1/37專題02簡(jiǎn)單的幾何體考點(diǎn)01柱體與錐體考點(diǎn)02多面體與旋轉(zhuǎn)體考點(diǎn)03球考點(diǎn)01柱體與錐體1．若用長(zhǎng)為4cm，寬為2cm的矩形紙片卷成一個(gè)圓柱筒，則這個(gè)圓柱筒的最大體積為（

）A．22πcm3 B．4πcm3 C．42πcm3【答案】D【分析】我們可以分圓柱的底面周長(zhǎng)為4，高為2和圓柱的底面周長(zhǎng)為2，高為4，兩種情況進(jìn)行討論，最后綜合討論結(jié)果，即可得到答案．【詳解】若圓柱的底面周長(zhǎng)為4cm，則底面半徑r=2π，此時(shí)圓柱的體積V=π若圓柱的底面周長(zhǎng)為2cm，則底面半徑r=1π，此時(shí)圓柱的體積V=∴圓柱的最大體積為8πcm3故選：D．2．如圖，一個(gè)三棱柱形容器中盛有水，AC=6，若底面ABC水平放置時(shí)，水面恰好過(guò)側(cè)棱AA1的中點(diǎn)，當(dāng)側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，水面恰好與ACA．2 B．4 C．32 D．【答案】D【分析】由題意可判斷水的體積為三棱柱體積的一半，由此結(jié)合棱柱的體積，即可求出答案.【詳解】若底面ABC水平放置時(shí)，水面恰好過(guò)側(cè)棱AA設(shè)棱柱ABC?A1B1C當(dāng)側(cè)面AA1B則無(wú)水部分為水平放置的小三棱柱CDE?C1GH由于三棱柱CDE?C1GH故S△CDE=12S△ABC，由于DE//AB故CDCA=22，而AC=6，故故選：D3．如圖，水平地面上有一正六邊形地塊ABCDEF（邊長(zhǎng)為10m），設(shè)計(jì)師規(guī)劃在正六邊形的頂點(diǎn)處矗立六根與地面垂直的柱子，用以固定一塊平板式太陽(yáng)能電池板A1B1C1D1A．780m2 B．790m2 C．【答案】A【分析】設(shè)正六邊形ABCDEF中心為O，幾何體的側(cè)面均為直角梯形，且高均為10m，連接AD，BE，CF，A1D1,B1E1,C1F1，連接AC【詳解】依題意，該幾何體的側(cè)面均為直角梯形，且梯形的高均為10m，設(shè)正六邊形ABCDEF中心為O，如圖，連接AD，BE，CF，作OO1⊥平面ABCDEF且O1∈依題意，知A1D1連接AC交OB于點(diǎn)G，連接A1C1交O1B1于點(diǎn)G1根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可知四邊形ABCO是菱形，所以AC，OB相互平分，則A1所以GG1=AA在梯形BEE1B1中，O是BE的中點(diǎn)，則所以EE同理得DD故該幾何體的側(cè)面積為：A=(12+9+10+14+17+16)×10=780m故選：A4．已知某圓錐底面的半徑為2，體積為22π3A．2π B．22π C．2【答案】B【分析】根據(jù)圓錐的體積公式V=13π【詳解】設(shè)圓錐的高為h，因?yàn)榈酌姘霃絩=2，由體積V=13圓錐的母線長(zhǎng)l=h2+故選：B5．已知圓錐和圓柱的底面半徑均為r，高均為h，若圓錐與圓柱的表面積之比為4:7，則hr=（A．35 B．53 C．43【答案】C【分析】根據(jù)題中的圓錐和圓柱的表面積的比值可得答案.【詳解】設(shè)圓錐的表面積為S1，圓柱的表面積為S2，由圓錐和圓柱的底面半徑均為r，高均為則圓錐的母線l=r2+則S1=πr由S1S2化簡(jiǎn)得15h2+16rh?48所以3h=4r或5h=?12r（舍去），所以3h=4r，即hr故選：C.6．已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為4，且其側(cè)面積是底面積的2倍，則此正四棱錐的體積為（

