2/37專題1.3直線與平面的位置關(guān)系教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)基本事實(shí)4和等角定理，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)．2．借助直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理，提升邏輯推理的核心素養(yǎng).3.通過(guò)學(xué)習(xí)直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).4.通過(guò)學(xué)習(xí)直線與平面所成的角，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：①直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理；②直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理③直線與平面所成角教學(xué)難點(diǎn)：直線與平面所成角知識(shí)點(diǎn)01直線與平面平行（1）判定定理：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．（2）性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行．注意：用該定理判斷直線a和平面α平行時(shí)，必須同時(shí)具備三個(gè)條件：(1)直線a在平面α外，即a?α.(2)直線b在平面α內(nèi)，即b?α.(3)兩直線a，b平行，即a∥b.【即學(xué)即練】如圖，在四面體ABCD中，E、F分別是、的重心．該四面體中，哪些面與EF平行？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】平面、平面與EF平行，理由見(jiàn)解析【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線定理、線面平行的判定定理進(jìn)行判斷證明即可.【詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，因?yàn)镋、F分別是、的重心．所以為E、F分別在、上，由三角形重心的性質(zhì)可知：，于是有，因?yàn)槠矫妫矫?，平面，平面，所以平面，平面，因此在四面體中，平面、平面與EF平行.知識(shí)點(diǎn)02直線與平面垂直1．直線與平面垂直的定義如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線垂直于平面，記作，直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面，垂線和平面的交點(diǎn)稱為垂足．結(jié)論：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．2.直線與平面垂直的判定定理如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面．3．直線與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩條直線同時(shí)垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．4．與線面垂直有關(guān)的重要結(jié)論(1)如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于平面內(nèi)的任何一條直線．(2)如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面．(3)如果一條直線與兩個(gè)平面都垂直，那么這兩個(gè)平面平行．(4)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直；過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知直線垂直．【即學(xué)即練】如圖，在三棱錐中，．求證：平面；

【答案】證明見(jiàn)解析【分析】利用余弦定理求出，在根據(jù)勾股定理證明，再通過(guò)線面垂直的判斷定理說(shuō)明線面垂直即可.【詳解】在中，，由余弦定理，即，解得，所以在中，即，所以，又，，平面，所以平面；知識(shí)點(diǎn)03直線與平面所成角如圖，一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足，過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影，平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.【即學(xué)即練】如圖，在正方體中，與平面所成的角為.【答案】/【分析】找出線面所求角再利用直角三角形正弦值即可求得結(jié)果.【詳解】連結(jié)與交于，連結(jié)，∵，，又,且平面，∴平面，∴是與平面所成的角，在中，，∴．即,即與平面所成的角為.故答案為：知識(shí)點(diǎn)04三垂線定理平面上的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直的充要條件是它和這條斜線在平面上的投影垂直題型01判斷線面平行，垂直關(guān)系【典例1】如圖，在下列四個(gè)正方體中，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線與平面平行的有（

）個(gè).A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用線面平行判定定理逐項(xiàng)驗(yàn)證即可求解．【詳解】對(duì)于①：如圖，取中點(diǎn)，連接，則有，又平面，所以與平面相交，故①錯(cuò)誤對(duì)于②：由，，所以，又平面，不在平面上，所以平面，故②正確；對(duì)于③：由，又平面，不在平面上，所以平面，故③正確；對(duì)于④：由，又平面，不在平面上，所以平面，故④正確.故選：C.【變式1】已知兩條直線m，n，兩個(gè)平面α，β，給出下列四個(gè)說(shuō)法：①m∥n，m⊥α?n⊥α；②α∥β，m?α，n?β?m∥n；③m⊥n，m∥α?n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β.其中正確說(shuō)法的序號(hào)是.【答案】①④【分析】利用直線的平行移動(dòng)，不改變?cè)撝本€與另外直線或平面所成的角的大小，再結(jié)合空間線面關(guān)系的相關(guān)判定和性質(zhì)定理來(lái)論證.【詳解】①可由直線平行移動(dòng)，它與另外直線或平面所成的角是不變的性質(zhì)可推證是正確的；②根據(jù)兩個(gè)平面平行的定義，可知分別在兩平面內(nèi)的直線一定是無(wú)公共點(diǎn)，這樣就可知m與n平行或異面，所以②錯(cuò)誤；③中由m⊥n，m∥α，可知n∥α或n?α或n與α相交，故③錯(cuò)誤；④可先由m∥n，m⊥α?n⊥α，再由α∥β可得n⊥β，故④正確.故正確的序號(hào)是：①④．【變式2】已知直線，，平面，，，那么與平面的關(guān)系是（

