2/37專(zhuān)題1.2直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系教學(xué)目標(biāo)1.會(huì)判斷空間兩直線(xiàn)的位置關(guān)系.2.能用基本事實(shí)4和等角定理解決一些簡(jiǎn)單的相關(guān)問(wèn)題．3.借助長(zhǎng)方體，了解空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直的關(guān)系.4.理解并掌握異面直線(xiàn)所成的角，會(huì)求任意兩條直線(xiàn)所成的角教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：異面直線(xiàn)判斷，異面直線(xiàn)所成角教學(xué)難點(diǎn)：異面直線(xiàn)所成角知識(shí)點(diǎn)01公理4文字語(yǔ)言平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言直線(xiàn)a，b，c，a∥b，b∥c?a∥c作用證明兩條直線(xiàn)平行【即學(xué)即練】已知正方體中，，分別是，的中點(diǎn)．求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】取的中點(diǎn)，利用平行四邊形的判定性質(zhì)，平行公理推理得證.【詳解】在正方體中，取的中點(diǎn)，連接，如圖，由為的中點(diǎn)，得，則四邊形為平行四邊形，于是，又，因此四邊形為平行四邊形，，所以.知識(shí)點(diǎn)02等角定理1．定理文字語(yǔ)言如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)符號(hào)語(yǔ)言O(shè)A∥O′A′，OB∥O′B′?∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°圖形語(yǔ)言作用判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)2個(gè)推論推論1：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或者互補(bǔ)．推論2：如果兩條相交直線(xiàn)和另兩條相交直線(xiàn)分別平行，那么這兩組直線(xiàn)所成的銳角（或直角）相等．【即學(xué)即練】如圖所示，在正方體中，分別是棱的中點(diǎn)．求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)得與的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，繼而即可證明.【詳解】如圖，連接EE1．∵E1，E分別為A1D1，AD的中點(diǎn)，∴,且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又，∴，∴四邊形是平行四邊形．∴,同理．又與的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，且和均為銳角，∴．知識(shí)點(diǎn)03異面直線(xiàn)定義：不同在任何一個(gè)平面上的兩條直線(xiàn)叫做異面直線(xiàn)【即學(xué)即練】如圖，在正方體中的直線(xiàn)、、、中與直線(xiàn)異面的直線(xiàn)有條.

