2/37專(zhuān)題1.1平面及其基本性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)1.了解平面的基本特征，并初步學(xué)會(huì)用文字語(yǔ)言、集合語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言表示平面，表示空間點(diǎn)、直線與平面的關(guān)系；2.理解公理1，并初步學(xué)會(huì)應(yīng)用公理1進(jìn)行推理；3.讓學(xué)生初步體會(huì)空間想象能力的養(yǎng)成意義。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：能用符號(hào)語(yǔ)言描述空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系．了解“斜二測(cè)畫(huà)法”的概念并掌握斜二測(cè)畫(huà)法的步驟．教學(xué)難點(diǎn)：能用圖形、文字、符號(hào)三種語(yǔ)言描述三個(gè)公理，理解三個(gè)公理的地位與作用會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出一些簡(jiǎn)單平面圖形和立體圖形的直觀圖知識(shí)點(diǎn)01平面的概念幾何里所說(shuō)的“平面”,是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來(lái)的.幾何里的平面是無(wú)限延展的.平面是絕對(duì)平的；平面是無(wú)限延展的，不可度量；平面沒(méi)有厚度.知識(shí)點(diǎn)02平面的畫(huà)法①水平放置的平面通常畫(huà)成一個(gè)平行四邊形,用平行四邊形表示平面,平行四邊形的銳角通常畫(huà)成,且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍.如圖(1).②如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住,為了增強(qiáng)它的立體感,把被遮擋部分用虛線畫(huà)出來(lái).如圖(2).知識(shí)點(diǎn)03平面的表示平面通常用希臘字母等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫(xiě)字母來(lái)表示，如平面、平面等.知識(shí)點(diǎn)04點(diǎn)，直線，平面的位置關(guān)系（是點(diǎn)，、是直線，、是平面）文字語(yǔ)言表達(dá)圖形語(yǔ)言表達(dá)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)點(diǎn)在直線上點(diǎn)在直線外點(diǎn)在平面內(nèi)點(diǎn)在平面外直線在平面內(nèi)直線在平面外平面,相交于知識(shí)點(diǎn)05公理1如果一條直線上有兩點(diǎn)在一個(gè)平面上，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面上．符號(hào)表示：Al，Bl，且Aα，Bα?l?α．如圖所示：作用：①判斷直線是否在平面內(nèi)，點(diǎn)是否在平面內(nèi)；②用直線檢驗(yàn)平面．【即學(xué)即練】2．如圖，已知：，，，，，求證：．

