2/37專題1.2頻率與概率+隨機(jī)事件的獨(dú)立性教學(xué)目標(biāo)①通過(guò)實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生理解當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，實(shí)驗(yàn)頻率穩(wěn)定在某一常數(shù)附近，并據(jù)此能估計(jì)出某一事件發(fā)生的頻率。②理解隨機(jī)模擬試驗(yàn)出現(xiàn)地意義。③理解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念。④能進(jìn)行一些與事件獨(dú)立有關(guān)的概念的計(jì)算。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：①頻率與概率的關(guān)系②頻率與概率的計(jì)算③利用隨機(jī)模擬試驗(yàn)求概率④兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念；教學(xué)難點(diǎn)：與事件獨(dú)立有關(guān)的概念的計(jì)算；知識(shí)點(diǎn)01頻率與概率1.1隨機(jī)事件的頻率在相同的條件下重復(fù)次試驗(yàn)，觀察某一事件是否出現(xiàn),稱次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù)為事件出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件出現(xiàn)的比例為事件出現(xiàn)的頻率.1.2頻率的特點(diǎn)

隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生具有不確定性，但是，在相同條件下的大量重復(fù)試驗(yàn)中，它發(fā)生的頻率有以下特點(diǎn).

①在某次隨機(jī)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的頻率是一個(gè)變量，事先是無(wú)法確定的.但在大量重復(fù)試驗(yàn)后，它又具有穩(wěn)定性，即頻率在某個(gè)“常數(shù)”附近擺動(dòng)，并且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，擺動(dòng)的幅度具有越來(lái)越小的趨勢(shì).

②有時(shí)候試驗(yàn)也可能出現(xiàn)頻率偏離“常數(shù)”較大的情況，但是隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率偏離“常數(shù)”的可能性會(huì)減小.

③個(gè)別隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，但在大量試驗(yàn)中，它出現(xiàn)的次數(shù)與總試驗(yàn)次數(shù)之比常常是比較穩(wěn)定的.這種現(xiàn)象稱為頻率的穩(wěn)定性，是隨機(jī)事件內(nèi)在規(guī)律性的反映.1.3頻率的穩(wěn)定性(用頻率估計(jì)概率)

大量試驗(yàn)表明，在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性.一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，頻率偏離概概率的幅度會(huì)縮小，即事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率.我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率估計(jì)概率.【即學(xué)即練】拋一枚硬幣100次，有49次正面朝上，則事件“反面朝上”的概率和頻率分別是（

）A．0.5，0.5 B．0.51，0.51 C．0.49，0.49 D．0.5，0.51【答案】D【分析】根據(jù)頻率和概率的定義即可求解.【詳解】拋一枚硬幣100次，有49次正面朝上，故有51次反面朝上，故“反面朝上”的頻率為，“反面朝上”的概率為0.5，故選：D知識(shí)點(diǎn)02相互獨(dú)立事件的概念對(duì)任意兩個(gè)事件與，如果成立，則稱事件與事件相互獨(dú)立(mutuallyindependent)，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立．性質(zhì)1：必然事件、不可能事件與任意事件相互獨(dú)立性質(zhì)2：如果事件與相互獨(dú)立，則與，與，與也相互獨(dú)立則：，，【即學(xué)即練】依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，A表示事件“第一次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)為2”，B表示事件“第一次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，C表示事件“兩次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)之和為7”，則（

）A．A與B為相互獨(dú)立事件 B．A與C為互斥事件C．B與C為相互獨(dú)立事件 D．B與C為互斥事件【答案】C【分析】根據(jù)互斥事件的概念和獨(dú)立事件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】根據(jù)題意可知，.第一次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)為2，且第一次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的概率為0，即，所以不相互獨(dú)立，所以A錯(cuò)誤；第一次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，兩次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)之和為7的情況數(shù)有.所以，所以相互獨(dú)立，所以C正確；第一次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)為2，且兩次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)之和為7的情況數(shù)有，這說(shuō)明能同時(shí)發(fā)生，所以不是互斥事件，B錯(cuò)誤；第一次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，兩次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)之和為7的情況數(shù)有.這說(shuō)明能同時(shí)發(fā)生，所以不是互斥事件，D錯(cuò)誤；故選：C.知識(shí)點(diǎn)03相互獨(dú)立事件的概率求法已知兩個(gè)事件，相互獨(dú)立，它們的概率分別為，，則有事件表示概率，同時(shí)發(fā)生，都不發(fā)生，恰有一個(gè)發(fā)生，中至少有一個(gè)發(fā)生或，中至多有一個(gè)發(fā)生或【即學(xué)即練】唐山河頭老街景區(qū)近期持續(xù)火爆出圈．甲、乙2人暑假來(lái)此地旅游的概率分別為，，假定2人的行動(dòng)相互沒(méi)有影響，則暑假至少有1人來(lái)此地旅游的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用相互獨(dú)立事件及對(duì)立事件的概率公式計(jì)算得解.【詳解】暑假兩人都沒(méi)來(lái)此地旅游的概率為，所以暑假至少有1人來(lái)此地旅游的概率為.故選：B知識(shí)點(diǎn)04互斥事件與相互獨(dú)立事件的區(qū)別相互獨(dú)立事件互斥事件判斷方法一個(gè)事件發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，即概率公式事件與相互獨(dú)立等價(jià)于事件與互斥，則【即學(xué)即練】已知，，，則事件與的關(guān)系是（