【答案】3【分析】根據(jù)異面直線(xiàn)的定義，即可判斷.【詳解】和是異面直線(xiàn)，和是異面直線(xiàn)，和是相交直線(xiàn)，不是異面直線(xiàn)，和是異面直線(xiàn)，所以有3條.故答案為：3知識(shí)點(diǎn)04空間兩條直線(xiàn)位置關(guān)系位置關(guān)系是否共面是否有公共點(diǎn)相交是是平行是否異面否否【即學(xué)即練】已知，是異面直線(xiàn)，直線(xiàn)平行于直線(xiàn)，那么直線(xiàn)與的關(guān)系是．【答案】相交或異面【分析】由異面直線(xiàn)定義以及平行線(xiàn)之間的關(guān)系分類(lèi)討論即可得出結(jié)論.【詳解】顯然直線(xiàn)不可能平行，否則，由，知，與是異面直線(xiàn)矛盾，根據(jù)異面直線(xiàn)定義可知，設(shè)平面，當(dāng)，，且，如下圖所示：此時(shí)與為異面直線(xiàn)；當(dāng)，，且時(shí)，如下圖所示：此時(shí)與相交，所以與的位置關(guān)系是異面直線(xiàn)或相交直線(xiàn).故答案為：相交或異面知識(shí)點(diǎn)05異面直線(xiàn)判定定理過(guò)平面外一點(diǎn)與平面上一點(diǎn)的直線(xiàn)，和此平面上不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的任何一條直線(xiàn)都是異面直線(xiàn)【即學(xué)即練】如圖，正六棱柱中與直線(xiàn)異面的側(cè)棱共有條．【答案】【分析】分別寫(xiě)出與平行的側(cè)棱，以及相交的側(cè)棱，即可得出答案.【詳解】根據(jù)正六棱柱的性質(zhì)結(jié)合圖象可得，側(cè)棱中，沒(méi)有與平行的直線(xiàn)；與相交的有，共2條.又正六棱柱的側(cè)棱，共有6條，所以與直線(xiàn)異面的側(cè)棱共有條.故答案為：4.知識(shí)點(diǎn)06異面直線(xiàn)所成角1．已知兩條異面直線(xiàn)，，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)分別作直線(xiàn)，，我們把直線(xiàn)與所成的角叫做異面直線(xiàn)與所成的角(或夾角)．2．空間兩條直線(xiàn)所成角的取值范圍是.注意點(diǎn)：(1)兩條異面直線(xiàn)所成的角的大小，是由這兩條異面直線(xiàn)的相互位置決定的，與點(diǎn)的位置選取無(wú)關(guān)．(2)找出兩條異面直線(xiàn)所成的角，要作平行移動(dòng)(作平行線(xiàn))，把兩條異面直線(xiàn)所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線(xiàn)所成的角．【即學(xué)即練】如圖，和是異面直線(xiàn)，，，分別為線(xiàn)段，上的點(diǎn)，且，，則與所成角的余弦值為.【答案】/0.625【分析】過(guò)作，交于點(diǎn)，連接，利用比例性質(zhì)得，則（或其補(bǔ)角）即為與所成角，利用余弦定理得，即可得解.【詳解】在平面中，過(guò)作，交于點(diǎn)，連接，如圖，，，又，，則，（或其補(bǔ)角）即為與所成角，在中，，，，，與所成角的余弦值為.故答案為：知識(shí)點(diǎn)07直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直如果兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角，那么我們就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直．直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，記作注意點(diǎn)：兩條直線(xiàn)互相垂直，這兩條直線(xiàn)可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和異面垂直兩種情形．【即學(xué)即練】直三棱柱中，，在三棱柱所有的棱中，與AC垂直且異面的有（）A．1條 B．2條C．3條 D．4條【答案】B【分析】由已知直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征，列舉與AC垂直且異面的棱即可.【詳解】直三棱柱中，，則與AC垂直且異面的直線(xiàn)有和.故選：B.題型01等角定理的應(yīng)用【典例1】如圖，在正方體中，，分別是棱和的中點(diǎn)．求證：．

【答案】證明見(jiàn)解析【分析】利用數(shù)形結(jié)合的解題思想，根據(jù)幾何性質(zhì)，可得答案.【詳解】證明：在正方形中，，分別為，的中點(diǎn)，∴且，∴四邊形是平行四邊形，∴且．又且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，同理可得四邊形為平行四邊形，∴．由平面幾何知識(shí)可知，和都是銳角，∴．【變式1】如圖所示，△ABC和△A′B′C′的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)AA′，BB′，CC′交于同一點(diǎn)O，且，則．【答案】【分析】由等角定理得，，可得∽，繼而即可求解.【詳解】因?yàn)?，且＝＝，所以，同理，，因?yàn)?，所以，同理，所以∽，且＝＝，所以．故答案為?【變式2】空間中兩個(gè)角和，若，則的大小是【答案】或【分析】根據(jù)和相等或者互補(bǔ)即可求解.【詳解】因?yàn)椋院拖嗟然蛘呋パa(bǔ)，所以或.故答案為:或.【變式3】若，，且，則等于（