【答案】證明見(jiàn)解析【分析】運(yùn)用平面當(dāng)中的點(diǎn)，線，面相關(guān)定理證明即可.【詳解】

，與確定一個(gè)平面．直線，點(diǎn)．，，．又，與重合，．知識(shí)點(diǎn)06公理2及其三推論公理2：①過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；②圖形語(yǔ)言：③應(yīng)用：確定平面的依據(jù)；判斷兩個(gè)平面是否重合；證明點(diǎn)線共面.作用：①確定一個(gè)平面；②判斷兩個(gè)平面重合；③證明點(diǎn)、線共面．（1）推論1:經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（2）推論2:經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面（3）推論3:經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面【即學(xué)即練】如圖，已知.求證：直線共面．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】由題意，根據(jù)點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，即可證明.【詳解】因?yàn)?，所以和確定一個(gè)平面，因?yàn)椋?故.又，所以和確定一個(gè)平面.同理.即和既在平面內(nèi)又在平面內(nèi)，且與相交，故平面，重合，即直線共面．知識(shí)點(diǎn)07公理3①如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線②符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言，且作用：①判斷兩個(gè)平面相交；②證明點(diǎn)共線；③證明線共點(diǎn)．對(duì)三個(gè)公理的理解（1）對(duì)于公理1，我們可以知道：一是整條直線在平面內(nèi)；二是直線上的所有點(diǎn)在平面內(nèi)．（2）“不在一條直線上”和“三點(diǎn)”是公理2的重點(diǎn)字眼，如果沒(méi)有前者，那么只能說(shuō)“有一個(gè)平面”，但不唯一；如果將“三點(diǎn)”改成“四點(diǎn)”，那么過(guò)四點(diǎn)不一定存在一個(gè)平面．由此可見(jiàn)，“不在一條直線上的三點(diǎn)”是確定一個(gè)平面的條件．（3）公理3反映了平面與平面的一種位置關(guān)系——相交，且交線唯一．【即學(xué)即練】如圖，在四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，、分別在、上，且．(1)求證：、、、四點(diǎn)共面；(2)設(shè)與交于點(diǎn)，求證：、、三點(diǎn)共線．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)，結(jié)合基本事實(shí)進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)平面的基本事實(shí)進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?、分別在、上，且．所以，于是有，所以、、、四點(diǎn)共面；（2）∵EG與HF交于點(diǎn)P，∴P，EG?平面ABC，∴P平面ABC，同理P平面DAC.又∵平面平面，∴PAC，∴P、A、C三點(diǎn)共線．知識(shí)點(diǎn)08空間幾何體的直觀圖（1）空間幾何體的直觀圖的概念直觀圖是觀察者站在某一點(diǎn)觀察一個(gè)空間幾何體獲得的圖形.直觀圖是把空間圖形畫(huà)在平面內(nèi)，既富有立體感，又能表達(dá)出圖形各主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系的圖形.（2）水平放置的平面圖形的直觀圖畫(huà)法（斜二測(cè)畫(huà)法）（1）畫(huà)軸：在平面圖形上取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點(diǎn)，畫(huà)直觀圖時(shí)作出與之對(duì)應(yīng)的軸和軸，兩軸相交于點(diǎn)，且使（或）（2）畫(huà)線：已知圖形中平行于或在軸，軸上的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行或在軸，軸上的線段.（3）取長(zhǎng)度：已知圖形中在軸上或平行于軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度不變.在軸上或平行于軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)長(zhǎng)度的一半.（4）成圖：連接有關(guān)線段，擦去作圖過(guò)程中的輔助線，就得到了直觀圖.方法歸納：設(shè)一個(gè)平面多邊形的面積為，利用斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖的面積為，則有.【即學(xué)即練】如圖，是水平放置的的直觀圖，若，軸，軸，則的周長(zhǎng)為．【答案】【分析】得到，將直觀圖還原為原圖，求出，由此即可得解.【詳解】由題意，所以，可得為直角三角形，所以，根據(jù)題意，將直觀圖還原為原圖，如圖所示，可得為直角三角形，其中，由勾股定理得，所以的周長(zhǎng)為．故答案為：.題型01文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化【典例1】用集合符號(hào)表示下列語(yǔ)句，并畫(huà)出相應(yīng)的圖形：(1)點(diǎn)A在直線a上，直線a在平面內(nèi)；(2)直線a經(jīng)過(guò)平面外的一點(diǎn)A；(3)直線a既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)．【答案】(1)集合符合表示為：，圖形見(jiàn)解析；(2)集合符合表示為：，圖形見(jiàn)解析；(3)集合符合表示為：，圖形見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，寫(xiě)出集合表示，結(jié)合空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，作出圖象即可（2）根據(jù)題意，寫(xiě)出集合表示，結(jié)合空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，作出圖象即可（3）根據(jù)題意，寫(xiě)出集合表示，結(jié)合空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，作出圖象即可【詳解】（1）集合符合表示為：，（2）集合符合表示為：，（3）集合符合表示為：【變式1】（1）用符號(hào)語(yǔ)言表示下面的語(yǔ)句，并畫(huà)出圖形．平面與平面交于，平面與平面交于.（2）將下面用符號(hào)語(yǔ)言表示的關(guān)系用文字語(yǔ)言予以敘述，并用圖形語(yǔ)言予以表示．.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析【分析】由題意，根據(jù)點(diǎn)、線、平面之間的關(guān)系，依次作出圖形，即可求解.【詳解】符號(hào)語(yǔ)言表示：平面平面，平面平面.用圖形表示如圖①所示．(2)文字語(yǔ)言敘述為：點(diǎn)在平面與平面的交線上，直線分別在平面內(nèi)，圖形語(yǔ)言表示如圖②所示．

【變式2】用符號(hào)和圖形表示下列語(yǔ)句：(1)，兩點(diǎn)既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)，則直線是平面與平面的交線；(2)兩條相交直線和都在平面內(nèi)；(3)直線在平面內(nèi)，直線在平面外，與相交于一點(diǎn)．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析(3)答案見(jiàn)解析【分析】根據(jù)已知點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，利用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示即可．【詳解】（1）因?yàn)椋瑑牲c(diǎn)既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)，則直線是平面與平面的交線，符號(hào)表示為：、，，，則.圖形表示如下：

