第04課二次根式全章復(fù)習(xí)與鞏固

0目標導(dǎo)航

課程標準

1、理解并掌握二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的定義和性質(zhì).

2、熟練掌握二次根式的加、減、乘、除運算，會用它們進行有關(guān)實數(shù)的四則運算.

3、了解代數(shù)式的概念，進一步體會代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作用.

二

次

根

二次根式式

的

運

算

與

化

簡

同類二次根式

電知識精講

知識點01二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)

1.二次根式

形如的式子叫做二次根式,，而透等式子,都叫做二次根式.

注意：

二次根式右有意義的條件是,即只有被開方數(shù)時，式子右才是二次根式，右才

有意義.

2.二次根式的性質(zhì)

⑴0(。NO);

(2)(y[a)2=ci(a>0)；

.-[a,a>0

=16/H

-a,a<0

注意：

(1)一個非負數(shù)〃可以寫成它的算術(shù)平方根的平方的形式，即〃(</>0),加

2=(V2)2;1=(^1)2;X=(^)2(X>0).

(2)中。的取值范圍可以是即不論。取何值，J/一定_.

(3)化簡時，先將它化成,再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡.

⑷與(J￡)2的異同

不同點：而中?？梢匀,而(、G)2中的。必須取一；

>/?=,(\[a)2=a(?>0).

相同點：被開方數(shù)都是,當〃取時，值=(右)2.

3.最簡二次根式

(D被開方數(shù)是整數(shù)或整式；

(2)被開方數(shù)中不含.

滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如J5,瘋壽等都是最簡二次根式.

注意：

最簡二次根式有兩個要求：(1)被開方數(shù)不含_；(2)被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小于.

4.同類二次根式

幾個二次根式化成后，被開方數(shù),這幾個二次根式就叫同類二次根式.

注意：

判斷是否是同類一次根式,一定要化簡到最簡一次根式后,看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如0與虛.

由于血=20,&與血顯然是同類二次根式.

知識點02二次根式的運算

1.乘除法

(1)乘除法法則：

類型法則逆用法則

積的算術(shù)平方根化簡公式：

二次根式的乘法yfaxy/b=一

4cib=_

商的算術(shù)平方根化簡公式：

辰-

二次根式的除法展-

注意：

(1)當二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘(或相除)的法則，如.

(2)被開方數(shù)a、b一定是非負數(shù)(在分母上時只能為正數(shù)).如V(-4)x(-9)wJNx

2.加減法

將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類

二次根式.

注意：

二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次

根式.根

2能力拓展

考法01二次根式的定義

【典例1】在式子①庭,②4，③-④，一_?-1，⑤折二中，二次根式有

個.

【典例2］當1=—時，二次根式2而1取最小值，其最小值為.

【典例3】如果分式巨亙有意義，那么工的取值范圍是_______.

x-4

【即學(xué)即練】二次根式7匕有意義的條件是.

【即學(xué)即練】當時，式子石三十7占有意義.

【即學(xué)即練】當*=時，二次根式G7取最小值.

【即學(xué)即練】函數(shù))，='三的自變量X的取值范圍是__________.

3-x

【即學(xué)即練】若)，=J-2-X+J3X+6+6,則犬+歹的值是.

考法02二次根式的性質(zhì)

【典例4】若aVl,化簡小(0—1)2-1=

［即學(xué)即練］化簡,京.

考法05二次根式的加減法

【典例10］計算：

【即學(xué)即練】計算亞G——?

【即學(xué)即練】化簡后的結(jié)果是.

考法06二次根式的混合運算

【即學(xué)即練】計算：（3夜+26）（3及-26）=.

【即學(xué)即練】計算：（2及-3嚴9（2V5+3）M°=

【即學(xué)即練】計算:（75?2產(chǎn)叫6+2產(chǎn)】7=

第04課二次根式全章復(fù)習(xí)與鞏固

0目標導(dǎo)航

課程標準

1、理解并掌握二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的定義和性質(zhì).

2、熟練掌握二次根式的加、減、乘、除運算，會用它們進行有關(guān)實數(shù)的四則運算.

3、了解代數(shù)式的概念，進一步體會代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作用.

二

次

根

二次根式式

的

運

算

與

化

簡

蹩知識精講

知識點01二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)

1.二次根式

形如G(“NO)的式子叫做二次根式，如血5m等式子，都叫做二次根式.

注意：

二次根式右有意義的條件是巴登，即只有被開方數(shù)凹出時，式子夜才是二次根式,

以才有意義.

2.二次根式的性質(zhì)

⑴右20(。20)；

(2)(y/a)2=a(a>0)；

a,a>0

⑶行=l〃l?

-a,a<0

注意：

(1)一個非負數(shù)。可以寫成它的算術(shù)平方根的平方的形式，即。=(JZ)2之0),如

2=(V2)2;1=(J1)2;x=(五)2(x20).

(2)證中Q的取值范圍可以是任意實數(shù),即不論。取何值，而一定有意義.

(3)化簡正時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡.

⑷，了與(JZ)2的異同

不同點：行中“可以取任何實數(shù),而(GY中的〃必須取非負數(shù);

(\[a)1=a(tz>0).

相同點：被開方數(shù)都是非負數(shù),當〃取非負數(shù)時,J/=(JZ)2.

3.最簡二次根式

(D被開方數(shù)是整數(shù)或整式；

(2)被開方數(shù)(?不含能開方的因數(shù)或因式.

滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如行，而,3?,J77P"等都是最

簡二次根式.

注意：

最簡二次根式有兩個要求：(1)被開方數(shù)不含分母;(2)被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小于

根指數(shù)2.