）A． B． C．或 D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)空間等角定理判斷即可.【詳解】因?yàn)?，，且，所以?故選：C【變式4】如圖：在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，且平行于，平行于．求證：【答案】證明見(jiàn)解析【分析】分別在和的兩邊上截取和，使得，證明即可.【詳解】如圖，分別在和的兩邊上截取和，使得，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以，同理，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，所?等角定理及推論等角定理：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)推論1：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或者互補(bǔ)．推論2：如果兩條相交直線(xiàn)和另兩條相交直線(xiàn)分別平行，那么這兩組直線(xiàn)所成的銳角（或直角）相等．題型02異面直線(xiàn)的判斷【典例1】3．如圖，正方體中，P、Q、R、S、T分別為線(xiàn)段、、、、的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、，對(duì)空間任意兩點(diǎn)M、N，若線(xiàn)段與線(xiàn)段不相交或與線(xiàn)段不相交，則稱(chēng)M、N兩點(diǎn)可視.則此正方體中的點(diǎn)A、P、Q、R中與點(diǎn)可視的點(diǎn)有.（答案從“點(diǎn)A、點(diǎn)P、點(diǎn)Q、點(diǎn)R”中選擇）【答案】點(diǎn)A、點(diǎn)Q、點(diǎn)R【分析】分別連接，再去看是否與和相交.【詳解】對(duì)于點(diǎn)A，連接，因?yàn)槠矫?，平面，且，所以直線(xiàn)與是異面直線(xiàn)，所以點(diǎn)與點(diǎn)可視；對(duì)于點(diǎn)，如圖，連接，得平面，且與相交，連接，因?yàn)椋?，所以四邊形是平行四邊形，得與相交，所以點(diǎn)與點(diǎn)不可視，對(duì)于點(diǎn)，如圖，連接，，因?yàn)槠矫?，平面，且，所以直線(xiàn)與是異面直線(xiàn)，所以點(diǎn)與點(diǎn)可視；對(duì)于點(diǎn)，如圖，連接，，因?yàn)槠矫?，平面，且，所以直線(xiàn)與是異面直線(xiàn)，所以點(diǎn)與點(diǎn)可視，故D錯(cuò)誤.故答案為：點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn).【變式1】在長(zhǎng)方體中，直線(xiàn)與BD的位置關(guān)系一定是．【答案】異面【分析】根據(jù)異面直線(xiàn)定義判斷直線(xiàn)位置關(guān)系即可.【詳解】如下圖，面，面，即面，而面，故為異面直線(xiàn).

故答案為：異面【變式2】如圖為正方體的平面展開(kāi)圖，則圖中的在原正方體中互為異面直線(xiàn)的對(duì)數(shù)為（

）A．1 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】首先畫(huà)出正方體，根據(jù)異面直線(xiàn)的定義，正方體中判斷.【詳解】如圖，和，和，和都是異面直線(xiàn)，有3對(duì).故選：B【變式3】下列各圖是正方體或正四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)不共面的圖形是（）A．B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)平行得出四點(diǎn)共面分別判定A，B，C，根據(jù)異面直線(xiàn)判定D.【詳解】在A中，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以是平行四邊形，所以，所以，∴四點(diǎn)共面．在B中，取的中點(diǎn)N，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，可得交于直線(xiàn)延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，∴P，N，R，S四點(diǎn)共面，設(shè)為，因?yàn)?，∴P，Q，N，S四點(diǎn)共面，設(shè)為.∵都經(jīng)過(guò)不共線(xiàn)的P，N，S三點(diǎn)，∴與重合，∴P，Q，R，S四點(diǎn)共面．在C中，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，所以，所以，∴P，Q，R，S四點(diǎn)共面．在D中，連接，如圖②，∵平面平面且，∴直線(xiàn)與為異面直線(xiàn)．∴P，Q，R，S四點(diǎn)不共面．故選：D.【變式4】已知是所在平面外的一點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，求證：直線(xiàn)與是異面直線(xiàn)；【答案】證明見(jiàn)解析【分析】用反證法證明，假設(shè)它們是異面直線(xiàn)，然后可以得到在同一平面，與題干相矛盾，從而證之.【詳解】證明：假設(shè)與不是異面直線(xiàn)，則與共面，從而與共面，即與共面，所以在同一平面內(nèi)，這與是所平面外的一點(diǎn)相矛盾．故直線(xiàn)與是異面直線(xiàn)．1、定義：不同在任何一個(gè)平面上的兩條直線(xiàn)叫做異面直線(xiàn)2、判定定理：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面上一點(diǎn)的直線(xiàn)，和此平面上不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的任何一條直線(xiàn)都是異面直線(xiàn)題型03異面直線(xiàn)所成角辨析【典例1】如圖所示，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)B作與異面直線(xiàn)與所成的角都是的直線(xiàn)條數(shù)（

）

A．有無(wú)數(shù)條 B．有兩條 C．有三條 D．有一條【答案】C【分析】將平移到，平移到，則過(guò)點(diǎn)作與異面直線(xiàn)與所成的角都是的直線(xiàn)，一條在平面內(nèi)，兩條在平面外.【詳解】將平移到，平移到，