）A． B． C．或 D．與相交【答案】C【分析】以正方體為載體，取，，分別取面和為平面，即可判斷結(jié)果.【詳解】在正方體中，取，，當(dāng)取面為平面時(shí)，所以滿足，，此時(shí)；當(dāng)取面為平面時(shí)，所以滿足，，此時(shí)，所以與平面的關(guān)系是或.故選：.【變式3】已知、、是直線，是平面，且，，則“，”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】由線面垂直的定義及判定定理即可判斷.【詳解】解：由得：存在，滿足，若，則直線垂直平面中任意一條直線，，，，，，，，是否相交不確定，不一定成立，“，”是“”的必要不充分條件．故選：B【變式4】已知平面和不重合的兩條直線，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)，結(jié)合空間線線、線面位置關(guān)系判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】對(duì)A：若，則或，或或與相交，錯(cuò)誤；對(duì)B：若，則或，錯(cuò)誤；對(duì)C：若，則或，錯(cuò)誤；對(duì)D：若，則，正確.故選：D構(gòu)造長(zhǎng)方體，在長(zhǎng)方體中構(gòu)造線面，判斷平行垂直關(guān)系題型02證明線面平行【典例1】如圖，在正方體中，點(diǎn)G，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)．(1)求證：D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；(2)求證：平面DBFE．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）通過(guò)證明，可證D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；（2）連接分別交DE，DB于點(diǎn)H，O，連接HO，通過(guò)證明可證.【詳解】（1）連接，如圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，所以，又在正方體中，，所以，所以D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．（2）連接分別交DE，DB于點(diǎn)H，O，連接HO，如圖所示．在正方體中，，所以，所以，同理可得，在中，，所以，又平面不在平面DBFE內(nèi)，所以平面DBFE．【變式1】如圖，在直三棱柱中，，，，D是的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求直線與直線所成角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）要證明線面平行，可通過(guò)構(gòu)造線線平行，利用直線與平面平行的判定定理來(lái)證明；（2）求異面直線所成角，可通過(guò)平移其中一條直線，使其與另一條直線相交，得到異面直線所成角的平面角，再利用解三角形的知識(shí)求解.【詳解】（1）連接，設(shè)與的交點(diǎn)為在直三棱柱中，側(cè)面為矩形，故是的中點(diǎn)。又是的中點(diǎn)，因此是的中位線，即因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面?）由（1）知，故直線與所成的角等于與所成的角（或其補(bǔ)角）只需在平面圖形中求的余弦值.直三棱柱底面中，，為中點(diǎn)，故（直角三角形斜邊中線性質(zhì)）是的中位線，，故側(cè)面為矩形，是中點(diǎn)在中，故則在中，由余弦定理：故直線與直線所成角的余弦值為.【變式2】如圖所示，已知點(diǎn)是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，、、分別為、、的中點(diǎn)，平面平面.(1)判斷直線與的位置關(guān)系并證明；(2)求證：平面；【答案】(1)，證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用線面平行的判定定理證明平面，再由線面平行的性質(zhì)定理證明即可.（2）取中點(diǎn)，證明四邊形為平行四邊形，利用線面平行的判定定理證明即可.【詳解】（1）.證明如下：因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，則平面，又平面平面，平面，所以.（2）取中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以且，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以且，所以，故四邊形為平行四邊形，故，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?【變式3】如圖所示，在平行六面體中，分別是的中點(diǎn)，求證:

(1)(2)平面;【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由平行的傳遞性即可求證；（2）連，交與點(diǎn)，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，可證，由直線與平面平行的判定定理證明平面；【詳解】（1）因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以，又分別為的中點(diǎn)，所以，所以（2）

連結(jié)，設(shè)與連結(jié)交于點(diǎn)，連接，四邊形為平行四邊形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，是的中位線，又面，面，平面，【變式4】在如圖所示的五面體中，四邊形與均為等腰梯形，，，，，，、分別為、的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．求證：平面．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】連接，取的中點(diǎn)，連接、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立.【詳解】連接，取的中點(diǎn)，連接、，結(jié)合已知可得且，所以四邊形為平行四邊形，所以為中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，則，且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，且，則，且，故四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．判定定理：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．題型03補(bǔ)全線面平行的條件【典例1】如圖，在四棱錐中，，，E為邊的中點(diǎn)，直線上是否存在點(diǎn)M，使得直線平面？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】存在，【分析】連接，．記，先證明為平行四邊形，Q為的中點(diǎn)，繼而可作出，結(jié)合線面平行的判定即可得出結(jié)論.【詳解】如圖，連接，．記，而，，E為邊的中點(diǎn)，則，故為平行四邊形，且Q為的中點(diǎn)，連接，在平面內(nèi)作，交延長(zhǎng)線于M，則有，所以．此時(shí)平面，平面，則直線平面，即直線上存在點(diǎn)M，使得直線平面，.【變式1】如圖，長(zhǎng)方體中，，是上一點(diǎn)，，平面交棱于點(diǎn)，的長(zhǎng)為，是上一點(diǎn)，且平面，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】第一空：延長(zhǎng)交于，連接，與的交點(diǎn)即為，通過(guò)三角形知識(shí)求解即可；第二空：作，交于，連接，通過(guò)邊長(zhǎng)關(guān)系求解即可.【詳解】第一空：如圖，延長(zhǎng)交于，連接，交于，由，，可得，所以；第二空：是上一點(diǎn)，且平面，作，交于，連接，則，四邊形為平行四邊形，，則.故答案為：；.【變式2】如圖，在三棱臺(tái)中，，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)M在上，，若點(diǎn)N在平面內(nèi)，且平面，則點(diǎn)N的位置是．（寫出一種即可）【答案】N是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)（答案不唯一）【分析】當(dāng)時(shí)，連接，利用線面平行的判定定理可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，所以，從而，又平面平面，所以平面．故答案為：N是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)（答案不唯一）.【變式3】如圖，四棱錐中，是的中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，且平面．試探究在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置，并給予證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