）A．3263 B．366 C．32【答案】D【分析】根據(jù)已知得出斜高，從而可得正四棱錐的高，由體積公式可得正四棱錐的體積.【詳解】如圖所示，正四棱錐S?ABCD，BC=4，O為底面正方形的中心，E為BC的中點(diǎn).由已知可得4×12×4×SE=2×4×4，所以SE=4所以O(shè)S=S所以正四棱錐的體積V=1故選：D.7．如圖，有一正三棱錐P?ABC，已知它的底面△ABC邊長(zhǎng)為2，高為h（點(diǎn)P到平面ABC的距離），保持BC在平面α上，且三棱錐繞BC轉(zhuǎn)動(dòng).若存在某個(gè)時(shí)刻，三棱錐在平面α上的射影是等腰直角三角形，則h的取值范圍是（

）

A．0,66 B．0,63 C．【答案】C【分析】根據(jù)題意，分兩類情況討論，①當(dāng)由點(diǎn)A在平面α內(nèi)的射影與BC構(gòu)成等腰直角三角形時(shí)，②當(dāng)由點(diǎn)P在平面α內(nèi)的射影與BC構(gòu)成等腰直角三角形時(shí)；找到臨界值，從而求出h的取值范圍.【詳解】要使得正三棱錐在平面α上的射影是等腰直角三角形，包含以下兩種情況：①設(shè)點(diǎn)O為正△ABC的中心，當(dāng)頂點(diǎn)P的投影落在BC右側(cè)，正△ABC的投影為等腰Rt△當(dāng)點(diǎn)P在平面α上的投影恰在BC的中點(diǎn)D時(shí)（如圖1），由BC=2，則A'C=2由tan∠ADA'=A頂點(diǎn)P可以從正△ABC的中心O往上升，直至點(diǎn)P在平面α上的投影恰在BC的中點(diǎn)D，所以h∈0,

②當(dāng)平面ABC從垂直平面α按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到P在平面內(nèi)時(shí)，如圖2，當(dāng)平面ABC垂直平面α?xí)r，△PBC在平面α上的投影為等腰Rt△此時(shí)h最大，且h=P如圖3，當(dāng)P在平面α內(nèi)，且點(diǎn)A在平面上的投影恰好是P'，此時(shí)PD=1，OD=13，有h=PO=63

如圖4，由于此時(shí)點(diǎn)A在平面上的投影恰好是P'，故可保持平面ABC不動(dòng)，讓點(diǎn)P沿P→O運(yùn)動(dòng)，故有h∈綜上，可得h∈0,1故選：C.8．若圓錐的母線長(zhǎng)為5，高為4，則圓錐的側(cè)面積為（

）A．10π B．15 C．20π 【答案】D【分析】在由圓錐的母線長(zhǎng)l，高h(yuǎn)和底面半徑r構(gòu)成直角三角形中，由勾股定理先求出r，再利用圓錐的側(cè)面積公式S側(cè)【詳解】圓錐的母線長(zhǎng)l，高h(yuǎn)和底面半徑r構(gòu)成直角三角形，由勾股定理可知r=l所以圓錐的側(cè)面積為S側(cè)故選：D9．已知某圓柱與某圓錐的母線長(zhǎng)均為6，且圓柱的底面半徑是圓錐底面半徑的2倍，若圓柱的體積為96π，則圓錐的體積為【答案】16【分析】根據(jù)圓柱的體積，求出圓柱的底面半徑，進(jìn)而求得圓錐的底面半徑，最后由圓錐的體積公式求解.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，則圓柱的底面半徑為2r.因圓柱的母線長(zhǎng)為6，故圓柱的高為6.而圓柱的體積為96π，因此96π=6故圓錐的高h(yuǎn)=62?故答案為：16210．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，PA=PB=4,PC=PD=22，則該棱錐的體積為【答案】16【分析】取點(diǎn)作輔助線，根據(jù)題意分析可知平面PEF⊥平面ABCD，可知PO⊥平面ABCD，利用等面積法求出PO，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】如圖，底面ABCD為正方形，當(dāng)相鄰的棱長(zhǎng)相等時(shí)，不妨設(shè)PA=PB=AB=4,PC=PD=22分別取AB,CD的中點(diǎn)E,F，連接PE,PF,EF，則PE⊥AB,EF⊥AB，且PE∩EF=E，PE,EF?平面PEF，可知AB⊥平面PEF，且AB?平面ABCD，所以平面PEF⊥平面ABCD，過(guò)P作EF的垂線，垂足為O，即PO⊥EF，由平面PEF∩平面ABCD=EF，PO?平面PEF，所以PO⊥平面ABCD，由題意可得：PE=23,PF=2,EF=4，則PE則12PE?PF=1∴該四棱錐的體積為13故答案為：1611．如圖，三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥平面AB