所以點(diǎn)作與異面直線(xiàn)與所成的角都是的直線(xiàn)，即過(guò)點(diǎn)作與異面直線(xiàn)與所成的角都是的直線(xiàn)，因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)與所成的角為，所以的角平分線(xiàn)平分角為或，若的角平分線(xiàn)平分角為，則角平分線(xiàn)與異面直線(xiàn)與所成的角都是，此時(shí)將過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)平移使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故有一條，若的角平分線(xiàn)平分角為，即角平分線(xiàn)與異面直線(xiàn)與所成的角都是，則將過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)繞點(diǎn)向上轉(zhuǎn)動(dòng)到與平面垂直的過(guò)程中，存在兩條與異面直線(xiàn)與所成的角都是的直線(xiàn)，此時(shí)將過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)平移使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故有兩條，綜上，過(guò)點(diǎn)作與異面直線(xiàn)與所成的角都是的直線(xiàn)條數(shù)有三條.故選：C【變式1】若異面直線(xiàn)所成的角為為空間一定點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)且與所成的角都是的直線(xiàn)有且僅有條.【答案】1【分析】在空間取一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)分別作，，分析滿(mǎn)足它的射影在所成角的平分線(xiàn)上時(shí)的情況可得出答案.【詳解】在空間取一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)分別作，，設(shè)直線(xiàn)確定平面，當(dāng)直線(xiàn)滿(mǎn)足它的射影在所成角的平分線(xiàn)上時(shí)，與所成的角等于與所成的角，設(shè)直線(xiàn)與所成角為，因?yàn)橹本€(xiàn)所成角為，得所成銳角為，①當(dāng)直線(xiàn)的射影在所成銳角的平分線(xiàn)上時(shí)，則與所成角的范圍是，這種情況下，過(guò)點(diǎn)有1條直線(xiàn)與所成角都是②當(dāng)直線(xiàn)的射影在所成鈍角的平分線(xiàn)上時(shí)，則與所成角的范圍是，這種情況下，過(guò)點(diǎn)不存在直線(xiàn)與所成角都是，綜上，過(guò)點(diǎn)且與所成的角都是的直線(xiàn)有且僅有1條.故答案為：1.【變式2】異面直線(xiàn)a，b所成的角為，過(guò)空間一點(diǎn)P作直線(xiàn)l，使l與a，b所成的角均為，這樣的直線(xiàn)條數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】數(shù)形結(jié)合把平移到點(diǎn)處，則與所成的角都為的直線(xiàn)有2條.【詳解】過(guò)作與平行的直線(xiàn)，如圖，，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且，這樣的直線(xiàn)有兩條.又，直線(xiàn)為的平分線(xiàn)，則，其他射影落在角平分線(xiàn)的直線(xiàn)與的夾角都大于，綜上，滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)的條數(shù)為2.故選：C.【變式3】異面直線(xiàn)所成的角為，過(guò)空間一點(diǎn)P作直線(xiàn)l，使l與所成的角均為，這樣的直線(xiàn)條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】首先將直線(xiàn)平移至點(diǎn)，再根據(jù)兩條直線(xiàn)的夾角和其補(bǔ)角的角平分線(xiàn)，判斷直線(xiàn)的條數(shù).【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，與的夾角為，所以直線(xiàn)與的夾角相等的直線(xiàn)的射影落在或的角平分線(xiàn)上，的角平分線(xiàn)與的夾角為，則其他射影落在角平分線(xiàn)的直線(xiàn)與的夾角都大于，的角平分線(xiàn)與的夾角為，其他射影落在角平分線(xiàn)的直線(xiàn)與的夾角都大于，所以只有1條直線(xiàn)l與所成的角均為，也即只有1條直線(xiàn)l與所成的角均為.故選：A【變式4】在正方體中，表面的對(duì)角線(xiàn)與成角的有（