【答案】存在，為的中點(diǎn)，證明見(jiàn)解析【分析】當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，取得中點(diǎn)，連接，，，先利用中位線及平行四邊形的性質(zhì)得出，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明.【詳解】在線段上存在點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，使得平面.證明如下：

取得中點(diǎn)，連接，，.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且四邊形為平行四邊形，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形.所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【變式4】如圖，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，且．將沿著DE折起，形成四棱錐，其中A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P．在線段PB上是否存在一點(diǎn)F，使得平面PDE？若存在，指出的值，并證明；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】存在，【分析】通過(guò)構(gòu)造平行四邊形的方法，結(jié)合線面平行的判定定理確定的值，使平面.【詳解】當(dāng)時(shí)，平面PDE，證明如下：過(guò)點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于，在PE上取一點(diǎn)M，使得，連接HM，F(xiàn)M，因?yàn)?，，所以且，因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，且，所以且，所以且，所以四邊形CFMH是平行四邊形，即，又因?yàn)槠矫鍼DE，平面PDE，所以平面.

題型04線面平行的性質(zhì)及其應(yīng)用【典例1】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，分別是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)在上取一點(diǎn)（不與重合），設(shè)過(guò)點(diǎn)和的平面交平面于，求證：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，要判定平面，只需判定平行于平面內(nèi)的一條直線即可證明.（2）根據(jù)線面平行的判定定理和線面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行證明.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，如圖所示.因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以中，，且.因?yàn)闉樗睦忮F，所以，且.所以且所以四邊形為平行四邊形，所以又在平面內(nèi)，在平面外，所以平面.（2）連接交于點(diǎn)，連接，如圖所示.因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以是的中點(diǎn).又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，在中，根據(jù)三角形中位線定理可得.因?yàn)槠矫?在平面外，根據(jù)線面平行的判定定理，得知平面.因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)和的平面交平面于，且平面，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得，.【變式1】如圖，在四棱錐中，，，，為上一點(diǎn)，且.(1)求證：平面；(2)若平面平面，證明：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)線段成比例可證明四邊形為平行四邊形，即可根據(jù)線線平行求證，（2）先證明平面,即可利用線面平行的性質(zhì)求解.【詳解】（1）在上取一點(diǎn)，使得,由于，因此,且，由于，，，故,因此且，故四邊形為平行四邊形，故,平面,平面,故平面（2）由于，平面,平面,故平面,又平面，平面平面，所以【變式2】如圖，四棱錐中，是平行四邊形，是的中點(diǎn)．(1)若的中點(diǎn)為，求證：平面；(2)在上取一點(diǎn)，過(guò)和作平面交平面于，在上，證明：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）取的中點(diǎn)，得到且，進(jìn)而證得且，得到四邊形為平行四邊形，得出，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得平面.（2）連接與交于點(diǎn)，得到，證得平面，結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理，即可證得.【詳解】（1）證明：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得且，又因?yàn)闉槠叫兴倪呅?，可得且，所以且，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，且平面，所以平?（2）證明：連接與交于點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，由點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫移矫嫫矫?，所?【變式3】如圖，在正方體中，，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為的動(dòng)點(diǎn).若平面，求線段的長(zhǎng)度.

