2/37第12章概率初步章末大總結(jié)教學目標通過對隨機事件、必然事件、不可能事件概念、樣本空間、古典概型、頻率與概率的學習，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學運算素養(yǎng).教學重難點教學重點：結(jié)合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間的含義．兩個隨機事件獨立性的含義。理解概率的性質(zhì)．理解古典概型。教學難點：理解隨機事件與樣本點的關系．能計算古典概型中簡單隨機事件的概率。會用頻率估計概率知識點01樣本點與樣本空間(1)定義：我們把隨機試驗的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空間．(2)表示：一般地，我們用表示樣本空間，用表示樣本點．如果一個隨機試驗有個可能結(jié)果，，…，，則稱樣本空間為有限樣本空間．【即學即練】寫出下列試驗的樣本空間：隨意安排甲、乙、丙、丁4人在4天值班，每人值班1天，記錄值班的情況．【答案】答案見解析【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖，寫出樣本空間即可.【詳解】值班情況如圖，設甲、乙、丙、丁分別為1，2，3，4，所以樣本空間，，，.知識點02古典概率1.古典概型具有以下特征的試驗叫做古典概型試驗，其數(shù)學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.2.古典概型的概率公式一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(n（A）,n（Ω）).其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù).【即學即練】抽取某車床生產(chǎn)的8個零件，編號為，，…，，測得其直徑（單位：cm）分別為：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直徑在區(qū)間內(nèi)的零件為一等品．(1)從上述非一等品的零件中，有放回地依次隨機抽取2個，求至少包含一個直徑為1.48的零件的概率；(2)從上述一等品零件中，不放回地依次隨機抽取2個，用零件的編號列出所有可能的抽取結(jié)果，并求這2個零件直徑相等的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）一等品零件共有5個，非一等品有3個，直徑分別為1.48，1.47，1.53，編號分別為，，，利用列舉法可求至少包含一個直徑為1.48的零件的概率；（2）等品零件的編號為，，，，，從這5個一等品零件中不放回地依次隨機抽取2個，列舉出樣本空間以及符合條件的事件的樣本點，從而可得答案.【詳解】（1）由所給數(shù)據(jù)可知，一等品零件共有5個，非一等品有3個，直徑分別為1.48，1.47，1.53，編號分別為，，，則從中隨機有放回地依次抽取2個，樣本空間，共9個樣本點，其中不包含的有4個樣本點，故至少包含一個直徑為1.48的零件的概率為．（2）一等品零件的編號為，，，，，從這5個一等品零件中不放回地依次隨機抽取2個，樣本空間，共20個樣本點．設“從一等品零件中，隨機抽取的2個零件直徑相等”為事件B，則，共8個樣本點．所以．知識點03事件的關系1.包含關系一般地，若事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，稱事件包含事件(或事件包含于事件)，記作：(或)圖示2.相等關系如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，則稱事件與事件相等，記作：；3.并事件(或和事件)一般地，事件與事件至少有一個發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件中，或者在事件中，我們稱這個事件為事件與事件的并事件(或和事件)，記作：(或).圖示：4.交事件(或積事件)一般地，事件與事件同時發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件中，也在事件中，我們稱這樣的一個事件為事件與事件的交事件(或積事件)，記作：(或).圖示：5.互斥事件一般地，如果事件與事件不能同時發(fā)生，也就是說是一個不可能事件，即，則稱事件與事件互斥(或互不相容)，符號表示：.圖示：6.對立事件一般地，如果事件和事件在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，即，且，那么稱事件與事件互為對立，事件的對立事件記為，符號表示：，且.圖示：【即學即練】如果事件A，B互斥，且事件C，D分別是A，B的對立事件，那么（

）A．是必然事件 B．是必然事件C．C與D一定互斥 D．C與D一定不互斥【答案】B【分析】方法一、根據(jù)事件間的邏輯關系可解；方法二、根據(jù)題意，利用韋恩圖進行求解.【詳解】方法一、因為事件A與B互斥，所以，則（U為全集），所以是必然事件．方法二、利用圖形來看，如圖所示，C是A的補集，D是B的補集，因此是全集，故是必然事件．故選：B.知識點04可加性性質(zhì)3：如果事件與事件互斥，那么；注意：只有事件與事件互斥，才可以使用性質(zhì)3，否則不能使用該加法公式.性質(zhì)4：如果事件與事件互為對立事件，那么，；【即學即練】已知隨機事件和互斥，和對立，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對立事件與互斥事件的概率公式及概率的性質(zhì)求解即可.【詳解】由和對立，可得，則.又隨機事件和互斥，所以.故選：A.知識點05相互獨立事件的概念對任意兩個事件與，如果成立，則稱事件與事件相互獨立(mutuallyindependent)，簡稱為獨立．性質(zhì)1：必然事件、不可能事件與任意事件相互獨立性質(zhì)2：如果事件與相互獨立，則與，與，與也相互獨立則：，，【即學即練】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，則事件與事件（