）條A． B． C． D．【答案】C【分析】首先確定與共面的面對(duì)角線(xiàn)中成角的共有條，再通過(guò)平行關(guān)系確定異面的面對(duì)角線(xiàn)中也有條，共條.【詳解】以為一邊的面對(duì)角線(xiàn)構(gòu)成的等邊三角形如上圖為：和，所以，與夾角為的面對(duì)角線(xiàn)有：、、、，又因?yàn)?，，，，根?jù)平行關(guān)系可知、、、也與成角，可知滿(mǎn)足題意的面對(duì)角線(xiàn)共有條，故選：C.異面直線(xiàn)所成角：平移使相交題型04異面直線(xiàn)所成角【典例1】如圖，在空間四邊形中，，、分別是和中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)和所成角的余弦值為.【答案】【分析】連接，設(shè)為的中點(diǎn)，連接、，分析可知為異面直線(xiàn)和所成的角（或補(bǔ)角），求出的三邊邊長(zhǎng)，結(jié)合余弦定理求解即可.【詳解】如圖：連接，設(shè)為的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以且，所以為異面直線(xiàn)和所成的角（或補(bǔ)角），因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，為的中點(diǎn)，所以，所以，同理可得，所以，，，在中由余弦定理可得：，因此，異面直線(xiàn)和所成角的余弦值為.故答案為：.【變式1】空間四邊形中，，且異面直線(xiàn)與所成的角為，、分別為和的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)和所成角的大小是．【答案】或【分析】根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)平行可得異面直線(xiàn)所成角的角，即可分情況求解.【詳解】如圖，設(shè)是的中點(diǎn)，分別連接，又因?yàn)?、分別為和的中點(diǎn)，所以，所以是所成的角或是其補(bǔ)角．因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)與所成的角為，所以或，當(dāng)時(shí)，和所成角，當(dāng)時(shí)，和所成角，綜上所述：異面直線(xiàn)和所成角的大小是或.故答案為：或.【變式2】在正方體中，點(diǎn)P是線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記異面直線(xiàn)DP與所成角為，則的最小值為．【答案】【分析】連接，由題意可得（或其補(bǔ)角）是異面直線(xiàn)DP與所成的角，由，可知最小時(shí)，最小，求出答案.【詳解】連接，在正方體中，可得，所以（或其補(bǔ)角）是異面直線(xiàn)DP與所成的角，在正方體中，可得平面，又平面，所以，所以，即，當(dāng)最小時(shí)，最小，此時(shí)最小，當(dāng)時(shí)，最小，令，可得，所以的最小值為.故答案為：【變式3】如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若三棱柱的體積為4，則直線(xiàn)與所成角的余弦值為，【答案】/【分析】先根據(jù)題中信息得出，將直三棱柱補(bǔ)形成棱長(zhǎng)為的正方體，取的中點(diǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求，最后利用余弦定理即可.【詳解】因，，則，則，則，因三棱柱的體積為4，且為直三棱柱，則，得，故可將直三棱柱補(bǔ)形成棱長(zhǎng)為的正方體，取的中點(diǎn)，連接，因且，且，故四邊形和均為平行四邊形，故，，則直線(xiàn)與所成角和直線(xiàn)所成角相等，容易得，，，則在種利用余弦定理可得，，故直線(xiàn)與所成角的余弦值為.故答案為：【變式4】如圖，在直三棱柱中，，，D，E，F(xiàn)分別是棱，BC，的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AD與EF所成角的余弦值為．【答案】/【分析】把直三棱柱補(bǔ)成一個(gè)底面為菱形的直四棱柱，利用平移法找到異面直線(xiàn)與所成的角，再結(jié)合余弦定理求解即可.【詳解】把直三棱柱補(bǔ)成一個(gè)底面為菱形的直四棱柱，如圖所示：

因?yàn)?，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以異面直線(xiàn)AD與EF所成的角為或其補(bǔ)角，不妨設(shè)，因?yàn)椋?，所以為等邊三角形，所以，，所以，因?yàn)闉檫呴L(zhǎng)為的等邊三角形，所以，又因?yàn)?，所以在中，由余弦定理可得，故異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.故答案為：.異面直線(xiàn)所成角：平移使相交題型05由異面直線(xiàn)所成角求其它量【典例1】如圖，在四面體中，與所成的角為，分別為的中點(diǎn)，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為.【答案】或【分析】取的中點(diǎn)，連接、，即可得到為異面直線(xiàn)與所成的角或其補(bǔ)角，即或，再利用余弦定理計(jì)算可得.【詳解】取的中點(diǎn)，連接、，、分別為、的中點(diǎn)，且，同理可得且，為異面直線(xiàn)與所成的角或其補(bǔ)角，則或.在中，，，若，由余弦定理可得；若，由余弦定理可得；綜上所述，或.故答案為：或.【變式1】在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若四邊形對(duì)角線(xiàn)，對(duì)角線(xiàn)AC與BD所成的角為，則FH=．【答案】或【分析】由題意可知四邊形為菱形，且知菱形相鄰的兩個(gè)角分別為，再由所給邊長(zhǎng)即可求得的長(zhǎng).【詳解】如圖，

