2/22第10章空間直線與平面（高效培優(yōu)單元測試·提升卷）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．如圖，在三棱柱中，E是棱的中點(diǎn)，D是棱BC上一點(diǎn)．若平面ADE，則的值為．【答案】2【分析】連接相交于，根據(jù)線面平行的性質(zhì)及可得答案.【詳解】連接相交于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，平面，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，則，即.故答案為：2.2．設(shè)，為不重合的平面，，，，為不重合的直線，則其中正確命題的序號(hào)為．①若，，則②若，，則③若，，則；③若，，，則；【答案】①【分析】利用平行公理判斷①；利用線面、面面位置關(guān)系判斷②③④.【詳解】對(duì)于①，若，則，①正確；對(duì)于②，由，得與平行或相交或者是異面直線，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由，得或，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由，得或與是異面直線，④錯(cuò)誤，所以正確命題的序號(hào)為①.故答案為：①3．如圖，設(shè)為正方形所在平面外一點(diǎn)，平面則點(diǎn)到直線的距離為.【答案】【分析】要求點(diǎn)到直線的距離，需要作出，然后計(jì)算即可.【詳解】作于，因?yàn)槠矫嫫矫嫠?，因?yàn)樗裕驗(yàn)檎叫芜呴L為，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.4．在四面體中，，，、分別為、的中點(diǎn)，則直線與所成角的大小為．【答案】【分析】首先作出輔助線，根據(jù)平行關(guān)系找出直線與所成的角，然后根據(jù)垂直關(guān)系和線段關(guān)系求出該角的值.【詳解】取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以.又，所以.所以直線與所成角為.在直角三角形中，因?yàn)椋?故答案為：.5．在正六棱錐中，直線過，，，，，中的兩個(gè)不同的點(diǎn)，已知與直線所成角最小，則滿足條件的直線的條數(shù)為條.【答案】3【分析】作出圖形，結(jié)合題意運(yùn)用正棱錐的性質(zhì)、直線與平面所成角的性質(zhì)，找出滿足條件的直線的位置，進(jìn)而可得本題答案．【詳解】設(shè)點(diǎn)為底面正六邊形的中心，連接、，可得是直線與底面所成的角，由直線與平面所成角的性質(zhì)，可知是底面內(nèi)的直線與所成角的最小值，顯然直線即為滿足題意的直線，由正六邊形的性質(zhì)，可知，所以、的所在直線與直線所成角都相等，綜上所述，當(dāng)與所成角為最小值時(shí)，滿足條件的直線有、、，共3條.故答案為：36．如圖所示，表示水平放置的在斜二測畫法下的直觀圖，在軸上，與軸垂直，且，則的邊上的高為．【答案】6【分析】過作，結(jié)合斜二測的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】過作，則，∵與軸垂直，且，∴，則的邊上的高等于，故答案為：7．如圖，在邊長為的正方體中，為的中點(diǎn)，過、、作正方體的截面，則截面面積為.【答案】/【分析】首先根據(jù)平行的性質(zhì)，作出平面，再求面積.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以，則平面為平面，且四邊形為截面四邊形，為等腰梯形，，，，所以梯形的高，所以梯形的面積.故答案為：8．在四棱錐中，平面，，，與平面所成角為，底面為直角梯形，，則點(diǎn)到平面的距離為.【答案】/【分析】利用線面角的定義求得，進(jìn)而求得，再利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理證得平面，從而得解.【詳解】在平面中過作，垂足為，因?yàn)槠矫?，所以為與平面所成角，則，又平面，所以，，又，所以，，，因?yàn)?，則，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，又，平面，所以平面，所以為點(diǎn)到平面的距離，即所求為.故答案為：.9．將邊長為2的正方形沿著對(duì)角線折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，得到三棱錐，點(diǎn)平面，且，若，則點(diǎn)的軌跡長度為.【答案】【分析】首先作輔助線，取棱的中點(diǎn)，連接，先證明平面平面，利用余弦定理求出的三角函數(shù)值，然后過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，根據(jù)垂直關(guān)系和勾股定理求出的值，從而可以確定點(diǎn)的軌跡為圓，最后根據(jù)圓的周長公式求出其軌跡長度即可.【詳解】取棱的中點(diǎn)，連接，則，又平面，則平面，由平面，得平面平面.在中，，由余弦定理得，為鈍角，且.在平面內(nèi)過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，而平面平面，于是平面，連接，又平面，則.在中，.在中，，因此點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，所以其軌跡長度為.故答案為：.10．已知二面角的大小為，二面角內(nèi)一點(diǎn)到平面的距離分別為3和5，則到的距離為.【答案】/【分析】根據(jù)給定條件，作出二面角的平面角，利用余弦定理、正弦定理求解即得.【詳解】令于，于，平面，則，由，得，又是平面內(nèi)的兩條相交直線，則平面，又平面，于是，是二面角的平面角，，則，在中，由余弦定理得，而到的距離是四邊形外接圓直徑，所以.故答案為：11．刻畫空間彎曲性是空間幾何研究的重要內(nèi)容，我們常用曲率來刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面角的角度用弧度制）．例如：正四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為，則其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為．若正四棱錐的側(cè)面與底面所成二面角的正切值為，則四棱錐在頂點(diǎn)S處的曲率為．