）A．與互斥不對(duì)立 B．與對(duì)立C．與相互獨(dú)立 D．與既互斥又獨(dú)立【答案】C【分析】利用計(jì)算出，可得到則能得到與不互斥，不對(duì)立；再利用算出即可得到答案【詳解】由可得，因?yàn)?，則與不互斥，不對(duì)立，由可得，因?yàn)?，所以與相互獨(dú)立故選：C題型01計(jì)算頻率【典例1】袋中有10個(gè)球，有紅球和黃球兩種類型．小明有放回地取10000次，有6993次取到紅球，有3007次取到黃球，那么紅球最有可能有個(gè)．【答案】7【分析】利用頻率近似紅球的所占比例可得答案.【詳解】因?yàn)榧t球所占比例為，所以紅球的個(gè)數(shù)最有可能有.故答案為：.【變式1】在一次拋擲硬幣的試驗(yàn)中，共擲了100次，“正面朝上”的頻數(shù)為48，則“反面朝上”的頻率為（

）A．48 B．0.48 C．52 D．0.52【答案】D【分析】結(jié)合題意，由頻率等于頻數(shù)比總數(shù)可得.【詳解】由題意可得反面朝上的頻數(shù)為52，所以其頻率為.故選：D【變式2】對(duì)某班名同學(xué)的一次數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如果這一組的頻數(shù)是，那么這個(gè)班的學(xué)生這次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，成績(jī)?cè)诜种g的頻率是（

）A．18 B．0.4 C．0.35 D．0.3【答案】D【分析】根據(jù)頻率的計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】由題意，成績(jī)?cè)诜种g的頻率是.故選：D.【變式3】某同學(xué)拋擲硬幣100次，有51次出現(xiàn)正面.因此出現(xiàn)正面的頻率是.【答案】0.51/【分析】根據(jù)頻率公式計(jì)算即可.【詳解】由題意，出現(xiàn)正面的頻率為.故答案為：0.51.【變式4】從存放號(hào)碼分別為的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一張卡片，并記下號(hào)碼，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：卡片號(hào)碼12345678910取到次數(shù)15105769189129取到號(hào)碼為奇數(shù)的頻率為.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)表求出取到奇數(shù)號(hào)碼的次數(shù)即可計(jì)算作答.【詳解】由數(shù)表知，取到奇數(shù)號(hào)碼的次數(shù)是：，所以取到號(hào)碼為奇數(shù)的頻率為.故答案為：0.56題型02辨析頻率與概率的關(guān)系【典例1】某人將一枚硬幣連續(xù)擲了10次，6次正面朝上，若事件A表示“拋擲一枚硬幣，正面朝上”，則事件A的（

）A．頻率為，概率為 B．頻率為，概率為C．頻率為，概率為 D．頻率為，概率為【答案】B【詳解】事件A的頻率為，概率為．【變式1】下列說(shuō)法中正確的是（

）A．隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率B．在n次隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有確定性C．在同一次試驗(yàn)中，每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的頻率之和不一定等于1D．隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合頻率，概率的定義，即可逐一判斷.【詳解】對(duì)于A，一般而言，頻率是試驗(yàn)值，而概率是估計(jì)值，故不是同一個(gè)概念，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在n次隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在同一次試驗(yàn)中，每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的頻率之和一定等于1，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)隨機(jī)事件發(fā)生的概率定義，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率，故D正確.故選:D.【變式2】某同學(xué)做立定投籃訓(xùn)練，共3組，每組投籃次數(shù)和命中的次數(shù)如下表：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)信息，用頻率估計(jì)一次投籃命中的概率，誤差較小的可能性的估計(jì)是（

）第一組第二組第三組合計(jì)投籃次數(shù)100200300600命中的次數(shù)66126183375命中的頻率0.660.630.610.625A．0.61 B．0.63 C．0.625 D．0.66【答案】C【分析】根據(jù)頻率和概率的關(guān)系即可判斷.【詳解】由題可知，試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率越接近概率，對(duì)可能性的估計(jì)誤差越小，可能性越大，所以合計(jì)列對(duì)應(yīng)的頻率最為合適.故選：C.【變式3】根據(jù)統(tǒng)計(jì)，某籃球運(yùn)動(dòng)員在1000次投籃中，命中的次數(shù)為860次，則該運(yùn)動(dòng)員（