【答案】12【分析】由題易得CC1⊥AC1,CC【詳解】∵CC1⊥平面AB又CC1=1,CA=BC=又AB=2，所以AC1則VC?AB又VC?AB所以VABC?故答案為：112．在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，【答案】2【分析】連接A1B,AB1交于點(diǎn)E，利用線面垂直證明【詳解】

如圖，連接A1B,AB因?yàn)锽C⊥平面ABB1A1，A1B?平面所以BC⊥A1B又因?yàn)锽C//所以四邊形BCD而△OCD1在平面又因?yàn)锳B1⊥A1所以AB1⊥所以EB1為四面體因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為2，所以D1C=A所以VO?C故答案為：2313．有一直徑為4的圓形鐵皮，要從中剪出一個(gè)最大圓心角為60°的扇形ABC，用此剪下的扇形鐵皮圍成一個(gè)圓錐，該圓錐的底面圓的半徑r=.【答案】3【分析】連接OA,OB,OC，由題設(shè)條件結(jié)合余弦定理依次求出∠AOB和AB，再由弧長(zhǎng)公式結(jié)合圓的周長(zhǎng)公式即可計(jì)算求解.【詳解】由題可得AB=AC,∠BAC=60°，所以△ABC為正三角形，連接OA,OB,OC，則由題OA=OB=OC=2，所以O(shè)為△ABC的外心也是內(nèi)心，所以∠ABO=∠BAO=1所以∠AOB=180°?∠BAO?∠ABO=120°，所以AC=AB=O所以由π3故答案為：314．如圖，在四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD為正方形，已知PD⊥平面ABCD，且PD=AD=2，E為PC中點(diǎn).(1)求四棱錐P?ABCD的體積；(2)求點(diǎn)D到平面PAC的距離.【答案】(1)8(2)2【分析】（1）由PD⊥平面ABCD，確定PD為四棱錐的高，再利用四棱錐體積公式計(jì)算即可.（2）利用等體積法VD?PAC=V【詳解】（1）由已知，四邊形ABCD為正方形，且PD⊥平面ABCD，所以PD即四棱錐P?ABCD的高，所以VP?ABCD即四棱錐P?ABCD的體積為83（2）根據(jù)已知，連接AC，作圖如下.由（1）知VP?ABCD=83，又所以VD?PAC又PA=PC=AC=22，即△PAC是等邊三角形，所以S設(shè)點(diǎn)D到平面PAC的距離為h，則VD?PAC=1即點(diǎn)D到平面PAC的距離為2315．如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，A

(1)求證:直線B1C與直線(2)若二面角B1?AC?B的余弦值為67，(3)現(xiàn)將與四棱柱ABCD?A1B1C【答案】(1)證明見解析(2)1(3)3種；f【分析】（1）根據(jù)異面直線判定定理（過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線）進(jìn)行證明；（2）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，證明AC⊥平面BB1H從而確定二面角的平面角為∠B1（3）根據(jù)題意，共有三種拼接方法：底面與底面拼接、以平面ADD1A1進(jìn)行拼接、以平面【詳解】（1）因?yàn)橹本€DD1?平面DD1C1C，B1所以直線B1C與直線（2）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，連接B1

在Rt△ADC中，AC=S△ABC=S四邊形ABCD因?yàn)锳A1⊥底面ABCD，故BB1因?yàn)锽B1∩BH=B，B所以AC⊥平面BB1H所以∠B1HB是二面角B因?yàn)锽1所以cos∠B1HB=6（3）兩個(gè)四棱柱ABCD?A2×2×18根據(jù)題意，要拼接得新四棱柱，共三種拼接方法：①底面與底面拼接，新四棱柱的表面積為：72k②以平面ADD1A③以平面BCC1B因?yàn)?2k2+26k<72令36k2+36k≤72fk考點(diǎn)02多面體與旋轉(zhuǎn)體16．已知正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1的體積為5223，A．1010 B．55 C．310【答案】A【分析】根據(jù)體積公式，可求得正四棱臺(tái)的高，作圖可得，∠B1CE是B【詳解】設(shè)棱臺(tái)的高為h，則13×4+36+連接AC,BD，交于點(diǎn)O，過(guò)B1作B1E⊥BD，垂足為E，連接CE