【答案】【分析】如圖，連接，設(shè)，連接，取的中點(diǎn)，連接，利用正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征得到為側(cè)面與底面所成的角，進(jìn)而利用勾股定理推得正四棱錐的每個(gè)側(cè)面均為正三角形，從而利用“曲率”的定義即可得解.【詳解】如圖，連接，設(shè)，連接，則平面，取的中點(diǎn)，連接，則由正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征可知，，所以為側(cè)面與底面所成的角，設(shè)，則，在中，，所以，又，所以，所以正四棱錐的每個(gè)側(cè)面均為正三角形，所以頂點(diǎn)的每個(gè)面角均為，故正四棱錐在頂點(diǎn)處的曲率為.故答案為：.12．如圖，矩形，，，分別是，的中點(diǎn)，將平面沿折起，使得二面角的大小為．在折起后形成的空間圖形中，有如下個(gè)結(jié)論：①平面平面；②四邊形是正方形；③直線和所成角的正切值是．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①②③【分析】對(duì)①，由題可得平面，得證；對(duì)②，由題可得即為二面角的平面角，則，結(jié)合平面，且，且，得證；對(duì)③，由題得即直線與所成的角，利用余弦定理求出，進(jìn)而求得，得解.【詳解】如圖，設(shè)，則，因?yàn)?，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面，故①正確；因?yàn)?，平面，平面，所以即為二面角的平面角，即，所以，因?yàn)?，所以平面，則，又，且，所以四邊形是正方形，故②正確；連接，則，又，因?yàn)椋约粗本€與所成的角，，故，所以，即直線與所成角的正切值為，故③正確.綜上，正確的有①②③.故答案為：①②③.二、選擇題(本題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng))13．已知是三個(gè)不同的平面，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由面面的位置關(guān)系以及充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】若，，則，故是充分條件，反之，若，，則或與相交，故不是必要條件.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A14．如圖，在四面體中，，，且，D為四面體外一點(diǎn)，要使，需要添加的條件是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】取的中點(diǎn)，連接，證明出平面，要使，其中平面，故需平面，只需，又為的中點(diǎn)，故時(shí)，滿足要求.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，要使，其中平面，故需平面，連接，則平面，故只需，又為的中點(diǎn)，故時(shí)，滿足要求.故選：C.15．如圖，在正方體中，為底面的中心，為所在棱的中點(diǎn)，，為正方體的頂點(diǎn)，則滿足的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】由異面直線夾角的定義逐個(gè)判斷即可.【詳解】對(duì)于A：如圖：連接，

由正方體的性質(zhì)可得：，在矩形中，顯然不成立，所以不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于B：

如圖取中點(diǎn)，連接，由正方體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，結(jié)合，可得平面，又平面，所以，在正方形中，因?yàn)椋?，又為平面?nèi)兩條相交直線，所以平面，又平面，所以，故B正確；對(duì)于C：

如圖，取的中點(diǎn)，連接，在正方體中可知：，所以為平行四邊形，所以，在正方形中，可知，所以不成立，即不成立，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D：

如圖，取的中點(diǎn)，連接，由中位線可知，又在正方體中可知：，所以，設(shè)正方體的棱長為2，可得：，則，所以不成立，即不成立，故D錯(cuò)誤.故選：B.16．已知棱長為4的正方體，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且平面，則的長度最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)作出平面平面，即可得到點(diǎn)的軌跡為線段，然后利用等面積法即可求最小值.【詳解】取上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，連接、，由是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，易得，則平面，取、中點(diǎn)、，取上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，連接、、、，由正方體的性質(zhì)易得，，則，又平面，平面，所以平面，同理，平面，又，，平面，故平面平面，又平面，平面，故，即點(diǎn)的軌跡為線段，設(shè)點(diǎn)到的距離為，有，故，故的長度最小值為.故選：D.三、解答題(本大題共有5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20、21題每題18分.)17．如圖，在四棱錐中，底面，四邊形ABCD是平行四邊形且，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，(1)求證：平面;(2)求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，證明四邊形是平行四邊形，再結(jié)合線面平行的判定定理即可證明；（2）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定求證平面得解.【詳解】（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為，，的中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)椋?