2/37專題1.2頻率與概率+隨機(jī)事件的獨(dú)立性教學(xué)目標(biāo)①通過實驗讓學(xué)生理解當(dāng)試驗次數(shù)較大時，實驗頻率穩(wěn)定在某一常數(shù)附近，并據(jù)此能估計出某一事件發(fā)生的頻率。②理解隨機(jī)模擬試驗出現(xiàn)地意義。③理解兩個事件相互獨(dú)立的概念。④能進(jìn)行一些與事件獨(dú)立有關(guān)的概念的計算。教學(xué)重難點教學(xué)重點：①頻率與概率的關(guān)系②頻率與概率的計算③利用隨機(jī)模擬試驗求概率④兩個事件相互獨(dú)立的概念；教學(xué)難點：與事件獨(dú)立有關(guān)的概念的計算；知識點01頻率與概率1.1隨機(jī)事件的頻率在相同的條件下重復(fù)次試驗，觀察某一事件是否出現(xiàn),稱次試驗中事件出現(xiàn)的次數(shù)為事件出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件出現(xiàn)的比例為事件出現(xiàn)的頻率.1.2頻率的特點

隨機(jī)事件在一次試驗中是否發(fā)生具有不確定性，但是，在相同條件下的大量重復(fù)試驗中，它發(fā)生的頻率有以下特點.

①在某次隨機(jī)試驗中，事件發(fā)生的頻率是一個變量，事先是無法確定的.但在大量重復(fù)試驗后，它又具有穩(wěn)定性，即頻率在某個“常數(shù)”附近擺動，并且隨著試驗次數(shù)的增加，擺動的幅度具有越來越小的趨勢.

②有時候試驗也可能出現(xiàn)頻率偏離“常數(shù)”較大的情況，但是隨著試驗次數(shù)的增加，頻率偏離“常數(shù)”的可能性會減小.

③個別隨機(jī)事件在一次試驗中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，但在大量試驗中，它出現(xiàn)的次數(shù)與總試驗次數(shù)之比常常是比較穩(wěn)定的.這種現(xiàn)象稱為頻率的穩(wěn)定性，是隨機(jī)事件內(nèi)在規(guī)律性的反映.1.3頻率的穩(wěn)定性(用頻率估計概率)

大量試驗表明，在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗中，一個隨機(jī)事件發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性.一般地，隨著試驗次數(shù)的增大，頻率偏離概概率的幅度會縮小，即事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率.我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率估計概率.【即學(xué)即練】拋一枚硬幣100次，有49次正面朝上，則事件“反面朝上”的概率和頻率分別是（

）A．0.5，0.5 B．0.51，0.51 C．0.49，0.49 D．0.5，0.51知識點02相互獨(dú)立事件的概念對任意兩個事件與，如果成立，則稱事件與事件相互獨(dú)立(mutuallyindependent)，簡稱為獨(dú)立．性質(zhì)1：必然事件、不可能事件與任意事件相互獨(dú)立性質(zhì)2：如果事件與相互獨(dú)立，則與，與，與也相互獨(dú)立則：，，【即學(xué)即練】依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，A表示事件“第一次拋擲骰子的點數(shù)為2”，B表示事件“第一次拋擲骰子的點數(shù)為奇數(shù)”，C表示事件“兩次拋擲骰子的點數(shù)之和為7”，則（

）A．A與B為相互獨(dú)立事件 B．A與C為互斥事件C．B與C為相互獨(dú)立事件 D．B與C為互斥事件知識點03相互獨(dú)立事件的概率求法已知兩個事件，相互獨(dú)立，它們的概率分別為，，則有事件表示概率，同時發(fā)生，都不發(fā)生，恰有一個發(fā)生，中至少有一個發(fā)生或，中至多有一個發(fā)生或【即學(xué)即練】唐山河頭老街景區(qū)近期持續(xù)火爆出圈．甲、乙2人暑假來此地旅游的概率分別為，，假定2人的行動相互沒有影響，則暑假至少有1人來此地旅游的概率為（

）A． B． C． D．知識點04互斥事件與相互獨(dú)立事件的區(qū)別相互獨(dú)立事件互斥事件判斷方法一個事件發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響兩個事件不可能同時發(fā)生，即概率公式事件與相互獨(dú)立等價于事件與互斥，則【即學(xué)即練】已知，，，則事件與的關(guān)系是（

