圖還原為原圖，進(jìn)而求解.【詳解】根據(jù)題意，直觀圖中，，在等腰直角中由勾股定理得：，將直觀圖還原為原圖，如圖所示，，，所以在中由勾股定理得：，因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形，所以原四邊形的周長為.故答案為：【變式2】（1）三個平面可以把空間分成個部分．（2）將一個蘋果切3刀，最多可以切成x塊，最少可切成y塊，則的值．【答案】4，6，7，812【分析】（1）通過分析三個平面不同的位置關(guān)系可確定結(jié)果；（2）利用（1）求出值即可.【詳解】（1）當(dāng)三個平面無交線，即三個平面平行時，可以把空間分為4個部分；當(dāng)三個平面經(jīng)過同一條直線或三個平面有兩條交線（一個平面與兩個平行平面相交）時，可以把空間分為6個部分；當(dāng)三個平面兩兩相交且3條交線平行時，可以把空間分為7個部分；當(dāng)三個平面兩兩相交且3條交線共點(diǎn)時，可以把空間分為8個部分，所以三個平面可以把空間分成4，6，7，8部分.（2）將一個蘋果切3刀可得塊數(shù)最多與最少問題，相當(dāng)于三個平面把空間分成的部分?jǐn)?shù)最多與最少問題，由（1）知，，所以.故答案為：4，6，7，8；12【變式3】在正方體中，平面與平面的交線是所在的直線．【答案】【分析】利用平面基本事實(shí)推理即得.【詳解】在正方體中，平面，平面，且直線，直線，因此直線平面，同理直線平面，所以平面與平面.故答案為：

【變式4】棱長為2的正方體中，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，則平面截正方體所得截面的面積為.

【答案】【分析】首先取的中點(diǎn)，連接，，，得到平面截正方體所得截面為菱形，再計(jì)算其面積即可.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，，如圖所示：

由正方體的性質(zhì)可知四邊形為平行四邊形，且，所以四邊形為菱形，過點(diǎn).所以平面截正方體所得截面為.，，所以面積為.故答案為：題型02直線與直線、平面的位置關(guān)系（小題）【典例1】如圖，在長方體中，判斷下列直線的位置關(guān)系：（1）直線與直線的位置關(guān)系是；（2）直線與直線的位置關(guān)系是；（3）直線與直線的位置關(guān)系是；（4）直線AB與直線的位置關(guān)系是．【答案】平行直線異面直線相交直線異面直線【分析】（1）通過四邊形是平行四邊形，證得平行關(guān)系；（2）利用異面直線判定方式進(jìn)行判定；（3）兩條直線交于一點(diǎn)；（4）利用異面直線判定方式進(jìn)行判定.【詳解】（1）由，得四邊形是平行四邊形，則直線與直線是平行直線；（2）平面，交平面于，，則直線與直線是異面直線；（3）直線與直線交于，則直線與直線是相交直線；（4）平面，交平面于，，則直線與直線異面直線.故答案為：平行直線；異面直線；相交直線；異面直線【變式1】如圖，四棱錐中，底面是梯形，，，且是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則與的位置關(guān)系是．【答案】【分析】根據(jù)中位線性質(zhì)可證明四邊形是平行四邊形，可得結(jié)論.【詳解】連接，如下圖所示：因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，且．又，，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以．故答案為：【變式2】若直線，為異面直線，、為直線上相異兩點(diǎn)，、為直線上相異兩點(diǎn)，則直線、直線的位置關(guān)系是.【答案】異面【分析】利用反證法，即可判斷.【詳解】若，不是異面直線，則，是共面直線，則四點(diǎn)共面，所以，是共面直線，這與，是異面直線相矛盾，所以，是異面直線.故答案為：異面【變式3】已知直線和平面，若，，則與的位置關(guān)系是.【答案】或【分析】由線面的位置關(guān)系判斷求解即可.【詳解】若，，如圖：

