15/152025-2026學年高二數(shù)學上學期第一次月考卷強化卷·全解全析（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：滬教版2020必修三第10章+第11章。一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．若兩條不同直線，沒有公共點，則，所有可能的位置關系是.【答案】平行或異面【分析】根據(jù)空間中兩直線的位置關系即可得出結論.【詳解】當，在同一平面內時，若兩條不同直線，沒有公共點,此時兩直線平行；當，不在同一平面內時，兩直線無公共點，即兩直線異面.故答案為：平行或異面2．如圖，在直三棱柱中，，，，則直三棱柱的體積為．【答案】1【分析】根據(jù)直三棱柱的體積公式，可得答案.【詳解】直三棱柱的體積為.故答案為：.3．如圖，在正方體中，與平面所成的角等于.【答案】/【分析】由線面角的定義結合正方體性質即可求解.【詳解】由正方體性質可知，平面，從而與平面所成的角為，因為為等腰直角三角形，所以.故答案為：.4．如圖，在三棱錐中，平面，若，，則二面角的大小為.

【答案】【分析】由線面垂直的判定定理可得，，所以是二面角的平面角，最后由余弦定理得到二面角的大小.【詳解】因為平面，平面，平面，所以，，所以是二面角的平面角.又，則，即二面角的大小是.故答案為：.5．在三棱錐中，平面，，，，則該三棱錐外接球的表面積為【答案】【分析】由正、余弦定理求出底面的外接圓半徑，利用圓心與球心的連線垂直于底面構成直角三角形即可求出外接球的半徑，進而可得其表面積.【詳解】在底面中，，，由余弦定理，可得，設的外接圓圓心為，半徑為，三棱錐外接球的球心為，半徑為，在中，由正弦定理可得，解得，因為平面，平面，且球心到點的距離相等，所以球心到底面的距離為，在中，，故該三棱錐外接球的表面積為，故答案為：6．已知底面圓直徑為的圓錐的表面積與其側面積之比為，則該圓錐的高為．（用含的式子表示）【答案】【分析】由圓錐的表面積和側面積公式計算即可求解.【詳解】設該圓錐的底面半徑和母線長分別為，所以表面積為，側面積為，所以，所以圓錐的高為，故答案為：.7．已知一個正方體的所有頂點均在一個球面上，若這個球的體積為，則這個正方體的表面積為.【答案】18【分析】根據(jù)正方體的對角線是外接球的直徑求得棱長，然后可得表面積．【詳解】設正方體的棱長為，則其對角線為其外接球的直徑，所以外接球的半徑為，由已知，，所以正方體表面積為，故答案為：18.8．如圖，已知正方體中，為線段上的動點，為線段的中點，則下列四個結論正確的有①對任意點，平面②三棱錐的體積為定值③直線與所成的角不可能等于④存在點，使平面【答案】①②④【分析】證明出平面平面，由面面平行的性質可判斷①選項；利用錐體體積公式可判斷②選項；利用異面直線所成角的定義可判斷③選項；推導出平面，結合中位線的性質可判斷④選項.【詳解】對于①選項，連接、、、，如下圖所示：在正方體中，，，故四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，同理可證平面，因為，、平面，故平面平面，因為平面，因此平面，故①對；對于②，因為平面平面，平面，所以點到平面的距離等于點到平面的距離為定值，而為定值，故為定值，故②對；對于③，因為，，故四邊形為平行四邊形，所以，所以與所成的角即為與所成的角或其補角，如下圖所示：易知為正三角形，顯然當時，，故③錯；對于④，連接、、，如下圖所示：因為四邊形為正方形，所以，因為平面，平面，所以，因為，、平面，所以平面，當為的中點時，因為為的中點，此時，故平面，故④對.故答案為：①②④.9．如圖1，正三角形ABD與以BD為直徑的半圓拼在一起，是弧BD的中點，為的中心．現(xiàn)將沿BD翻折為，記的中心為，如圖2.設直線與平面BCD所成的角為，則的最大值為．

【答案】/【分析】找出點軌跡后，再借助線面垂直的性質得到直線在平面的投影，結合正弦函數(shù)定義計算即可得.【詳解】取中點，連接，，由三角形為正三角形，故在線段上，且，即，則在以為圓心，為半徑的圓上，由題意可得，，、平面，，故平面，又平面，故直線在平面的投影為直線，即，則當與該圓相切，即時，有.

故答案為：10．如圖，已知點在平行四邊形所在平面外，E為線段上靠近A的三等分點，F(xiàn)為線段上一點，當平面時，.

【答案】【分析】根據(jù)線面平行的性質定理構造線線平行，再根據(jù)平行線段比例關系，可得結論.【詳解】如圖，連結，交于點，連結，因為平面，且平面，平面平面，所以，因為，且，所以，即，所以，所以.