）A．與互斥不對立 B．與對立C．與相互獨(dú)立 D．與既互斥又獨(dú)立題型01計算頻率【典例1】袋中有10個球，有紅球和黃球兩種類型．小明有放回地取10000次，有6993次取到紅球，有3007次取到黃球，那么紅球最有可能有個．【變式1】在一次拋擲硬幣的試驗中，共擲了100次，“正面朝上”的頻數(shù)為48，則“反面朝上”的頻率為（

）A．48 B．0.48 C．52 D．0.52【變式2】對某班名同學(xué)的一次數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計，如果這一組的頻數(shù)是，那么這個班的學(xué)生這次數(shù)學(xué)測驗，成績在分之間的頻率是（

）A．18 B．0.4 C．0.35 D．0.3【變式3】某同學(xué)拋擲硬幣100次，有51次出現(xiàn)正面.因此出現(xiàn)正面的頻率是.【變式4】從存放號碼分別為的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一張卡片，并記下號碼，統(tǒng)計結(jié)果如下：卡片號碼12345678910取到次數(shù)15105769189129取到號碼為奇數(shù)的頻率為.題型02辨析頻率與概率的關(guān)系【典例1】某人將一枚硬幣連續(xù)擲了10次，6次正面朝上，若事件A表示“拋擲一枚硬幣，正面朝上”，則事件A的（

）A．頻率為，概率為 B．頻率為，概率為C．頻率為，概率為 D．頻率為，概率為【變式1】下列說法中正確的是（

）A．隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個隨機(jī)事件發(fā)生的概率B．在n次隨機(jī)試驗中，一個隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有確定性C．在同一次試驗中，每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的頻率之和不一定等于1D．隨著試驗次數(shù)n的增大，一個隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率【變式2】某同學(xué)做立定投籃訓(xùn)練，共3組，每組投籃次數(shù)和命中的次數(shù)如下表：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)信息，用頻率估計一次投籃命中的概率，誤差較小的可能性的估計是（

）第一組第二組第三組合計投籃次數(shù)100200300600命中的次數(shù)66126183375命中的頻率0.660.630.610.625A．0.61 B．0.63 C．0.625 D．0.66【變式3】根據(jù)統(tǒng)計，某籃球運(yùn)動員在1000次投籃中，命中的次數(shù)為860次，則該運(yùn)動員（

）A．投籃10次至少有8次命中 B．投籃命中的頻率為0.86C．投籃命中的概率為0.86 D．投籃100次有86次命中【變式4】小明將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子連續(xù)拋擲了5次，每次朝上的點數(shù)都是2，則下列說法正確的是（

）A．朝上的點數(shù)是2的概率和頻率均為1B．若拋擲30000次，則朝上的點數(shù)是2的概率為1C．拋擲第6次，朝上的點數(shù)一定不是2D．拋擲60000次，朝上的點數(shù)為2的次數(shù)大約為10000次題型03用頻率估計概率【典例1】在滑翔傘定點比賽中，飛行員在降落時一般會踩中半徑為16cm的電子靶，以距靶心距離的遠(yuǎn)近作為打分依據(jù)．若某次比賽中規(guī)定：降落時距靶心的距離小于8cm，會獲得“優(yōu)秀飛行員”稱號．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名飛行員此次比賽降落時距靶心距離（單位：cm）的數(shù)據(jù)如下表：降落時距靶心距離（單位：cm）人數(shù)18213922用頻率估計概率，若隨機(jī)抽取1人，則此人為“優(yōu)秀飛行員”的概率為（

）A．0.18 B．0.21 C．0.39 D．0.40【變式1】一個不透明的袋中裝有除顏色外均相同的8個紅球，4個白球，若干個黑球，每次搖勻后隨機(jī)摸出一個球，記下顏色后再放回袋中，經(jīng)過大量重復(fù)實驗后，發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.4，則袋中約有黑球（

）A．6個 B．7個 C．8個 D．9個【變式2】《九章算術(shù)》中有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送米1805石（古代容量單位），驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得155粒內(nèi)夾谷31粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（

）A．361石 B．341石 C．314石 D．360石【答案】A【變式3】某學(xué)校乒乓球比賽，學(xué)生甲和學(xué)生乙比賽3局（采取三局兩勝制），假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率是0.7，乙獲勝的概率是0.3，利用計算機(jī)模擬試驗，計算機(jī)產(chǎn)生之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)時，表示一局甲獲勝，其概率是0.7.由于要比賽3局，所以每3個隨機(jī)數(shù)為一組，例如，產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)；603099316696851916062107493977329906355860375107347467822166根據(jù)隨機(jī)數(shù)估計甲獲勝的概率為（