【答案】【分析】根據(jù)線面平行得出線線平行，再結(jié)合中點(diǎn)得出線段長(zhǎng)度即可.【詳解】因?yàn)槠矫?平面,平面平面，所以,又因?yàn)镕為的中點(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，.【變式4】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，分別是，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)設(shè)為的中點(diǎn)，過(guò)、、三點(diǎn)的截面與棱交于點(diǎn)，指出點(diǎn)的位置并證明.【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)是的中點(diǎn)，證明見(jiàn)詳解【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，證明，結(jié)合線面平行的判定定理即可得證；（2）證明，結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理即可得證.【詳解】（1）如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，且，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，且是的中點(diǎn)，所以，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，所以平面.（2）為的中點(diǎn)，證明如下：連接，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，故，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以是的中點(diǎn).性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行．題型05證明線面垂直【典例1】如圖，在直三棱柱中，，，，、分別為、的中點(diǎn)．(1)求的長(zhǎng)；(2)求與所成角的余弦值；(3)求證：平面．【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）推導(dǎo)出，利用勾股定理可求得的長(zhǎng)；（2）分別取、、的中點(diǎn)、、，連接、、、，由異面直線所成角的定義可知，異面直線、所成角為或其補(bǔ)角，求出三邊邊長(zhǎng)，結(jié)合余弦定理求解即可；（3）利用勾股定理證明出，同理得出，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）在直三棱柱中，平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，故.（2）分別取、、的中點(diǎn)、、，連接、、、，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，且，同理可得，，，所以，異面直線、所成角為或其補(bǔ)角，因?yàn)?，，故四邊形為平行四邊形，所以，，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，，故四邊形為平行四邊形，故，，因?yàn)槠矫妫云矫?，因?yàn)槠矫?，故，所以，由余弦定理可得，因此，異面直線與所成角的余弦值為.（3）連接，如下圖所示：由勾股定理可得，，又因?yàn)?，故，即，同理可證，因?yàn)?，、平面，故平?【變式1】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)面⊥底面，、分別是、的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：平面；(3)若，求證：平面；【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由側(cè)面PAD⊥底面ABCD結(jié)合，可得平面，據(jù)此可完成證明；（2）取PD中點(diǎn)為G，連接FG，GA，通過(guò)證明可完成證明；（3）由（2）通過(guò)證明平面可完成證明.【詳解】（1）因底面是矩形，則，又側(cè)面底面，側(cè)面底面，底面，則平面，因?yàn)槠矫?，所以；?）取PD中點(diǎn)為G，連接FG，GA，因是的中點(diǎn)，則.又是的中點(diǎn)，,則，從而四邊形是平行四邊形.則，又平面，平面，則平面；（3）因，又G為PD中點(diǎn)，則.由（1）可得平面，又平面，則.又平面，，則平面.由（2）可得，則平面.【變式2】如圖，在長(zhǎng)方體中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，為AC與BD的交點(diǎn)，是線段的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：平面.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理分析證明；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理分析證明.【詳解】（1）分別是的中點(diǎn)，是矩形，，且，四邊形是平行四邊形，則.又平面平面，平面.（2）如圖，連接.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，，則.又平面平面ABCD，.由底面ABCD為正方形可得，又平面平面，平面.又平面，，又平面平面，平面.【變式3】如圖（1）所示的平面圖形中，，，，，，點(diǎn)是以為直徑的半圓上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），以為折痕，將半圓所在平面折起，使平面平面，如圖（2）.證明：平面.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)給定條件，利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)判定推理得證.【詳解】由平面平面，平面平面，，平面，得平面，而，則平面，又平面，于是，由點(diǎn)是以為直徑的半圓上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合）得，又平面，所以平面.【變式4】在如圖所示的幾何體中，平面，，是的中點(diǎn)，．求證:平面．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】取的中點(diǎn)G，連接，得出，由線面垂直的性質(zhì)及判定得出平面，即可證明.【詳解】取的中點(diǎn)G，連接，F(xiàn)是的中點(diǎn)，，且，，．又，四邊形是平行四邊形，，在中，，，則，平面，，平面，又平面，，，平面，平面，又因?yàn)?，所以平面．直線與平面垂直的判定定理如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面．題型06補(bǔ)選線面垂直的條件【典例1】如圖，直三棱柱，，分別是，的中點(diǎn)，(1)求證：平面；(2)若，，在棱上是否存在點(diǎn)，使平面.如果存在，求出點(diǎn)的位置，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，平面.【分析】（1）根據(jù)線面平行的判斷定理，構(gòu)造平行四邊形，證明線線平行；（2）根據(jù)垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為構(gòu)造.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)辄c(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，所以，，且，，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面；（2）假設(shè)存在點(diǎn)，使平面，因?yàn)?，且點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，且平面，平面，所以，且，平面，所以平面，平面，所以，因?yàn)?，所以四邊形是正方形，則；取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，則，，平面，所以平面，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，平面.【變式1】如圖，在三棱柱中，側(cè)棱均與底面垂直，側(cè)棱長(zhǎng)為2，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是側(cè)面（含邊界）上的動(dòng)點(diǎn).要使平面，則線段的長(zhǎng)的最大值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】取為上靠近的四等分點(diǎn)，確定，的軌跡為線段，計(jì)算線段長(zhǎng)度的最值得到答案.【詳解】平面，平面，則，，，故，取為上靠近的四等分點(diǎn)，則，故，

