.1空間向量及其運算【考點歸納】【知識梳理】知識點一、空間向量的概念定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．注：空間中的任意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個向量．2．長度或模：向量的大?。?．表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.4．幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量知識點二、空間向量的線性運算空間向量的線性運算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當λ>0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當λ<0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當λ＝0時，λa＝0運算律交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知識點三、共線向量1．空間兩個向量共線的充要條件：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.2．直線的方向向量：在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．知識點四、共面向量1．共面向量：如圖，如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．向量共面的充要條件：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.知識點五、空間向量的夾角1．定義：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．2．范圍：0≤〈a，b〉≤π.，特別地，當〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，a⊥b.知識點六、空間向量的數(shù)量積定義已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.性質(zhì)①a⊥b?a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2運算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交換律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).知識點七、向量a的投影1．如圖(1)，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖(2))．2．如圖(3)，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))稱為向量a在平面β上的投影向量．這時，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．【例題詳解】題型一、向量概念的應(yīng)用【例1】．（24-25高二下·全國·課堂例題）下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（）A．單位向量都相等B．若，則的長度相等而方向相同或相反C．若向量，滿足，則D．相等向量其方向必相同【答案】D【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念及向量的性質(zhì)，即可判斷各項的正誤.【詳解】對于A中，單位向量長度相等，方向不確定，故A錯誤；對于B中，只能說明的長度相等而方向不確定，故B錯誤；對于C中，向量的?？梢员容^大小，但向量不能比較大小，故錯誤；對于D中，相等向量其方向必相同，故D正確．故選：D.【跟蹤訓(xùn)練1】（24-25高二上·山東·階段練習(xí)）給出下列命題：①零向量的方向是任意的；②若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；③若空間向量，滿足，則；④空間中任意兩個單位向量必相等．其中正確命題的個數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)零向量的定義判斷①，根據(jù)相等向量的定義判斷②③，根據(jù)單位向量定義判斷④.【詳解】零向量是大小為的向量，零向量的方向是任意的，命題①正確；方向相同，大小相等的空間向量相等，它們的起點不一定相同，終點也不一定相同，命題②錯誤；若空間向量，滿足，但由于它們的方向不一定相同，故不一定相等，③錯誤；空間中任意兩個單位向量由于它們的方向不一定相同，故它們不一定相等，④錯誤；所以正確的命題只有個；故選：D.【跟蹤訓(xùn)練2】（23-24高二上·全國）給出下列命題：①零向量沒有方向；②若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；③若空間向量滿足，則；④若空間向量滿足，則；⑤空間中任意兩個單位向量必相等．其中正確命題的個數(shù)為（

）A．4 B．3C．2 D．1【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的有關(guān)定義判斷可得答案.【詳解】零向量的方向是任意的，但并不是沒有方向，故①錯誤；當兩個空間向量的起點相同，終點也相同時，這兩個向量必相等．但兩個向量相等，起點和終點不一定相同，故②錯誤；根據(jù)相等向量的定義，要保證兩個向量相等，不僅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量與的方向不一定相同，故③錯誤；命題④顯然正確；對于命題⑤，空間中任意兩個單位向量的模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤錯誤．故選：D.題型二、空間向量的加減運算【例2】（24-25高二上·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，化簡下列向量表達式：

(1)；(2)．(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】根據(jù)空間向量的線性運算結(jié)合圖形計算即可.【詳解】（1）；（2）；（3）.【跟蹤訓(xùn)練1】（21-22高二·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在正方體中，下列各式中運算結(jié)果為向量AC1①；②③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的加法法則判斷．【詳解】由正方體，空間向量的加法法則可得．；；；．故選：D．【跟蹤訓(xùn)練2】（23-24高二下·江蘇·課前預(yù)習(xí)）已知平行六面體，化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡得到的向量：

(1)；(2)；(3).【答案】(1)，圖見解析(2)，圖見解析(3)，圖見解析【分析】根據(jù)空間向量的線性運算依次求解即可.【詳解】（1），向量如圖所示，