）A．0.9 B．0.95 C．0.8 D．0.85【變式4】某煙花爆竹廠從20萬件同類產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了100件進(jìn)行質(zhì)檢，發(fā)現(xiàn)其中有5件不合格，那么請你估計該廠這20萬件產(chǎn)品中合格產(chǎn)品約有（

）A．1萬件 B．18萬件 C．19萬件 D．2萬件題型04獨(dú)立事件的判斷【典例1】一個箱子里有6個大小顏色相同的小球，編號為，從中有放回地抽取2次（每次取1個球）.設(shè)事件：“第一次取出的球的號碼大于3”，事件：“兩次取出的球的號碼之和為偶數(shù)”.(1)求事件的概率；(2)判斷事件與事件是否相互獨(dú)立，并說明理由.【變式1】一個盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1、2、3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.隨機(jī)地抽取3次，每次抽取1張.(1)若抽取是放回的，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a、b、c.求“抽取的卡片上的數(shù)字a、b、c不完全相同”的概率；(2)若抽取是不放回的，記事件A為第一次取出標(biāo)記為1的卡片，事件B為第二次取出標(biāo)記為2的卡片，判斷事件A，B是否獨(dú)立.【變式2】質(zhì)地均勻的正方體骰子，六個面上點數(shù)分別為1、2、3、4、5、6.(1)拋擲一次骰子，求點數(shù)是偶數(shù)的概率；(2)拋擲兩次骰子，設(shè)事件A為第一次的點數(shù)為4，事件B為兩次點數(shù)和為6，事件C為兩次點數(shù)和為7.分別判斷事件A和B是否獨(dú)立？事件A和C是否獨(dú)立？題型05獨(dú)立事件與互斥事件【典例1．投擲一枚均勻的骰子，事件A：點數(shù)大于2；事件B：點數(shù)小于4；事件C：點數(shù)為偶數(shù).則下列關(guān)于事件描述正確的是（

）A．A與B是互斥事件 B．A與B是對立事件C．A與C是獨(dú)立事件 D．B與C是獨(dú)立事件【變式1】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，設(shè)“第一枚硬幣正面朝上”為事件A，“第二枚硬幣反面朝上”為事件B，則下述正確的是（

）.A．A與B對立 B．A與B互斥C． D．A與B相互獨(dú)立【變式2】袋內(nèi)有3個白球和2個黑球，從中有放回地摸球，如果“第一次摸得白球”記為事件A，“第二次摸得白球”記為事件B，那么事件A與B，A與間的關(guān)系是（

）A．A與B，A與均相互獨(dú)立B．A與B相互獨(dú)立，A與互斥C．A與B，A與均互斥D．A與B互斥，A與相互獨(dú)立【變式3】某科研小組共60名成員，他們需要完成甲、乙、丙、丁四個科研項目，科研成員隨機(jī)參與，且每個人可以參與一個或多個項目．若參與甲項目的有30人，參與乙項目的有10人，參與丙項目的有20人，參與丁項目的有30人，參與了甲項目或乙項目的共有40人，同時參與了甲項目和丙項目的有10人，參與了甲項目或丁項目的共有60人，則下列說法正確的是（

）A．參與甲項目與參與乙項目不互斥 B．參與甲項目與參與丁項目互斥但不對立C．參與丙項目與參與丁項目不相互獨(dú)立 D．參與甲項目與參與丙項目相互獨(dú)立【變式4】已知甲盒中有3個大小和質(zhì)地相同的小球，標(biāo)號為，乙盒中有3個大小和質(zhì)地相同的小球，標(biāo)號為，現(xiàn)從甲?乙兩盒中分別隨機(jī)摸出1個小球，記事件“摸到的兩個小球標(biāo)號相同”，事件“摸到的兩個小球標(biāo)號之和為奇數(shù)”，則（