由正四棱臺(tái)性質(zhì)可得，且B1E⊥平面ABCD，即所以∠B1CE是B因?yàn)樵谡睦馀_(tái)中，AB=6，A1B1=2，則所以BE=BD?B1所以在Rt△COE中，CE=所以在Rt△B1故選：A.17．我國(guó)元代瓷器元青花團(tuán)菊花紋小盞如圖所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突．器身施白釉，以青花為裝飾，釉質(zhì)潤(rùn)澤，底足露胎，胎質(zhì)致密．碗內(nèi)口沿飾有一周回紋，內(nèi)底心書有一文字，碗外壁繪有一周纏枝團(tuán)菊紋，下筆流暢，紋飾灑脫．該元青花團(tuán)菊花紋小盞口徑8.4厘米，底徑2.8厘米，高4厘米，它的形狀可近似看作一個(gè)圓臺(tái)，則該圓臺(tái)的體積約為（

）（單位：立方厘米）A．31π B．32π C．33π【答案】D【分析】利用圓臺(tái)體積公式直接求解即可.【詳解】設(shè)該圓臺(tái)的上底面、下底面的半徑分別為R，r，由題意R=4.2，r=1.4．則該圓臺(tái)的體積為13故選：D．18．下列幾何體中，為棱臺(tái)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征對(duì)選項(xiàng)中的幾何體進(jìn)行逐一分析判斷.【詳解】用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面與底面之間的部分稱為棱臺(tái)．因此棱臺(tái)一定是兩個(gè)面互相平行，且所有側(cè)棱延長(zhǎng)后交于同一點(diǎn)，A選項(xiàng)，側(cè)棱延長(zhǎng)后沒(méi)有交于一點(diǎn)，不是棱臺(tái)，故A不符合題意；B選項(xiàng)，截面不平行于底面，不符合棱臺(tái)的定義，故B不符合題意；C選項(xiàng)，幾何體不是由棱錐截成的，不符合棱臺(tái)的定義，故C不符合題意；D選項(xiàng)，符合棱臺(tái)的定義，故D符合題意.故選：D19．一封閉圓錐容器的軸截面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，一個(gè)半徑為33的小球在該容器內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)，則小球能接觸到的圓錐容器內(nèi)壁的最大面積為（

A．74π B．2π C．9【答案】A【分析】分別計(jì)算側(cè)面與底面上小球可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積，即可得解【詳解】在圓錐內(nèi)壁側(cè)面，小球接觸到的區(qū)域圍成一個(gè)圓臺(tái)側(cè)面，如下圖所示：

因?yàn)樾∏虻陌霃絆1E=所以AE=AF=BG=BJ=CK=CD=O又△AFE,△AGD都是等邊三角形，所以EF=1，GD=AB?BG=2，于是，圓臺(tái)的上、下底面圓的半徑分別EF2=1母線長(zhǎng)FG=AG?AF=2?1=1，所以圓臺(tái)的側(cè)面積為π×在圓錐底面，小球接觸到的區(qū)域是一個(gè)圓，其半徑為JK2=BC?2BJ綜上，圓錐內(nèi)壁上小球能接觸到的最大面積為32故選：A20．“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由兩種或多種正多邊形面組成，而又不屬于正多面體的凸多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美如圖，某廣場(chǎng)的一張石凳就是一個(gè)阿基米德多面體，它是由正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的二十四等邊體，若它所有的棱長(zhǎng)都為2，則下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（

