2023年新高考數學仿真演練綜合能力測試（一）

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.若（l+i）2z=l-i,則Z在復平面內對應的點所在象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】因為（1+g=1,所以2=懸=M七%；）Wf

z在復平面內對應的點為,一￡）,在第三象限.

故選：C

2.已知集合A={x|-2<x<2},8=則（）

A.{^|1<x<2}B.{x|l<x<2|

C.{x|-2<x<3}D.{x|-2<x<3}

【答案】B

【解析】因為8==={x[l<xK3},所以A「4={x|l<xv2}.

x-\

故選:B

3./（x）是定義在R上的函數，；為奇函數，則〃2023）+〃—2022）=（）

A.-1B.C.\D.1

【答案】A

【解析】“X）是定義在R上的函數；為奇函數，則

X乙）乙

\}J40451)

Af(2023)+/(-2022)=/號+一+/+

2)r-ij

故選:A

4.已知橢圓的兩個焦點為￡（-有,0）,E（AO）,M是橢圓上一點，若"K_LM鳥，q=8,則該橢

圓的方程是（）

A.—+^-=1B.—+^-=1C.—+^-=1D.—+^-=1

72279449

【答案】C

【解析】設=眼段=〃，因為周=8,出閭=2石，所以4+〃2=20,〃加=8,

所以（切十〃）'十〃‘+2〃"1=36,所以〃葉〃=2。=6,所以a=3.因為。=J5,所以［=J"_:2=2.所

以橢圓的方程是《+￡=1.

94

故選:C

5.已知函數/（幻=385,-仁），函數g（x）的圖象由/⑴圖象向右平移;個單位得到，則下列關于函數g（x）

的圖象說法正確的是（）

A.關于），軸對稱B.關于原點對稱

C.關于直線工=?對稱D.關于點（空，。］對稱

3\36>

【答案】D

【解析】因為g（x）=3cos3（x—小一丁=3cos（3x—當），所以g（O）H0,且g（0）工±3,所以函數是非奇

_4）6」I1-）

非偶函數，故A,B項錯誤；

因為8仁）=33,9詈）=3cosj既不是g（x）的最大值也不是最小值，所以不是g（?的對稱軸，

故C項錯誤：

因為g俘）=3cos（3x券-普］=3cosJ［］=（）,所以俘,（）］是g⑴的一個對稱中心,故D項正確.

故選:D.

6.木楔子在傳統(tǒng)木工中運用廣泛，它使得榨卯配合的牢度得到最大化滿足，是一種簡單的機械工具，是用

于填充器物的空隙使其牢固的木撅、木片等.如圖為一個木楔子的直觀圖，其中四邊形/WCO是邊長為2的

正方形，且均為正三角形，歷〃8,防=4,則該木楔子的體積為（）

AB

8x/2

A.B.4x/2D.2V2

亍

【答案】A

【解析】如圖，分別過點A,8作環(huán)的垂線，垂足分別為G,〃，連接DG,C〃,

易得EG=HF=1,AG=GD=BH=HC=G.

取人。的中點O,連接GO,易得GO=&，

,,SADG=SBCH=—xA/2x2=>/2.

2

*,?多面體的體積V=%極iftE-ADG+"三極錐F-8C"+咚極柱AGO-8//C=+咚枝拄A8-8HC

=-x-72x1x2+x/2x2=^21,

33

故選：A.

7.在平面直角坐標系中，已知點M（2,0）,N（-1,0）,動點。（為y）滿足|QM|=2|0V|,過點（-3,1）的直線

與動點。的軌跡交于A,B兩點,記點。的軌跡的對稱中心為C,則當/5C面積取最大值時，直線A8的

方程是（）

A.y=x+4B.y=-x+4

C.y=2x+4D.y=-2x+4

【答案】A

【解析】設Q（x，.V）,由|QM|=2|QV|得J（x-21+），2=2必+1尸-）尸,

化簡得。的軌跡方程為（x+2尸+尸=4,所以點C（—2,0）,

設點C到A8的距離?為d,貝“A卻=2"—1,

所以一的血積5=\卜臼,。/=、/4-42-6/44-，；+1=2,

等號成立時4=夜，即ABC面積最大時，點2,0）到直線的距離為&,

故直線AB不垂直于x軸，設直線43方程為y-l=M"+3）,

即"一），+34+1=0,則"二血,

4二十1

解得攵=1,所以直線A8方程為），=X+4.