，

，則或.故答案為：或【變式4】已知直線和平面，若，且直線在平面內(nèi)，則直線與平面的位置關(guān)系是【答案】或.【分析】利用線面平行的判定定理可推導(dǎo)出結(jié)論.【詳解】當(dāng)時，由得；當(dāng)時，滿足題中條件.綜上，直線與平面的位置關(guān)系是或.故答案為：或.題型03平行關(guān)系（證明）【典例1】如圖，在棱長均為2的正三棱柱中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求異面直線與所成的角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于，連接，求證，即可由線面平行判定定理得證；（2）先由（1）得為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，再在中，由余弦定理即可得解.【詳解】（1）證明：連接交于，連接，側(cè)面為平行四邊形，為的中點(diǎn).又點(diǎn)為的中點(diǎn)，，又平面平面，平面.（2）由（1）得為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角.在棱長均為2的正三棱柱中，，，，在中，由余弦定理得，異面直線與所成的角的余弦值為.【變式1】如圖，在四棱錐中，側(cè)面為正三角形，側(cè)面底面，底面為正方形，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，求證：直線平面.【答案】證明見解析【分析】取的中點(diǎn)G，利用線面平行的判定定理可得答案.【詳解】取的中點(diǎn)G，連接.因?yàn)镕為的中點(diǎn)，所以且，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，E為中點(diǎn)，所以且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以直線平面.【變式2】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）要證明線面平行，需證明該線段與平面內(nèi)的一條線段平行即可，即證明.（2）作出輔助線，確定異面直線所成的角，然后根據(jù)邊角關(guān)系求出其余弦值.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接、.因?yàn)橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，故為中位線，得且.又底面是正方形，為中點(diǎn)，故且.所以且，所以四邊形為平行四邊形，故.又平面平面，故平面.（2）取的中點(diǎn)，連接為的中位線，所以.故異面直線與所成角等于與所成角，即.在正方形中，且底面，故為直角三角形，為中點(diǎn)，得.由（1）知.為的斜邊，，故，所以.又，所以.在中，，由余弦定理得所以異面直線與所成角的余弦值為.【變式3】如圖，在四棱錐中，平面，底面為梯形，，為中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，即證，由線面平行的判斷定理即可得證；（2）由（1）得，則（或其補(bǔ)角）是異面直線與所成角或其補(bǔ)角，在中，由余弦定理即可求解.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，為中點(diǎn)，且又且，四邊形是平行四邊形，，平面平面，平面（2）由（1）可知：，則（或其補(bǔ)角）是異面直線與所成角或其補(bǔ)角，由題意在梯形中，易得：，在中，由余弦定理：，異面直線與所成角的余弦值為.【變式4】如圖所示，四邊形為空間四邊形的一個截面，且截面為平行四邊形．

(1)求證：平面．(2)，，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）運(yùn)用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理即可證明.（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合余弦定理可得結(jié)果.【詳解】（1）證明：四邊形為平行四邊形，，平面，平面，