現(xiàn)在說(shuō)明此時(shí)平面，平面，平面，故，又，，平面，故平面，平面，故，且，又，，平面，故平面，故的軌跡為線段，，故的最大值為.故選：A.【變式2】如圖，在圓柱中，為底面直徑，是的中點(diǎn)，是母線的中點(diǎn)，是上底面上的動(dòng)點(diǎn)，若，，且，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作，由圓柱的結(jié)構(gòu)特征和線面垂直的判定可知平面，則點(diǎn)軌跡是平面與上底面的交線，結(jié)合勾股定理可求得長(zhǎng)，即為所求軌跡長(zhǎng)度.【詳解】連接，作，交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，平面，平面，，，平面，平面，又平面，，又，，平面，平面，設(shè)平面與上底面交于，，點(diǎn)的軌跡為；，，是母線中點(diǎn)，，，.故選：C.【變式3】如圖，直三棱柱ABC一中，側(cè)棱長(zhǎng)為2，，，D是的中點(diǎn)，F(xiàn)是上的動(dòng)點(diǎn)，，DF交于點(diǎn)E，要使平面，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理，結(jié)合銳角的三角函數(shù)定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，，因此，因?yàn)镈是的中點(diǎn)，所以，且，在直三棱柱ABC一中，平面，而平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，而平面，因此，在直角三角形中，，?dāng)時(shí)，即，此時(shí)，而，即，即，而，平面，因此平面，此時(shí)，故選：C【變式4】如圖，在三棱柱中，側(cè)棱均與底面垂直，側(cè)棱長(zhǎng)為，，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面（含邊界）上的動(dòng)點(diǎn)，要使平面，則線段的長(zhǎng)的最大值為.

【答案】【分析】取的中點(diǎn)，證得，，得到平面，得到，進(jìn)而證得平面，得到點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，結(jié)合，即可求解.【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以四邊形為正方形，所以，所以，又因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，且平面，所以，又因?yàn)榍移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)椋移矫?，所以平面，所以點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，在等腰直角中，由，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，在中，可得線段的長(zhǎng)的最大值為.故答案為：.