（2）；向量如圖所示，

（3），設(shè)是線段的中點，則.向量如圖所示，

題型三：空間共線向量定理【例3】（24-25高二上·湖南永州·期中）下列條件中，能說明空間中不重合的三點、、共線的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的加法運算可判斷A，根據(jù)向量的減法以及相反向量可判斷B，根據(jù)共線向量的定義可判斷C，向量的模長相等不一定能推出向量共線，即可判斷D.【詳解】對于A，對于空間中的任意向量，都有，不能說明三點共線，說法A錯誤；對于B，若，則，而，據(jù)此可知，即，兩點重合，選項B錯誤；對于C，，則、、三點共線，選項C正確；對于D，，則線段的長度與線段的長度相等，不一定有、、三點共線，選項D錯誤；故選：C.【跟蹤訓(xùn)練1】（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）設(shè)向量不共面，已知，若三點共線，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用三點共線得到，再使用共線向量定理即可.【詳解】因為三點共線，所以，則存在實數(shù)，使得，由已知得故由于不共面，故解得另解:因為向量不共面，所以，由已知得故向量表達式中的系數(shù)對應(yīng)成比例，即，解得．故選：C.【跟蹤訓(xùn)練2】（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若與共線，則實數(shù)的值為（

）A． B．1 C．3 D．或3【答案】C【分析】利用空間向量平行充要條件即可求得實數(shù)的值.【詳解】，，若與共線，則有，即，解之得，則的值為3.故選：C題型四、空間共面的向量定理【例3】（24-25高二上·安徽銅陵·階段練習(xí)）已知A，B，C，D是空間不共面的四點，點P滿足：，則（

）A．P，A，B，C四點共面 B．P，A，B，D四點共面C．P，B，C，D四點共面 D．P，A，C，D四點共面【答案】C【分析】由空間向量共面定理的推論求解即可；【詳解】因為，所以，即，故，因為，所以四點共面，C正確．另解：由已知得，所以共面，又存在公共點，所以四點共面，C正確．故選：C．【跟蹤訓(xùn)練1】（24-25高二上·湖南婁底·期末）已知為空間任意一點，四點共面，且任意三點不共線，若，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】借助空間向量的線性運算及四點共面的充要條件即可判斷選項.【詳解】因為為空間任意一點，，又因為A，B，C，P滿足任意三點不共線，但四點共面，所以，解得．故選：C．【跟蹤訓(xùn)練2】（23-24高二上·安徽六安·期中）已知點在平面內(nèi)，且對空間任意一點，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空間向量的共面定理計算即可.【詳解】由點在平面內(nèi)，可知，又，所以，三項相加可得.故選：B.題型五：空間向量的數(shù)乘運算【例5】（24-25高二下·廣東·期中）已知三棱柱如圖所示，其中，若點為棱的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的線性運算法則，準確化簡，即可求解.【詳解】根據(jù)空間向量的線性運算法則，可得：．故選：D【跟蹤訓(xùn)練1】（24-25高二上·廣東·期末）如圖，在四面體OABC中，為BC的中點，，且為OG的中點，則（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的線性運算求解即可.【詳解】由題意，,故選：A【跟蹤訓(xùn)練2】（24-25高二上·河北保定·階段練習(xí)）如圖，在四面體中，是棱的中點，是棱上一點，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的加減及數(shù)乘運算即可求解.【詳解】連接，由題意，得．故選：D題型六、空間向量數(shù)量積的計算【例6】（24-25高二上·河南開封·期末）如圖，已知正四面體的棱長為1，是棱的中點，是線段的中點，記，，(1)用，，表示向量(2)求【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運算求解即可；（2）根據(jù)，再平方求解可得答案.【詳解】（1）因為，，，所以；（2）依題意，得，，所以，，所以.【跟蹤訓(xùn)練1】（24-25高二上·廣西河池·期末）如圖，在正四面體OABC中，點D為BC的中點，，設(shè)，，(1)試用向量，，表示向量(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由得，進而有，又因為OD=12OB（2）由得，，在正四面體中有，，所以即可計算.【詳解】（1）因為點D為BC的中點，所以，因為，所以，所以，，所以；（2）由得，，由正四面體OABC可知，，所以【跟蹤訓(xùn)練2】（24-25高二上·福建廈門）如圖，已知平行六面體.(1)若，求的長度；(2)若，求與所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，利用空間向量線性運算、空間向量數(shù)量積的運算及模長的計算公式，即可求解；（2）根據(jù)條件，先求出，，，再利用線線角的向量法，即可求解.【詳解】（1）由題知，又，所以，所以.（2）因為，所以，因為，所以，因為，所以，設(shè)與所成的角為，則，即與所成角的余弦值為.題型七、投影向量【例7】（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）如圖，已知平面，，，則向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)線面垂直以及已知角度求出，再結(jié)合投影向量可求得結(jié)果.【詳解】平面ABC，則，，向量在上的投影向量為.故選：D.【跟蹤訓(xùn)練1】（23-24高二上·廣東·階段練習(xí)）如圖所示，在正方體中，為的中點，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空間向量的運算及投影向量的定義求解即可.【詳解】設(shè)正方體的棱長為1，，，，則，，∵，，∴，∴向量在向量上的投影向量是.故選：D．【跟蹤訓(xùn)練2】（23-24高一下·陜西寶雞·期末）八卦是中國文化的基本學(xué)概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2所示的正八邊形，其中給出下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論為（