）A．投籃10次至少有8次命中 B．投籃命中的頻率為0.86C．投籃命中的概率為0.86 D．投籃100次有86次命中【答案】B【分析】根據(jù)頻率、概率的含義以及與事件的關(guān)系判斷，即得答案.【詳解】由題意可知投籃命中的頻率為，而頻率可能比概率大也可能小，概率是頻率的穩(wěn)定值，二者不一定相等，故B正確，C錯(cuò)誤；投籃10次或100次相當(dāng)于做10次或100次試驗(yàn)，每一次的結(jié)果都是隨機(jī)的，其結(jié)果可能是一次都沒(méi)中，也可能是多次投中等，頻率和概率只反映事件發(fā)生的可能性的大小，不代表事件一定會(huì)發(fā)生，故AD錯(cuò)誤，故選：B【變式4】小明將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子連續(xù)拋擲了5次，每次朝上的點(diǎn)數(shù)都是2，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．朝上的點(diǎn)數(shù)是2的概率和頻率均為1B．若拋擲30000次，則朝上的點(diǎn)數(shù)是2的概率為1C．拋擲第6次，朝上的點(diǎn)數(shù)一定不是2D．拋擲60000次，朝上的點(diǎn)數(shù)為2的次數(shù)大約為10000次【答案】D【分析】根據(jù)頻率與概率的概念判斷A，由頻率與概率的關(guān)系判斷BD，由概率的概念判斷C.【詳解】A：由題意知朝上的點(diǎn)數(shù)是2的頻率為1，概率為，故A錯(cuò)誤；B：當(dāng)拋擲次數(shù)很多時(shí)，朝上的點(diǎn)數(shù)是2的頻率在附近擺動(dòng)，故B錯(cuò)誤；C：拋擲第6次，朝上的點(diǎn)數(shù)可能是2，也可能不是2，故C錯(cuò)誤；D：每次拋擲朝上的點(diǎn)數(shù)是2的概率為，所以拋擲60000次朝上的點(diǎn)數(shù)為2的次數(shù)大約為10000，理論和實(shí)際會(huì)有一定的出入，故D正確．故選：D．題型03用頻率估計(jì)概率【典例1】在滑翔傘定點(diǎn)比賽中，飛行員在降落時(shí)一般會(huì)踩中半徑為16cm的電子靶，以距靶心距離的遠(yuǎn)近作為打分依據(jù)．若某次比賽中規(guī)定：降落時(shí)距靶心的距離小于8cm，會(huì)獲得“優(yōu)秀飛行員”稱號(hào)．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名飛行員此次比賽降落時(shí)距靶心距離（單位：cm）的數(shù)據(jù)如下表：降落時(shí)距靶心距離（單位：cm）人數(shù)18213922用頻率估計(jì)概率，若隨機(jī)抽取1人，則此人為“優(yōu)秀飛行員”的概率為（

）A．0.18 B．0.21 C．0.39 D．0.40【答案】C【分析】根據(jù)題意利用頻率估計(jì)概率進(jìn)行計(jì)算.【詳解】由題可知，樣本容量為100人，獲得“優(yōu)秀飛行員”稱號(hào)的人數(shù)為人，所以隨機(jī)抽取1人，此人為“優(yōu)秀飛行員”的概率．故選：C【變式1】一個(gè)不透明的袋中裝有除顏色外均相同的8個(gè)紅球，4個(gè)白球，若干個(gè)黑球，每次搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回袋中，經(jīng)過(guò)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.4，則袋中約有黑球（

）A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【答案】C【分析】利用頻率估計(jì)概率，可知隨機(jī)摸出一個(gè)球摸到黑球的概率約為0.4，進(jìn)而分析求解.【詳解】設(shè)袋中黑球有個(gè)，利用頻率估計(jì)概率，可知隨機(jī)摸出一個(gè)球摸到黑球的概率約為0.4，由題意可得：，解得，所以袋中約有黑球8個(gè).故選：C.【變式2】《九章算術(shù)》中有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送米1805石（古代容量單位），驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得155粒內(nèi)夾谷31粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（

）A．361石 B．341石 C．314石 D．360石【答案】A【分析】根據(jù)抽樣取米一把，數(shù)得155粒內(nèi)夾谷31粒，可計(jì)算出夾谷的頻率，從而可解．【詳解】根據(jù)題意，抽樣取米一把，數(shù)得155粒內(nèi)夾谷31粒，則樣本中夾谷的頻率為，則這批米內(nèi)夾谷約為（石.故選：A【變式3】某學(xué)校乒乓球比賽，學(xué)生甲和學(xué)生乙比賽3局（采取三局兩勝制），假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率是0.7，乙獲勝的概率是0.3，利用計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)，計(jì)算機(jī)產(chǎn)生之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)時(shí)，表示一局甲獲勝，其概率是0.7.由于要比賽3局，所以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，例如，產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)；603099316696851916062107493977329906355860375107347467822166根據(jù)隨機(jī)數(shù)估計(jì)甲獲勝的概率為（