由分別是的中點(diǎn)，得，，則四邊形為菱形，又與所成的角為，于是直線(xiàn)與所成角為，即菱形的邊長(zhǎng)為1，相鄰兩個(gè)內(nèi)角分別為，即或，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，所以或.故答案為：或【變式2】在四面體ABCD中，，AD與BC所成的角為60°，若E，F(xiàn)分別為棱AC，BD的中點(diǎn)，則線(xiàn)段EF的長(zhǎng)等于.【答案】1或【分析】設(shè)G為CD中點(diǎn)，分別連接EG，F(xiàn)G，構(gòu)造新的根據(jù)余弦定理可得到EF的長(zhǎng).【詳解】設(shè)G為CD中點(diǎn)，分別連接EG，F(xiàn)G，則EG是的中位線(xiàn)，可得，

同理可得，因?yàn)锳D與BC所成的角為60°所以等于60°或120°，當(dāng)在中根據(jù)余弦定理得，當(dāng)同理可得故答案為：1或【變式3】正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)P是棱上一點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，若異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為，則.【答案】【分析】將原正方體補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，利用線(xiàn)線(xiàn)角的定義得到為異面直線(xiàn)與所成的角，從而利用余弦定理得到關(guān)于的方程，解之即可得解.【詳解】將原正方體的一側(cè)補(bǔ)上另一個(gè)正方體變?yōu)槿鐖D所示的長(zhǎng)方體.在上取點(diǎn)使，連接，則易得，所以即為異面直線(xiàn)與所成的角(或其補(bǔ)角).設(shè)，則，，，又，，則，所以為銳角，所以，解得，所以.故答案為：.【變式4】四面體中，，，兩兩互相垂直，且，是的中點(diǎn)，異面直線(xiàn)與所成的角的大小為，求線(xiàn)段的長(zhǎng).【答案】4【分析】利用三角形的中位線(xiàn)定理及異面直線(xiàn)所成角的定義，結(jié)合勾股定理及余弦定理的推論即可求解.【詳解】取的中點(diǎn)，連、，如圖所示是的中點(diǎn)，故為異面直線(xiàn)與所成角，設(shè)，則,因?yàn)?，異面直線(xiàn)與所成的角的大小為，所以由余弦定理,得,解得，所以線(xiàn)段的長(zhǎng)為4．故答案為：.異面直線(xiàn)所成角：平移使相交題型06證明異面直線(xiàn)垂直【典例1】如圖，上海海關(guān)大樓的鐘樓可以看作一個(gè)正四棱柱，且鐘樓的四個(gè)側(cè)面均有時(shí)鐘懸掛，在0點(diǎn)到12點(diǎn)時(shí)針與分針的轉(zhuǎn)動(dòng)中（包括0點(diǎn)，但不包括12點(diǎn)），相鄰兩面時(shí)鐘的時(shí)針兩兩相互垂直的情況的次數(shù)為（

）A．0 B．2 C．4 D．12【答案】B【分析】根據(jù)正四棱柱相鄰側(cè)面的線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系即可判斷．【詳解】∵3點(diǎn)時(shí)和9點(diǎn)時(shí)相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直，∴在0點(diǎn)到12點(diǎn)時(shí)針與分針的轉(zhuǎn)動(dòng)中（包括0點(diǎn)，但不包括12點(diǎn)），相鄰兩面時(shí)鐘的時(shí)針兩兩相互垂直的情況的次數(shù)為2，故選：B．【變式1】如圖，這是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，關(guān)于原正方體，有以下四個(gè)結(jié)論：①；（2）；（3）；（4）.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】畫(huà)出正方體，由正方體的性質(zhì)可得.【詳解】原正方體如圖所示，由正方體的性質(zhì)可知相交，，則，則四邊形為平行四邊形，則；因?yàn)榈冗吶切危瑒t，又空間內(nèi)兩條直線(xiàn)的夾角范圍為，則直線(xiàn)與所成的角為；因且，則，則①③錯(cuò)誤，②④正確.故選：B.【變式2】如圖1，在菱形中，，是其對(duì)角線(xiàn)，是上一點(diǎn)，且，將沿直線(xiàn)翻折，形成四棱錐（如圖2），則在翻折過(guò)程中，下列結(jié)論中正確的是（