）

A．該石凳的表面積為24+83 B．該石凳的體積為C．直線LH與BC的夾角為60° D．直線LH與BC的夾角為45°【答案】D【分析】將二十四等邊體補(bǔ)全成一個(gè)棱長(zhǎng)為22的一個(gè)正方體，進(jìn)而逐項(xiàng)判斷即可：選項(xiàng)A，結(jié)合圖形可知二十四等邊體是由6個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和8個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形圍成，表面積為這些圖形面積的總和；選項(xiàng)B，補(bǔ)全八個(gè)角構(gòu)成一個(gè)棱長(zhǎng)為22的一個(gè)正方體，用正方體體積減去8個(gè)小三棱錐體積即可；選項(xiàng)C，結(jié)合正方體的性質(zhì)和已知二十四等邊體的性質(zhì)推出LH//FC，從而得出直線LH與BC的夾角即為FC與【詳解】由圖可知，二十四等邊體是由6個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和8個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形圍成，∴表面積為：6×2×2+8×1補(bǔ)全八個(gè)角構(gòu)成一個(gè)棱長(zhǎng)為22V=(2其中每個(gè)小三棱錐的體積為：V1∴該二十四面體的體積為：162

如圖，因?yàn)樗倪呅蜛ELH為正方形，所以LH//AE，又因?yàn)锳,E,C,F分別為正方體的棱長(zhǎng)的中點(diǎn)，所以AE//CF，所以LH//FC，因?yàn)镕C與BC所成角為60°所以直線LH與BC的夾角為60°由選項(xiàng)C可知直線LH與BC的夾角為60°故選：D．21．如圖，某羊皮鼓模型可視為由兩個(gè)相同的圓臺(tái)組成，兩圓臺(tái)較小的底面完全重合．已知一個(gè)圓臺(tái)的兩底面半徑分別為10?cm,20?cmA．1000B．1000C．2000D．2000【答案】C【分析】利用圓臺(tái)的側(cè)面積計(jì)算公式與圓的面積公式計(jì)算即可求解.【詳解】由題可知圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為20?102則圓臺(tái)的側(cè)面積為S1=1220故該羊皮鼓模型的表面積為S=2S故選：C.22．如圖，為大圓臺(tái)型碗的內(nèi)部放置著一個(gè)小圓臺(tái)型的碗，且小圓臺(tái)型碗的大口面恰好為大圓臺(tái)型碗的小口面，兩圓臺(tái)的軸截面分別為ABCD和ABEF，若4EF=2AB=CD，則大圓臺(tái)型碗與小圓臺(tái)型碗側(cè)面積之比為（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由圓臺(tái)側(cè)面積公式得S大圓臺(tái)側(cè)=πa+2a×BC【詳解】不妨設(shè)EF=a，則AB=2a，CD=4a，如圖，延長(zhǎng)AF，BE相交于點(diǎn)O，易知軸截面ABCD與ABEF均為等腰梯形，由4EF=2AB=CD，得點(diǎn)O必然落在線段DC上且點(diǎn)O為DC的中點(diǎn)，所以S大圓臺(tái)側(cè)=π易知四邊形ABCO是平行四邊形，則BC=2AF，所以S大圓臺(tái)側(cè)

故選：C.23．如圖，在平行六面體AC1中，E是AB的中點(diǎn)，過(guò)B1,DA．3:4 B．5:7 C．4:7 D．7:17【答案】D【分析】被截面D1B1EF分割成的左邊的幾何體是個(gè)三棱臺(tái),要求其體積,由于【詳解】解析