）A．相互獨立 B．互為對立事件C．互斥 D．相等【答案】A【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件和獨立事件的定義即可判斷.【詳解】顯然事件A和事件B不相等，故D錯誤；由于事件A和事件B能同時發(fā)生，所以不為互斥事件，也不為對立事件，故B、C錯誤；因為事件A是否發(fā)生與事件B無關，事件B是否發(fā)生也與事件A無關，故事件A和事件B相互獨立，故A正確.故選：A.知識點06相互獨立事件的概率乘法公式（1）若A與B相互獨立，則，同時，，;(2)若兩兩獨立，則【即學即練】連續(xù)拋擲一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子兩次（正方體六個面上的點數(shù)分別為），記錄拋擲結(jié)果向上的點數(shù).設事件：第一次點數(shù)為1，事件：兩次點數(shù)之和為，若事件與事件互斥，則的最小值為；若事件與事件相互獨立，則的值為.【答案】87【分析】根據(jù)互斥事件和獨立事件的概念可解.【詳解】因為事件與事件互斥，所以它們不能同時發(fā)生，所以兩次點數(shù)之和為至少為8，才能保證第一次點數(shù)不為1，所以的最小值為8；因為事件與事件相互獨立，所以，當時，第一次點數(shù)不可能為1，此時，當時，，又，所以，又時，對應概率分別為，所以的值為7.故答案為：8，7.題型01樣本點與樣本空間【典例1】在如下圖的的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有1個方格被選中，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最小值是.8273262323376362738665263966【答案】126【分析】先按列分析，可知十位數(shù)是固定的，利用列舉法寫出所有個位數(shù)的可能結(jié)果，即可求解.【詳解】先按列分析，每列必選出一個數(shù)，所選4個數(shù)的十位數(shù)字分別為0，2，3，6，若選中方格中的4個數(shù)之和的最小值，則需要個位數(shù)之和最小，每種選法可標記為，分別表示第一、二、三、四列的個位數(shù)字，則所有的可能結(jié)果為：，，，，此時最小為，所以選中的方格中，的4個數(shù)之和最小，為.故答案為：126.【點睛】關鍵點點睛：關解決本題的關鍵是先確定十位數(shù)，再確定個位數(shù)，利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果.【變式1】從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，觀察抽得的2張卡片上的數(shù)字，設抽得的第1張卡片上的數(shù)字大于第2張卡片上的數(shù)字為事件Q，則事件Q含有的樣本點個數(shù)為（

）A．8 B．10 C．11 D．15【答案】B【分析】由題意利用列表，列舉出所以有情況，從中選出符合題目的情況，可得答案.【詳解】如表所示，表中點的橫坐標表示抽得的第1張卡片上的數(shù)字，縱坐標表示抽得的第2張卡片上的數(shù)字，123451（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）則事件．所以事件Q中含有10個樣本點．故選：B.【變式2】一個家庭中兩個孩子性別的樣本空間（年齡大的孩子寫左邊，年齡小的孩子寫右邊）．【答案】{男男，男女，女男，女女}【分析】利用樣本空間的定義求解即可.【詳解】依據(jù)題意，共有男男，男女，女男，女女4種基本事件，構(gòu)成全部樣本空間.故答案為：{男男，男女，女男，女女}【變式3】寫出下列試驗的樣本空間：(1)隨意安排甲、乙、丙、丁4人在4天節(jié)日中值班，每人值班1天，記錄值班的情況；(2)從一批產(chǎn)品（次品和正品的個數(shù)均大于3件）中，依次任選三件，記錄出現(xiàn)正品與次品的情況.【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）設甲、乙、丙、丁分別為1，2，3，4，然后可列出樣本空間；（2）設正品為，次品為，然后根據(jù)題意列出樣本空間.【詳解】（1）如圖，設甲、乙、丙、丁分別為1，2，3，4，所以樣本空間，，，．（2）設正品為，次品為，樣本空間【變式4】連續(xù)拋擲3枚硬幣，觀察朝上的面．(1)寫出這一隨機試驗的樣本空間；(2)寫出“恰有兩枚正面向上”這一事件相應的樣本空間的子集．【答案】(1){（正，正，正），（正，反，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）}(2){（正，反，正），（正，正，反），（反，正，正）}【分析】（1）用表示結(jié)果，其中分別表示第1枚，第2枚，第3枚硬幣出現(xiàn)的結(jié)果，然后利用列舉法求解即可；（2）利用（1）直接求解.【詳解】（1）用表示結(jié)果，其中分別表示第1枚，第2枚，第3枚硬幣出現(xiàn)的結(jié)果，則試驗的樣本空間為：{（正，正，正），（正，反，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）}；（2）由（1）可知“恰有兩枚正面向上”這一事件相應的樣本空間的子集為{（正，反，正），（正，正，反），（反，正，正）}.題型02計算古典概型【典例1】某商場舉辦有獎促銷活動，在抽獎盒中放有7張抽獎券，其中3張抽獎券有獎品，若小李從中一次性隨機抽出2張抽獎券，則小李能獲得獎品的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對獎券編號，用列舉汪寫出樣本點，計數(shù)后由概率公式計算可得.【詳解】設沒有獎品的4張抽獎券分別為，有獎品的3張抽獎券分別為.隨機抽出2張，所有可能的結(jié)果為，共21種，而小李獲得獎品的結(jié)果為，，共15種，故小李能獲得獎品的概率為.故選：C.【變式1】某運動員每次投擲飛鏢命中靶心的概率為40%，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每兩個隨機數(shù)為一組，代表兩次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：02