（2）因?yàn)閮蓷l相交直線和都在平面內(nèi)，符號(hào)表示為：，，，圖形表示如下：

（3）直線在平面內(nèi)，直線在平面外，與相交于一點(diǎn)，符號(hào)表示為：，，，圖形表示如下：

【變式3】根據(jù)下列符號(hào)表示的語(yǔ)句，說(shuō)明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，并畫(huà)出相應(yīng)的圖形．(1)，；(2)，，；(3)，，，．【答案】(1)詳情見(jiàn)解析(2)詳情見(jiàn)解析(3)詳情見(jiàn)解析【分析】（1）（2）（3）根據(jù)空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系畫(huà)出圖形.【詳解】（1）解：點(diǎn)在平面上，點(diǎn)不在平面上，如下圖所示：（2）解：直線在平面上，直線與平面相交于點(diǎn)，且點(diǎn)不在直線上，如下圖所示：（3）解：直線經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)和平面上一點(diǎn)，如下圖所示：【變式4】用符號(hào)語(yǔ)言表示下列語(yǔ)句，并畫(huà)出圖形：(1)三個(gè)平面相交于一點(diǎn)P，且平面與平面相交于，平面與平面相交于，平面與平面相交于；(2)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC.【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)答案見(jiàn)解析.【分析】根據(jù)點(diǎn)線面的關(guān)系，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言．【詳解】（1）符號(hào)語(yǔ)言表示：,圖形表示：如圖；（2）符號(hào)語(yǔ)言表示：平面平面，平面平面，圖形表示：如圖三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換方法：(1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語(yǔ)言表示，再用符號(hào)語(yǔ)言表示．(2)要注意符號(hào)語(yǔ)言的意義.如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”．(3)由符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫(huà)相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別．題型02平面性質(zhì)及其辨析【典例1】有下列四個(gè)說(shuō)法：①不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③三條直線兩兩相交則確定一個(gè)平面；④兩個(gè)相交平面把空間分成四個(gè)區(qū)域．其中錯(cuò)誤說(shuō)法的序號(hào)是．【答案】②③【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)和推論分析各個(gè)說(shuō)法即可.【詳解】①：由基本事實(shí)可知說(shuō)法正確；②：四邊形可能是空間四邊形，所以說(shuō)法錯(cuò)誤；③：三條直線兩兩相交可能確定一個(gè)平面也可能確定三個(gè)平面，若三條直線在同一平面內(nèi)兩兩相交，則確定一個(gè)平面；若三條直線不在同一平面內(nèi)，例如在三棱錐中，可確定出平面，平面，平面，所以說(shuō)法錯(cuò)誤；④：平面可以無(wú)限延展，如圖所示，兩個(gè)相交平面可將空間分為四個(gè)區(qū)域，所以說(shuō)法正確；故答案為：②③.【變式1】已知下列命題：①三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面：③兩條直線確定一個(gè)平面、其中不正確的命題個(gè)數(shù)有（

）個(gè)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)和推論即可判斷.【詳解】由公理有不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，但是共線的三點(diǎn)不能確定唯一的平面，故①錯(cuò)誤；一條直線和直線外一點(diǎn)可以確定唯一一個(gè)平面，但是一條直線和直線上的點(diǎn)不能確定唯一的平面，故②錯(cuò)誤；兩條異面直線不能確定一個(gè)平面，故③錯(cuò)誤.故選：D.【變式2】若點(diǎn)A與直線能夠確定一個(gè)平面，則點(diǎn)A與直線的位置關(guān)系是（

