2/22第10章空間直線與平面（高效培優(yōu)單元測試·提升卷）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．如圖，在三棱柱中，E是棱的中點，D是棱BC上一點．若平面ADE，則的值為．【答案】2【分析】連接相交于，根據(jù)線面平行的性質及可得答案.【詳解】連接相交于點，連接，因為平面，平面平面，平面，所以，所以，因為，所以，所以，則，即.故答案為：2.2．設，為不重合的平面，，，，為不重合的直線，則其中正確命題的序號為．①若，，則②若，，則③若，，則；③若，，，則；【答案】①【分析】利用平行公理判斷①；利用線面、面面位置關系判斷②③④.【詳解】對于①，若，則，①正確；對于②，由，得與平行或相交或者是異面直線，②錯誤；對于③，由，得或，③錯誤；對于④，由，得或與是異面直線，④錯誤，所以正確命題的序號為①.故答案為：①3．如圖，設為正方形所在平面外一點，平面則點到直線的距離為.【答案】【分析】要求點到直線的距離，需要作出，然后計算即可.【詳解】作于，因為平面平面所以，因為所以，因為正方形邊長為，所以，因為，，所以，所以，所以點到直線的距離為.故答案為：.4．在四面體中，，，、分別為、的中點，則直線與所成角的大小為．【答案】【分析】首先作出輔助線，根據(jù)平行關系找出直線與所成的角，然后根據(jù)垂直關系和線段關系求出該角的值.【詳解】取的中點，連接.因為分別為的中點，所以.又，所以.所以直線與所成角為.在直角三角形中，因為，所以.故答案為：.5．在正六棱錐中，直線過，，，，，中的兩個不同的點，已知與直線所成角最小，則滿足條件的直線的條數(shù)為條.【答案】3【分析】作出圖形，結合題意運用正棱錐的性質、直線與平面所成角的性質，找出滿足條件的直線的位置，進而可得本題答案．【詳解】設點為底面正六邊形的中心，連接、，可得是直線與底面所成的角，由直線與平面所成角的性質，可知是底面內的直線與所成角的最小值，顯然直線即為滿足題意的直線，由正六邊形的性質，可知，所以、的所在直線與直線所成角都相等，綜上所述，當與所成角為最小值時，滿足條件的直線有、、，共3條.故答案為：36．如圖所示，表示水平放置的在斜二測畫法下的直觀圖，在軸上，與軸垂直，且，則的邊上的高為．【答案】6【分析】過作，結合斜二測的性質進行求解即可．【詳解】過作，則，∵與軸垂直，且，∴，則的邊上的高等于，故答案為：7．如圖，在邊長為的正方體中，為的中點，過、、作正方體的截面，則截面面積為.【答案】/【分析】首先根據(jù)平行的性質，作出平面，再求面積.【詳解】如圖，取的中點，連結，，，，因為為的中點，所以，又，所以，則平面為平面，且四邊形為截面四邊形，為等腰梯形，，，，所以梯形的高，所以梯形的面積.故答案為：8．在四棱錐中，平面，，，與平面所成角為，底面為直角梯形，，則點到平面的距離為.【答案】/【分析】利用線面角的定義求得，進而求得，再利用線面垂直的判定與性質定理證得平面，從而得解.【詳解】在平面中過作，垂足為，因為平面，所以為與平面所成角，則，又平面，所以，，又，所以，，，因為，則，又平面，所以平面，因為平面，所以，又，平面，所以平面，所以為點到平面的距離，即所求為.故答案為：.9．將邊長為2的正方形沿著對角線折起，使點到達點的位置，得到三棱錐，點平面，且，若，則點的軌跡長度為.【答案】【分析】首先作輔助線，取棱的中點，連接，先證明平面平面，利用余弦定理求出的三角函數(shù)值，然后過點作交的延長線于點，根據(jù)垂直關系和勾股定理求出的值，從而可以確定點的軌跡為圓，最后根據(jù)圓的周長公式求出其軌跡長度即可.【詳解】取棱的中點，連接，則，又平面，則平面，由平面，得平面平面.在中，，由余弦定理得，為鈍角，且.在平面內過點作交的延長線于點，而平面平面，于是平面，連接，又平面，則.在中，.在中，，因此點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，所以其軌跡長度為.故答案為：.10．已知二面角的大小為，二面角內一點到平面的距離分別為3和5，則到的距離為.【答案】/【分析】根據(jù)給定條件，作出二面角的平面角，利用余弦定理、正弦定理求解即得.【詳解】令于，于，平面，則，由，得，又是平面內的兩條相交直線，則平面，又平面，于是，是二面角的平面角，，則，在中，由余弦定理得，而到的距離是四邊形外接圓直徑，所以.故答案為：11．刻畫空間彎曲性是空間幾何研究的重要內容，我們常用曲率來刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面角的角度用弧度制）．例如：正四面體每個頂點均有3個面角，每個面角均為，則其各個頂點的曲率均為．