平面.平面，平面平面，，又平面，平面，平面.（2）由（1）知，與相似，又，即，，又，，解得，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面.又平面，平面平面，，與相似，，又，可得，∵，∵．∴由余弦定理得，∴．題型04垂直關(guān)系（證明）【典例1】如圖，在四棱錐中，平面平面，平面平面，底面為直角梯形，，，與相交于點(diǎn)，點(diǎn)滿足，且.(1)求證：平面；(2)求的長度.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）先利用面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直進(jìn)而得到線線垂直，再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；（2）通過證明平面，得到，進(jìn)而得到，通過比例結(jié)合即可求得.【詳解】（1）因?yàn)榈酌鏋橹苯翘菪危?，所以，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，過點(diǎn)可以作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又，，平面，所以平?（2）由（1）可知平面，平面，所以，在梯形中，由，得，所以，所以，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面，又平面，所以，所以，可得，又因?yàn)?，所以，?【變式1】如圖，在直三棱柱中，已知，側(cè)面為正方形.求證：平面.【答案】證明見解析【分析】先證，然后結(jié)合正方形性質(zhì)和線面垂直判定定理可證.【詳解】因?yàn)橹比庵?，平面，又平面，，又，平面，，平?又平面，.側(cè)面為正方形，，又，、平面，平面.【變式2】如圖，已知立方體底面棱的中點(diǎn)，在直線上是否存在一點(diǎn)，使得？說明理由.【答案】存在，理由見解析【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理得出知平面，再延長交延長線于點(diǎn)即可求解.【詳解】如圖，分別取中點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，所以平面，所以平面，平面，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?，所以平面，平面，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平?延長交延長線于點(diǎn)，由于平面，所以，由于為的中點(diǎn)，故，所以在直線上存在一點(diǎn)，，使得.【變式3】在直三棱柱中，，為的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)在上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在點(diǎn)，【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得，然后利用線面垂直的判定定理證得平面，最后利用面面垂直的判定定理證明即可.（2）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，利用面面平行的判定定理得平面平面，進(jìn)而由面面平行的性質(zhì)定理得平面，即可求解.【詳解】（1）在直三棱柱中，有平面，因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時，符合題意.證明如下：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，平面，平面，所以平面，平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面.故存在點(diǎn)，使得平面，.【變式4】如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，點(diǎn)在棱上，且.求證：平面平面.【答案】證明見解析【分析】由題意可得，，再由線面垂直得到平面，連接，交于，連接，再結(jié)合幾何知識可得，即可得證.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?因?yàn)槠矫?，所以平?連接，交于，連接，易得，，所以，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?題型05異面直線所成角【典例1】已知三棱錐，，，，為線段中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正弦值為.【答案】【分析】取中點(diǎn)，則，所以即為異面直線與所成角，根據(jù)題干求出各邊的長，利用余弦定理求解即可.【詳解】設(shè)中點(diǎn)為，連接，，因?yàn)闉榫€段中點(diǎn)，所以，則或其補(bǔ)角即為異面直線與所成角，因?yàn)?，，，所以，，，所以在中由余弦定理可得，所以異面直線與所成角的正弦值為，故答案為：【變式1】已知，是正四面體棱，的中點(diǎn)，則異面直線，所成角的余弦值為.【答案】【分析】取中點(diǎn)，利用幾何法，結(jié)合余弦定理求出異面直線夾角的余弦.【詳解】取中點(diǎn)，連接，由是的中點(diǎn)，得，則是直線，所成的角或其補(bǔ)角，令正四面體的棱長為4，由是的中點(diǎn)，得，，在中，，在中，.故答案為：【變式2】已知正四棱柱的底面邊長為2，沿該棱柱的表面從點(diǎn)經(jīng)過棱或棱上的一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的最短距離為，則異面直線AE與BD所成角的余弦值為.【答案】/【分析】設(shè)該棱柱的高為，利用點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的最短距離為，求得，過點(diǎn)作的平行線與交于點(diǎn)，或其補(bǔ)角就是AE與BD所成角，求解即可.【詳解】設(shè)該棱柱的高為，如圖，若沿該棱柱表面從點(diǎn)經(jīng)過棱上一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的最短距離為，不滿足題意；從點(diǎn)經(jīng)過棱上的一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的最短距離為，解得.因?yàn)?，所以，所以，過點(diǎn)作的平行線與交于點(diǎn)，則或其補(bǔ)角就是AE與BD所成角，，，所以.故答案為：.【變式3】如圖，在直三棱柱中，，則異面直線和所成角的余弦值為．

【答案】/0.25【點(diǎn)睛】利用補(bǔ)形法，作一個全等的正三棱柱并與原幾何體有公共面，從而可求得異面直線和所成角，再利用余弦定理即可求解.【詳解】由題可知直三棱柱為正三棱柱，如圖作一個全等的正三棱柱并與原幾何體有公共面，連結(jié)，則易知為異面直線所成角或其補(bǔ)角．

