.3：空間向量及其運算的坐標表示【考點歸納】【知識梳理】知識點一、空間直角坐標系(1)空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標系Oxyz.(2)相關概念：O叫做原點，i，j，k都叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個部分．知識點二、空間一點的坐標在空間直角坐標系Oxyz中，i，j，k為坐標向量，對空間任意一點A，對應一個向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點A在此空間直角坐標系中的坐標，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標．知識點三、空間向量的坐標在空間直角坐標系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系Oxyz中的坐標，上式可簡記作a＝(x，y，z)．知識點四、空間向量的坐標運算：設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量運算向量表示坐標表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數(shù)量積a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3知識點五、空間向量的平行、垂直及模、夾角設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有當b≠0時，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).知識點六、空間兩點間的距離公式設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，：則P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).【例題詳解】題型一、求空間點的坐標【例1】（20-21高二·江蘇）如圖，在長方體中，，，，以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系．(1)寫出，C，，四點的坐標；(2)寫出向量，，，的坐標．【跟蹤訓練1】23-24高二上·山東聊城·階段練習）已知，在棱長為2的正四面體中，以的中心為坐標原點，為軸，為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，為的中點，求的坐標.

【跟蹤訓練2】（23-24高二下·江蘇·課前預習）如圖所示，在四棱錐中，建立空間直角坐標系，若，是的中點，求點的坐標.

題型二、空間向量的坐標運算【例2】（23-24高二上·新疆·階段練習）已知，，.(1)求的值；(2).【跟蹤訓練1】（22-23高二·全國·課堂例題）已知，求下列向量的坐標：(1)； (2)； (3)．【跟蹤訓練2】（22-23高二上·遼寧朝陽·階段練習）已知在空間直角坐標系中，，，；(1)若點M滿足，求點M的坐標；(2)若，，求．題型三、空間向量平行坐標問題【例3】．（24-25高二下·江蘇南京·期中）已知，且，則（

）A．-5 B． C．4 D．【跟蹤訓練1】．（24-25高二上·河北邯鄲·階段練習）已知，，若//，則λ與μ的值可以是（

）A．， B．， C．， D．，【跟蹤訓練2】．（24-25高二上·陜西渭南·階段練習）已知向量，，若與平行，則實數(shù)k的值為（

）A． B． C． D．2故選：B.題型四、空間向量垂直坐標問題【例4】．（24-25高二上·湖北孝感·階段練習）已知向量，，且與互相垂直，則（

）A． B． C． D．【跟蹤訓練1】．（24-25高二上·廣東惠州·期末）已知空間向量，若，則實數(shù)等于（

）A． B． C．1 D．3【跟蹤訓練2】．（24-25高二上·河北滄州·期末）已知向量，，若，則的值是（

）A． B．0 C．1 D．2題型五：空間向量模長坐標問題【例5】．（24-25高二上·遼寧大連·期末）設，向量，，，且，，則等于（

）A． B． C．3 D．9【跟蹤訓練1】．（24-25高二上·安徽阜陽·期中）已知向量，，，且．(1)求；(2)若向量與垂直，求．【跟蹤訓練2】．（23-24高二上·廣東江門·階段練習）已知向量，，點，.(1)求的值；(2)在直線上存在一點E，使得，求點E的坐標.題型六：空間向量夾角坐標問題【例6】．（24-25高二上·貴州畢節(jié)·階段練習）已知向量，，其中，，．(1)求；(2)求與的夾角的余弦值．【跟蹤訓練1】．（22-23高二上·廣西梧州·期中）如圖，在正方體中，，，，分別是，，，的中點，則．【跟蹤訓練2】．（24-25高二上·北京·期中）設，向量，且.(1)求；(2)求向量與夾角的余弦值.題型七：空間向量坐標綜合問題【例7】．（24-25高二上·陜西渭南·期末）已知(1)，求的坐標；(2)求；(3)若與互相垂直，求實數(shù)的值.【跟蹤訓練1】．（24-25高二上·黑龍江牡丹江·期末）已知向量，且.(1)求向量與的夾角；(2)求的值；(3)若向量與互相垂直，求的值．【跟蹤訓練2】．（25-26高二上·全國·單元測試）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，底面，且，為的中點．(1)求證：；(2)求的長；(3)求．【高分演練】一、單選題1．（25-26高二上·黑龍江）已知向量，，若與共線，則（

）A．12 B．9 C． D．2．（25-26高二上·安徽阜陽·開學考試）已知，，則（

）A． B． C． D．3．（25-26高二上·全國·單元測試）在空間直角坐標系中，向量，，下列結論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若為鈍角，則 D．若在上的投影向量為，則4．（24-25高二下·云南昆明·階段練習）已知空間向量，若與垂直，則（

）A． B． C． D．145．（24-25高二上·廣東廣州·期中）已知為原點，，點在直線上運動，則當取得最小值時，點的坐標為（

）A． B． C． D．6．（24-25高二下·江蘇常州·階段練習）向量，，，且，，則（

）A． B． C． D．7．（24-25高二上·廣東梅州·期末）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，，，點為的中點，BN=13BD，則（

）

A． B． C． D．8．（24-25高二上·河北石家莊·期末）在棱長為1的正方體中，以D為原點，、、所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，若直線上的點P到直線的距離最短，則P點坐標為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（25-26高二上·全國·單元測試）在空間直角坐標系中，為坐標原點，且，，，則下列結論正確的是（

）A．的中點坐標為 B．C． D．若，則四點共面10．（25-26高二上·全國·單元測試）已知向量，，，則下列結論正確的是（

）A．向量與向量的夾角為 B．C． D．向量在向量上的投影向量為11．（25-26高二上·全國·單元測試）已知四邊形ABCD是平行四邊形，，，，則（

）A．點D的坐標是 B．C． D．四邊形ABCD的面積是12．（24-25高二上·廣東深圳·期末）關于空間向量，以下說法正確的是（

）A．若對空間中任意一點，有，則、、、四點共面B．已知兩個向量，，且，則C．若，且，，則D．，，則在上的投影向量為13．（24-25高二上·四川南充·期末）下列給出的命題中正確的有（

）A．已知兩個向量，，且，則B．三棱錐中，點為平面上的一點，且，則C．已知，，則在上的投影向量坐標為D．若是空間的一組基底，則也是空間的一組基底三、填空題14．（25-26高二上·黑龍江齊齊哈爾·開學考試）向量，，則在上的投影向量的坐標為15．（25-26高二上·全國·期中）已知，則在方向上的投影向量的坐標為．16．（24-25高二下·福建龍巖·期末）已知，，，若，則的值為.17．（24-25高二上·廣東廣州·階段練習）已知兩平行直線的方向向量分別為，，則實數(shù)的值為．18．（2025·四川成都·三模）在三棱錐中，兩兩垂直，且．若M為該三棱錐外接球上的一動點，則的最小值為.四、解答題19．（25-26高二上·全國·單元測試）已知空間中三點，，．(1)設，且，求的坐標；(2)若四邊形ABCD是平行四邊形，求頂點D的坐標；(3)求△ABC20．（25-26高二上·全國）如圖，在