）A．與的夾角為 B．C． D．在上的投影向量為（其中為與同向的單位向量）【答案】C【分析】對于A，根據(jù)正八邊形的性質(zhì)可求出，對于B，利用向量的加法法則分析判斷，對于C，根據(jù)向量的減法法則結(jié)合正八邊形的性質(zhì)分析判斷，對于D，根據(jù)投影向量的定義分析判斷.【詳解】對于A，因為，所以的夾角為，所以A錯誤，對于B，由于四邊形不是平行四邊形，所以，所以B錯誤，對于C，因為，，所以是等腰直角三角形，所以，，所以，所以C正確.結(jié)合圖形可知在上的投影向量與的方向相反，所以D錯誤.故選：C題型八：空間向量數(shù)量積在求長度、角度等應(yīng)用【例8】（24-25高二上·廣東珠?！るA段練習(xí)）如圖所示，平行六面體中，，，，．(1)求；(2)求的長度．【答案】(1)2(2)【分析】（1）由向量的線性運算可得，由向量的數(shù)量積的運算律可得；（2）由兩邊平方后可得.【詳解】（1）在平行六面體中，．因為，，，，，所以，，，則．（2）因為，所以，則．【跟蹤訓(xùn)練1】（24-25高二上·浙江臺州·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，若，，，點為棱上一點，且，點為線段的中點(1)求的長度；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量的四則運算，用，，表示，結(jié)合向量數(shù)量積的運算律求解即可；（2）根據(jù)向量數(shù)量積公式和運算律求解即可.【詳解】（1）因為為線段的中點，，所以，，所以PM=PA+AM=PA+1（2）由（1）得PM，所以cosPM即異面直線與所成角的余弦值為.【跟蹤訓(xùn)練2】（24-25高二上·安徽阜陽·階段練習(xí)）如圖，在六棱柱中，底面是正六邊形，設(shè)，．

(1)用分別表示．(2)若，求：（?。?；（ⅱ）．【答案】(1)，(2)（i）；（ii）【分析】（1）連接，結(jié)合空間向量的線性運算以為基底表示向量即可；（2）確定空間基底向量的模長與數(shù)量積，結(jié)合空間向量的數(shù)量積的運算性質(zhì)分別求解，即可得結(jié)論.【詳解】（1）如圖，連接，

因為六邊形為正六邊形，所以，則，所以，；（2）因為六邊形為正六邊形，所以，又，所以，（i）；（ii）因為，所以.【高分演練】一、單選題1．（25-26高二上·全國）下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（

）A．單位向量都相等B．若，，則C．若向量，滿足，則D．若，，則【答案】D【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念及向量的性質(zhì)，逐項判斷各項的正誤即可.【詳解】對于A，單位向量是模為1的向量，但方向是任意的；把空間中所有的單位向量移到同一起點，則終點構(gòu)成一個球面，故A錯誤；對于B，因為零向量的方向無法確定，規(guī)定：零向量與任意向量平行，所以當時，與不一定平行，故B錯誤；對于C，向量不能比較大小，但向量的模是實數(shù)，可以比較大小，故C錯誤；對于D，相等向量的方向相同、長度相等，因此向量相等具有傳遞性，故D正確．故選：D.2．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）在空間四邊形中，，，則的值是（