）.A． B．C． D．【答案】D【分析】由平面的基本定理判斷即可.【詳解】由直線和直線外的一點(diǎn)確定一個(gè)平面，可得D正確，故選：D.【變式3】下列命題（1）若空間四點(diǎn)共面，則其中必有三點(diǎn)共線；（2）若空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則此四點(diǎn)必共面；（3）若空間四點(diǎn)中任何三點(diǎn)不共線，則此四點(diǎn)不共面；（4）若空間四點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線；其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)和線的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】對(duì)于（1），四點(diǎn)共面不一定得到三點(diǎn)共線，比如平面四邊形，故（1）錯(cuò)誤，對(duì)于（2），若空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則此四點(diǎn)必共面；（2）正確，對(duì)于（3）,若空間四點(diǎn)中任何三點(diǎn)不共線，則此四點(diǎn)可能共面；比如平面四邊形，（3）錯(cuò)誤，對(duì)于（4），若空間四點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線；假若其中三個(gè)點(diǎn)共線，則第四個(gè)點(diǎn)要么與這三點(diǎn)在一條直線上，要么在直線外，根據(jù)直線和直線外一點(diǎn)可確定一個(gè)平面可知，這四點(diǎn)共面，矛盾，故任意三點(diǎn)不共線，（4）正確故選：B【變式4】已知平面，直線，點(diǎn)，若，且，則（填數(shù)學(xué)符號(hào)）．【答案】【分析】根據(jù)基本事實(shí)可得結(jié)果.【詳解】如果一條直線上的兩點(diǎn)在平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)，由題意可知，故答案為：.題型03四點(diǎn)共面問(wèn)題【典例1】如圖，在四棱錐中，，，，是的中點(diǎn)，分別在上，且．證明：四點(diǎn)共面；【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】取的中點(diǎn)，連接，由三角形中位線定理得，再根據(jù)線段間的關(guān)系得到，，從而得到四邊形為平行四邊形，即得，最后利用平行線的傳遞性得到，即可證得結(jié)論；【詳解】在四棱錐中，取的中點(diǎn)，連接，由分別是的中點(diǎn)，得，又，則且，而，，于是，且，即四邊形為平行四邊形，則，所以四點(diǎn)共面．【變式1】如圖，在下列正方體中，M，N為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，P，Q分別為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，M，N，P，Q四點(diǎn)共面的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖形及平行公理判斷即可.【詳解】對(duì)于A：顯然、、在正方體的上底面，且三點(diǎn)不共線，不在正方體的上底面，所以、、、四點(diǎn)不共面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：如圖，，即、、、四點(diǎn)共面，即、、三點(diǎn)共面，且三點(diǎn)不共線，又平面，所以、、、四點(diǎn)不共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：顯然、、在正方體的下底面，且三點(diǎn)不共線，不在正方體的下底面，所以、、、四點(diǎn)不共面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：如圖，連接，則，又，所以，所以、、、四點(diǎn)共面，故D正確.故選：D【變式2】在正方體中，、分別為與的中點(diǎn)，求證：、、、四點(diǎn)共面【答案】證明見(jiàn)解析【分析】可得，，所以可得，即可求證.【詳解】連接，因?yàn)?，可知為平行四邊形，則，因?yàn)?、分別為與的中點(diǎn)，由中位線可知，所以，所以、、、四點(diǎn)共面.【變式3】如圖，在正三棱柱中，側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)均為2，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足．求證：四點(diǎn)共面.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】取中點(diǎn)，過(guò)作于，連接，，依次證明，，即可證明，，，四點(diǎn)共面，最后由即可得證；【詳解】取中點(diǎn)，過(guò)作于，連接，，則，，，所以四邊形是平行四邊形，，由得，，又，，，所以，，，四點(diǎn)共面，又，所以，，，四點(diǎn)共面.題型04三點(diǎn)共線問(wèn)題【典例1】如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且．設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】利用基本事實(shí)2和基本事實(shí)3即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以．由已知可得，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，所以平面ABC．同理，平面ADC，平面ADC．所以為平面ABC與平面ADC的一個(gè)公共點(diǎn)．又平面平面，所以，所以P，A，C三點(diǎn)共線．【變式1】如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，分別在BC，CD上，且則下面幾個(gè)說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（

）

①E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；②③若直線EG與直線FH交于點(diǎn)P，則P，A，C三點(diǎn)共線．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】推導(dǎo)出，，從而，由此能證明E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；，從而直線EG與直線FH必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，證明P點(diǎn)在直線上．【詳解】如圖所示，

E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，∴，，分別在BC，CD上，且，∴，，∴，則E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，說(shuō)法①正確；∵，四邊形是梯形，不成立，說(shuō)法②錯(cuò)誤；若直線與直線交于點(diǎn)P，則由，平面，得平面，同理平面，又平面平面，∴則P，A，C三點(diǎn)共線，說(shuō)法③正確；說(shuō)法中正確的有2個(gè).故選：C【變式2】如圖，在正方體中，已知是的中點(diǎn)，且直線交平面于點(diǎn)，點(diǎn)的位置關(guān)系是．

【答案】共線【分析】根據(jù)圖示可得三點(diǎn)，，在平面與平面的交線上，則可得答案.【詳解】∵，平面，∴平面，∵為中點(diǎn)，∴為中點(diǎn)，∴，平面，∴平面.∴是平面和平面的公共點(diǎn)；同理可得，點(diǎn)和都是平面和平面的公共點(diǎn)，∴三點(diǎn)，，在平面與平面的交線上，即，，三點(diǎn)共線.