）A．0.9 B．0.95 C．0.8 D．0.85【答案】A【分析】由頻率可得到概率估計(jì)值.【詳解】設(shè)事件為“甲獲勝”，20組隨機(jī)數(shù)，其中事件發(fā)生了18次，.故選：A.【變式4】某煙花爆竹廠從20萬(wàn)件同類產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了100件進(jìn)行質(zhì)檢，發(fā)現(xiàn)其中有5件不合格，那么請(qǐng)你估計(jì)該廠這20萬(wàn)件產(chǎn)品中合格產(chǎn)品約有（

）A．1萬(wàn)件 B．18萬(wàn)件 C．19萬(wàn)件 D．2萬(wàn)件【答案】C【分析】用樣本的合格率估計(jì)總體的合格率，再估算出合格產(chǎn)品件數(shù)．【詳解】由題意合格率為，因此合格品件數(shù)約為（萬(wàn)件），故選：C．題型04獨(dú)立事件的判斷【典例1】一個(gè)箱子里有6個(gè)大小顏色相同的小球，編號(hào)為，從中有放回地抽取2次（每次取1個(gè)球）.設(shè)事件：“第一次取出的球的號(hào)碼大于3”，事件：“兩次取出的球的號(hào)碼之和為偶數(shù)”.(1)求事件的概率；(2)判斷事件與事件是否相互獨(dú)立，并說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)事件與事件相互獨(dú)立.【分析】（1）根據(jù)題意求出樣本空間以及事件的樣本點(diǎn)，利用古典概型公式即可求解；（2）先求事件與事件的樣本點(diǎn)，進(jìn)而求，根據(jù)事件的獨(dú)立性的定義即可求解.【詳解】（1）由題意有：設(shè)表示第一次取得小球號(hào)碼，表示第二次取得小球號(hào)碼，表示2次取得小球號(hào)碼，則共有36個(gè)樣本點(diǎn)，共有18個(gè)樣本點(diǎn)，所以；（2）共有18個(gè)樣本點(diǎn)，共有個(gè)樣本點(diǎn)，所以，，所以，所以事件與事件相互獨(dú)立.【變式1】一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1、2、3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.隨機(jī)地抽取3次，每次抽取1張.(1)若抽取是放回的，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a、b、c.求“抽取的卡片上的數(shù)字a、b、c不完全相同”的概率；(2)若抽取是不放回的，記事件A為第一次取出標(biāo)記為1的卡片，事件B為第二次取出標(biāo)記為2的卡片，判斷事件A，B是否獨(dú)立.【答案】(1)；(2)不獨(dú)立，理由見(jiàn)詳解【分析】（1）先根據(jù)古典概型，計(jì)算“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c完全相同”的概率，再由對(duì)立事件的概率求解即可；（2）列出樣本空間，分別求出事件A,B及AB發(fā)生的概率，驗(yàn)證與是否相等即可.【詳解】（1）依題意，放回的隨機(jī)地抽取3次，每次抽取1張共有種結(jié)果，其中滿足“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c完全相同”的有：，共計(jì)3個(gè)，故“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c完全相同”的概率為，∴“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為.（2）根據(jù)題意，全體樣本空間為，，事件，，故，事件，，故，事件，,故，因?yàn)?，所以事件不相互?dú)立.【變式2】質(zhì)地均勻的正方體骰子，六個(gè)面上點(diǎn)數(shù)分別為1、2、3、4、5、6.(1)拋擲一次骰子，求點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的概率；(2)拋擲兩次骰子，設(shè)事件A為第一次的點(diǎn)數(shù)為4，事件B為兩次點(diǎn)數(shù)和為6，事件C為兩次點(diǎn)數(shù)和為7.分別判斷事件A和B是否獨(dú)立？事件A和C是否獨(dú)立？【答案】(1)(2)事件A和B不獨(dú)立，事件A和C獨(dú)立【分析】（1）因拋擲骰子得到的點(diǎn)數(shù)奇偶各占一半，易得題中概率；（2）依題分別求出事件的概率，以及與的概率，利用獨(dú)立事件的概率乘法公式檢驗(yàn)即可判斷.【詳解】（1）拋擲一次骰子，奇偶點(diǎn)數(shù)各占一半，故點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的概率是；（2）依題易得，因“兩次點(diǎn)數(shù)和為6”包括“”5種情況，故；又“兩次點(diǎn)數(shù)和為7”包括“”6種情況，故，當(dāng)?shù)谝淮吸c(diǎn)數(shù)為4，則第二次點(diǎn)數(shù)只可能為2時(shí)，兩次點(diǎn)數(shù)才會(huì)是6，所以，而，故事件和B不獨(dú)立．第一次點(diǎn)數(shù)為4，則第二次點(diǎn)數(shù)只可能為3時(shí)，兩次點(diǎn)數(shù)才會(huì)是7，所以，而，故事件和C獨(dú)立．題型05獨(dú)立事件與互斥事件【典例1．投擲一枚均勻的骰子，事件A：點(diǎn)數(shù)大于2；事件B：點(diǎn)數(shù)小于4；事件C：點(diǎn)數(shù)為偶數(shù).則下列關(guān)于事件描述正確的是（