）A． B． C． D．0【答案】D【分析】利用，以及兩個向量的數(shù)量積的定義可得的值，即可得出結(jié)果．【詳解】由題意，又，即，得，所以．故選：D．3．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）在下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是（其中O為坐標原點）（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)四點共面的條件逐項判斷即可求得結(jié)論.【詳解】空間向量共面定理：，若不共線，且共面，其充要條件是.對A，因為，所以四點不共面；對B，因為，所以四點不共面；對C，由可得，因為，所以四點不共面；對D，由可得，即，因為，所以四點共面.故選：D4．（24-25高二下·甘肅白銀·期末）設(shè)正四面體的棱長為2，是的中點，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】先表示出，然后利用數(shù)量積公式計算.【詳解】.故選：B5．（24-25高二下·江蘇泰州·期末）在棱長為的正方體中，是棱上任意一點，則在平面上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用投影向量的定義可得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：因為平面，是棱上任意一點，所以在平面上的投影向量為.故選：A.6．（24-25高二上·江蘇南通·期末）已知平行六面體的所有棱長均為，，則對角線的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的線性運算，可得的表達式，兩邊平方即可求得.【詳解】由已知：平行六面體所有棱長均為，，則，又因為：，同理可得：，則，則.故選：.7．（24-25高二上·浙江金華·期末）在四棱錐中，底面是平行四邊形，E是棱的中點，，D，E，F(xiàn)，G四點共面，則（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合圖形，表示出相關(guān)向量，再利用四點共面時空間向量的基本定理列方程組求解即可.【詳解】由題意可得，因為所以，且，，所以，因為，所以，，所以，因為D，E，F(xiàn)，G四點共面，根據(jù)空間向量四點共面的性質(zhì)，有，所以，所以，解得，所以.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是能利用空間向量的基本定理得到下列方程.8．（24-25高二上·天津濱海新·期末）如圖，已知三棱錐的每條棱的長度都等于1，點，，分別是，，的中點，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，再利用向量的加法法則和共線定理，結(jié)合數(shù)量積的運算律即可求得.【詳解】分別為的中點，則，由已知三棱錐為正三棱錐，取中點為，連接，由已知和為正三角形，則，又，且平面，則平面，又平面則，即，則.故選：.10．（24-25高二上·河北邯鄲·期末）如圖，已知三棱錐的側(cè)棱，，且兩兩所成的角均為60°．若空間中的點D，E滿足，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用余弦定理求出，再對已知式子化簡可得，，從而可得點D，E分別在以AB，AC為直徑的球面上，進而可求出的最大值.【詳解】因為，，且兩兩所成的角均為60°，所以，．由，得，所以，由，得，所以，所以，因此點D，E分別在以AB，AC為直徑的球面上，兩個球的半徑分別為，，設(shè)點，分別是AB，AC的中點，則，所以DE的最大值為，故選：A．11．（24-25高二上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知點D在確定的平面內(nèi)，是平面外任意一點，滿足，且，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由四點共面可知，結(jié)合基本不等式的乘“1”法即可求解.【詳解】,因為四點共面，所以，注意到，從而.當且僅當時等號成立，所以的最小值為.故選：B.二、多選題12．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）下列四個命題中為真命題的是（

）A．已知是空間中任意五點，則B．若向量，滿足，則C．若分別表示兩個空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個向量可以是共面向量D．若，則四點共面【答案】CD【分析】根據(jù)空間向量的運算，即可判斷A項；根據(jù)已知可推得，即可判斷B項；根據(jù)空間向量可以平移，即可判斷C項；只有“，不共線”，四點才共面，可判斷D.【詳解】對于A，，注意前者是零向量，后者是實數(shù)0，故A錯誤；對于B，注意向量相等時，向量所在直線互相平行或重合，因此當時，，四點可能在一條直線上，故B錯誤；對于C，空間中的任意兩個非零向量都可以平移到同一起點，則這兩個向量可以是共面向量,故C正確；對于D，若“，不共線”，有四點共面，若“，共線”，則四點在同一直線上，則有四點共面，故D正確．故選：CD.12．（24-25高二上·陜西安康·期中）如圖，在四面體ABCD中，點E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，則（