題型07線面垂直的性質(zhì)定理【典例1】如圖所示，在正方體中，與，都垂直相交，垂足分別是點(diǎn)、點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）首先證明，即可得到，再由，即可得證；（2）首先證明平面，即可得到，同理可證，即可得到平面，結(jié)合（1）的結(jié)論，即可得證．【詳解】（1）在正方體中，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，平面，平面．所以平面．?）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理可證，又，平面，平面．所以平面．又平面，所以．【變式1】設(shè)m、n是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題正確的是A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】D【分析】利用線線位置、線面位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由，，得或是異面直線，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，，得或相交，或是異面直線，B錯(cuò)誤；對(duì)于C；由，，得或或與相交，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，則，D正確.故選：D【變式2】在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)是平面內(nèi)異于點(diǎn)的一點(diǎn)，平面，且平面，則與的位置關(guān)系是．【答案】平行【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得出結(jié)論.【詳解】如下圖所示：在長(zhǎng)方體中，平面，因?yàn)槠矫妫?，，故答案為：平?【變式3】如圖，在四棱錐－中，底面是矩形，平面，，是的中點(diǎn)，，分別在，上，且，．證明：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可證平面，平面，則可得．【詳解】∵平面，平面，∴，又，∴，∵，是的中點(diǎn)，∴，又，，平面，∴平面，∵，，∴，又，，，平面，∴平面，∴．【變式4】如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2．，分別為與上的點(diǎn)，且，．求證：；【答案】證明見(jiàn)解析【分析】利用線面垂直的判定定理，證明均與平面垂直，進(jìn)而證明；【詳解】證明：如圖，連接，．∵平面，平面，∴．∵四邊形是正方形，∴，又∵，平面，∴平面．又∵平面，∴．同理可得，又∵，平面，∴平面．∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴．∵，∴．又∵，，平面，∴平面．∴．直線與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同時(shí)垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．題型08直線與平面所成角定值問(wèn)題【典例1】已知正三棱柱的各條棱長(zhǎng)都是2，則直線與平面所成角的正切值為.【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接，可證為直線與平面所成角，根據(jù)解直角三角形可求其正切值.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，所以為直線與平面所成角，因?yàn)檎庵母鳁l棱長(zhǎng)都是2，所以，所以，所以直線與平面所成角的正切值為，故答案為：.【變式1】如圖，已知在正三棱柱中，D為棱AC的中點(diǎn)，，則直線BC與平面所成角的正弦值為.【答案】【分析】首先做輔助線找出直線與平面所成的角，然后根據(jù)直角三角形的邊角條件求出其正弦值.【詳解】過(guò)點(diǎn)作于，連接.因?yàn)檎庵?因?yàn)?，所以平?又平面，所以.又，所以平面.所以為直線與平面所成的角.設(shè)，則，根據(jù)勾股定理.所以，解得.在直角三角形中，，所以.所以直線與平面所成的角的正弦值為.故答案為：.【變式2】如圖所示，是的直徑，所在的平面，是上一點(diǎn)，若，，則直線與平面所成角的正切值為.【答案】【分析】由線面角的定義可知直線與平面所成角為，設(shè)，求出的長(zhǎng)，即可求出的正切值，即為所求.【詳解】因?yàn)槠矫妫灾本€與平面所成角為，不妨設(shè)，因?yàn)槭巧弦稽c(diǎn)，，則，且，因?yàn)槠矫?，所以，?因此，直線與平面所成角的正切值為.故答案為：.【變式3】已知頂點(diǎn)為的圓錐，為底面圓的一條直徑，是母線的中點(diǎn)，為底面圓的中心，為線段的中點(diǎn)，若是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則與該圓錐底面所成角的正切值為.【答案】【分析】根據(jù)給定信息作出幾何圖形，利用幾何法求出線面角的正切值.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，由是邊長(zhǎng)為2的正三角形，得，則，由，圓錐底面，圓錐底面，則是與該圓錐底面所成的角，所以與該圓錐底面所成角的正切值為.故答案為：【變式4】在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BC1的中點(diǎn)，則直線DE與平面ABCD所成角的大小為.（結(jié)果用反三角表示）【答案】【分析】過(guò)作，交于，連接，是直線與平面所成的角，求出，進(jìn)而得到答案.【詳解】過(guò)作，交于，連接，平面，是直線與平面所成的角，由題意，得，，，，，直線DE與平面ABCD所成角的大小為是.故答案為：.題型09直線與平面所成角最值范圍問(wèn)題【典例1】如圖，在矩形中，，，，分別為，的中點(diǎn)，將沿直線翻折成，與，不重合，連結(jié)，則在翻折過(guò)程中，與平面所成角的正切值的取值范圍為.【答案】【分析】由題意可發(fā)現(xiàn)始終垂直平面，則只需過(guò)點(diǎn)作出平行的直線，找到該線與平面的交點(diǎn)，連接該點(diǎn)與即可得到與平面所成角，而后通過(guò)計(jì)算研究該角的正切值即可得.【詳解】連接、，設(shè)其交點(diǎn)為，連接，由矩形中，，，故四邊形為正方形，且，，又由點(diǎn)關(guān)于折疊而來(lái)，故，且，又、平面，且，故平面，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由、，故，又平面，故平面，連接，則為與平面所成角，由平面，故，故與平面所成角的正切值即為，由，，，故與全等，故，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則有，設(shè)，則，當(dāng)點(diǎn)在線段上（可在點(diǎn)，不可在點(diǎn)）時(shí)，則，有，則，則，易得在上時(shí)隨的增大而增大，故，當(dāng)點(diǎn)在線段上（不在兩端）時(shí)，，則，則，則，易得在上時(shí)隨的增大而增大，此時(shí)，綜上所述，，即在翻折過(guò)程中，與平面所成角的正切值的取值范圍為.故答案為：.【變式1】已知在正方體中，P為中點(diǎn)，，若平面繞旋轉(zhuǎn)，則與在平面所成角的余弦值最小值為.【答案】【分析】根據(jù)面面平行，結(jié)合線線垂直可證明平面,即可根據(jù)線面角的定義求解為與平面所成的角，由三角形的邊角關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)過(guò)的一個(gè)平面,（不與平面重合）與正方體相交于,取的中點(diǎn)，過(guò)作,過(guò)作，連接,故平面平面，過(guò)作于，由于平面，平面，故,平面，故平面,所以為與平面所成的角，故也為為與平面所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，,要使最小，則需要最大即可，由于,故當(dāng)時(shí)，此時(shí)取最大值，此時(shí)的最小值為，故答案為：

【變式2】已知正三棱錐的六條棱長(zhǎng)均為6，設(shè)是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，點(diǎn)是的中心，若集合，則直線與平面所成角正切值的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)題意得到點(diǎn)的范圍，根據(jù)幾何關(guān)系得到與平面所成角最小即為與所成角最大的位置，轉(zhuǎn)化為求到的最大距離問(wèn)題，找到最大距離位置后，計(jì)算得到答案為.【詳解】由題意是一個(gè)棱長(zhǎng)為的正四面體，則，則正四面體的高；如圖所示：在三角形內(nèi)，其中，，分別是，，的中垂線在內(nèi)的部分，，則點(diǎn)應(yīng)當(dāng)在梯形內(nèi)部（包含邊界），同理可得出滿足和的點(diǎn)的范圍也是梯形，綜合所有條件，點(diǎn)應(yīng)當(dāng)在正六邊形的內(nèi)部（包含邊界）；可設(shè)與平面所成角為，由圖可得：，要讓最小，只需要讓最大，由幾何關(guān)系可知點(diǎn)在正六邊形的頂點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)取得最小值.故答案為：【變式3】如圖所示，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足，則直線與平面所成角正切值的最大值為.