故選：A

7

8.在中，cos4=—,.ABC的內切圓的面積為164，則邊3C長度的最小值為（）

A.16B.24C.25D.36

【答案】A

【解析】因為58C的內切圓的面積為16萬，所以的內切圓半徑為4.設，A8C內角A,13,C所對

72424I

的邊分別為“，b,c.因為cosA=石，所以sinA=w，所以tanA=>y.因為S?；?=]〃csinA=

—(IY+Z?+C)X4,所以Z?c=W(a+b+c).設內切圓與邊AC切于點。，由tanA=*可求得tan2=3=/一,

26724AD

則AO弋.又因為AD=也三所以力+.￥+〃.所以戾=%￥+2/=當與+,1.又因為

3236V3；3^3）

"院2病，所以苧+〃之2口停二）即既+,%號凈4，整理得/_12〃一6420.因為"0,

4（）

所以4216,當且僅當〃=c=*時，〃取得最小值.

故選：A.

二選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。全部

選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分。

9.下列說法正確的是（）

A.數據1,3,5,7,9,11,13的第60百分位數為9

B.已知隨機變量J服從二項分布：設〃=2^+1,則〃的方差。①）二9

C.用簡單隨機抽樣的方法從51個個體中抽取2個個體，則每個個體被抽到的概率都是5

D.若樣本數據七,x”?，七的平均數為2,則32+2,3超+2-，3%+2的平均數為8

【答案】AD

【解析】對于A,共有7個數據，而7x60%=4.2,故第60百分位數為9,A正確：

333

對于B,易知。?）二8、:乂（1一二）=受而〃=2J+1,所以。（〃）=22xOe）=6,B錯誤；

442

對于C,由古典概型可知：從51個體中抽取2個個體，每個個體被抽到的概率都是。，C錯誤：

J1

對于D,若樣本數據百，孫…,乙的平均數為2,則3石+2,3叫+2「?.,35+2的平均數為3><2+2=8,D正確.

故選：AD

10.已知公差不為0的等差數列｛4｝的前〃項和為S“，若%=$7,下列說法正確的是（）

A.4=0B.%=0C.%=S、6D.\>Sl0

【答案】BC

【解析】在等差數列｛q｝中，因為%=轉，所以%=又巧產2=12^爭=17%,則6=0,故B正確;

因為公差4工0,所以%=a)-〃=-dH。，故A錯誤；

因為4=0,所以q+8d=0即4=-8d,

所以Sw=l6q+16：154=]6%

=-8d=%,故C正確;

乙

因為WO-SR=4+4<)=6。=q+9d=-8d+9d=d,且d未知正負，故D錯誤;

故選:BC.

11.在正方體ABC?！狝MCQ中，AB=\,點P滿足"=/lCQ+〃CG,其中4?0,1],則下列結

論正確的是()

A.當40//平面ABO時，4P不可能垂直CR

B.若與平面CG。。所成角為:，則點P的軌跡長度為:

C.當4=1時，正方體經過點4、匕C?的截面面積的取值范圍為[邁，V2J

4

D.當4=〃時，|/)P|+|AP|的最小值為亞+&

【答案】BD

【解析】對A,建立.如圖所示的空間直角坐標系八一邙，

xyBC

則4(0,0。),5(1,0,0),0(0,1,0),C(1,1,0),A(0,0,1),C,(1,1,1),D((0,1,1),

所以CD、=(-1,0,1),BlP=BiC+CP=BlC+ACD+//CC,=(一ZL4-1),

則M=(-1,0.1),BD=(-1,1,O),設平面A^D的一個法向量為〃=(.%y,z),

所以《仆，令x=i,則y=z=i,即平面A&)的一個法向量為〃若qp〃平面A8Q,

BD,〃=-X+y=0

則小4P=0,BP2=//,

由4PC〃=/l+〃—l=(),則2=〃=g,即Q為CA中點時，有8/〃平面A8O,且B/ICR,A錯；

對B,因為8GJ■平面CGR。，連接C7,則NB/G即為4P與平面CCQQ所成角,

若4尸與平面CCQQ所成用為?則lanN用產6=騫=1，所以G尸=MG=I,

即點P的軌跡是以G為圓心，以I為半徑的;個圓,于是點尸的軌跡長度嗚，B對;