解法1：如圖，作B1E的延長(zhǎng)線，交A1A的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A2，由E為AB的中點(diǎn)知A為A1A2的中點(diǎn)，連結(jié)A2D1，則A2D1與AD的交點(diǎn)必為點(diǎn)因?yàn)槠矫鍭BCD//平面A1且截面D1B1EF∩平面ABCD=EF，截面D1B1所以EF//B1D1，又因?yàn)锽D//B1D又E是AB的中點(diǎn)，所以F是AD的中點(diǎn)，則截面D1B所以S△AEF又hA2所以VA2?AEF又VA所以V所以VAEF?從而V左故選D．解法2：設(shè)平行六面體的底面面積為2S，高為h，由棱臺(tái)體積公式，得V左于是V右=2Sh?7故選D．24．在四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，AB=2A1B1【答案】2【分析】設(shè)上底面面積為S1，下底面面積為S，高為h【詳解】設(shè)四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D由于AB=2A1B1，四邊形ABCD和四邊形則V=1又V0又VD?VA所以V0所以V0故答案為：225．某圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為1:4:4，若母線長(zhǎng)為15，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為．【答案】225【分析】設(shè)該圓臺(tái)的上底面半徑為r，下底面半徑為R，高為h，根據(jù)條件求出R,r，再利用圓臺(tái)的側(cè)面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)該圓臺(tái)的上底面半徑為r，下底面半徑為R，高為h，則R=h=4r，其母線長(zhǎng)l=h所以r=3，R=12，故S側(cè)故答案為：225π26．已知甲、乙兩個(gè)圓臺(tái)上、下底面的半徑均為r1和r2，母線長(zhǎng)分別為2r2?r【答案】6【分析】先根據(jù)已知條件和圓臺(tái)結(jié)構(gòu)特征分別求出兩圓臺(tái)的高，再根據(jù)圓臺(tái)的體積公式直接代入計(jì)算即可得解.【詳解】由題可得兩個(gè)圓臺(tái)的高分別為h甲h乙所以V甲故答案為：6427．如圖所示的圖形是由六個(gè)直角邊均為1和3的直角三角形組成的，則該圖形繞直線l旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積為.【答案】17【分析】根據(jù)圖形，外面的六邊形的邊長(zhǎng)為3，旋轉(zhuǎn)得到的幾何體是兩個(gè)同底的圓臺(tái)，再根據(jù)圓臺(tái)的體積公式求解，內(nèi)部的六邊形邊長(zhǎng)為1，旋轉(zhuǎn)得到的幾何體是一個(gè)圓柱，兩個(gè)與圓柱同底的圓錐.再根據(jù)圓柱，圓錐的體積公式求解，然后外部的減內(nèi)部的體積即為所求.【詳解】根據(jù)題意，直角三角形斜邊為2，又直角短邊長(zhǎng)度為1，所以直線l與上下兩個(gè)直角三角形斜邊的交點(diǎn)均為中點(diǎn)，即直線l左右平分此圖形，由題意可知此圖外面的六邊形邊長(zhǎng)為3，如圖：作BE⊥AD,CF⊥AD，∠ABE=∠DCF=30AB=BC=3，可得BE=所以AD=23由圓臺(tái)定義可得：該圖形繞直線l旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是兩個(gè)同底的圓臺(tái)，上底半徑為32，下底半徑為3，高為3所以旋轉(zhuǎn)得到的幾何體的體積為2×1又內(nèi)部的六邊形邊長(zhǎng)為1，作MH⊥NG，MN=1,∠MNH=30所以MH=1所以旋轉(zhuǎn)得到的幾何體是一個(gè)圓柱，兩個(gè)與圓柱同底的圓錐，圓錐的底面半徑為32，高為12，圓柱的底面半徑為內(nèi)部的六邊形旋轉(zhuǎn)得到的幾何體的體積為2×1所以幾何體的體積為21π故答案為：1728．2024年12月4日，中國(guó)申報(bào)的“春節(jié)——中國(guó)人慶祝傳統(tǒng)新年的社會(huì)實(shí)踐”成功通過(guò)聯(lián)合國(guó)教科文組織評(píng)審，成為全球共享的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．春節(jié)燈籠象征著喜慶與團(tuán)圓，圖①為明代風(fēng)格的八角燈籠，由18個(gè)正方形和8個(gè)正三角形構(gòu)成，如圖②，若正方形的邊長(zhǎng)為1，則該燈籠的體積為．【答案】4+【分析】由幾何體的特征可分為八棱柱，三棱錐，三棱柱和長(zhǎng)方體，八棱柱的底面面積為一個(gè)正方形的面積減去4個(gè)以22【詳解】將多面體分割為1個(gè)八棱柱，8個(gè)三棱錐，8個(gè)三棱柱和2個(gè)長(zhǎng)方體，根據(jù)幾何體特征，八棱柱的底面可補(bǔ)形為一個(gè)邊長(zhǎng)為1+2故底面積為正方形的面積減去4個(gè)以22則八棱柱體積V1=1+三棱柱體積V3=12故該燈籠的體積為2+22+8×2故答案為：4+29．如圖，正三棱柱ABC?A1B(1)求圓柱的底面半徑；(2)求三棱柱ABC?A【答案】(1)3(2)81【分析】（1）根據(jù)圓柱的體積公式求圓柱的底面半徑.（2）根據(jù)三棱柱的體積公式求其體積.【詳解】（1）設(shè)圓柱的底面半徑為R，則圓柱的高為2R.由題意：πR2×2R=54π即圓柱的底面半徑為3.（2）因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，且其外接圓半徑為3，所以S△ABC又三棱柱的高為6，所以VABC?30．如圖是一塊正四棱臺(tái)ABCD?A