）A．A與B是互斥事件 B．A與B是對(duì)立事件C．A與C是獨(dú)立事件 D．B與C是獨(dú)立事件【答案】C【分析】根據(jù)互斥事件，對(duì)立事件，獨(dú)立事件概率公式和定義，即可判斷選項(xiàng).【詳解】和有公共事件：點(diǎn)數(shù)為3，所以不是互斥事件，也不是對(duì)立事件，故AB錯(cuò)誤；事件表示點(diǎn)數(shù)為4或6，，，，所以，所以與是獨(dú)立事件，故C正確；事件表示點(diǎn)數(shù)為2，則，，，所以，所以與不是獨(dú)立事件，故D錯(cuò)誤故選：C【變式1】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，設(shè)“第一枚硬幣正面朝上”為事件A，“第二枚硬幣反面朝上”為事件B，則下述正確的是（

）.A．A與B對(duì)立 B．A與B互斥C． D．A與B相互獨(dú)立【答案】D【分析】根據(jù)題意，列舉出拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果，再逐一分析判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），則事件包含的結(jié)果有：（正，正），（正，反），事件包含的結(jié)果有：（正，反），（反，反），顯然事件，事件都包含“（正，反）”這一結(jié)果，即事件，事件能同時(shí)發(fā)生，所以，事件，事件既不互斥也不對(duì)立，故AB錯(cuò)誤.又因?yàn)?，而，，所以，，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：D【變式2】袋內(nèi)有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中有放回地摸球，如果“第一次摸得白球”記為事件A，“第二次摸得白球”記為事件B，那么事件A與B，A與間的關(guān)系是（

）A．A與B，A與均相互獨(dú)立B．A與B相互獨(dú)立，A與互斥C．A與B，A與均互斥D．A與B互斥，A與相互獨(dú)立【答案】A【分析】結(jié)合獨(dú)立事件和互斥事件直接判斷即可.【詳解】由于是有放回地摸球，事件A的發(fā)生并不影響事件B的發(fā)生，故A與B，A與均相互獨(dú)立.故選：A【變式3】某科研小組共60名成員，他們需要完成甲、乙、丙、丁四個(gè)科研項(xiàng)目，科研成員隨機(jī)參與，且每個(gè)人可以參與一個(gè)或多個(gè)項(xiàng)目．若參與甲項(xiàng)目的有30人，參與乙項(xiàng)目的有10人，參與丙項(xiàng)目的有20人，參與丁項(xiàng)目的有30人，參與了甲項(xiàng)目或乙項(xiàng)目的共有40人，同時(shí)參與了甲項(xiàng)目和丙項(xiàng)目的有10人，參與了甲項(xiàng)目或丁項(xiàng)目的共有60人，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．參與甲項(xiàng)目與參與乙項(xiàng)目不互斥 B．參與甲項(xiàng)目與參與丁項(xiàng)目互斥但不對(duì)立C．參與丙項(xiàng)目與參與丁項(xiàng)目不相互獨(dú)立 D．參與甲項(xiàng)目與參與丙項(xiàng)目相互獨(dú)立【答案】D【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)甲乙項(xiàng)目的參加情況得到，即可得到參與甲項(xiàng)目與參與乙項(xiàng)目互斥；B選項(xiàng)，根據(jù)甲丁項(xiàng)目的參加情況得到，即可得到參與甲項(xiàng)目與參與丁項(xiàng)目互斥且對(duì)立；C選項(xiàng)，根據(jù)參與甲項(xiàng)目與參與丁項(xiàng)目對(duì)立和得到，然后得到，，，最后利用乘法公式判斷；D選項(xiàng)，利用乘法公式判斷即可.【詳解】設(shè)總?cè)藬?shù)為，記參與甲，乙，丙，丁項(xiàng)目分別為事件，由題意可得，故，故參與甲項(xiàng)目與參與乙項(xiàng)目互斥，故A錯(cuò)誤；由題意可得，，故，故參與甲項(xiàng)目與參與丁項(xiàng)目互斥且對(duì)立，故B錯(cuò)誤；由題意得，故，，故，故參與丙項(xiàng)目與參與丁項(xiàng)目相互獨(dú)立，故C錯(cuò)誤；，故參與甲項(xiàng)目與參與丙項(xiàng)目相互獨(dú)立，故D正確．故選：D．【變式4】已知甲盒中有3個(gè)大小和質(zhì)地相同的小球，標(biāo)號(hào)為，乙盒中有3個(gè)大小和質(zhì)地相同的小球，標(biāo)號(hào)為，現(xiàn)從甲?乙兩盒中分別隨機(jī)摸出1個(gè)小球，記事件“摸到的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)相同”，事件“摸到的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和為奇數(shù)”，則（