若正四棱錐的側面與底面所成二面角的正切值為，則四棱錐在頂點S處的曲率為．【答案】【分析】如圖，連接，設，連接，取的中點，連接，利用正四棱錐的結構特征得到為側面與底面所成的角，進而利用勾股定理推得正四棱錐的每個側面均為正三角形，從而利用“曲率”的定義即可得解.【詳解】如圖，連接，設，連接，則平面，取的中點，連接，則由正四棱錐的結構特征可知，，所以為側面與底面所成的角，設，則，在中，，所以，又，所以，所以正四棱錐的每個側面均為正三角形，所以頂點的每個面角均為，故正四棱錐在頂點處的曲率為.故答案為：.12．如圖，矩形，，，分別是，的中點，將平面沿折起，使得二面角的大小為．在折起后形成的空間圖形中，有如下個結論：①平面平面；②四邊形是正方形；③直線和所成角的正切值是．其中所有正確結論的序號是．【答案】①②③【分析】對①，由題可得平面，得證；對②，由題可得即為二面角的平面角，則，結合平面，且，且，得證；對③，由題得即直線與所成的角，利用余弦定理求出，進而求得，得解.【詳解】如圖，設，則，因為，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面，故①正確；因為，平面，平面，所以即為二面角的平面角，即，所以，因為，所以平面，則，又，且，所以四邊形是正方形，故②正確；連接，則，又，因為，所以即直線與所成的角，，故，所以，即直線與所成角的正切值為，故③正確.綜上，正確的有①②③.故答案為：①②③.二、選擇題(本題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個正確選項)13．已知是三個不同的平面，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由面面的位置關系以及充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】若，，則，故是充分條件，反之，若，，則或與相交，故不是必要條件.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A14．如圖，在四面體中，，，且，D為四面體外一點，要使，需要添加的條件是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】取的中點，連接，證明出平面，要使，其中平面，故需平面，只需，又為的中點，故時，滿足要求.【詳解】取的中點，連接，因為，所以，因為，，，平面，所以平面，又平面，所以，因為，平面，所以平面，要使，其中平面，故需平面，連接，則平面，故只需，又為的中點，故時，滿足要求.故選：C.15．如圖，在正方體中，為底面的中心，為所在棱的中點，，為正方體的頂點，則滿足的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】由異面直線夾角的定義逐個判斷即可.【詳解】對于A：如圖：連接，

由正方體的性質可得：，在矩形中，顯然不成立，所以不成立，故錯誤；對于B：

如圖取中點，連接，由正方體的結構特點，結合，可得平面，又平面，所以，在正方形中，因為，所以，又為平面內兩條相交直線，所以平面，又平面，所以，故B正確；對于C：

如圖，取的中點，連接，在正方體中可知：，所以為平行四邊形，所以，在正方形中，可知，所以不成立，即不成立，故C錯誤，對于D：

如圖，取的中點，連接，由中位線可知，又在正方體中可知：，所以，設正方體的棱長為2，可得：，則，所以不成立，即不成立，故D錯誤.故選：B.16．已知棱長為4的正方體，點是棱的中點，點是棱的中點，動點在正方形（包括邊界）內運動，且平面，則的長度最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點作出平面平面，即可得到點的軌跡為線段，然后利用等面積法即可求最小值.【詳解】取上靠近點的四等分點，連接、，由是棱的中點，點是棱的中點，易得，則平面，取、中點、，取上靠近點的四等分點，連接、、、，由正方體的性質易得，，則，又平面，平面，所以平面，同理，平面，又，，平面，故平面平面，又平面，平面，故，即點的軌跡為線段，設點到的距離為，有，故，故的長度最小值為.故選：D.三、解答題(本大題共有5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20、21題每題18分.)17．如圖，在四棱錐中，底面，四邊形ABCD是平行四邊形且，M，N分別是AB，PC的中點，(1)求證：平面;(2)求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）取的中點，連接，證明四邊形是平行四邊形，再結合線面平行的判定定理即可證明；（2）根據(jù)線面垂直的性質可得，進而根據(jù)線面垂直的判定求證平面得解.