）

A．存在某個(gè)位置使得 B．存在某個(gè)位置使得C．存在某個(gè)位置使得 D．存在某個(gè)位置使得【答案】B【分析】選項(xiàng)A，在翻折過(guò)程中，與夾角始終不變，，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，，轉(zhuǎn)化為判斷和是否會(huì)垂直，由圖觀(guān)察翻折過(guò)程中和夾角的變化范圍可得解；選項(xiàng)C，由圖觀(guān)察翻折過(guò)程中和夾角的變化范圍可得解；選項(xiàng)D，由于平行于翻折前的，故只需觀(guān)察翻折過(guò)程中與翻折前的的夾角變化范圍可得解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，沿翻折，在翻折過(guò)程中，與夾角始終不變，，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B，，轉(zhuǎn)化為判斷和是否會(huì)垂直，由圖觀(guān)察翻折過(guò)程中和夾角變化范圍是，故存在某個(gè)位置使得，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由圖觀(guān)察翻折過(guò)程中和夾角的變化范圍是，故不存在某個(gè)位置使得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，由于平行于翻折前的，故只需觀(guān)察翻折過(guò)程中與翻折前的的夾角變化范圍，由圖觀(guān)察翻折過(guò)程中與的夾角變化范圍是，所以不存在某個(gè)位置使得，故D錯(cuò)誤.故選：B.【變式3】四面體ABCD中，對(duì)棱，E，F(xiàn)，G，H是它們所在棱的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是矩形．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】首先利用三角形中位線(xiàn)性質(zhì)證明出四邊形EFGH是平行四邊形，再通過(guò)即可證明，則證明出其為矩形.【詳解】如圖，EF，HG分別是和的中位線(xiàn)，∴，所以，∴四邊形EFGH是平行四邊形，又EH是的中位線(xiàn)，∴，故是異面直線(xiàn)AD與BC所成的角或其補(bǔ)角，∵，∴，∴，因此四邊形EFGH是矩形．【變式4】空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，DC的中點(diǎn)，F(xiàn)G＝2，GE＝，EF＝3.求證：AC⊥BD.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】異面直線(xiàn)所成角為90°，則兩直線(xiàn)垂直.【詳解】∵點(diǎn)G，E分別是CD，BC的中點(diǎn)，∴GEBD，同理GFAC.∴∠FGE或∠FGE的補(bǔ)角是異面直線(xiàn)AC與BD所成的角．在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，滿(mǎn)足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即異面直線(xiàn)AC與BD所成的角是90°.∴AC⊥BD.1．一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖如圖所示，在該正方體中，則與所成的角為．【答案】【分析】將平面展開(kāi)圖復(fù)原為如圖所示的正方體后結(jié)合正方體的性質(zhì)可得與所成的角即為或其補(bǔ)角，故可求線(xiàn)線(xiàn)角的大小.【詳解】將平面展開(kāi)圖復(fù)原為如圖所示的正方體：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，連接，則，由正方體的性質(zhì)可得，故四邊形為平行四邊形，故，故與所成的角即為或其補(bǔ)角，而，故與所成的角為，故答案為：.2．如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱中，，若平面ABCD內(nèi)有且僅有一點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為1，則異面直線(xiàn)與夾角的余弦值為.【答案】/【分析】先根據(jù)平面內(nèi)僅有一點(diǎn)到的距離為1，則正四棱柱變?yōu)檎襟w，再根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)角的余弦求解.【詳解】由平面ABCD內(nèi)僅有一點(diǎn)到的距離為1，則.此時(shí)正四棱柱變?yōu)檎襟w，連接，則,由圖知與夾角為，連接.則為等邊三角形，，，故異面直線(xiàn)與夾角的余弦值為.故選：.3．如圖，在正方體的所有棱所在直線(xiàn)中，與直線(xiàn)異面的共有條．【答案】6【分析】根據(jù)異面直線(xiàn)定義分別列舉即可求得答案.【詳解】與直線(xiàn)有公共點(diǎn)的棱均與直線(xiàn)不異面，有共6條，與直線(xiàn)異面的棱有，共6條.故答案為：64．如圖，在三棱錐中，，且分別是棱的中點(diǎn)，則和所成的角等于.