）A．事件A和相等 B．事件A和互相對(duì)立C．事件A和相互獨(dú)立 D．事件A和互斥【答案】D【分析】列舉出樣本空間、事件和事件，即可判斷A；對(duì)于BD：根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的概念分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)事件概率乘法公式分析判斷.【詳解】用每次取球的結(jié)果，分別表示甲?乙兩盒中分別隨機(jī)摸出1個(gè)小球的標(biāo)號(hào)，由題意可知：樣本空間；事件；事件，；對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以事件A和不相等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)BD：因?yàn)槭录允录嗀和互斥，事件A和不互相對(duì)立，故B錯(cuò)誤，D正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，則，顯然，所以事件A和不相互獨(dú)立，故C錯(cuò)誤；故選：D.題型06獨(dú)立事件的乘法公式【典例1】已知甲?乙兩人參加闖關(guān)活動(dòng)，活動(dòng)一共設(shè)置兩關(guān).甲每關(guān)闖關(guān)成功的概率均為，乙每關(guān)闖關(guān)成功的概率均為，且甲?乙兩人闖關(guān)成功與否互不影響，則甲?乙兩人總共至少有三關(guān)闖關(guān)成功的概率是.【答案】/【分析】根據(jù)題意，計(jì)算甲?乙兩人總共至少有三關(guān)闖關(guān)成功的概率，即計(jì)算成功關(guān)數(shù)為3或4的概率，根據(jù)甲，乙的闖關(guān)結(jié)果是獨(dú)立的，可先分別計(jì)算出甲，乙分別闖關(guān)成功的概率，再結(jié)合兩者的結(jié)果進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】設(shè)事件“甲有關(guān)闖關(guān)成功”，“乙有關(guān)闖關(guān)成功”，，則，，，，設(shè)甲、乙兩人總共至少有三關(guān)闖關(guān)成功的事件為，則，.故答案為：.【變式1】若事件與事件相互獨(dú)立，，，則.【答案】【分析】先利用對(duì)立事件概率公式和獨(dú)立事件乘法公式求得，再利用對(duì)立事件概率公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故答案為：【變式2】已知A，B兩個(gè)事件相互獨(dú)立，且，，則.【答案】0.42/【分析】利用獨(dú)立事件的乘法公式即可求解.【詳解】因?yàn)锳，B相互獨(dú)立，所以.故答案為：【變式3】已知事件A，B相互獨(dú)立，且，，則.【答案】【分析】由對(duì)立事件概率公式可得，再由獨(dú)立事件乘法可得即可.【詳解】由題設(shè)，而，所以.故答案為：.【變式4】端午節(jié)是我國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日，甲，乙，丙3人端午節(jié)來(lái)徐州旅游的概率分別是，，，假定3人的行動(dòng)相互之間沒(méi)有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人來(lái)徐州旅游的概率為【答案】/0.7【分析】由對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式可得結(jié)果.【詳解】由題意可得3人中沒(méi)有人來(lái)徐州旅游的概率為，所以這段時(shí)間內(nèi)至少有1人來(lái)徐州旅游的概率為：.故答案為：.題型07獨(dú)立事件的實(shí)際應(yīng)用【典例1】甲、乙兩人進(jìn)行投籃比賽，每次投籃若一方投中且另一方未投中，則投中的一方獲勝，否則本次平局.已知每次投籃甲、乙投中的概率分別為和，且每次投籃甲、乙投中與否互不影響，各次投籃也互不影響，則次投籃甲至少獲勝次的概率為.【答案】/0.104【分析】設(shè)甲獲勝為事件,求出甲獲勝的概率，次投籃甲至少獲勝次的概率為，利用獨(dú)立事件的概率公式求解即可.【詳解】設(shè)甲獲勝為事件,則，則次投籃甲至少獲勝次的概率為.故答案為：.【變式1】甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲中靶的概率為，乙中靶的概率為，且兩人是否中靶相互獨(dú)立，若甲、乙各射擊一次，則恰有一人中靶的概率為.【答案】0.46/【分析】設(shè)出事件，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)甲中靶為事件，乙中靶為事件，則恰有一人中靶的概率為，故答案為：.【變式2】某學(xué)生做兩道選擇題，已知每道題均有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)正確答案．該學(xué)生隨意填寫兩個(gè)答案，則兩個(gè)答案都選錯(cuò)的概率為．【答案】/【分析】首先由題意抽象為獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的事件，再代入概率公式，即可求解.【詳解】設(shè)答錯(cuò)第一道選擇題為事件，答錯(cuò)第二道選擇題為事件,兩事件相互獨(dú)立，且，兩個(gè)題都選錯(cuò)為事件，則.故答案為：【變式3】如圖，已知電路中有4個(gè)開(kāi)關(guān)，每個(gè)開(kāi)關(guān)獨(dú)立工作，且閉合的概率為，則燈亮的概率為．