對C,因為4=1,所以點P一定在。。I-.,又因為當〃=0或1時，△PAC的面積取最大值，此時截面面枳

為拉，

設口。的中點為“，由圖形的變化可得當點P在。"和運動時，所得截面對稱相同，于是當〃=g時，

△戶AC的面積取最小值四，此時截面面積為邁，c錯；

42

對D,如圖，將平面CD"與平面A8C.沿CR展成平面圖形,

線段4。即為IOPI+IAPI的最小值，

利用余弦定理可知\D2=+DD：-2AA?DRcos,=2+、％

所以AD=g&，D對.

故選:BD

12.當1〈玉<勺時，不等式與d<0成立.若〃>e">e,則()

A.3>5B.<bec

C.aeh<b\naD.ab>Q1'Inb

【答案】AD

【解析】當1〈芭<與時，不等式工，爐-用小<0。乙<￡-,令/(工)=^?>1,則/。)在(1,也)上單調遞

內x2X

增，

因力〉e>l,則/(Z?)>/(e)<=>—>—<=>e//>bec~',A正確；

be

Ac?

因3>e">l,則/S)>/(e")o*>%u>e$>〃eL,B不正確；

由e”>e知，a>\,Wf(a)>/(l)<=>—>e>l<=>ea>?,WOa>\na<=><1,

由選項A知，—>I,即生凹o〃e">〃lna,C不正確；

bba

e"e"

由1>e">e得,lnZ?>?>1,則/(In〃)>/(")<=>>—<=>ah>c"\nb,D正確.

\nba

故選：AD

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

3如圖,四邊形橫。是邊長為4的正方形，若。E=；。。，且F為火的中點，則以.“二一

【答案】5

【解析】以4為坐標原點，以A8，AO所在的直線分別為x軸，）'釉建立如圖所示的平面直角坐標系,

則E4=（T-4）,EF=（3,-2）,

所以函.￡戶=-lx3+（T）x（-2）=5.

故答案為：5.

14.若仁-的展開式中常數項為70,貝必=______.

IX八X）

【答案】-1

【解析】卜+—j展開式的通項公式為Ul=G針=a/2『，

當7-2/*=1時,r=3,d?C；=-35A；

當7—2/=-1時，〃=4,C”351

所以常數項為-35左+35=70,解得左=7.

故答案為：-1

15.雙曲線C:￡-/=］（〃>0）的離心率為半，尸是。的下焦點，若。為C上支上的動點，設點尸到C

的一條漸近線的距離為d,則〃+|叩|的最小值為.

【答案】7

【解析】由已知可得，包上1=叵，解得。=3卜/>0）,

a3

則雙曲線方程為*-9=1，*。，-麗），雙曲線的漸近線方程為二琢，

如圖，由雙曲線的定義得：|P尸卜|」周二6,則d+|PF|=|P周+"6,

l-Viol

%到直線3x-y=0的距離為力=干----三=1,

"-if

.??"中耳=儼國+4+62/7+6=7,即"+歸產|的最小值為7.

故答案為:7.

16.正實數"，〃滿足C“M=〃+4，ln(H3)=〃，則〃一。的值為.

【答案】I

【解析】解法一：由-=4+4,得ln(a+4)=a+l,又因為加(8+3)=〃，

所以〃，。+1是方程ln(x+3)=x的兩個解，

設函數/(x)=ln(x+3)-x(x>。)?r(x)=—=:<0.

x+3x+3

所以函數/'(%)在(0,也)上單調遞減，

X/(0)=ln3>0,/(e3-3)=lne3-(e3-3)=6-e3<0,

則函數〃力在(0,+司上只有一個零點，即方程ln(x+3)=x只有一個解，

所以Z?=a+1,Ab-a=\.

ln(M

解法二:因為e"?=4,所以eM_(a+l)―3=0,力一ln(b+3)=0,gpe-ln(/>+3)-3=0,

設函數/(x)=e、-x—3a>0),當x>0時，r(x)=e-I>0,所以函數/(x)在(0,+司上單調遞增,

Vd+l>0,in(/?+3)>0,/./(d+l)=/[ln(Z?+3)],

；?4+1=ln(h+3),e"“=b+3，?*?b—a=e<l+[-3—?=4-3=1.