）A．事件A和相等 B．事件A和互相對立C．事件A和相互獨(dú)立 D．事件A和互斥題型06獨(dú)立事件的乘法公式【典例1】已知甲?乙兩人參加闖關(guān)活動，活動一共設(shè)置兩關(guān).甲每關(guān)闖關(guān)成功的概率均為，乙每關(guān)闖關(guān)成功的概率均為，且甲?乙兩人闖關(guān)成功與否互不影響，則甲?乙兩人總共至少有三關(guān)闖關(guān)成功的概率是.【變式1】若事件與事件相互獨(dú)立，，，則.【變式2】已知A，B兩個事件相互獨(dú)立，且，，則.【變式3】已知事件A，B相互獨(dú)立，且，，則.【變式4】端午節(jié)是我國傳統(tǒng)節(jié)日，甲，乙，丙3人端午節(jié)來徐州旅游的概率分別是，，，假定3人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內(nèi)至少有1人來徐州旅游的概率為題型07獨(dú)立事件的實際應(yīng)用【典例1】甲、乙兩人進(jìn)行投籃比賽，每次投籃若一方投中且另一方未投中，則投中的一方獲勝，否則本次平局.已知每次投籃甲、乙投中的概率分別為和，且每次投籃甲、乙投中與否互不影響，各次投籃也互不影響，則次投籃甲至少獲勝次的概率為.【變式1】甲、乙兩名射擊運(yùn)動員進(jìn)行射擊比賽，甲中靶的概率為，乙中靶的概率為，且兩人是否中靶相互獨(dú)立，若甲、乙各射擊一次，則恰有一人中靶的概率為.【變式2】某學(xué)生做兩道選擇題，已知每道題均有4個選項，其中有且只有一個正確答案．該學(xué)生隨意填寫兩個答案，則兩個答案都選錯的概率為．【變式3】如圖，已知電路中有4個開關(guān)，每個開關(guān)獨(dú)立工作，且閉合的概率為，則燈亮的概率為．

【變式4】有甲、乙、丙三個開關(guān)和A，B，C三盞燈，各開關(guān)對燈的控制互不影響．當(dāng)甲閉合時A，B亮，當(dāng)乙閉合時B，C亮，當(dāng)丙閉合時A，C亮．若甲、乙、丙閉合的概率分別為，，，且相互獨(dú)立，則在A亮的條件下，B也亮的概率為．1．在一個試驗中，某種豚鼠被感染病毒的概率為，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計三只豚鼠中被感染的概率：先由計算機(jī)產(chǎn)生出之間整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示沒有被感染．經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：192907966925271932812458569683257393127556488730113537989431據(jù)此估計三只豚鼠中恰有兩只被感染的概率為．2．在用隨機(jī)數(shù)（整數(shù)）模擬“有5個男生和5個女生，從中抽選4人，求選出2個男生2個女生的概率”時，可讓計算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)整數(shù)，并且代表男生，用代表女生．因為是選出4個，所以每4個隨機(jī)數(shù)作為一組．通過模擬試驗產(chǎn)生了10組隨機(jī)數(shù)：6830472570566431784045237834260463460952由此估計“選出2個男生2個女生”的概率為3．為了解某地區(qū)九年級男生的身高情況，隨機(jī)選取了該地區(qū)100名九年級男生進(jìn)行測量，他們的身高x（cm）統(tǒng)計如下表：組別

人數(shù)1343368根據(jù)上表，抽查該地區(qū)一名九年級男生，估計他的身高高于170cm的概率是．4．在如圖所示的一個電路圖中，A，B，C，D，E，F(xiàn)為6個開關(guān)，每個開關(guān)閉合的概率均為，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是.5．在雙向飛碟比賽中，運(yùn)動員在一個靶位上對一個飛碟最多可以進(jìn)行兩次射擊，如果第一次命中，直接得分；若第一次未命中則進(jìn)行第二次射擊，命中也得分.已知某選手在某個靶位上第一次射擊命中的概率為0.8，第二次射擊命中的概率為0.6，則該選手在這個靶位上得分的概率為.6．某箱中有除顏色外其余完全相同的7個球，其中3個白球，4個黑球，現(xiàn)從該箱中任取2次球，每次取出1個球記錄顏色后放回，則最終僅取到1個黑球的概率為．7．甲、乙兩人參加某項活動，甲獲獎的概率為0.6，乙獲獎的概率為0.4，甲、乙兩人同時獲獎的概率為0.24，則甲、乙兩人恰有一人獲獎的概率為.8．已知事件A的對立事件為，，．若，則，9．某工廠生產(chǎn)的零件需要經(jīng)過兩道質(zhì)量檢測工序合格后方可認(rèn)定零件合格，第一道檢測工序檢測合格的概率為0.8，第二道工序檢測合格的概率為0.7，則一個零件不合格的概率．