【答案】/0.8125【分析】先計(jì)算出燈不亮的概率，進(jìn)而利用對(duì)立事件求概率公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】記開(kāi)關(guān)閉合為事件A，B，C，D，因?yàn)殚_(kāi)關(guān)斷開(kāi)且開(kāi)關(guān)至少有一個(gè)斷開(kāi)時(shí)，線路才斷開(kāi)，導(dǎo)致燈不亮，所以燈不亮的概率為,所以燈亮的概率為.故答案為：【變式4】有甲、乙、丙三個(gè)開(kāi)關(guān)和A，B，C三盞燈，各開(kāi)關(guān)對(duì)燈的控制互不影響．當(dāng)甲閉合時(shí)A，B亮，當(dāng)乙閉合時(shí)B，C亮，當(dāng)丙閉合時(shí)A，C亮．若甲、乙、丙閉合的概率分別為，，，且相互獨(dú)立，則在A亮的條件下，B也亮的概率為．【答案】【分析】若AB同時(shí)亮，則可能閉合甲開(kāi)關(guān)或不閉合甲開(kāi)關(guān)且同時(shí)閉合乙，丙開(kāi)關(guān).若A亮，則閉合甲或者丙開(kāi)關(guān).則所求概率為AB同時(shí)亮概率與A亮概率之商.【詳解】設(shè)事件M為A燈亮，事件N為B燈亮，事件X為開(kāi)關(guān)甲閉合，事件Y為開(kāi)關(guān)乙閉合，事件Z為開(kāi)關(guān)丙閉合，則所求概率為.其中，，所以.故答案為：1．在一個(gè)試驗(yàn)中，某種豚鼠被感染病毒的概率為，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)三只豚鼠中被感染的概率：先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生出之間整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示沒(méi)有被感染．經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：192907966925271932812458569683257393127556488730113537989431據(jù)此估計(jì)三只豚鼠中恰有兩只被感染的概率為．【答案】/【分析】先找出三只豚鼠中恰有兩只被感染的隨機(jī)數(shù)組，再根據(jù)古典概率計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】20組隨機(jī)數(shù)中，表示恰有兩只被感染的有192，271，932，812，393，127，共有6組，故估計(jì)三只豚鼠中恰有兩只被感染的概率為．故答案為：2．在用隨機(jī)數(shù)（整數(shù)）模擬“有5個(gè)男生和5個(gè)女生，從中抽選4人，求選出2個(gè)男生2個(gè)女生的概率”時(shí)，可讓計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)整數(shù)，并且代表男生，用代表女生．因?yàn)槭沁x出4個(gè)，所以每4個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組．通過(guò)模擬試驗(yàn)產(chǎn)生了10組隨機(jī)數(shù)：6830472570566431784045237834260463460952由此估計(jì)“選出2個(gè)男生2個(gè)女生”的概率為【答案】/【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)選出2個(gè)男生2個(gè)女生的種數(shù)，再用古典概型概率公式求解．【詳解】由數(shù)據(jù)得“選出2個(gè)男生2個(gè)女生”的種數(shù)有：6830，4725，7840，7834，6346，0952共6個(gè)，所以“選出2個(gè)男生2個(gè)女生”的概率為.故答案為：．3．為了解某地區(qū)九年級(jí)男生的身高情況，隨機(jī)選取了該地區(qū)100名九年級(jí)男生進(jìn)行測(cè)量，他們的身高x（cm）統(tǒng)計(jì)如下表：組別