，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所?因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）由于底面，底面，則，又四邊形ABCD是平行四邊形且，故,平面，故平面，平面，故.18．如圖，已知三棱臺(tái)中，平面平面、是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且，．(1)證明：平面；(2)若的中點(diǎn)為，求直線與平面所成角的大?。敬鸢浮?1)證明過程見解析(2)【分析】（1）通過余弦定理求出邊長，根據(jù)勾股定理的逆定理證明線線的垂直關(guān)系，通過面面垂直的性質(zhì)定理，說明線面垂直.（2）找出線面角的平面角，計(jì)算線面角的平面角的三角函數(shù)值，求出線面角大小.【詳解】（1）在三棱臺(tái)中，，，在等腰梯形中，，由余弦定理得：，則，即，而平面平面，平面平面平面，所以平面.（2）過作，垂足為，因?yàn)槠矫?，又因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)?，，平面，所以平面，平面，得，又因?yàn)?，平面，所以平面，可得為與平面所在角，由等面積法可得，即，解得，由于點(diǎn)是直角三角形斜邊的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)闉殇J角，所以，所以與平面所成角為.19．已知斜三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱與底面所成角的大小為，，且側(cè)面底面．(1)求二面角的正切值；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)．(2)．【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作，連接，證得是二面角的平面角．再利用題設(shè)條件計(jì)算即可；（2）過點(diǎn)作，證明是點(diǎn)到平面的距離，在中，求得，長，得點(diǎn)到平面的距離為.【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)作，垂足為，連接，∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，側(cè)面，底面，為與底面的所成角，即，∵，∴，∵是正三角形，，∴，，，，側(cè)面底面，側(cè)面底面，底面，所以側(cè)面，∵側(cè)面，.過點(diǎn)作，連接，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，是二面角的平面角．在中，，，所以，二面角的正切值為．?）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.過點(diǎn)作，垂足為．由（1）知平面，平面，，∵平面，平面，是點(diǎn)到平面的距離，即．在中，，．設(shè)點(diǎn)，到平面的距離分別為，連接與相交于點(diǎn)，則是的中點(diǎn)，則．又是的中點(diǎn)，，所以則點(diǎn)到平面的距離．20．如圖1，已知等邊三角形的邊長為，，分別是，上的點(diǎn)，且，將沿折起到的位置，得到如圖2所示的四棱錐．(1)證明：．(2)在棱上是否存在點(diǎn)滿足平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說出理由．(3)已知二面角的大小是，點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包括邊界），且，當(dāng)直線與直線的夾角的余弦值最大時(shí)，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)存在，(3)．【分析】（1）利用余弦定理求出，利用勾股定理證明線線垂直，再結(jié)合線面垂直的判定定理即可證明；（2）利用面面平行的判定定理及性質(zhì)定理即可求解；（3）根據(jù)二面角、線面角的定義，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可得點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】（1）在中，，，由余弦定理求得．因?yàn)?，所以．由題中圖2可知，，，，面所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．?）假設(shè)在棱上存在點(diǎn)滿足平面，如圖3，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接．因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，平面，所以平面平面．又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以，所以．又因?yàn)?，所以，從?（3）由（1）可知，，所以二面角的平面角為，則．如圖4，過點(diǎn)作，垂足為，求得．由（1）可知平面，所以平面平面，又平面平面，所以平面．因?yàn)椋傻?，所以點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上．直線與平面所成的角為，直線與直線所成的角最小為，此時(shí)，，，，在中，由余弦定理求得．21．離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標(biāo)．設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為，其中為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，…，平面和平面為多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面．已知三棱錐如圖所示．(1)求三棱錐在各個(gè)頂點(diǎn)處的離散曲率的和；(2)若平面ABC，，，三棱錐在頂點(diǎn)C處的離散曲率為，求點(diǎn)A到平面PBC的距離；(3)在（2）的前提下，又知點(diǎn)Q在棱PB上，直線CQ與平面ABC所成角的余弦值為，求BQ的長度．【答案】(1)2(2)(3)【分析】（1）根據(jù)所給的定義，表示，再相加，即可求解；（2）先根據(jù)題設(shè)中垂直關(guān)系結(jié)合點(diǎn)C處的