93

12

25

85

69

68

34

31

45

73

93

28

75

56

35

87

30

11

07據(jù)此估計，該運動員兩次擲鏢恰有一次命中靶心的概率為（

）A．0.50 B．0.45 C．0.40 D．0.35【答案】B【分析】根據(jù)題意分析出兩次投擲飛鏢恰有一次正中靶心的基本事件數(shù)有9個，總的事件數(shù)有20個，根據(jù)古典概型概率計算公式計算即可.【詳解】因為1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心，所以兩次投擲飛鏢恰有一次正中靶心表示：隨機數(shù)組中有且只有一個數(shù)為1，2，3，4中的一個；它們分別是02，93，25，45，73，93，28，35，30共9個，即滿足條件的基本事件數(shù)有9個，總的事件數(shù)有20個，所以該運動員兩次擲鏢恰有一次命中靶心的概率為．故選：B.【變式2】拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的六面體骰子，記下骰子朝上面的點數(shù)，若用x表示紅色骰子的點數(shù)，用y表示綠色骰子的點數(shù)，設“兩個點數(shù)之和等于8”，“至少有一顆骰子的點數(shù)為5”；(1)分別求事件A，B的概率；(2)求事件的概率.【答案】(1)，(2)【分析】（1）分析出事件A，B發(fā)生的所有情況，再根據(jù)古典概率的求解公式即可求解；（2）分析出事件發(fā)生的所有情況，再根據(jù)古典概率的求解公式即可求解．【詳解】（1）拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的六面體骰子，總的基本事件數(shù)為種，事件“兩個點數(shù)之和等于8”，而滿足的有，，，，，共5種，根據(jù)古典概型概率公式，可得．事件“至少有一顆骰子的點數(shù)為5”，滿足至少有一顆骰子的點數(shù)為5的有，當紅色骰子點數(shù)為5時，綠色骰子點數(shù)可以是1，2，3，4，5，6，共6種，當綠色骰子點數(shù)為5時，紅色骰子點數(shù)可以是1，2，3，4，5，6，共6種，其中重復計算了一次，所以滿足條件的基本事件數(shù)為種，根據(jù)古典概型概率公式，可得．（2）表示“兩個點數(shù)之和等于8且至少有一顆骰子的點數(shù)為5”，滿足條件的有，，共種，根據(jù)古典概型概率公式，可得．【變式3】將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）連續(xù)拋擲三次，求下列事件的概率.(1)點數(shù)都為奇數(shù)；(2)至少出現(xiàn)一次3點；(3)三個點數(shù)之和為8.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）求出連續(xù)拋擲骰子三次的試驗含有的基本事件總數(shù)，再求出點數(shù)都為奇數(shù)的事件含有的基本事件數(shù)，利用古典概率概型計算即得.（2）由（1）的信息，結(jié)合對立事件的概率公式求解.（3）由（1）的信息，利用列舉法求出三個點數(shù)之和為8概率.【詳解】（1）將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲3次的試驗，含有的基本事件總數(shù)為個，點數(shù)都為奇數(shù)的事件含有的基本事件數(shù)為個，所以點數(shù)都為奇數(shù)的事件概率.（2）事件“至少出現(xiàn)一次3點”，其對立事件“沒有出現(xiàn)3點”，事件含有的基本事件數(shù)為個，則，所以至少出現(xiàn)一次3點的概率為.（3）三次點數(shù)之和為8的情況有，，共21個，所以三次點數(shù)之和為8的概率.【變式4】10．某班元旦聯(lián)歡會上開展趣味抽獎小游戲，在不透明的盒子里裝有標號為1，2的兩個紅球和標號為3，4，5的三個白球，五個小球除顏色和標號外完全相同，參與游戲的同學從中任取1個，有放回地抽取2次，根據(jù)抽到小球的情形分別設置一，二，三等獎．班委會討論了以下兩種規(guī)則：規(guī)則一：若抽到兩個紅球且標號和為偶數(shù)獲一等獎，抽到兩個白球且標號和為偶數(shù)獲二等獎，抽到兩個球標號和為奇數(shù)獲三等獎，其余不獲獎；規(guī)則二：若抽到兩個紅球且標號和為奇數(shù)獲一等獎，抽到兩個球的標號和為5的倍數(shù)獲二等獎，抽到兩個球標號和為偶數(shù),且不是5的倍數(shù)獲三等獎，其余不獲獎．(1)求兩種規(guī)則下獲得二等獎的概率；(2)請問哪種規(guī)則的獲獎概率更大，并說明理由．【答案】(1)(2)兩種規(guī)則的獲獎概率一樣大，理由見解析【分析】（1）（2）列出兩次抽取小球的所有可能結(jié)果，根據(jù)古典概型的概率求法求得兩種規(guī)則分別獲得一、二、三等獎的概率，進而得到兩種規(guī)則的獲獎概率，即可解決問題.【詳解】（1）據(jù)題意，兩次抽取小球的所有可能結(jié)果為：記規(guī)則一獲得二等獎為事件，記規(guī)則二獲得二等獎為事件，事件包含五個樣本點，故，事件包含五個樣本點，故．