【答案】【分析】在正方體上“堆疊”一個(gè)與之全等的正方體，連接、，設(shè)在平面的射影為，連接，則即為直線與平面所成角，在平面上的射影為，求出點(diǎn)的軌跡，再結(jié)合平面幾何的性質(zhì)即可得解．【詳解】如圖所示，在正方體上“堆疊”一個(gè)與之全等的正方體，連接、，易知四邊形是菱形，設(shè)在平面的射影為，由正三棱錐可知，點(diǎn)是△的外心，，則，由，得，所以，再結(jié)合，得，從而的軌跡是（平面上）以為圓心，為半徑的圓，記為圓，同理，在平面（即平面上的射影為的外心，連接，則在平面上的射影為，進(jìn)而即為直線與平面所成角，記，則，其中為定值，而對(duì)于，由圓的幾何知識(shí)可知，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到線段且與圓相交時(shí)，取得最小值，記相交于Q,易知，則，此時(shí)取得最大值為．故答案為：．

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查空間中點(diǎn)的軌跡及線面角，關(guān)鍵是確定在平面上的軌跡為圓.【變式4】如圖，某人在垂直于水平地面的墻面前的點(diǎn)處進(jìn)行射擊訓(xùn)練．易知點(diǎn)到墻面的距離為，某目標(biāo)點(diǎn)沿墻面上的射線移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)，需計(jì)算由點(diǎn)觀察點(diǎn)的仰角的大?。?，，，則的最大值是（仰角為直線與平面所成角）．

【答案】/【分析】根據(jù)仰角的定義，作圖，利用圖中的幾何關(guān)系列出函數(shù)式，借助二次函數(shù)求解作答.【詳解】

過(guò)點(diǎn)P做直線BC的垂線，垂直為D，如圖，則由仰角的定義得，由題意，設(shè)則，點(diǎn)D與B不重合時(shí)，在中，，點(diǎn)D與B重合時(shí)，上式也成立，在中，，當(dāng)時(shí)，取最大值，綜上，的最大值為.故答案為：．題型10根據(jù)線面角求參數(shù)【典例1】如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為1，平面，三角形是等邊三角形．(1)求異面直線與所成的角的大?。?2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成的角大小為？若存在，求出的長(zhǎng)度，若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)存在，1【分析】（1）根據(jù)線線平行可得異面直線所成的角，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系即可求解，（2）根據(jù)幾何法求解線面角，利用三角形的邊角關(guān)系即可求解.【詳解】（1）因?yàn)闉檎叫?，則，則異面直線與所成的角為與所成的角，即或其補(bǔ)角，因?yàn)槿切问堑冗吶切危瑒t平面，平面，，．所以異面直線AC與BD所成的角為．（2）作交于點(diǎn)，連接，平面，平面，則與平面所成的角為，設(shè)，則，則.【變式1】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面ABCD，為的中點(diǎn)．(1)設(shè)平面與直線相交于點(diǎn)，求證：為的中點(diǎn)；(2)若，，直線與平面所成角的大小為，求PD的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)線線平行，結(jié)合中點(diǎn)即可求證，（2）根據(jù)線面角的幾何法求解即為直線BE與平面PAD所成角，故，即可理由三角形的邊角關(guān)系求解.【詳解】（1）過(guò)作交于，連接,由于,所以,因此平面即為平面，由于為的中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，