【詳解】（1）證明：如圖，取的中點，連接，因為分別為，，的中點，所以，，又因為，，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以.因為平面，平面，所以平面.（2）由于底面，底面，則，又四邊形ABCD是平行四邊形且，故,平面，故平面，平面，故.18．如圖，已知三棱臺中，平面平面、是以為直角頂點的等腰直角三角形，且，．(1)證明：平面；(2)若的中點為，求直線與平面所成角的大小．【答案】(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）通過余弦定理求出邊長，根據(jù)勾股定理的逆定理證明線線的垂直關系，通過面面垂直的性質定理，說明線面垂直.（2）找出線面角的平面角，計算線面角的平面角的三角函數(shù)值，求出線面角大小.【詳解】（1）在三棱臺中，，，在等腰梯形中，，由余弦定理得：，則，即，而平面平面，平面平面平面，所以平面.（2）過作，垂足為，因為平面，又因為平面，所以，又因為，，平面，所以平面，平面，得，又因為，平面，所以平面，可得為與平面所在角，由等面積法可得，即，解得，由于點是直角三角形斜邊的中點，所以，所以，因為為銳角，所以，所以與平面所成角為.19．已知斜三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，側棱與底面所成角的大小為，，且側面底面．(1)求二面角的正切值；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)．(2)．【分析】（1）取的中點，連接，，過點作，連接，證得是二面角的平面角．再利用題設條件計算即可；（2）過點作，證明是點到平面的距離，在中，求得，長，得點到平面的距離為.【詳解】（1）如圖，過點作，垂足為，連接，∵側面底面，側面底面，側面，底面，為與底面的所成角，即，∵，∴，∵是正三角形，，∴，，，，側面底面，側面底面，底面，所以側面，∵側面，.過點作，連接，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，是二面角的平面角．在中，，，所以，二面角的正切值為．（2）設點到平面的距離為.過點作，垂足為．由（1）知平面，平面，，∵平面，平面，是點到平面的距離，即．在中，，．設點，到平面的距離分別為，連接與相交于點，則是的中點，則．又是的中點，，所以則點到平面的距離．20．如圖1，已知等邊三角形的邊長為，，分別是，上的點，且，將沿折起到的位置，得到如圖2所示的四棱錐．(1)證明：．(2)在棱上是否存在點滿足平面？若存在，求出的值；若不存在，請說出理由．(3)已知二面角的大小是，點在四邊形內（包括邊界），且，當直線與直線的夾角的余弦值最大時，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)存在，(3)．【分析】（1）利用余弦定理求出，利用勾股定理證明線線垂直，再結合線面垂直的判定定理即可證明；（2）利用面面平行的判定定理及性質定理即可求解；（3）根據(jù)二面角、線面角的定義，結合面面垂直的性質定理可得點在以為圓心，2為半徑的圓上，結合余弦定理即可求解.【詳解】（1）在中，，，由余弦定理求得．因為，所以．由題中圖2可知，，，，面所以平面，因為平面，所以．（2）假設在棱上存在點滿足平面，如圖3，過點作，交于點，連接．因為，所以平面，又因為平面，，平面，所以平面平面．又因為平面平面，平面平面，所以，所以．又因為，所以，從而.（3）由（1）可知，，所以二面角的平面角為，則．如圖4，過點作，垂足為，求得．由（1）可知平面，所以平面平面，又平面平面，所以平面．因為，可得，所以點在以為圓心，2為半徑的圓上．直線與平面所成的角為，直線與直線所成的角最小為，此時，，，，在中，由余弦定理求得．21．離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標．設P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為，其中為多面體M的所有與點P相鄰的頂點，且平面，平面，…，平面和平面為多面體M的所有以P為公共點的面．已知三棱錐如圖所示．(1)求三棱錐在各個頂點處的離散曲率的和；(2)若平面ABC，，，三棱錐在頂點C處的離散曲率為，求點A到平面PBC的距離；(3)在（2）的前提下，又知點Q在棱PB上，直線CQ與平面ABC所成角的余弦值為，求BQ的長度．【答案】(1)2(2)(3)【分析】（1）根據(jù)所給的定義，表示，再相加，即可求解；（2）先根據(jù)題設中垂直關系結合點C處的