所以兩種規(guī)則下獲得二等獎的概率均為.（2）兩種規(guī)則的獲獎概率一樣大．理由如下：記規(guī)則一獲得一、二、三等獎分別為事件由(1)可知事件包含兩個樣本點，所以事件包含,共12個樣本點，所以由(1)知，所以規(guī)則一的獲獎概率為記規(guī)則二下獲得一、二、三等獎分別為事件事件包含兩個樣本點，；事件包含，共十二個樣本點，；由(1)知，所以規(guī)則二的獲獎概率.所以兩種規(guī)則的獲獎概率一樣大．題型03有放回與無放回概率【典例1】一個盒子中裝有標號為1，2，3，5的4張標簽，依次隨機選取兩張標簽，用數(shù)組表示可能的結(jié)果，其中m表示第一次取出的標簽上的數(shù)字，n表示第二次取出的標簽上的數(shù)字．(1)若標簽的選取是不放回的，寫出樣本空間，并求的概率；(2)若標簽的選取是有放回的，寫出樣本空間，并求的概率．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）通過不放回列舉樣本空間和滿足隨機事件的樣本空間，即可求出相應概率；（2）通過有放回列舉樣本空間和滿足隨機事件的樣本空間，即可求出相應概率.【詳解】（1）若標簽的選取是不放回的，則樣本空間為：，共種等可能情形，滿足的有：，共6種情形，所以滿足的概率為；（2）若標簽的選取是有放回的，則樣本空間為：，共16種等可能情形，滿足的有：，共6種情形，所以滿足的概率.【變式1】一個盒子中裝有標號為1，2，3，4，5的5張標簽，隨機地選取兩張標簽并求標簽上的數(shù)字之和．記不放回地選取且和為6的概率為，有放回地選取且和為6的概率為，則的值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)古典概型概率公式，求出事件概率，計算結(jié)果.【詳解】由題意知，不放回地選取共有20個樣本點，標簽上的數(shù)字之和為6有4個樣本點，分別為，所以，有放回地選取共有25個樣本點，標簽上的數(shù)字之和為6有5個樣本點，分別為，所以，則．故選：B.【變式2】袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球，從中有放回地依次隨機摸出2個球，那么這2個球同色的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意設2個紅球為，，3個黃球為，，，考慮有放回地摸球，分別列出試驗的樣本空間和事件“這2個球同色”表示的集合，利用古典概型概率公式計算即可.【詳解】設2個紅球為，，3個黃球為，，，從中有放回地依次隨機摸出2個球，樣本空間為：，，則，設事件為“這2個球同色”，則，則，由古典概率公式，可得.故選：D【變式3】口袋內(nèi)有紅、白、黃大小完全相同的三個小球，若從袋中摸出一個后放回，再摸出一個，求第一次摸出紅球，第二次摸出白球的概率．【答案】【分析】列出樣本空間的樣本點，結(jié)合古典概型的概率公式計算即可求解；【詳解】有放回地取球，樣本空間為：{(紅,紅)，(紅,白)，(紅,黃)，(白,白)，(白,紅)，(白,黃)，(黃,紅)，(黃,白)，(黃,黃)}，共9個，第一次摸出紅球，第二次摸出白球，只包含(紅,白)，1個樣本點，故所求概率為．【變式4】口袋內(nèi)有紅、白、黃大小完全相同的三個小球，求：(1)從中任意摸出兩個小球，摸出的是紅球和白球的概率；(2)從袋中摸出一個后放回，再摸出一個，兩次摸出的球是一紅一白的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）列出樣本空間的樣本點，結(jié)合古典概型的概率公式計算即可求解；（2）列出樣本空間的樣本點，結(jié)合古典概型的概率公式計算即可求解.【詳解】（1）無放回地取球，任意摸出兩個小球的樣本空間為｛（紅,白）,（紅,黃）,（白,黃）｝，共3個，所以摸出的是紅球和白球的概率為．（2）有放回地取球，樣本空間為｛（紅,紅）,（紅,白）,（紅,黃）,（白,白）,（白,紅）,（白,黃）,（黃,紅）,（黃,白）,（黃,黃）｝，共9個，而事件“摸出一紅一白”包括（紅,白），（白,紅）2個樣本點，所以兩次摸出的球是一紅一白的概率為．題型04判斷事件的互斥，對立關系【典例1】從一批產(chǎn)品（其中正品?次品都多于2件）中任取2件，觀察正品件數(shù)和次品件數(shù)，下列事件是互斥事件的是.①恰好有1件次品和恰好有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品；④至少有1件次品和全是正品.【答案】①④【分析】根據(jù)互斥事件的概念逐個判斷即可.【詳解】從一批產(chǎn)品中任取2件，觀察正品件數(shù)和次品件數(shù)，其中正品、次品都多于2件，恰有1件次品和恰有2件次品是互斥的；至少有1件次品和全是正品是互斥的；至少有件正品和至少有件次品能同時發(fā)生，兩者不是互斥事件；至少有件次品和全是次品能同時發(fā)生，兩者不是互斥事件；∴①④是互斥事件.故答案為：①④【變式1】某人連續(xù)投籃兩次，下列事件中與事件“恰有一次投中”互斥的為（

