專題強(qiáng)化01：空間向量與立體幾何題型歸納【題型歸納】題型一：空間向量的線性運(yùn)算題型二：空間共線定理、共面定理題型三：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算題型四：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算題型五：空間向量研究線面平行與垂直題型六：空間向量研究空間距離問題題型七：空間向量研究空間角問題題型八：空間向量研究存在性問題【題型探究】題型一：空間向量的線性運(yùn)算1．（24-25高二上·廣東湛江·期中）如圖，在四面體中，．點(diǎn)在上，且為中點(diǎn)，則等于（）A． B．C． D．2．（24-25高二下·廣東·期中）已知三棱柱如圖所示，其中，若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．3．（24-25高二上·遼寧·階段練習(xí)）在正三棱錐中，O為外接圓圓心，則（

）A． B．C． D．題型二：空間共線定理、共面定理4．（23-24高二上·廣東廣州·期中）已知為空間內(nèi)三個(gè)不共面的向量，平面和平面的法向量分別為和，若，則（

）A．5 B． C．3 D．5．（24-25高二上·廣東·期中）已知A，B，C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)O不在平面ABC內(nèi)，，若A，B，C，D四點(diǎn)共面，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．26．（24-25高二下·上?！て谥校┰谡睦忮F中，，，設(shè)平面與直線交于點(diǎn)，，則．

題型三：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算7．（24-25高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都是1，，，為與的交點(diǎn)．設(shè)，，．(1)用，，表示，并求的值；(2)求的值．8．（22-23高二上·上?！て谥校┤鐖D所示，在三棱柱中，M，N分別是，上的點(diǎn)，且，.設(shè)，，.(1)試用，，表示向量；(2)若，，，求的長.9．（24-25高二上·河北唐山·期中）如圖，在六棱柱中，底面是正六邊形，設(shè)．若，求：(1)試用向量表示，并求的值；(2)求．題型四：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算10．（24-25高二下·江蘇常州·期中）已知向量，，．(1)若，求；(2)若三個(gè)向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，求實(shí)數(shù)的值．11．（21-22高二上·北京豐臺·期中）已知向量，.(1)求;(2)求;(3)若，求的值.12．（24-25高二上·廣東佛山·期中）已知向量，，．(1)當(dāng)時(shí)，若向量與垂直，求實(shí)數(shù)和的值；(2)若向量與向量，共面，求實(shí)數(shù)的值．題型五：空間向量研究線面平行與垂直13．（25-26高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）如圖，在直三棱柱中，側(cè)面是正方形，，，分別為棱，的中點(diǎn)，.用向量法證明：平面平面.14．（21-22高二·全國）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，為上一點(diǎn)，且．（請用空間向量法予以證明）(1)求證：平面PBC；(2)求證：平面BDE．15．（24-25高二上·重慶·期中）已知矩形ABCD，，，為CD中點(diǎn)，沿AE折成直二面角，為BC為中點(diǎn).

(1)求證：；(2)在棱DE上是否存在點(diǎn)N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，請說明理由.題型六：空間向量研究空間距離問題16．（24-25高二上·遼寧·期中）如圖，在直三棱柱中，，D是棱AC的中點(diǎn)，