【變式3】如圖所示，在平面外，三邊AB，AC，BC所在直線分別交平面于P，Q，R三點(diǎn)．求證：P，Q，R三點(diǎn)在同一直線上．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)平面的性質(zhì)分析可知點(diǎn)P，Q，R均在平面ABC與平面的交線上，即可得結(jié)果.【詳解】由，可知點(diǎn)，且平面ABC，可知點(diǎn)平面ABC，又，所以點(diǎn)P在平面ABC與平面的交線上，同理可得：點(diǎn)Q，R均在平面ABC與平面的交線上，所以P，Q，R三點(diǎn)共線．【變式4】平面中有和和三直線交于一點(diǎn)，若對(duì)應(yīng)邊所在的直線都相交，則三個(gè)交點(diǎn)共線．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)題意，分和不在同一平面內(nèi)與在一個(gè)平面內(nèi)討論，結(jié)合三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，即可證明.【詳解】證明：如圖1，先考慮和不在同一平面內(nèi)，則由條件知，它們可構(gòu)成一個(gè)三棱錐，而是它的一個(gè)截面，且和的對(duì)應(yīng)邊所在的直線都相交．

設(shè)與交于點(diǎn)，則平面平面，∴點(diǎn)必落在平面與平面的交線上，同理，與的交點(diǎn)，與的交點(diǎn)都落在平面與平面的交線上，∴三對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)共線．只要選取適當(dāng)?shù)耐队胺较?，便得到一個(gè)如圖2所示的圖形（投影圖），從而原問(wèn)題獲證．

證明三點(diǎn)共線的方法題型05三線共點(diǎn)問(wèn)題【典例1】已知在正方體中，E、F分別為、的中點(diǎn)，，．求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；(2)若交平面DBFE于R點(diǎn)，則P、Q、R三點(diǎn)共線；(3)DE、BF、三線交于一點(diǎn)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先證明兩直線平行，再根據(jù)兩平行線可確定一平面證明共面；（2）結(jié)合面面交線證明三點(diǎn)共線；（3）根據(jù)面面相交于一條直線，再證明三線交于一點(diǎn)；【詳解】（1）證明：因?yàn)镋F是的中位線，所以．在正方體中，，所以．所以EF、BD確定一個(gè)平面，即D、B、F、E四點(diǎn)共面．（2）在正方體中，設(shè)平面為、平面BDEF為．因?yàn)?，所以．又，所以．所以Q是與的公共點(diǎn)．同理，P也是與的公共點(diǎn)．所以．又，所以，，且．則，故P、Q、R三點(diǎn)共線．（3）因?yàn)榍?，所以DE與BF相交，設(shè)交點(diǎn)為M，則由，平面，得平面，同理，點(diǎn)平面．又平面平面，所以．所以DE、BF、三線交于一點(diǎn)M．【變式1】如圖，已知分別是正方體的棱、、、的中點(diǎn)，且與相交于點(diǎn)．求證：點(diǎn)在直線上．

【答案】證明見(jiàn)解析【分析】通過(guò)證明在平面與平面的交線上，來(lái)證得在直線上.【詳解】平面平面，由于平面，平面，所以，也即點(diǎn)在直線上.