）A．至多有一次投中 B．至少有一次投中C．恰有一次沒有投中 D．兩次都投中【答案】D【分析】表示投籃兩次的所有基本事件情況，觀察可得答案.【詳解】某人連續(xù)投籃兩次，共會發(fā)生：第一次中第二次不中，第一次不中第二次中，第一次中第二次中，第一次不中第二次不中，共4種情況，事件“恰有一次投中”包含：第一次中第二次不中，第一次不中第二次中，所以與之互斥的就是“兩次都投中”，故選：D【變式2】某學校實驗室培育紅豆與綠豆種子各三顆，若每顆種子是否發(fā)芽是隨機的，則下列各組事件中，是互斥事件的是（

）A．“恰有一顆紅豆種子不發(fā)芽”與“至多兩顆紅豆種子不發(fā)芽”B．“恰有四顆種子發(fā)芽”與“至少兩顆紅豆種子、兩顆綠豆種子發(fā)芽”C．“至少五顆種子發(fā)芽”與“至多一顆綠豆種子發(fā)芽”D．“恰有兩顆紅豆種子發(fā)芽”與“恰有一顆綠豆種子發(fā)芽”【答案】C【分析】根據(jù)互斥事件的概念逐一判斷即可.【詳解】對A，可以同時發(fā)生“有一顆紅豆種子不發(fā)芽”，故不是互斥事件；對B，可以同時發(fā)生“兩顆紅豆種子、兩顆綠豆種子發(fā)芽”，故不是互斥事件；對C，“至少五顆種子發(fā)芽”，則至少有2顆綠豆種子發(fā)芽，“至多一顆綠豆種子發(fā)芽”不會同時發(fā)生，則是互斥事件；對D，可以同時發(fā)生，“兩顆紅豆種子發(fā)芽，一顆綠豆種子發(fā)芽”，故不是互斥事件.故選：C【變式3】拋擲一枚骰子，記事件為“落地時向上的點數(shù)是奇數(shù)”，事件為“落地時向上的點數(shù)是偶數(shù)”，事件為“落地時向上的點數(shù)是4的倍數(shù)”，則上述事件是互斥事件但不是對立事件的兩個事件是．【答案】與【分析】利用互斥事件和對立事件的定義求解即可.【詳解】因為發(fā)生事件和事件的概率和為1，所以事件和事件是對立事件，而事件與事件不可能同時發(fā)生，所以它們是互斥事件，事件與事件會同時發(fā)生，所以它們不是互斥事件.故答案為：與題型05互斥事件的概率加法公式【典例1】已知為隨機事件，與互斥，與互為對立，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用與互為對立求出，再由互斥事件的概率加法公式即可求得答案.【詳解】由與互為對立，則，又與互斥，則.故選：B.【變式1】已知兩個互斥事件A，B滿足，，則（