設(shè)，則，，，由余弦定理可得，所以異面直線和所成角的余弦值為.故答案為：.【變式4】在正四棱柱中，，，M，N分別是，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是.【答案】/【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義找到其對應(yīng)平面角，再應(yīng)用余弦定理求其余弦值.【詳解】如圖，令E為的中點(diǎn)，連接、.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，則，所以與所成的角即為與所成的角，即（或其補(bǔ)角），由，，則，，，在中，.故答案為：題型06直線與平面所成角【典例1】如圖，在三棱錐中，，，，則與平面所成角的正弦值為．【答案】/【分析】作，連接，設(shè)，借助勾股定理可得，從而得面，最后利用等體積法得點(diǎn)到平面的距離為，即可得解.【詳解】作，連接，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，根?jù)余弦定理，所以，即，又面，所以面，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為與平面的所成角為，由，即，，所以與平面所成角的正弦值為．故答案為：【變式1】如圖，在正四棱錐中，，則直線與平面所成角的正弦值為．【答案】【分析】連結(jié)，分別取的中點(diǎn)，連結(jié)，利用線面、面面垂直的判定及性質(zhì)得到，設(shè)求出點(diǎn)到平面的距離，結(jié)合為的中點(diǎn)及線面角的定義求直線與平面所成角的正弦值.【詳解】如圖，連結(jié)，分別取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，因?yàn)樗睦忮F為正四棱錐，所以，故，．又，從而，，且平面，所以平面，平面，故平面平面，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，平面平面，又平面，則平面．由平面，平面，得，結(jié)合，，平面，得平面，由平面，所以，設(shè)，則，，，所以點(diǎn)到平面的距離．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離，所以直線與平面所成角的正弦值為．故答案為：【變式2】如圖，棱長為2的正方體中，P為線段上動點(diǎn)（包括端點(diǎn)）．則直線與面所成角的正弦值的范圍為.【答案】【分析】根據(jù)線面平行分析可知：點(diǎn)到平面的距離為定值，利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，再根據(jù)線面夾角的定義可得，結(jié)合的取值范圍即可求解.【詳解】由題意可得：且，∴為平行四邊形，則，平面，平面，∴平面，又∵P為線段上，則點(diǎn)到平面的距離為定值，設(shè)點(diǎn)P到面的距離為h，為等邊三角形，面積為，∵，即，解得，設(shè)直線與平面所成角為，則，∵，則.故答案為：【變式3】如圖，在正四面體中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)在棱上運(yùn)動，設(shè)與平面所成角為，則的最大值為．【答案】/【分析】利用最大角定理將線面角的最大值轉(zhuǎn)化為二面角，再作出輔助線，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出其余弦值，最后結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出正弦值即可.【詳解】設(shè)二面角的平面角為，由最大角定理知，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．如圖，取的中點(diǎn)O，連接，在正四面體中，得到，由三線合一性質(zhì)得，同理可得，則是二面角的平面角．設(shè)三棱錐的棱長為，則，由勾股定理得,由余弦定理得，而，得到，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得，解得（負(fù)根舍去），故，即的最大值為．故答案為：【變式4】已知在三棱錐中，平面，，若，與平面所成角為，則三棱錐的體積的最大值為．【答案】【分析】證明線面垂直可得出線面角，利用體積公式及基本不等式求最值即可.【詳解】如圖，由平面，平面，所以，，又，平面，所以平面，又平面，故,所以與平面所成角為，在直角三角形中，,在直角三角形中，，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故答案為：題型07二面角【典例1】已知正四面體的棱長為2，動平面交線段AB，AC（含端點(diǎn)）于點(diǎn)E，F(xiàn)，且平面平面．若平面與平面所成銳二面角的平面角為，則的最大值為．【答案】/【分析】首先確定棱錐的高平面，直線PO與平面PBC所成的角為，由最小角定理知，再構(gòu)造二面角，并得到，并說明等號成立的條件，即可求解.【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)P在平面上的射影為O，因?yàn)槠矫鍭BC，且平面平面ABC，所以平面PEF．設(shè)直線PO與平面PBC所成的角為，由最小角定理知．取BC的中點(diǎn)D，連接OD，PD，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，且平面，所以平面PDO．又平面PBC，所以平面平面PBC，是PO與平面PBC所成的角．因?yàn)檎拿骟w的棱長為2，點(diǎn)P在平面上的射影為O，所以，，所以，所以．．設(shè)平面平面，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．因?yàn)槠矫?，平面，所以，若l與BC相交，則平面，矛盾，故．又平面，平面，所以平面．又因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以，故，所以E，F(xiàn)分別是AB，AC上靠近B，C的三等分點(diǎn)．故的最大值為．故答案為：【變式1】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，且．若為的中點(diǎn)，則平面與平面所成銳二面角的余弦值為．【答案】/【分析】作出平面與平面的交線，是進(jìn)一步作出二面角的平面角的關(guān)鍵，確定二面角的平面角，然后根據(jù)邊角關(guān)系求出其余弦值.【詳解】如圖，過點(diǎn)作的平行線與直線交于點(diǎn)，連接，得三棱柱．分別取的中點(diǎn)，連接．因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，故．因?yàn)?，，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，故．又顯然，從而平面，因?yàn)槠矫?，故，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，故，所以即為平面與平面所成銳二面角的平面角．設(shè)，則，，，所以．故答案為：.【變式2】在《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．已知四面體為鱉臑，且，，記二面角的平面角為，則.【答案】【分析】取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，證明二面角的平面角就是，結(jié)合解三角形知識即可求解.【詳解】由四面體為鱉臑，且，得，取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，則，是二面角的平面角，設(shè)，則，，，，從而，，又，在中，，在中，，所以.故答案為：【變式3】如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，二面角的正切值為.【答案】【分析】由二面角的平面角定義作出所求角，解三角形，即可求得答案.【詳解】在正方形中，連接交于O點(diǎn)，連接，則，即，又平面，平面，故，而平面，故平面，平面，則，即得為二面角的平面角，設(shè)正方體的棱長為2，則，故，即二面角的正切值為，故答案為：【變式4】如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為P，O為底面圓心，母線互相垂直，且，直線與圓錐底面所成角為，則二面角的大小為．【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接，再根據(jù)題意求出的長度，由二面角的定義可得二面角的平面角為，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，由垂徑定理可得，所以二面角的平面角為，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)椋?，所以，，由題意得平面，則為直線與圓錐底面所成角，即，則在中，，故，則，因?yàn)?，所以，即二面角的大小?故答案為：.題型08異面直線距離【典例1】已知正方體的棱長為a，異面直線與之間的距離為．【答案】【分析】分別取，中點(diǎn)，，由等腰三角形三線合一性質(zhì)可得，利用勾股定理證明，由異面直線間距離的定義可知所求距離為公垂線段的長度，即可得出答案．【詳解】解：分別取，中點(diǎn)，，連接，，，，，如圖所示：