故答案為：L

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

17.(10分)

3(sin/?-sinA)3c-2a

記△ABC的內角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

sinCb+a

⑴求cosB.

（2）若點。在邊4c上，且AO=2OCBD=」）,求巴.

3c

3(b-a)3c-2a

【解析】（1）據已知條件及正弦定理得

h+a

9

整理得〃2=/+/—

3

2

又據余弦定理82=/+c2-2accosB,則有一=一2〃ccos8,因為ac〉O

則cosB=L

3

(2)因為AO=2￡)C,

所以BD=8A+AO=BA+—AC=BA+—(8C—8A)=—B4+—8C,

3333

故(8。)2=6姑+知C),

即?=||BA|2+^A||BC|COSB+^|BC|2

r-r-.I401,4147

所以一Zr=-c~+-cax-+-a-,

99939

整理得//二［/+'〃+/

43

2?j

故/+c2--ac=—c2+-ca+a2,

343

化解得3c2—4ac=0,因為c>0.

故3c-4a=0,

則

c4

18.（12分）

2022年，為貫徹落實黨的十九屆六中全會、中央經濟工作會議、中央農村工作會議、中央1號文件精神，

圍繞鞏固拓展脫貧攻堅成果、全面推進鄉(xiāng)村振興、加快農業(yè)農村現代化，國家繼續(xù)加大支農投入，強化項

目統(tǒng)籌整合.某企業(yè)為合理規(guī)劃價格，積極響應號召，將某農產品按事先擬定的價格進行試銷，得到一組

銷售數據（4￡）（/=1,2,3,4,5）,如下表所示：

試銷單價X（元）34567

產品銷量）’（件）201615126

（1）若變量x,y具有線性相關關系，求產品銷量）’（件）關于試銷單價x（元）的線性回歸方程*=欣十機

（2）用y表示用（1）中所求的線性回歸方程得到的與工對應的產品銷量的估計值，當銷售數據（七,男）對應的

殘差的絕對值應-習>1時，則將銷售數據（?！罚┓Q為一個“次數據”.現從5個銷售數據中任取3個，求“次

數據“個數X的分布列和數學期望E（X）.

^x^-nxy__

（參考公式：線性回歸方程中/；，&的最小二乘估計分別為三--------.a=y-bx)

?-I

…+5+6+7",-206.15126

【解析】（I）由已知得,=+I++=13X;

5

=313,=135,

i-li-l

gxj一，慶區(qū)

313-5x5x13.832「

所以。=三--------=----------；—=----=-3.2a=y_宸=13.8-(-3.2)X5=29.8,

力,2_加135-5x5，10

1=1

所以產品銷量），（件）關于試銷單價工（元）的線性回歸方程夕--3.2入+29.8.

（2）當芭=3時，力=20.2；當±=4時，無=17；當/=5時，S-3=>3.8；當七=6時，>'4=10.6；當天=7時,

%=74；易知“次數據”有3個，則X的可能取值為1,2,3,

改="警得3=詈小尸-3）春4，

所以X的分布列為:

X123

331

p

io5W

33I9

所以E(X)=1X3+2X3+3X，=N

105105

19.(12分)

如圖，在四棱錐P—A8c。中，底面A8CO是矩形且8c=夜八6,M為8c的中點，PALAD.PMLBD.

（1）證明：/%_1_平面/\86；

（2）若A4=2,PC與平面2AB所成的角為45。，求二面角A-PM-。的正弦值.

【解析】（1）因為在RiA6”和RiZxbCD中，

-WA'五，3/加=0=近，

tanZ/M；w=-=—nr?

AB2"C2

所以/84W=NC8D,

因為NC8D+ZAB￡)=90。，ZBAM+ZABD=9(r,

所以AW_L80,

因為/W_L8O,AMp|PM=M,AM,PMu平面抬".