（2）由于四邊形為菱形，且，，所以,取中點(diǎn)，連接,由于平面，平面，所以,又平面,所以平面,故即為直線與平面所成角，故，故，因此

【變式2】如圖（1），在中，，，、、分別為邊、、的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)位置（如圖（2））．當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，分別求下列問(wèn)題：(1)設(shè)平面與平面的交線為，求證：平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，或【分析】（1）先判斷出當(dāng)平面時(shí)，四棱錐的體積取最大值；然后結(jié)合線面垂直的判定定理以及線面平行的性質(zhì)定理證得平面.（2）判斷出與平面所成角，根據(jù)所成角的正弦值列方程，結(jié)合余弦定理求得.【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，，，，則平面，平面，，，，平面，平面，則，故當(dāng)平面時(shí)，四棱錐的體積取最大值，，，，平面，因?yàn)椋?，為的中點(diǎn)，所以，且，故四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，平面，因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，，因此，平?（2）因?yàn)槠矫?，與平面所成角為，因?yàn)槠矫?，，所以，，解得，在中，，，，由余弦定理可得，所以，，解得?因此，在棱上存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，且或.【變式3】如圖所示，三棱臺(tái)中，底面，．(1)證明：是直角三角形；(2)若，問(wèn)為何值時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為？【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）結(jié)合棱臺(tái)的特征及條件先證得平面，由即可得結(jié)論；（2）作，先證為直線與平面所成角，設(shè)邊長(zhǎng)，結(jié)合條件解直角三角形得出含參表示的邊長(zhǎng)，作商即可解得.【詳解】（1）∵平面，平面，∴又，，平面，∴平面，∵三棱臺(tái)中，∴平面，又平面，，故是直角三角形．（2）在平面內(nèi)作，垂足為，連接．由（1）知，平面，又平面，，，平面，平面，是在平面上的射影，即為直線與平面所成角．設(shè)，則，，∵三棱臺(tái)中，，，．在中，，，在中，，解得．∴當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為．【變式4】離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標(biāo)，設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為，其中為多面體M的所有與P相鄰的頂點(diǎn)，且平面…平面和平面為多面體M的所有以P為頂點(diǎn)的面．現(xiàn)給出如圖所示的三棱錐．(1)求三棱錐在各個(gè)頂點(diǎn)處的離散曲率的和；(2)若PA⊥平面ABC，，三棱錐在頂點(diǎn)C處的離散曲率為．點(diǎn)Q在棱PB上，直線CQ與平面ABC所成角的余弦值為，求BQ的長(zhǎng)度【答案】(1)2(2)【分析】（1）根據(jù)所給的定義，表示，再相加，即可求解；（2）首先根據(jù)題設(shè)中垂直關(guān)系結(jié)合點(diǎn)C處的離散曲率求得、，構(gòu)造線面角，再設(shè)，表示出，再利用余弦定理求，再由余弦值，轉(zhuǎn)化為正切值，得到關(guān)于的等式求解即可得答案.【詳解】（1）根據(jù)離散曲率的定義得，，又因?yàn)樗裕?）∵平面平面，∴，又∵，平面，∴平面∵平面，∴，∵，即∴，∴，過(guò)點(diǎn)作交于，連結(jié)，因?yàn)槠矫妫云矫?，所以為直線與平面所成的角，依題意可得，，，，設(shè)，則，在中，，又，所以，則，所以，解得：或（舍）故.1．如圖，在直四棱柱中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅螡M足條件時(shí)，有（注：填上你認(rèn)為正確的一種情況即可，不必考慮所有可能的情況）.【答案】【分析】當(dāng)時(shí)，根據(jù)線面垂直的判定定理得平面，則.【詳解】連接，由直四棱柱可得平面，因?yàn)槠矫?，故，?dāng)時(shí)，因?yàn)?，故平面，而平面，?故答案為：.2．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，平面．若，則直線與平面所成的角的大小為．【答案】【分析】找到在平面上的投影可得即為直線與平面所成的角，結(jié)合所給條件計(jì)算即可得解.【詳解】由平面，平面，故，由底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，故，又，、平面，故平面，故直線在平面上的投影為，故即為直線與平面所成的角，又，，故，即直線與平面所成的角的大小為.故答案為：.3．如圖，矩形ABCD，有下列結(jié)論：①，②，③BD，④．其中正確的是（填序號(hào)）．【答案】①②④【分析】根據(jù)空間中線與線、線與面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，分別證明各結(jié)論正誤.【詳解】矩形，平面，，在矩形矩形中，,所以,且面，面,所以面,因?yàn)槊?，所以，所以①正確.同理可證平面，則，所以②正確.由題意可知，當(dāng)時(shí)，在中有，即，化簡(jiǎn)得,所以③錯(cuò)誤.矩形，平面，，所以④正確.故答案為：①②④．4．在矩形中，，⊥平面，，則與平面所成的角為【答案】【分析】根據(jù)題意可知為與平面所成的角，在中求解即可.【詳解】∵⊥平面，∴為與平面所成的角，，因?yàn)闉殇J角，∴.故答案為：5．在直三棱柱中，，當(dāng)?shù)酌鏉M足條件時(shí)，有．（答案不唯一，請(qǐng)?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一種條件即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)由線面垂直可得線線垂直結(jié)合直三棱柱的性質(zhì)可得類似于的結(jié)論即可.【詳解】如圖所示，連接，由，可得，因此，要證，則只要證明平面，即只要證即可，由直三棱柱可知，只要證即可．因?yàn)?，，故只要證即可．（或者能推出的條件，如等）答案：（答案不唯一）6．在正方體中，是上靠近的三等分點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為．【答案】【分析】利用線面垂直，構(gòu)造線面角，再根據(jù)幾何關(guān)系，即可求解.【詳解】如圖，連接．平面，所以直線與平面所成的角為．設(shè)，易得，，所以．故答案為：7．在三棱錐中，已知，，，，當(dāng)三棱錐的外接球體積取得最小值時(shí)，記與平面所成的角為，則.【答案】【分析】由題可知和外接圓的半徑，比較可得球心在外心處，根據(jù)球的性質(zhì)可知平面，再利用等體積法可求點(diǎn)到平面的距離，即可求.【詳解】設(shè)外接圓圓心為，半徑為，中點(diǎn)為，連接，因?yàn)椋?，，，所以，，是直角三角形，則為外接圓圓心，半徑，所以三棱錐的外接球體積取得最小值時(shí)，球心在外心處，外接球半徑為，根據(jù)球的性質(zhì)，截面圓心與球心的連線垂直于截面，即平面，，則，又，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以，所以.故答案為：.8．已知四面體，若，，則直