，，，，滿足，，由兩條異面直線之間距離的定義可得直線與之間的距離即為公垂線段的長度，又，則，故答案為：．【變式1】在長方體中，，，，則異面直線和的距離為【答案】【分析】根據(jù)長方體的性質(zhì)得出是異面直線和的公垂線；再根據(jù)異面直線間距離的定義即可求解.【詳解】由長方體性質(zhì)可得：，平面.因?yàn)槠矫?所以，則是異面直線和的公垂線，所以異面直線和的距離為故答案為：【變式2】和兩條異面直線都垂直的直線叫做兩條異面直線的公垂線，而兩條異面直線的公垂線夾在異面直線間的部分叫做這兩條異面直線的公垂線段．三棱錐的棱長都為1，則異面直線和的公垂線段的長度是．【答案】【分析】構(gòu)造正方體，將公垂線段的長度轉(zhuǎn)化為正方體的棱長，即可求解.【詳解】如圖在正方體中取點(diǎn)，，，，則，設(shè)，可知正方體的棱長為.取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，由正方體的性質(zhì)可知四邊形為平行四邊形，所以且.由正方體性質(zhì)可知平面，平面，又平面，平面，所以，，所以，，所以為異面直線和的公垂線段，所以異面直線和的公垂線段的長度為.故答案為：.【變式3】在四面體ABCD中，，，，M，N分別為棱AB，CD所在直線的點(diǎn)，則線段長度的最小值為．【答案】3【分析】將該四面體放置于長方體中，列方程求出長方體長寬高，再轉(zhuǎn)化為求異面直線距離即可.【詳解】如圖，將四面體放入長方體中，分別為矩形的中心，設(shè)，，，則，，，得，，．由圖易知直線與異面，則線段長度的最小值即為求兩異面直線距離，即長方體的二平行平面間的距離.故答案為：3【變式4】已知正方體的棱長為a，則異面直線與公垂線是．【答案】【分析】由公垂線的定義求解．【詳解】因?yàn)榉謩e與、垂直，，故是與的公垂線，故答案為：題型09空間直線與平面綜合【典例1】如圖，已知平行六面體的底面是菱形且.(1)求證：；(2)假設(shè)，求二面角的平面角的余弦值；(3)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，平面？【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）通過證明平面得到；（2）由（1）知，垂點(diǎn)為點(diǎn)，連接，則是二面角的平面角，根據(jù)題意求其余弦值即可；（3）易知時，平面，解法1、設(shè)與相交于點(diǎn)，可證平面得到平面，解法2、由平面，得到，同理可證，再根據(jù)線面垂直的判定即可證明.【詳解】（1）連接，其中和交于點(diǎn)，連接.因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所?又，所以，所以.因?yàn)?，所以，但平面，所以平?又平面，所以.（2）由（1）知，垂點(diǎn)為點(diǎn)，連接，則是二面角的平面角.在中，，所以.因?yàn)椋裕?，所以，?作，垂足為.所以是的中點(diǎn)，且，所以.（3）當(dāng)時，平面.解法1