）

A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)空間向量的加法、減法及數(shù)乘運算化簡即可逐項判斷得解.【詳解】因為E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，所以由中位線性質(zhì)可知，故A正確；若可得，由圖可知不共線，矛盾，故B錯誤；因為，故C正確；因為，故D正確.故選：ACD13．（24-25高二上·浙江臺州）如圖所示，在棱長為1的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則下列計算結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用向量數(shù)量積的定義分別求解即可.【詳解】因為E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，所以，所以，A正確；，B正確；，C正確；，D錯誤．故選：ABC.14．（23-24高二下·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在正方體中，下列各式中運算結(jié)果為向量的是（）A．； B．；C．； D．．【答案】ABCD【分析】利用向量加法的運算，對四個式子逐一計算出結(jié)果，由此得出正確選項.【詳解】對于A,；對于B，；對于C,；對于D,．故選：ABCD.15．（23-24高二下·安徽·開學(xué)考試）如圖，在平行六面體中，為與的交點，設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)空間向量的線性運算，結(jié)合圖形計算即可求解.【詳解】A：，故A錯誤；B：，故B正確；C：，又，所以，故C錯誤；D：，故D正確．故選：BD三、填空題16．（2025高二·全國·專題練習(xí)）若線段，在平面內(nèi)，，，且，，，則．【答案】4【分析】由線面垂直得到線線垂直，兩邊平方，根據(jù)空間向量數(shù)量積公式可得，求出答案.【詳解】因為，線段，在平面內(nèi)，所以，DC=DB+所以，所以．故答案為：417．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）在三棱錐中，若是正三角形，為其重心，則化簡的結(jié)果為．【答案】【分析】首先根據(jù)幾何關(guān)系，轉(zhuǎn)化向量再進行運算可得答案.【詳解】延長交邊于點，則，則有，，故．

故答案為：.18．（25-26高二上·全國·單元測試）設(shè)向量不共面，已知，，，若三點共線，則．【答案】0【分析】由三點共線，可得與共線，即存在唯一的實數(shù)，使得，結(jié)合空間向量基本定理求解即可.【詳解】因為，，，所以．因為三點共線，所以存在唯一的實數(shù)，使得，即，即,解得.故答案為：019．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在長方體中，，，，，分別是，的中點，則在以八個頂點中的兩個分別為起點和終點的向量中：

（1）的共線向量（平行向量）為；（2）模為的向量是；（3）向量，，.（填“共面”或“不共面”）【答案】A1B，，，AD1，，，，，，，不共面【分析】利用共線向量的定義直接判斷第一空；求出長方體左、右兩側(cè)的面的對角線長度，直接判斷第二空；利用共面向量的定義判斷第三空即可.【詳解】（1）的共線向量（平行向量）為，，，.（2）由于長方體左、右兩側(cè)的面的對角線長均為，故模為的向量有，，，，，，，.（3）因為，向量，，有一個公共點，而點，，都在平面內(nèi)，點在平面外，所以向量，，不共面.故答案為：A1B，，，；AD1，，，，，，，；不共面.20．（24-25高二下·上海寶山·期末）在平面上有如下命題：“若為直線外一點，則點在直線上的充要條件是：存在實數(shù)，滿足，且.”將該命題類比到空間中，并解決以下問題：正四面體的棱長為1，為底面內(nèi)一點，且滿足，其中為實數(shù)，則.

【答案】【分析】將該命題類比到空間中，有“若為平面外一點，則點在平面上的充要條件是：存在實數(shù)，滿足，且.”，故只需求出，再結(jié)合數(shù)量積的運算律.【詳解】將該命題類比到空間中，有“若為平面外一點，則點在平面上的充要條件是：存在實數(shù)，滿足，且.”正四面體的棱長為1，為底面內(nèi)一點，且滿足，其中