）A．0.4 B．0.3 C．0.6 D．0.1【答案】B【分析】根據(jù)互斥事件概率的加法公式求解.【詳解】因為兩個互斥事件A，B，，所以.故選：B【變式2】設A、B、C為三個隨機事件，其中A與B是互斥事件，B與C互為對立事件，，，則.【答案】【分析】先利用對立事件的概率公式求得的值，再利用互斥事件的概率公式即可求得的值.【詳解】由與是對立事件，可得由與是互斥事件，可得.故答案為：【變式3】已知事件和事件互斥，若且，則.【答案】/【分析】先求出，再根據(jù)互斥事件的和事件概率加法公式求解.【詳解】因為隨機事件A和B互斥，且，所以，而，所以.故答案為：題型06獨立事件的判斷【典例1】在一個質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，連續(xù)拋擲這個骰子兩次，并記錄每次骰子向上一面的點數(shù)，記事件A為“第一次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，事件B為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，事件C為“兩次記錄的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是①事件A與事件B是相互獨立事件，②事件A與事件C是互斥事③④【答案】①④【分析】列出各事件的基本事件，再由古典概率公式求解判斷．【詳解】連續(xù)拋擲骰子兩次的基本事件有36種，事件A的基本事件為：，，共18個，事件B的基本事件為：，，共18個，事件C的基本事件為：，，共18個，事件的基本事件為：，共9個，事件的基本事件為：，共9個，則,得，則事件A與事件B是相互獨立事件；事件A與事件C有共同的基本事件，如等，則事件A與事件C不是互斥事件；；,故答案為：①④【變式1】已知下列各組事件：①拋擲1枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件M：出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)，事件N：出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)；②袋中有除顏色外完全相同的5個白球5個黃球，依次不放回地摸兩次，事件M：第1次摸到白球，事件N：第2次摸到白球；③分別拋擲2枚相同的硬幣，事件M：第1枚為正面朝上，事件N：兩枚朝上的結(jié)果相同；④一枚硬幣拋擲兩次，事件M：第一次為正面朝上，事件N：第二次為反面朝上．其中M、N是獨立事件的序號為．【答案】③④【分析】根據(jù)獨立事件的概念與性質(zhì)逐一分析即可.【詳解】①：，，故事件不是獨立事件；②：事件的發(fā)生對事件有影響，故事件不是獨立事件；③：，，故事件是獨立事件；④：第一次的結(jié)果對第二次的結(jié)果不影響，故事件是獨立事件.故答案為：③④.【變式2】一個口袋中裝有3個白球和3個黑球．①事件A：第一次摸出的是白球，事件B：第一次摸出的是黑球；②摸出后放回，事件A：第一次摸出的是白球，事件B：第二次摸出的是黑球；③摸出后不放回，事件A：第一次摸出的是白球，事件B：第二次摸出的是黑球；④一次摸兩個球，共摸兩次，事件A：第一次摸出顏色相同的球，事件B：第一次摸出顏色不同的球．以上各組事件是獨立事件的序號為．【答案】②【分析】本題根據(jù)獨立事件、互斥事件的概念逐項判斷即可得出答案.【詳解】對①，第一次摸出的是白球與第一次摸出的是黑球是互斥事件，故事件A與事件B不是獨立事件；對②，摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，兩者不受影響，故事件A與事件B是獨立事件；對③，摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，第二次受第一次的影響，故事件A與事件B不是獨立事件；對④，一次摸兩個球，共摸兩次，第一次摸出顏色相同的球與第一次摸出顏色不同的球是互斥事件，故事件A與事件B不是獨立事件.故答案為：②【變式3】分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設事件A是“第一枚為正面朝上”，事件B是“第二枚為正面朝上”，事件C是“兩枚結(jié)果相同”，則下列事件具有相互獨立性的有（用數(shù)字①②③作答）①事件A與事件B；②事件A與事件C；③事件C與事件B.【答案】①②③【分析】利用古典概型分別求得事件的概率，再利用獨立事件的概率公式逐一判斷即可得解.【詳解】依題意，，，對于①，，所以與是相互獨立本件；對于②，，所以與是相互獨立事件；對于③，，所以與是相互獨立事件.故答案為：①②③.【變式4】當時，若，則事件與事件為事件（選填互斥，對立或者相互獨立）【答案】相互獨立【分析】根據(jù)對立事件概率公式，結(jié)合相互獨立事件概率公式，可得答案.【詳解】由可知事件不是不可能事件，由，且，則，因為，即，所以事件與事件為相互獨立事件.故答案為：相互獨立.題型07獨立事件的乘法公式【典例1】一個工人看管三臺自動機床，在一小時內(nèi)第一、二、三臺機床不需要照顧的概率為0.9，0.8，0.8，在一小時的過程中，求至少有一臺機床需要照顧的概率．【答案】0.424【分析】根據(jù)題意，設“第一、二、三臺機床不需要照顧”分別為事件，設“至少有一臺機床需要照顧”為事件B，由相互獨立事件的概率公式求出，由對立事件的性質(zhì)計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設“第一、二、三臺機床不需要照顧”分別為事件，設“至少有一臺機床需要照顧”為事件B，則為“三臺機床都不需要照顧”，由題意相互獨立，且，則．則．故答案為：．【變式1】已知事件與事件獨立，且，，則=.【答案】0.12【分析】根據(jù)相互獨立事件的概率公式即可求解.【詳解】由于事件與事件獨立，故,故答案為：0.12【變式2】經(jīng)過多年的技術(shù)積累，我國在車床加工零件方面取得長足進步.某工廠加工的產(chǎn)品按技術(shù)指標從高到低可分為優(yōu)品，良品，合格品和不合格品四個等級.按以往統(tǒng)計數(shù)據(jù)：100個零件中有40件優(yōu)品，50件良品，5件合格品和5件不合格品.現(xiàn)該工廠向某地發(fā)貨1000件產(chǎn)品.對方驗貨的規(guī)則如下：如果抽檢的第一件產(chǎn)品是優(yōu)品或良品，則接收全部產(chǎn)品；如果抽檢的第一件產(chǎn)品是合格品，則再檢驗兩件，如果都是優(yōu)品或良品，則接收整批產(chǎn)品.其余情況拒收整批產(chǎn)品.若用頻率代替概率，用隨機抽樣的方法采樣，問本批產(chǎn)品被拒收的概率是.【答案】0.0595/【分析】方法1：結(jié)合對立事件的概率公式，利用獨立事件概率乘法公式求解；方法2：利用互斥事件概率加法公式和獨立事件乘法公式求解即可.【詳解】依題意：優(yōu)品的概率為0.4，良品的概率是0.5，合格品的概率是0.05，不合格品的概率是0.05，且每件產(chǎn)品的等級是獨立的.方法1：間接求，；方法2：直接求，被拒收的情況包括：第一種情況第一件不合格，第二種情況第一件合格、第二件優(yōu)良、第三件非優(yōu)良；第三種情況第一件合格、第二件非優(yōu)良；.故答案為：0.0595【變式3】已知事件和事件相互獨立，，則．【答案】/【分析】根據(jù)獨立事件的性質(zhì)可得事件和事件相互獨立，再根據(jù)獨立事件概率乘法公式求解即可.【詳解】因為事件和事件相互獨立，所以事件和事件相互獨立，則.故答案為：.【變式4】某同學從家到學校要經(jīng)過三個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，該同學在各路口遇到紅燈的概率分別為，則該同學從家到學校遇到兩次紅燈的概率為.【答案】/【分析】利用相互獨立事件的概率乘法公式及對立事件的概率公式即可求解．【詳解】該同學從家到學校遇到兩次紅燈的概率為,故答案為：.題型08獨立事件的實際應用【典例1】2020年1月，教育部發(fā)布《關于在部分高校開展基礎學科招生改革試點工作的意見》（簡稱“強基計劃”），明確從2020年起強基計劃取代原有的高校自主招生方式．某高校筆試環(huán)節(jié)要求考生參加三個科目考核，考生通過三個科目的筆試考核才能進入面試環(huán)節(jié)．考生甲通過三個科目的筆試考核的概率分別為，且每個科目考核相互獨立，則甲順利進入面試環(huán)節(jié)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】記甲通過三個科目的筆試考核分別為事件，根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式計算可得答案.【詳解】記甲通過三個科目的筆試考核分別為事件，顯然為相互獨立事件，則事件“甲通過三個科目的筆試考核”相當于事件，所求概率．故選：A．【變式1】如圖，甲乙做游戲，兩人通過劃拳（剪刀、石頭、布）比賽決勝誰首先到達第3格，并規(guī)定從0格出發(fā)，每次劃拳贏的一方往右前進一格，輸?shù)囊环皆夭粍樱骄謺r兩人都往右前進一格．如果一方連續(xù)贏兩次，那么他將額外獲得右前進一格的獎勵，除非已經(jīng)到達第3格，當有任何一方到達第3格時游戲結(jié)束，則游戲結(jié)束時恰好劃拳3次的概率為（