(1)求四棱臺(tái)ABCD?A(2)現(xiàn)要將這塊工藝石料最大限度打磨為一個(gè)圓臺(tái)造型，求圓臺(tái)O?O【答案】(1)20+1210(2)7πdm【分析】（1）利用正四棱臺(tái)的性質(zhì)，求出側(cè)面等腰梯形的高，再分別計(jì)算每個(gè)面的面積，相加即可得棱臺(tái)的表面積；（2）若要這塊石料最大限度打磨為一個(gè)圓臺(tái)，則圓臺(tái)O?O【詳解】（1）正四棱臺(tái)側(cè)面是全等的等腰梯形，分別取B1C1,BC中點(diǎn)M,N，連接O1M,ON,MN，作如圖所示，因?yàn)镺1O//MH，O1則O1O=MH=3dm，O1M=1所以MN=M所以四棱臺(tái)ABCD?A1B

（2）若要這塊石料最大限度打磨為一個(gè)圓臺(tái)，則圓臺(tái)O?O則圓臺(tái)O?O1上底面圓半徑O1Q=1dm則圓臺(tái)O?O1的體積為考點(diǎn)03球31．如圖是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1DA．π3 B．2π3 C．4π【答案】C【分析】根據(jù)題意可得三棱錐D?A1BC1【詳解】連接它們的交線后如下圖所示，即兩個(gè)三棱錐D?A1BC1作SR，WT的中點(diǎn)M，N，設(shè)內(nèi)切球的半徑為所以PS=2，SM=所以PM=PN=2?12=62，OM=所以r=1×22故選：C．32．《九章算術(shù)·商功》中定義的鱉臑，是指四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐．在如圖所示的鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BC,AB=BC=CD=2，則鱉臑ABCD的外接球和內(nèi)切球的半徑之比為（

）A．6 B．6+3 C．3 【答案】B【分析】利用已知條件將三棱錐放入正方體中可求外接球的半徑，再利用等體積法可求內(nèi)切球的半徑.【詳解】由AB⊥平面BCD，CD⊥BC，得AB⊥BC,AB⊥BD,AB⊥CD,因?yàn)锳B∩BC=B且AB,BC?平面ABC，所以CD⊥平面ABC,又AC?平面ABC，得CD⊥AC.由AB=BC=CD=2，得AC=BD=22于是將三棱錐放入正方體中，如下圖：三棱錐A?BCD的外接球即為正方體的外接球，其設(shè)外接球的半徑為R，則2R=AB2設(shè)內(nèi)切球的球心為O，半徑為r，因?yàn)閮?nèi)切球的球心到各個(gè)面的距離等于半徑r，所以，VA?BCD131223=2所以Rr故選：B33．將一塊直三棱柱形的石料進(jìn)行切削、打磨、加工成球，經(jīng)測(cè)量其高度為6m，底面為直角三角形其直角邊長(zhǎng)分別為6m和8mA．2m B．3m C．4m【答案】A【分析】根據(jù)題意，球要完全包含在直三棱柱內(nèi)，所以球的直徑不能超過(guò)底面三角形的內(nèi)切圓直徑，也不能超過(guò)三棱柱的高，所以根據(jù)幾何體特征，求得底面內(nèi)切圓的半徑為2，直徑為4，小于6，故球的最大半徑為2m【詳解】已知直三棱柱底面為直角三角形，且直角邊分別為6m和8根據(jù)勾股定理，底面三角形的斜邊為10m設(shè)底面三角形的內(nèi)切圓半徑為r，根據(jù)三角形面積公式S=12ab又三角形面積公式S=12a+b+cr（其中所以12ab=12a+b+c所以直徑為4，小于直三棱柱的高.因?yàn)榍蛞耆谥比庵鶅?nèi)，所以球的直徑不能超過(guò)底面三角形的內(nèi)切圓直徑，也不能超過(guò)三棱柱的高，所以球的最大半徑為2m故選：A34．已知圓柱與圓錐的底面半徑相等，高相等，且圓錐的軸截面為正三角形，記圓柱外接球的表面積為S1，圓錐外接球的表面積為S2，則S1A．2116 B．214 C．214【答案】A【分析】設(shè)圓柱與圓錐的底面半徑為1，可得圓柱與圓錐的高均為3，再設(shè)圓柱外接球的半徑為R1，圓錐外接球的半徑為R2，結(jié)合圖象建立R1、R【詳解】不妨設(shè)圓柱與圓錐的底面半徑為1，則由圓錐的軸截面為正三角形，可得圓柱與圓錐的高均為32設(shè)圓柱外接球的半徑為R1，圓錐外接球的半徑為R由圖可得R12=解得R2=2則S1故選：A.35．中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)?秦?漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，書中將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．如圖為一個(gè)陽(yáng)馬與一個(gè)鱉臑的組合體，已知PA⊥平面ABCE，四邊形ABCD為正方形，AD=23,ED=1，若鱉臑P?ADE的體積為2，則陽(yáng)馬P?ABCD外接球的表面積為（