因?yàn)?，所?又，由此可推得.所以三棱錐是正三棱錐.設(shè)與相交于點(diǎn).因?yàn)?，且，所?又是正的邊上的高和中線，所以點(diǎn)是正的中心.所以平面，即平面.解法2

由（1）知，平面，因?yàn)槠矫?，所?當(dāng)時，平行六面體的六個面是全等的菱形.同的證法可得.又，平面，所以平面.【變式1】在平面四邊形中，（如圖），沿對角線將折起，使點(diǎn)在平面上的射影恰落在上（如圖）．(1)求證：；(2)求二面角的平面角余弦值大小；(3)求和平面所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由題證明平面BCD即可；（2）取AC中點(diǎn)為F，連接，連接FE，由題可得為二面角的平面角，然后設(shè)，用x表示相關(guān)邊長，即可得答案；（3）由（1），可得為所求角，然后由題意及余弦定理可得答案.【詳解】（1）折疊后，由題可得平面，因平面，則，又，平面，，則平面BCD，又平面BCD，則；（2）由題可得為等邊三角形，取AC中點(diǎn)為F，連接，可得，又由（1），易得，結(jié)合平面，，則平面，連接FE，因平面，則.從而為二面角的平面角.設(shè)，則，由題，則，則，.又由題可得為等邊三角形，則，又平面，平面，可得，則；（3）由（1），平面BCD，又平面，則平面平面，從而C在平面ABD上的射影在DB上，則為所求角.由平面，平面，可得，則，又由（2）分析，可得，則，則，從而，則，從而.【變式2】如圖，圓錐頂點(diǎn)為，底面圓圓心為，其母線與底面所成的角為．和是底面圓圓上的兩條平行的弦，軸與平面所成的角為．(1)證明：平面與平面的交線平行于底面；(2)若圓錐母線長度為a，求面積的最大值.(3)求.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）利用線面平行的判定定理與性質(zhì)定理，即可證明．（2）先根據(jù)圓錐的結(jié)構(gòu)特征得，再求得，利用正弦函數(shù)的最值即可求解.（3）可證平面平面，則直線在面上的射影為，即，設(shè)，則，，在中，求得，最后利用二倍角余弦公式求解即可.【詳解】（1）由公理可知，兩面相交必交于一條直線，設(shè)平面與平面的交線為，則，平面，平面，所以平面，又平面，平面與平面的交線為，所以，又在底面上，在底面外，所以與底面平行，即平面與平面的交線平行于底面；（2）由圓錐母線與底面所成的角為，可得，故，當(dāng)時，.（3）取的中點(diǎn)，連接，，則由等腰三角形性質(zhì)得，又，平面，所以平面，因?yàn)榈酌?，所以平面平面，所以直線在面上的射影為，所以，設(shè)，則，由題意，則，而，，解得，在中，，所以.【變式3】如圖1，正的邊長為是邊上的高，分別是和邊上的點(diǎn)，且滿足，現(xiàn)將沿翻折成直二面角，如圖2．(1)試判斷翻折后直線與平面的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求二面角的大??；(3)若異面直線與所成角的余弦值為，求的值．【答案】(1)平面，理由見解析(2)(3)．【分析】（1）通過題目所給比例條件，證明，可證明平面；（2）作出二面角的平面角，在直角三角形中，求出二面角的平面角的正切值，可求其大小.（3）由題意可得（或其補(bǔ)角）是異面直線與所成的角，利用余弦定理可求得，進(jìn)而由余弦定理可得，求解即可.【詳解】（1）平面；理由如下：在中，因?yàn)榉謩e是上的點(diǎn)，且滿足，所以．因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫?）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．因?yàn)?，所以是二面角的平面角．所以，即，又，平面．所以平面，又平面，所以，又，平面．所以平面，又平面，所以．所以是二面角的平面角．在中，，所以．在中，．所以．即二面角的大小為．?）因?yàn)椋裕ɑ蚱溲a(bǔ)角）是異面直線與所成的角．因?yàn)?，所以．又，所以．所以．所以．解得．【變?】如圖1，四邊形ABCD為菱形，是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，將沿AB邊折起，使，連接PD，如圖2，(1)證明：；(2)求異面直線BD與PC所成角的余弦值；(3)在線段PD上是否存在點(diǎn)，使得平面MCN？