）0123A． B． C． D．【答案】D【分析】游戲結(jié)束時，有可能是甲到達第3格，也有可能是乙到達第3格，根據(jù)每一步的情況，結(jié)合獨立事件和互斥事件概率公式，即可求解.【詳解】設事件“第次劃拳甲贏”為，事件“第次劃拳甲平局”為，事件“第次劃拳甲輸”為，則，則游戲結(jié)束時恰好劃拳3次的概率為故選：D【變式2】概率論起源于博弈游戲17世紀，曾有一個“賭金分配”的問題：博弈水平相當?shù)募?、乙兩人進行博弈游戲每局比賽都能分出勝負，沒有平局雙方約定，各出賭金180枚金幣，先贏3局者可獲得全部贖金；但比賽中途因故終止了，此時甲贏了2局，乙贏了1局.問這360枚金幣的賭金該如何分配？數(shù)學家費馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為“概率”的知識，合理地給出了賭金分配方案.該分配方案是（

）A．甲180枚，乙180枚B．甲288枚，乙72枚C．甲240枚，乙120枚D．甲270枚，乙90枚【答案】D【分析】利用獨立事件的概率公式進行求解即可.【詳解】根據(jù)題意，甲、乙兩人每局獲勝的概率均為，假設兩人繼續(xù)進行比賽，甲獲取360枚金幣有：第四局甲贏，或第四局甲輸，第五局甲贏，故概率為，乙獲取360枚金幣有：第四、五局乙都贏，故概率為，則甲應該獲得枚金幣，乙應該獲得枚金幣，故選：D【變式3】概率論起源于博弈游戲17世紀，曾有一個“賭金分配”的問題：博弈水平相當?shù)募?乙兩人進行博弈游戲每局比賽都能分出勝負，沒有平局.雙方約定，各出賭金150枚金幣，先贏3局者可獲得全部贖金；但比賽中途因故終止了，此時甲贏了2局，乙贏了1局.向這300枚金幣的賭金該如何分配？數(shù)學家費馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為“概率”的知識，合理地給出了賭金分配方案.該分配方案是（