所以平面Q4M,

因為QAu平面EAM,

所以Q4_L8D,

因為抬_LA。，ADBD=D,AD4Ou平面A8C￡),

所以PA_L平面ABC。.

(2)因為4?=2,

所以八。=2五，

因為PA_L平面ABC。，8Cu平面ABC。，

所以P4_L8C,

因為AB_Z8C,PAAB=A,24/^匚平面必⑶，

所以3cl平面以4,

所以NCPB為PC與平面秒歷所成的角，

則/CP4=45。，

所以〃4=4C=2s/2,

由勾股定理知：PA=yJPB2-AB2=2，

可如圖建立空間直角坐標系A-x),z,

所以5(2,0,0),D(0,2>/2,0),P(0,0,2),M(2,6o),

所以PM=(2,&,-2),OM=(2,-0,0),

由(1)知，平面RW的一個法向量為瓦)=(-2,20,0),

mPM=0

設平面PM。的一個法向量為m=U,y,z),則有

m-DM=0

2x+\/2y-2z=0

即<

2x->/2y=0

取x=l,得切=(1,&,2),

J2T

所以cos(用,B。)=i~~—1=——,

|m|-|BD|21

設二面角A-尸M-O的大小為。，

則仙府懵

20.（12分）

已知數列伍”｝對于任意的〃wN?均有4+3的+5%++⑵1）％=〃⑵?-；（2〃+1）；數列低｝的前〃項和為

s”，且優(yōu)+i=Sr+i，4=1.

（1）求數列｛4｝,｛〃｝的通項公式;

—a■〃為奇數

⑵令％"J.便渺，，為數列仁｝的前〃項和，且匕+2/-〃+10之曲恒成立，求義的最大值.

如〃為偶數

【解析】（1）因為%+3&+5%++（2〃-1）%=心二羋竺?①，

當〃=1時，4=1：

爪2時，q+35<+伽必」1）（2"芳一）②

①-②川得（2〃-1）4“=（2〃-1）2,

所以〃之2時=2〃-1.

經檢驗4=1,符合上式，所以％=2〃-1,〃cN*.

對于{〃,},由題意可得4=1,SH當〃=1,￡=&-1=1,所以4=2,

〃22時，5?.|=”「1,則bn=Sn-Si=".I一b”,

即加=2勿（心2）,b產0,因為4=1,所以打=2*

所以｛包｝是首項為I，公比為2的等比數列，所以

-凡,〃為奇數

（2）由（1）可得c”=?

人,〃為偶數

所以=一(4+/+4++。2".|)+(〃2+d+4++4”)

=-(1+5+9++4/I-3)+(2+25+25++22"-1)

J1%—%婦-2+〃+把二

21-43

2x4”-2

貝匹“=-2〃2+〃+

3

2l

T2n+2n-n+10>Abn恒成立,等冷于空產+IO>2-T-,

/HAA.ZH2x4"+281日n/2x4"+28O日n-r

化簡得3?2"T''即（3.2"，篇N4即可?

若/z/4o-U14￥I%4144X（22M+,-14）川

右4用一<,=§（2+即-2--）=-（2-訶）=-—>°，則〃之2,

即〃22時，數列｛4｝單調遞增；又因為4=12,4=1。，所以（4）.=10，

即九410,可得4的最大值為10.

21.（12分）

已知中心在原點的橢圓J和拋物線「2有相同的焦點（1，。），橢圓「I的離心率為g，拋物線「2的頂點為原點.

⑴求橢圓「I和拋物線「2的方程;

（2）設點尸為拋物線口準線上的任意一點，過點產作拋物線匚的兩條切線處,/少，其中A3為切點.設直線

PA,的斜率分別為尤，k2,求證：女生為定值.

【解析】⑴設橢圓「和拋物線「2的方程分別為。和

橢圓「I和拋物線「2有相同的焦點（1，。），橢圓「I的離心率為7，

???橢圓的方程為《+￡=1，拋物線「2的方程為V=4X.

43

（2）由題意知過點尸與拋物線》3=4X相切的直線斜率存在且不為（）