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得，再由四邊形，可得，再由線面垂直的判定可得平面，則；（2）在上取點(diǎn)Q，使得，設(shè)，連接，，可證得或其補(bǔ)角為異面直線BD與PC所成的角，然后在中利用余弦定理求解即可；（3）設(shè)，連接，則由線面平行的性質(zhì)可得，從而可找出點(diǎn)的位置.【詳解】（1）連接，因?yàn)槭沁呴L為2的等邊三角形，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，所以.因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，，所以為等邊三角形，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?）在上取點(diǎn)Q，使得，設(shè)，連接，，因?yàn)?，所以，在中，，所以，所以或其補(bǔ)角為異面直線BD與PC所成的角，因?yàn)?，所以，又，，在中，由余弦定理?所以異面直線BD與PC所成角的余弦值為.（3）假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得平面，因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以，又，所?所以線段PD上存在點(diǎn)N，使得平面，且，．1．如圖，在三棱錐中，，平面平面，則與平面所成角的正弦值為．【答案】/【分析】數(shù)形結(jié)合，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為與平面所成角為，?。僭O(shè),則，再由墻角公式可得.【詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為與平面所成角為，?。O(shè)，如圖9，則．由墻角公式得．故，故．故答案為：2．如圖，直三棱柱中，所有棱長均為1，點(diǎn)E為棱上任意一點(diǎn)，則直線與直線BE所成角的范圍是.【答案】【分析】由異面直線定義得為直線與直線BE所成角，接著求出當(dāng)E與重合和E與重合時，直線與直線BE所成角即可得解.【詳解】由直三棱柱，所以，所以為直線與直線BE所成角，當(dāng)E與重合時，直線與直線BE所成角為0，當(dāng)E與重合時，直線與直線BE所成角為，所以直線與直線BE所成角的范圍是.故答案為：.3．在長方體中，點(diǎn)E為棱上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F為底面（除點(diǎn)外）上一點(diǎn)，請給出一個點(diǎn)F的位置，使得，點(diǎn)F可以是.【答案】（不唯一）【分析】先確定平面，再根據(jù)線面垂直確定點(diǎn)的位置.【詳解】如圖：因?yàn)槭情L方體，所以平面.因?yàn)辄c(diǎn)E為棱上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)時，平面，所以.所以為上的任意一點(diǎn).故答案為：（不唯一）4．如圖，一個水平放置的四邊形的斜二測畫法的直觀圖是矩形，，是的中點(diǎn)，則原四邊形的面積是.【答案】【分析】首先求出，，即可得到原四邊形中，的值，即可求出原四邊形的面積.【詳解】根據(jù)斜二測畫法的定義知在直觀圖中是等腰直角三角形，所以，根據(jù)勾股定理，，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，可得在原四邊形中，，，故原四邊形的面積.故答案為：.5．如圖，在正方形中，E，F(xiàn)分別為邊的中點(diǎn)，將，，分別沿折起；使三點(diǎn)重合于點(diǎn)G，則在四面體中，與平面垂直的一個平面為.【答案】平面（或平面）【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)可得相應(yīng)線線垂直，從而根據(jù)線面、面面垂直的判定定理即可得到結(jié)論.【詳解】在正方形ABCD中，，故在四面體中，，平面，故平面，而平面，故平面平面，同理平面平面，故答案為：平面（或平面）6．如圖，在四面體中，分別為棱與上的點(diǎn)，且，.為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離的比為.