）A．甲150枚，乙150枚 B．甲225枚，乙75枚C．甲200枚，乙100枚 D．甲240枚，乙60枚【答案】B【分析】根據(jù)題意，求得甲乙獲勝的概率均為，且游戲最多再進行2局即可分出勝負，求得甲獲勝的概率，進而得到答案.【詳解】由題可知，對單獨每一局游戲，甲乙獲勝的概率均為，若游戲繼續(xù)進行，最多再進行2局即可分出勝負，①第四局甲贏，比賽結(jié)束，甲勝出，概率為；②第四局乙贏，第五局甲贏，比賽結(jié)束，甲勝出，概率為；③第四局乙贏，第五局乙贏，比賽結(jié)束，乙勝出，概率為；則甲勝出的概率為，則甲應該分得賭金的，所以枚，乙分得賭金枚.故選：B.【變式4】已知甲、乙兩人射擊的命中率分別是和．現(xiàn)二人同時向同一獵物射擊，發(fā)現(xiàn)獵物只中一槍，則甲、乙分配獵物的比例應該是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】計算出只有甲或只有乙打中獵物的概率，即可得出甲、乙分配獵物的比例.【詳解】因為甲、乙兩人射擊的命中率分別是和，現(xiàn)二人同時向同一獵物射擊，發(fā)現(xiàn)獵物只中一槍，只有甲打中獵物的概率為，只有乙打中獵物的概率為所以，甲、乙分配獵物的比例應該是.故選：A.1．已知事件，互斥，且事件發(fā)生的概率，且事件發(fā)生的概率，則事件，都不發(fā)生的概率是.【答案】【分析】由互斥事件的定義，結(jié)合對立事件求概率公式進行求解.【詳解】事件A、B互斥，且事件A發(fā)生的概率，事件B發(fā)生的概率，事件，都不發(fā)生的對立事件是事件A、B至少有一個發(fā)生，所以事件，都不發(fā)生的概率為.故答案為：2．在某市舉辦的城市運動會的跳高比賽中，甲、乙兩名跳高運動員一次試跳2米高度成功的概率分別是0.7，0.6，且每次試跳成功與否相互之間沒有影響．若甲、乙各試跳兩次，則兩人中恰有一人第二次才成功的概率為．【答案】0.3492【分析】我們需要定義事件并計算甲和乙第二次才成功的概率，然后利用這些概率計算兩人中恰有一人第二次才成功的概率.【詳解】記“甲第次試跳成功”為事件，“乙第次試跳成功”為事件，依題意得，，且，（，2）相互獨立．“甲第二次試跳才成功”為事件，且兩次試跳相互獨立，，故甲第二次試跳才成功的概率為0.21．同理可求得乙第二次試跳才成功的概率為．故兩人中恰有一人第二次試跳才成功的概率為．故答案為：.3．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的正四面體骰子，每枚骰子的四個面上分別印有“”，“”，“”，“”四個數(shù)字．分別查看底面上的數(shù)字，則兩個數(shù)字之和等于的概率為【答案】【分析】先求出基本事件的個數(shù)，再求出兩個數(shù)字之和等于這一事件包含的事件的個數(shù)，再由古典概率公式，即可求解.【詳解】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的正四面體骰子，基本事件為：，共種情況，用表示拋擲兩枚質(zhì)地均勻的正四面體骰子的結(jié)果，其中表示第一枚骰子的結(jié)果，表示第二枚骰子的結(jié)果，則兩個數(shù)字之和等于結(jié)果有：，共種情況，所以兩個數(shù)字之和等于的概率為，故答案為：.4．甲、乙兩名同學參加某項測試，已知甲達標的概率為，乙達標的概率為，兩人能否達標互不影響，則至少有一人達標的概率為.【答案】【分析】先考慮兩人均未達標的概率，即可得到至少有一人達標的概率.【詳解】兩人均未達標的概率為：，故至少有一人達標的概率為.故答案為：.5．甲?乙兩運動員進行乒乓球比賽，采用7局4勝制.在一局比賽中，先得11分的運動員為勝方，但打到平后，先多得2分者為勝方.在平后，雙方實行輪換發(fā)球法，每人每次只發(fā)1個球.若在某局比賽中，甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙發(fā)球時甲得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨立，在雙方平后，甲先發(fā)球，則甲以贏下此局的概率為.【答案】【分析】由題意分析甲乙分別勝的場數(shù)，利用概率乘法公式，可得答案.【詳解】在雙方平后，要甲以贏下此局，則甲乙各勝一場后，甲再連勝兩場，所以概率為.故答案為：6．某校美術(shù)社團在校園文化節(jié)期間制作了“金面罩”“鍋神獸”“銅太陽神器”3枚三星堆文物圖案印章，并為每位學生隨機選擇1枚蓋章留念，則學生甲得到“金面罩”圖案的概率為；學生乙和學生丙都得到“銅神獸”圖案的概率為.【答案】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式可得空1的答案；根據(jù)獨立事件同時發(fā)生的概率公式可得空2的答案.【詳解】因為學生甲得到“金面罩”“鍋神獸”“銅太陽神器”圖案的概率相等，所以學生甲得到“金面罩”圖案的概率為：.因為學生乙和學生丙得到“銅神獸”圖案的概率均為，且相互獨立，所以學生乙和學生丙都得到“銅神獸”圖案的概率為：.故答案為：；7．如圖，從1開始出發(fā)，一次移動是指：從某一格開始只能移動到鄰近的一格，并且總是向右或向右上或右下移動，而一條移動路線由若干次移動構(gòu)成，如從1移動到11：就是一條移動路線.從1移動到數(shù)字n（）的不同路線條數(shù)記為，從1移動到11的事件中，跳過數(shù)字n（）的概率記為，則的值為.【答案】【分析】根據(jù)題意分析，不難得到，據(jù)此求出，再由樹狀圖得出過5的線路條數(shù)，利用古典概型求解即可.【詳解】由題意可知，則，，作樹狀圖，如圖，分別計算1→5的路線共有5條，5→11的路線共有13條，所以過數(shù)字5的路線共有條，則，故答案為：8．某商場舉行有獎問答游戲，每名參加者要依次回答若干道題，若連續(xù)答對兩題則結(jié)束游戲，并獲得獎品，若連續(xù)答錯兩題也結(jié)束游戲，但不能獲得獎品，只要沒有出現(xiàn)連續(xù)答對或連續(xù)答錯的情況，就繼續(xù)答題．已知小明答對每道題的概率都為，則小明獲得獎品的概率為．【答案】【分析】設表示當前已答對最后一題的情況下獲得獎品的概率；表示當前已答錯最后一題的情況下獲得獎品的概率；由題意確定，的等式關系，求解即可；【詳解】設表示當前已答對最后一題的情況下獲得獎品的概率；表示當前已答錯最后一題的情況下獲得獎品的概率；由題意可得：，解得：，，所以小明獲得獎品的概率為，故答案為：9．先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設事件兩次擲出的點數(shù)之和是5，設事件第二次擲出的點數(shù)是偶數(shù)，設事件第一次擲出的點數(shù)是5，設事件至少出現(xiàn)一個奇數(shù)點，下列說法不正確的是（

）A．與互斥 B．C．與對立 D．與相互獨立【答案】C【分析】根據(jù)題設依次列舉出對應事件，應用古典概型的概率求法求對應概率，結(jié)合互斥、對立、獨立事件的定義和判定判斷各項的正誤.【詳解】若中依次表示第一、二次對應點數(shù)，所有情況有種，由題意，事件的基本事件有，共4種，事件的基