【變式2】如圖，在長(zhǎng)方體中，、分別是和的中點(diǎn)．(1)證明：、、、四點(diǎn)共面；(2)對(duì)角線與平面交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)共線；(3)證明：、、三線共點(diǎn)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）證明，即可說(shuō)明、、、四點(diǎn)共面.（2）先證明點(diǎn)面和面，即點(diǎn)在面與面的交線上在證明面面，即點(diǎn)，即可得到答案.（3）延長(zhǎng)交于,由于面面，則在交線上.【詳解】（1）連接在長(zhǎng)方體中、分別是和的中點(diǎn)、、、四點(diǎn)共面（2）確定一個(gè)平面面面對(duì)角線與平面交于點(diǎn)面在面與面的交線上面且面面面即點(diǎn)共線.（3）延長(zhǎng)交于面面面面面面、、三線共點(diǎn).【變式3】如圖，已知分別是正方體的棱的中點(diǎn)，.證明：直線交于同一點(diǎn)；【答案】證明見(jiàn)解析【分析】先證明，可推得相交于點(diǎn)，再證明即可.【詳解】在正方體中，連接，由，得四邊形是平行四邊形，則，由分別是的中點(diǎn)，得，則，即四點(diǎn)共面，而，則相交，設(shè)交點(diǎn)為，則，而平面，則平面，同理平面，而平面平面則，即點(diǎn)在直線上，所以直線交于同一點(diǎn).【變式4】如圖，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，且．求證：直線相交于一點(diǎn)．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】連接EF，GH，先證明，且，從而得到EH與FG相交，設(shè)交點(diǎn)為P，再證明，進(jìn)而即可結(jié)論．【詳解】如圖所示，連接EF，GH，由H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，則，且，又，則，且，所以，且，所以EH與FG相交，設(shè)交點(diǎn)為P，又，平面ABD，則平面ABD，同理平面BCD，又平面平面，則，所以直線相交于一點(diǎn)．證明三線共點(diǎn)的步驟題型06平面分空間問(wèn)題【典例1】1個(gè)平面把空間分成2部分，2個(gè)平面把空間分成3或4部分，3個(gè)平面把空間分成幾部分？【答案】3個(gè)平面可將空間分成4、6、7、8部分【分析】通過(guò)畫(huà)圖即可得答案.【詳解】當(dāng)3個(gè)平面互相平行時(shí)，可將空間分為4個(gè)部分，如圖，當(dāng)3個(gè)平面交于一條直線或第三個(gè)平面分別交兩個(gè)平行平面時(shí)，可將空間分為6個(gè)部分，如圖，當(dāng)3個(gè)平面兩兩相交且交線互相平行時(shí)，可將空間分為7個(gè)部分，如圖，當(dāng)3個(gè)平面如上圖所示的兩兩相交時(shí)，可將空間分為8部分，如圖，因此3個(gè)平面可將空間分為4、6、7、8個(gè)部分.【變式1】?jī)蓚€(gè)平面最多可以將空間分成部分.【答案】4【分析】對(duì)兩個(gè)平面的位置關(guān)系情況進(jìn)行討論，得出其將空間分成幾部分，比較所得的結(jié)果即可得到最多可分成幾部分.【詳解】?jī)蓚€(gè)平面的位置關(guān)系是平行與相交，若兩個(gè)平面平行，則可將空間分成三部分，若兩個(gè)平面相交，可將空間分成四部分.故答案為：4.【變式2】空間四個(gè)平面最多能把空間分成部分．【答案】15【分析】根據(jù)平面與平面的位置關(guān)系，結(jié)合題意，從而可得到結(jié)果．【詳解】三個(gè)平面兩兩相交于三條直線，且三條直線交于一點(diǎn)時(shí)，可以把空間分成8部分，再作一個(gè)平面，與三個(gè)平面都相交，且與這三個(gè)平面能?chē)梢粋€(gè)三棱錐，如圖所示，將各平面無(wú)限延展，此時(shí)可以把空間分成15部分，故答案為：15．

【變式3】三個(gè)平面把空間分成7部分時(shí)，它們的交線有條．【答案】3【分析】畫(huà)出把空間分成7部分時(shí)的三個(gè)平面，可知它們的交線情況，從而解決問(wèn)題．【詳解】解：根據(jù)題意，三個(gè)平面把空間分成7部分，此時(shí)三個(gè)平面兩兩相交，且有三條平行的交線．故答案為：3．【變式4】用硬紙板作為平面的模型，擺出三個(gè)平面兩兩相交各種不同的情況．【答案】詳見(jiàn)解析【分析】直接畫(huà)圖即可.【詳解】有如下三種情況：

題型07由平面的基本性質(zhì)做截面圖【典例1】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為a，M、N分別是、AD的中點(diǎn)，P在上且滿足，過(guò)M、N、P三點(diǎn)作正方體的截面．

【答案】答案見(jiàn)解析【分析】根據(jù)作截面的基本邏輯：找截點(diǎn)→連截線→圍截面即可求解.【詳解】如圖，

連接MP并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于E，連接NE交BC于G，連接PG，延長(zhǎng)PM交的延長(zhǎng)線于F，連接NF交于H，連接MH，則五邊形MHNGP為過(guò)M、N，P三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面．【變式1】如圖，在三棱錐中，棱的中點(diǎn)為，棱的中點(diǎn)為，棱的中點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)、、的截面一定是（