故答案為：.11．如圖，在正方體中，分別是棱的中點，則正方體被平面所截得的截面周長是.【答案】【分析】首先確定截面的位置和特征，然后根據(jù)已知條件中的線段和角的關系求截面的周長即可.【詳解】在正方體中，取的中點,GD1的中點為,連接A1G,EG,EH,FH，由是的中點，得EG//DD1//AA1A1G//AE,A1G=AE，由是梯形是正方體被平面所截得的截面，AE=AF=4所以所求截面的周長是.故答案為：.12．已知正三棱錐的各頂點都在體積為的球面上，正三棱錐體積最大時，該正三棱錐的高為.【答案】4【分析】根據(jù)錐體與外接球的性質，結合棱錐的體積公式以及基本不等式的三維形式進行求解即可.【詳解】根據(jù)題意可得，正三棱錐的外接球的半徑，設正三棱錐的底面邊長為，高為，則正三角形的外接圓的半徑為，所以，即，所以，又正三棱錐體積為，當且僅當即時，等號成立，所以當正三棱錐體積最大時，該正三棱錐的高為4.故答案為:4.二、選擇題(本題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個正確選項)13．已知圓錐的側面積是底面積的2倍，該圓錐的表面積為，則圓錐的母線長為（

）.A．2 B． C． D．3【答案】A【分析】由圓錐的側面積公式和表面積公式求解.【詳解】設圓錐的底面半徑為，母線長為，則，可得，圓錐的表面積為，，可得.故選：A.14．已知直線，若，是異面直線，則a與d的位置關系為（

）A．相交 B．異面 C．相交或異面 D．不確定【答案】C【分析】根據(jù)已知直線的位置關系，結合平面的基本性質，空間想象來判斷a與d的位置關系.【詳解】由，是異面直線，則異面或相交，又，故異面或相交.故選：C15．在正方體中，異面直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)線線角的求法，將異面直線平移至同一平面內，求得正確答案.【詳解】畫出圖象如下圖所示根據(jù)正方形的性質可知所以是直線與所成角由于三角形是等邊三角形所以即直線與所成的角的大小為故選：16．已知圓柱與圓錐的底面半徑相等，高相等，且圓錐的軸截面為正三角形，記圓柱外接球的表面積為，圓錐外接球的表面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】據(jù)圓錐和圓柱外接的特征，列條件方程求外接球半徑即可得解.【詳解】設圓柱與圓錐的底面半徑為1，則由圓錐的軸截面為正三角形，可得圓柱與圓錐的高均為.設圓柱外接球的半徑為，圓錐外接球的半徑為，則R12=12則.故選：三、解答題(本大題共有5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20、21題每題18分.)17．（14分）如圖，正三棱柱中，，點是的中點.(1)求證：平面；(2)若三棱錐的體積為，求這個三棱柱的側棱長.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，交于點N，連接，易得，由線面平行的判定定理得證；（2）由三棱錐體積公式求解.【詳解】（1）連接，交于點N，連接，因為四邊形為矩形，所以為的中點，又點是的中點，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）因為為等邊三角形，是的中點，所以，又，故，因為平面，設，則，所以，即，解得，故這個三棱柱的側棱長為3.18．（14分）如圖，在三棱錐中，，底面，M，N分別是，的中點．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，由三角形中位線得線線平行，再說明線面平行即可；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理，證得線面垂直，由面面垂直的判定定理說明面面垂直.【詳解】（1）因為M，N分別是，的中點，所以，因為平面，平面，所以平面；（2）因為，所以，因為底面，底面，所以，,平面，平面，平面，平面，平面平面．19．（14分）如圖，在四棱錐中，底面，底面為平行四邊形，．(1)證明：平面；(2)若，求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）利用等體積法即可求解.【詳解】（1）底面，平面，，又，，平面，平面；（2）底面，平面，，，，設點到平面的距離為，則，由（1）可知，平面，平面，，，，，，，點到平面的距離為．20．（18分）如圖，四面體中，點G是的重心，點E在上，.

(1)求證：平面；(2)設過點G，E，C的平面為，與四面體的面相交，交線圍成一個多邊形.（i）請在圖中畫出這個多邊形（不必說出畫法和理由）；（ii）求出將四面體分成兩部分幾何體體積之比.【答案】(1)證明見解析(2)（i）答案見解析；（ii）【分析】（1）連接并延長交于點F，連接，由比例關系得，即可證明；（2）（i）連接并延長交于點H，連接，，則平面即為.（ii）由（i）知，將四面體分成兩部分，由的面積與四邊形的面積之比為1:2進行求解.【詳解】（1）連接并延長交于點F，連接，

因為，所以，平面，平面，所以平面.（2）（i）連接并延長交于點H，連接，，則平面即為.（ii）由（i）知，將四面體分成兩部分，分別為三棱錐與四棱錐，很顯然兩個棱錐的高相等，記為h，的面積與的面積之比為，所以的面積與四邊形的面積之比為1:2，則.21．（18分）設為多面體的一個頂點，是多面體上所有與點相鄰的頂點，定義多面體在點處的離散曲率為，其中所有角均采用弧度制表示．如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，．(1)求四棱柱在點和點處的離散曲率之和；(2)若與平面所成角的正弦值為，求四棱柱在點處的離散曲率；(3)若四面體在點處的離散曲率為，求二面角的余弦值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)條件知為菱形，與底面垂直，再根據(jù)在頂點處的離散曲率的定義計算即可；（2）可證得平面，設，則即為與平面所成的角．求出，再根據(jù)在頂點處的離散曲率的定義計算即可；（3）連接，由，，可知二面角的平面角為．根據(jù)四面體在點處的離散曲率為，求得，進而可求出二面角的余