(1)求C點(diǎn)到平面的距離.(2)求直線與平面所成的角的正弦值.17．（22-23高二下·福建寧德·期中）如圖所示，四棱錐的底面是正方形，底面，為的中點(diǎn)，.(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.18．（24-25高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，平面，，，，，，是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若，①求平面與平面所成角的余弦值；②在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．題型七：空間向量研究空間角問題19．（2023·上海閔行·一模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為a的正方形，側(cè)面底面，且，設(shè)分別為的中點(diǎn)．(1)證明：直線平面；(2)求直線PB與平面所成的角的正切值．20．（24-25高二下·江蘇南京·期中）如圖1，是底邊為2的等腰三角形，且，為等腰直角三角形，，將沿翻折到的位置，且點(diǎn)不在平面內(nèi)（如圖2），點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)當(dāng)平面平面時(shí)，求直線與平面所成角的余弦值；(3)若直線與所成角的余弦值為時(shí)，設(shè)平面與平面的夾角為，求的值．21．（23-24高二上·吉林長春·期中）如圖甲，在矩形中，，為線段的中點(diǎn)，沿直線折起，使得，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接、，如圖乙．(1)求證：平面；(2)線段上是否存在一點(diǎn)、使得平面與平面所成的角為？若不存在，說明理由：若存在，求出點(diǎn)的位置．題型八：空間向量研究存在性問題22．（24-25高二上·云南曲靖·期中）如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)在線段上是否存在一點(diǎn)使得與平面所成角的正弦值為？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.23．（24-25高二上·河南·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面是的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)在棱上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的長；若不存在，說明理由.24．（24-25高二上·上海嘉定·期中）如圖1，在等腰梯形ABCD中，，，，E為AD中點(diǎn)，點(diǎn)O，F(xiàn)分別為BE，DE的中點(diǎn).將沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE（如圖2）.(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)側(cè)棱上是否存在點(diǎn)P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【專題強(qiáng)化】一、單選題1．（23-24高二上·山西運(yùn)城·期中）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（

）.A．，， B．，，C．，， D．，，2．（25-26高二上·浙江·期中）如圖，在平行六面體中，，，，，則的長為（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·天津·階段練習(xí)）如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則等于（

）A． B．C． D．4．（23-24高二上·山西運(yùn)城·期中）已知為直線的一個(gè)方向向量，點(diǎn)，，則點(diǎn)P到直線的距離為（

）.A．4 B． C． D．5．（24-25高二下·甘肅白銀·期中）在三棱錐中，M是平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則（

）A． B．1 C．2 D．36．（24-25高二下·甘肅酒泉·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，，，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．（24-25高二上·江蘇常州·期中）如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．8．（24-25高二上·重慶·期中）如圖，已知平行四邊形，，且，沿對角線將折起，當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，則A與C之間距離為（

）A．2 B． C． D．二、多選題9．（24-25高二下·江蘇宿遷·期中）空間四點(diǎn).給出下列命題，其中正確的選項(xiàng)是（

）A．平面的一個(gè)法向量為B．若且，則C．點(diǎn)到直線的距離為D．四點(diǎn)共面10．（24-25高二上·海南省直轄縣級單位·期中）已知直三棱柱中，，，，的中點(diǎn)為，直線AB與所成的角為，則下列說法一定正確的是（

）A． B．C． D．11．（24-25高二下·云南昭通·期末）正方體的棱長為2，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與直線所成角為B．平面C．點(diǎn)C到平面的距離為D．直線與平面所成角的正弦值為12．（24-25高二上·江蘇常州·期中）如圖，菱形的邊長為為邊的中點(diǎn)，將沿折起，折疊后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，使得平面平面，連接，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)到平面的距離為B．三棱錐的體積為C．與所成角的余弦值為D．直線與平面所成角的正弦值為三、填空題13．（24-25高二下·福建龍巖·期中）已知向量，，則向量在向量上的投影向量的模為.14．（25-26高二上·天津·期中）如圖所示，在棱長均為2的平行六面體中，，點(diǎn)M為與的交點(diǎn)，則的長為.15．（24-25高二下·湖南長沙·期中）如圖，棱長為2的正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，若，則．16．（24-25高二下·江蘇鹽城·期中）如圖，一塊礦石晶體的形狀為四棱柱，底面是正方形，，，且，，與所成角的余弦值為．17．（24-25高二上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖，平行六面體的所有棱長均為2，兩兩所成夾角均為，點(diǎn)分別在棱上，且，，則．四、解答題18．（25-26高二上·新疆·期中）在四棱錐中，底面，，，，．

(1)證明：；(2)求與平面所成的角的正弦值．19．（25-26高二上·云南昭通·開學(xué)考試）如圖，在平行六面體中，分別為棱的中點(diǎn)，記，滿足，．(1)求的長度；(2)求與夾角的余弦值．20．（2024·湖南益陽·一模）如圖，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，，，，，，⊥平面，為上一點(diǎn)，且⊥，連接.(1)證明:⊥平面；(2)求平面與平面的夾角的