【答案】.【分析】，到平面的距離分別為三棱錐與的以為底的高，把高之比轉(zhuǎn)化為體積之比；【詳解】；又，.所以點(diǎn)到平面的距離的比為.故答案為：1：4.7．如圖，在棱長為1的正方體中，分別是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到線段的距離為.

【答案】【分析】首先說明，故只需求出的長度即可.【詳解】

取中點(diǎn)，由立方體的性質(zhì)知，，，，所以，則，故所求為.故答案為：.8．直二面角的棱上有一點(diǎn)，在平面內(nèi)各有一條射線，，，若與成，與成，則．【答案】．【分析】利用直二面角的特點(diǎn)作出相應(yīng)的圖形，再結(jié)合其性質(zhì)，求解對應(yīng)的邊長，最后由邊長特征求出角的余弦值即可.【詳解】

如圖14，由直二面角，作，，則；設(shè)，因?yàn)榕c成，與成，則，,,則,則為等腰三角形，設(shè)，．當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時，此時為鈍角，.故答案為：.9．如圖，正方體的棱長為3，點(diǎn)M，N分別在棱，上，滿足，點(diǎn)Q在正方體的內(nèi)部或表面，且平面，則點(diǎn)Q組成的圖形的面積是．【答案】/【分析】在上取點(diǎn)，使得，證得平面平面，得到點(diǎn)的軌跡組成的圖形為，在等腰三角形中，求得底邊上的高，即可求解.【詳解】在上取點(diǎn)，使得，分別連結(jié)，因?yàn)?，可得，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，由且，可得，又由且，所以，在正方體中，可得，所以，因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面?/p>