）A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四邊形【答案】D【分析】作出輔助線，得到，所以四邊形為平行四邊形，求出經(jīng)過(guò)、、的截面為平行四邊形.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槔獾闹悬c(diǎn)為，棱的中點(diǎn)為，棱的中點(diǎn)為，所以，，故，所以四邊形為平行四邊形，故經(jīng)過(guò)、、的截面為平行四邊形.故選：D【變式2】如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)K在棱A1B1上運(yùn)動(dòng)，過(guò)A，C，K三點(diǎn)作正方體的截面，若K為棱A1B1的中點(diǎn)，則截面的面積為．【答案】【詳解】如圖，取B1C1的中點(diǎn)M，連接KM，MC，易證四邊形KMCA為等腰梯形，上底KM＝，下底AC＝，腰長(zhǎng)AK＝MC＝，則其高為KH＝，所以計(jì)算可得其面積為.【考查意圖】判斷截面圖形的形狀，截面的面積．【變式3】如圖所示的正方體中，是棱上的一點(diǎn)，試說(shuō)明、、三點(diǎn)確定的平面與平面相交，并畫(huà)出這兩個(gè)平面的交線.【答案】答案見(jiàn)解析【分析】延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，利用平面的性質(zhì)可知面與平面的交線為.【詳解】解：延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則平面與平面的交線為，證明如下：因?yàn)?，平面，則平面，，平面，平面，又因?yàn)闉槠矫婧推矫娴墓颤c(diǎn)，則平面與平面的交線為.【變式4】如圖，已知在正三棱柱中，，且點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作三棱柱截面交于點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度；【答案】【分析】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，再利用相似三角形求解即可.【詳解】由正三棱柱中，，又因?yàn)辄c(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，可得，如圖所示，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則四邊形為所求截面，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于，因?yàn)?，所以，又所以，所以，則.題型08畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖【典例1】如圖所示，在中，，邊上的高．(1)畫(huà)出水平放置的的直觀圖；(2)求直觀圖的面積．【答案】(1)作圖見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出直觀圖即可；（2）作，為垂足，求出即可求解．【詳解】（1）①以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖①，②畫(huà)出對(duì)應(yīng)的，軸，使，在軸上取點(diǎn)，，使，，在軸上取點(diǎn)，使，連接，，則即為的直觀圖，如圖②．（2）在圖②中，作，為垂足，，，，．【變式1】如圖，已知等腰三角形，則如圖所示①②③④的四個(gè)圖中，可能是的直觀圖的有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】按照直觀圖的概念依次判斷即可.【詳解】等腰三角形畫(huà)成直觀圖后，原來(lái)的腰長(zhǎng)不相等，①②不正確，③為的直觀圖，④為的直觀圖.

故可能是的直觀圖的有：③④.故選：B.【變式2】如下圖，已知圖2為甲同學(xué)用斜二測(cè)畫(huà)法作出的在平面直角坐標(biāo)系中正五邊形（見(jiàn)圖1）的直觀圖即五邊形，且保持坐標(biāo)軸上的單位長(zhǎng)度不變，其中各點(diǎn)的作法可能正確的為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，即可得出結(jié)論.【詳解】斜二側(cè)畫(huà)直觀圖時(shí)，平行或與x軸重合的線段長(zhǎng)度不變，則長(zhǎng)度不變，平行或與y軸重合的線段長(zhǎng)度減半，則減掉一半，線段對(duì)應(yīng)線段也會(huì)縮小，如圖所示：所以的對(duì)應(yīng)點(diǎn)畫(huà)對(duì)了,的對(duì)應(yīng)點(diǎn)畫(huà)錯(cuò)了.故選：C.【變式3】畫(huà)出如圖水平放置的直角梯形OABC的直觀圖．

【答案】作圖見(jiàn)解析【分析】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，然后取，畫(huà)出軸和軸；根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的原則，平行于軸的線段長(zhǎng)度不變，平行于軸的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的，由此可見(jiàn)得到直觀圖.【詳解】第一步：已知的直角梯形中，以底邊所在直線為軸，垂直于的腰所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，畫(huà)相應(yīng)的軸和軸，使,第二步：在軸上截取，在軸上截取，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，在沿軸正方向取點(diǎn)，使得，連接,第三步：所得四邊形就是直角梯形的直觀圖.

【變式4】在水平放置的平面上有一個(gè)邊長(zhǎng)為3cm的正三角形，請(qǐng)畫(huà)出其直觀圖．【答案】答案見(jiàn)解析【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，作出平面圖形，建立平面直角坐標(biāo)系，畫(huà)出對(duì)應(yīng)斜二測(cè)坐標(biāo)系，確定多邊形各頂點(diǎn)在直觀圖中對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)，連線可得直觀圖；【詳解】解：如圖①所示，以邊所在的直線為軸，以邊的高線所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

畫(huà)對(duì)應(yīng)的軸、軸，使，在軸上截取，在軸上截取，連接、、，則即為等邊的直觀圖，如圖③所示.題型09直觀圖與原圖中的相關(guān)計(jì)算問(wèn)題【典例1】如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形，其中，，，，則平面圖形的面積為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由直觀圖還原幾何圖形、斜二測(cè)畫(huà)法中有關(guān)量的計(jì)算【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法將直觀圖還原為平面圖即可.【詳解】由題意，在直角梯形中，，則，故直角梯形的面積為，故答案為：．【變式1】用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)三角形OAB的直觀圖，如圖所示，已知，，則（