人數(shù)1343368根據(jù)上表，抽查該地區(qū)一名九年級(jí)男生，估計(jì)他的身高高于170cm的概率是．【答案】0.44/【分析】由頻率估計(jì)概率，得出所求概率.【詳解】因?yàn)樯砀吒哂?70cm的頻率為，抽查該地區(qū)一名九年級(jí)男生，估計(jì)他的身高高于170cm的概率是0.44.故答案為：0.444．在如圖所示的一個(gè)電路圖中，A，B，C，D，E，F(xiàn)為6個(gè)開(kāi)關(guān)，每個(gè)開(kāi)關(guān)閉合的概率均為，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是.【答案】【分析】利用相互獨(dú)立事件乘法概率和對(duì)立事件概率公式求解即可.【詳解】因?yàn)槊總€(gè)開(kāi)關(guān)閉合的概率均為，且是相互獨(dú)立的，所以由并聯(lián)電路和串聯(lián)電路的性質(zhì)得燈亮的概率.故答案為：5．在雙向飛碟比賽中，運(yùn)動(dòng)員在一個(gè)靶位上對(duì)一個(gè)飛碟最多可以進(jìn)行兩次射擊，如果第一次命中，直接得分；若第一次未命中則進(jìn)行第二次射擊，命中也得分.已知某選手在某個(gè)靶位上第一次射擊命中的概率為0.8，第二次射擊命中的概率為0.6，則該選手在這個(gè)靶位上得分的概率為.【答案】0.92【分析】由互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式可得結(jié)果.【詳解】該選手在這個(gè)靶位上得分包括第一次命中或第一次未命中且第二次命中，所以得分的概率為.故答案為：0.92.6．某箱中有除顏色外其余完全相同的7個(gè)球，其中3個(gè)白球，4個(gè)黑球，現(xiàn)從該箱中任取2次球，每次取出1個(gè)球記錄顏色后放回，則最終僅取到1個(gè)黑球的概率為．【答案】【分析】根據(jù)題意，分別求出“第一次取到黑球第二次取到白球”和“第一次取到白球第二次取到黑球”的概率，再根據(jù)互斥事件概率加法公式，即可得解.【詳解】設(shè)“第次取到黑球”為事件，“第次取到白球”為事件，，則根據(jù)古典概率公式.所以最終僅取到1個(gè)黑球的概率為.故答案為：．7．甲、乙兩人參加某項(xiàng)活動(dòng)，甲獲獎(jiǎng)的概率為0.6，乙獲獎(jiǎng)的概率為0.4，甲、乙兩人同時(shí)獲獎(jiǎng)的概率為0.24，則甲、乙兩人恰有一人獲獎(jiǎng)的概率為.【答案】0.52【分析】根據(jù)題意可知“甲獲獎(jiǎng)”與“乙獲獎(jiǎng)”兩事件相互獨(dú)立，由概率乘法公式和加法公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】記“甲獲獎(jiǎng)”為事件，“乙獲獎(jiǎng)”為事件，易知，且，顯然，即可得事件與事件相互獨(dú)立，因此甲、乙兩人恰有一人獲獎(jiǎng)的概率為：.故答案為：0.52.8．已知事件A的對(duì)立事件為，，．若，則，【答案】0.60.3【分析】根據(jù)事件A的對(duì)立事件為求出，因?yàn)椋瑒t，，從而求出相應(yīng)概率值.【詳解】已知事件A的對(duì)立事件為，則,因?yàn)椋鶕?jù)并事件的性質(zhì)：所以;因?yàn)?，根?jù)交事件的性質(zhì)：.所以.故答案為：；.9．某工廠生產(chǎn)的零件需要經(jīng)過(guò)兩道質(zhì)量檢測(cè)工序合格后方可認(rèn)定零件合格，第一道檢測(cè)工序檢測(cè)合格的概率為0.8，第二道工序檢測(cè)合格的概率為0.7，則一個(gè)零件不合格的概率．【答案】/【分析】根據(jù)題意，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，即可求解.【詳解】由第一道檢測(cè)工序檢測(cè)合格的概率為0.8，第二道工序檢測(cè)合格的概率為0.7，且第一道檢測(cè)工序和第二道檢測(cè)工序之間相互獨(dú)立，則一個(gè)零件不合格的概率.故答案為：.10．在一次招聘面試中，小明要依次回答甲?乙?丙三個(gè)問(wèn)題，已知他答對(duì)這三個(gè)問(wèn)題的概率分別為，各題回答正確與否相互獨(dú)立，則小明能夠連續(xù)答對(duì)至少2個(gè)問(wèn)題的概率為.【答案】/【分析】將小明答對(duì)甲?乙?丙三個(gè)問(wèn)題分別記為事件，得到，，結(jié)合獨(dú)立事件的乘法和互斥事件的概率加法公式，即可求解.【詳解】將小明答對(duì)甲?乙?丙三個(gè)問(wèn)題分別記為事件，則，，小明能夠連續(xù)答對(duì)至少2個(gè)問(wèn)題的概率為.故答案為：11．下列命題正確的是（

）A．用事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率，重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)越大，估計(jì)的就越精確．B．若單調(diào)函數(shù)和值域均為，那么“函數(shù)為常函數(shù)”是不可能事件。C．事件與事件同時(shí)發(fā)生的概率一定比與中恰有一個(gè)發(fā)生的概率小D．若事件與事件相互獨(dú)立，則事件與事件相互獨(dú)立【答案】D【分析】利用概率的定義判斷A；舉例說(shuō)明判斷BC；利用事件的獨(dú)立性性質(zhì)判斷D．【詳解】對(duì)于A，在相同的條件下做大量重復(fù)試驗(yàn)，一個(gè)事件A出現(xiàn)的次數(shù)和總的試驗(yàn)次數(shù)之比，稱為事件在這次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率.當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，頻率將穩(wěn)定在一個(gè)常數(shù)附近，越大，頻率偏離這個(gè)常數(shù)較大的可能性越小，這個(gè)常數(shù)稱為這個(gè)事件的概率，并不是說(shuō)越大，估計(jì)的精度越精確，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)，都是R上的單調(diào)函數(shù)，值域都是R，而函數(shù)為常函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，樣本空間，事件