A．144π B．36π C．24π【答案】B【分析】根據(jù)鱉臑P?ADE的體積為2先求AP，進(jìn)而得陽(yáng)馬P?ABCD外接球的半徑R，最后根據(jù)球的表面積公式即可求解.【詳解】設(shè)陽(yáng)馬P?ABCD外接球的半徑為R，由題意有：VP?AED又PA⊥平面ABCE，四邊形ABCD為正方形，所以PA⊥AD,PA⊥AB,AD⊥AB，所以2R2所以陽(yáng)馬P?ABCD外接球的表面積為：S=4π故選：B.36．已知三棱錐P?ABC的底面△ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，PA=23,PB=PC=30，若三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O【答案】48【分析】根據(jù)三棱錐的棱長(zhǎng)以及面面垂直、線面垂直性質(zhì)，找出三棱錐P?ABC的外接球球心位置，結(jié)合勾股定理求出外接球半徑即可得出球的表面積.【詳解】取BC的中點(diǎn)為D，連接PD,AD，

設(shè)△ABC的重心為點(diǎn)G，則點(diǎn)G是AD上靠近D的三等分點(diǎn)，在△PAD中，取PA中點(diǎn)E，過(guò)G作垂直于AD的直線與PA的垂直平分線交于點(diǎn)O.由△ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形知，AD=33,AG=23由PB=PC=30得BC⊥PD，且PD=因?yàn)镻D∩AD=D,PD,AD?平面PAD，所以BC⊥平面PAD，因?yàn)锽C?平面ABC，所以平面PAD⊥平面ABC，所以O(shè)G⊥平面ABC，則O到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，又O在PA的垂直平分線上，所以O(shè)到P,A,B,C四點(diǎn)距離相等.在△PAD中，由余弦定理得cos∠EAG=在△EAG中，EG所以AE2+E點(diǎn)O與點(diǎn)G重合，球半徑R=AG=23所以球的表面積為4π故答案為：4837．如圖1，在平面四邊形ABCD中，△ACD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∠ABC=π2，將△ACD沿AC翻折，使得點(diǎn)D到點(diǎn)P的位置，如圖2所示．若平面PAC⊥平面ABC，三棱錐P?ABC的外接球的表面積為【答案】16π3【分析】根據(jù)給定條件，利用面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合球的截面性質(zhì)確定球心位置，求出球半徑即可求得球的表面積.【詳解】取AC中點(diǎn)O1，連接PO1,BO而平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PO1?則PO1⊥平面ABC，由∠ABC=π2，得O三棱錐P?ABC的外接球球心O在直線PO1上，而PO則OO1=|R?3|，由B所以三棱錐P?ABC的外接球的表面積S=4π故答案為：1638．一個(gè)底面直徑與高相等的封閉圓柱型容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)有半徑相等的鐵球A,B,C，若A,B,C同在圓柱的軸截面內(nèi)且圓柱底面半徑為2+5，則小球A的體積最大值為【答案】256【分析】根據(jù)小球體積最大可得三球的分布，再根據(jù)三球球心構(gòu)成的等