）A． B．2 C． D．4【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】斜二測(cè)畫(huà)法中有關(guān)量的計(jì)算【分析】由題意，借助于等腰直角三角形，求得，再根據(jù)在軸上即可求得其長(zhǎng).【詳解】在斜坐標(biāo)系中，因，，且，則，因在軸上，故在軸上，且.故選：D.【變式2】用“斜二測(cè)畫(huà)法”畫(huà)水平放置的長(zhǎng)為6，寬為4的矩形，則其直觀圖的面積為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】斜二測(cè)畫(huà)法中有關(guān)量的計(jì)算【分析】作出直觀圖，利用平行四邊形的面積公式即可求解.【詳解】在矩形中，，作出其斜二測(cè)直觀圖，如下圖所示：由題意可知或，由斜二測(cè)畫(huà)法可知，四邊形是平行四邊形，故矩形的直觀圖的面積為（或）.故答案為：.【變式3】如圖是三角形用斜二測(cè)畫(huà)法得到的水平直觀圖三角形，其中軸，軸，若三角形的面積是．則三角形的面積是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】斜二測(cè)畫(huà)法中有關(guān)量的計(jì)算【分析】利用結(jié)論平面圖形的直觀圖面積與原圖面積之比為，結(jié)合三角形的面積是求結(jié)論.【詳解】因?yàn)槠矫鎴D形的直觀圖面積與原圖面積之比為，所以，又，所以.故三角形的面積是．故答案為：.【變式4】已知等邊的平面直觀圖的面積為，則等邊的面積是.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】斜二測(cè)畫(huà)法中有關(guān)量的計(jì)算【詳解】利用斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面直觀圖的面積等于原圖形面積乘以，結(jié)合已知即可求解.【解答】由于原圖和直觀圖面積之間的關(guān)系，可得，所以原的面積.故答案為：.1．用數(shù)學(xué)符號(hào)表示“直線在平面上”為．【答案】【分析】由線面關(guān)系的符號(hào)表示即可得解.【詳解】“直線在平面上”的符號(hào)表示為.故答案為：2．“一個(gè)點(diǎn)和一條直線確定一個(gè)平面”是命題.（填“真”、“假”）【答案】假【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)即得.【詳解】當(dāng)點(diǎn)在直線上不能確定一個(gè)平面，故此命題為假命題.故答案為：假.3．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的正方形的直觀圖如圖，若在直觀圖中，則.

【答案】2【分析】根據(jù)給定條件，利用斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則求出結(jié)論.【詳解】如圖，在直觀圖中，則.故答案為：24．如圖所示，是用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的的直觀圖，其中，則的面積為.【答案】【分析】利用原圖和直觀圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系將直觀圖還原，即可得到原三角形的面積.【詳解】如圖，將直觀圖還原，則，的面積為.故答案為：2.5．用集合符號(hào)表述下列語(yǔ)句，并將語(yǔ)句所描述的圖形畫(huà)在圖中：

（1）點(diǎn)A在平面上：；（2）平面經(jīng)過(guò)直線AC：；（3）點(diǎn)B不在平面上：；（4）直線BC平行于平面：．【答案】，

【分析】略【詳解】略6．三條直線兩兩平行可以確定個(gè)平面．【答案】1或3【分析】需要注意三條平行線的位置關(guān)系，若這三條直線在同一個(gè)平面上，則可以確定一個(gè)平面，若這三條直線像三棱柱的三條側(cè)棱，則可以確定3個(gè)平面，得到結(jié)果．【詳解】解：三條直線兩兩平行，若這三條直線在同一個(gè)平面上，則可以確定1個(gè)平面，若這三條直線像三棱柱的三條側(cè)棱，則可以確定3個(gè)平面，綜上所述可以確定一個(gè)或三個(gè)平面，故答案為：1或3．7．用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，截面的形狀是五邊形，則此幾何體可能是（填上所有滿足條件的幾何體的序號(hào)）①正三棱柱；②正方體；③正三棱錐；④正四棱錐；⑤圓柱；⑥圓錐；⑦圓臺(tái)【答案】①②④【分析】根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及平面的性質(zhì)作出判斷.【詳解】①正三棱柱的截面可以是五邊形，如下圖所示：②正方體的截面可以是五邊形，如