【答案】【分析】取中點(diǎn)，連接，則為所求，【詳解】如圖所示，取BC的中點(diǎn)G，連接FG，EG．

，F(xiàn)分別是CD，AB的中點(diǎn)，，，且，．為EF與AC所成的角（或其補(bǔ)角）．又，，，為直角三角形，，又為銳角，，即EF與AC所成的角為．故答案為：.5．從正方體八個(gè)頂點(diǎn)的兩兩連線(xiàn)中任取兩條直線(xiàn)，則所成角的余弦值的所有可能取值構(gòu)成的集合是.【答案】【分析】將所有直線(xiàn)分為正方體的棱，面對(duì)角線(xiàn)，體對(duì)角線(xiàn)三類(lèi)，然后討論不同情況的時(shí)候的直線(xiàn)的夾角的余弦值即可.【詳解】利用直線(xiàn)的夾角范圍為，故其余弦值范圍為，可以分為以下幾類(lèi)：兩條直線(xiàn)都取兩條棱所在的直線(xiàn)的時(shí)候，有與兩種情況，所成角的度數(shù)分別是0或，其余弦值為1或0；兩條直線(xiàn)一條取面對(duì)角線(xiàn)與一條取棱所在的直線(xiàn)時(shí)，有與兩種情況，所成角的度數(shù)分別是或，其余弦值為0或；兩條直線(xiàn)都取面對(duì)角線(xiàn)時(shí)，有與兩種情況，由為等邊三角形，得；所成角的度數(shù)分別是0或，其余弦值為0或；兩條直線(xiàn)一條取體對(duì)角線(xiàn)與一條取棱所在的直線(xiàn)時(shí)，有這一種情況，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，在中，可得,故所成角的余弦值為；兩條直線(xiàn)一條取體對(duì)角線(xiàn)與一條取面對(duì)角線(xiàn)時(shí)，有與兩種情況，由面,可得,可得夾角得余弦值為0，中，可得,故夾角的余弦值為，故其余弦值分別是0或；兩條直線(xiàn)都取體對(duì)角線(xiàn)時(shí)，有這一種情況，在中，,,,故夾角的余弦為.所以從正方體八個(gè)頂點(diǎn)的兩兩連線(xiàn)中任取兩條直線(xiàn)，則所成角的余弦值的所有可能取值構(gòu)成的集合是.故答案為：6．已知，，是空間三條不同的直線(xiàn)，對(duì)下列命題：①如果，，則②如果，，則，，共面③如果，，則④如果，，共點(diǎn)，則，，共面其中正確的命題是（填序號(hào)）.【答案】①【分析】通過(guò)異面直線(xiàn)的性質(zhì)判斷①的正誤；利用直線(xiàn)的平行判斷出②的正誤；通過(guò)垂直關(guān)系利用反例判斷③的正誤；利用反例判斷④的正誤.【詳解】對(duì)于①，，則，①正確；對(duì)于②，．則共面，例如正方體中的三條平行的棱，不共面，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，例如直三棱柱中的側(cè)棱與上下底面中的線(xiàn)，滿(mǎn)足垂直，上下底面的直線(xiàn)不一定垂直，故③錯(cuò)誤．對(duì)于④，例如正方體，從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩相交，三個(gè)直線(xiàn)不共面，故④錯(cuò)誤．故答案為：①7．在正方體中，與異面的棱有條.【答案】6【分析】結(jié)合正方體，根據(jù)異面直線(xiàn)的定義即可判斷.【詳解】如圖，正方體中，與異面的棱有，，，，，共6條.