4.同類二次根式

幾個二次根式化成最簡二次根式后,被開方數(shù)相同,這幾個二次根式就叫同類二次根式.

注意：

判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.

如應(yīng)與我，由于#=2四,血與人顯然是同類二次根式.

知識點02二次根式的運算

1.乘除法

(D乘除法法則:

類型法則逆用法則

\[ax>/b=積的算術(shù)平方根化簡公式：

二次根式的乘法

20,b20)\[ab-&x20.00)

商的算術(shù)平方根化簡公式：

J|=親〃N0,b>0)

二次根式的除法、口二軍之().〃>())

\b4b

注意：

(1)當二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘(或相除)的法則,如.

(2)被開方數(shù)a、b一定是非負數(shù)(在分母上時只能為正數(shù)).如V(-4)x(-9)wJNXQ.

2.加減法

將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變,

即合并同類二次根式.

注意：

二次根式相加減時，要先洛各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后

合并同類二次根式.如.

Q能力拓展

考法01二次根式的定義

【典例1】在式子①3,②"，③一,④門—[,⑤中，二次根式有

_____________個.

【答案】3

【解析】

【分析】

根據(jù)二次根式的定義：一般地，我們把形如&（a20）的式子叫做二次根式.

依次分析即“J.

【詳解】

根據(jù)二次根式的定義：一般地，我們把形如向aNO）的式子叫做二次根式.

①正是二次根式；

②〃是二次根式；

③/不是二次根式；

④1---1=>/-（無2+1）,7+1<0,二次根式無意義，故④不是二次根式；

⑤VT二（心1）,因為所以1-xNO,故⑤是二次取式.

二次根式有①②⑤三個.

故答案為3.

【點睛】

本題考查二次根式的定義.

【典例2】當犬=—時，二次根式2而？取最小值，其最小值為.

【答案】-10

【解析】

【分析】

根據(jù)二次根式的性質(zhì)可知最小值為0,進而求得x的值.

【詳解】

v2y/x+i>0,x+l>0,

當X=-1時，二次根式2G取最小值，其最小值為0.

故答案為：-L0

【點睛】

本題考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式有意義的條件，理解二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【典例3】如果分式叵亙有意義，那么工的取值范圍是______.

x-4

【答案】且xM

2

【解析】

【分析】

根據(jù)分式的分母不等于零和二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)進行解答.

【詳解】

團二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，

02x+3>O,

解得x>-|,

乂分母不等于零，

取工4,

3

齦2一一且XH4.

2

3

故答案為XN-5且XH4.

【點睛】

本題考查了二次根式有意義的條件和分式有意義的條件，該題屬于易錯題，同學(xué)們往往忽略

3

了分母不等于零這一條件，錯解為X>；.

【即學(xué)即練】二次根式7匕有意義的條件是.

【答案】.壯0旦*9

【解析】

【分析】

根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)要大于等于0,以及分式有意義的條件：分母不為0,

計算求解即可.

【詳解】

解：團二次根式耳，有意義

團x20且?-3=0

團"0且不工9

故答案為：/NO且不工9.

【點睛】

本題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識點進

行求解.

【即學(xué)即練】當_____時，式子+企；有意義.

【答案】3<v<5.

【解析】

【分析】

根據(jù)二次根式和分式的意義的條件：被開方數(shù)大于等于0,分母不等于0,列不等式組求解.

【詳解】

[x-3>0

根據(jù)題意，得：<…，解得：3<r<5.

5-.v>0

【點睛】

本題考查了的知識點為：分式有意義，分母不為0;二次根式有意義，被開方數(shù)是非負數(shù).

【即學(xué)即練】當x=時，二次根式7m取最小值.

【答案】-1

【解析】

【分析】

根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)，可得答案.

【詳解】

由二次根式而T取最小值，得x+i=o,

解得x=-ll,

當X=-1時，二次根式而T取最小值，最小值為0,

故答案為-1.

【點睛】

本題考查了二次根式的定義，利用二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)得出方程是解題關(guān)鍵.

【即學(xué)即練】函數(shù)），=』三的自變量X的取值范圍是_________.

3-x

【答案】x>2Kx*3

【解析】

【分析】

根據(jù)分式分母不為0、二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)列式計算即可.

【詳解】

解：由題意得,x-2>0,3*0,

解得，X22且k3.

故答案為:XN2且xx3.

【點睛】

本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，掌握分式有意義的條件、二次根式有意義的條件是解題

的關(guān)鍵.

【即學(xué)即練】若而+6,則x+y的值是.

【答案】4

【解析】

【分析】

根據(jù)被開方數(shù)大于等于o列式求相再求出），，然后相加計算即可得解.

【詳解】

解：由題意得，-2-X20且3X+620,

解得輝-2且x>-2,

限1=-2,

0y=6,

取+）,=-2+6=4.

故答案為：4.

【點睛】

本題考查的知識點為：二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，熱練掌握二次根式有意義的條件是解

決本題的關(guān)鍵.

考法02二次根式的性質(zhì)

【典例4】若aVL化簡“《一［-1=—.

【答案】-a

【解析】

【分析】

根據(jù)a的范圍，a-l<0,化簡二次根式即可.

【詳解】

解：0a<l,

團a-1<0,

V（?-l）2-l=|a-1|-1

=-(a-1)-1

-a4-1-1

=-a.

故答案為：-a.

【點評】

本題考杳了二次根式的性質(zhì)與化簡，對于后■的化簡，應(yīng)先將其轉(zhuǎn)化為絕對值形式，再去絕

對值符號，即47=時.

【即學(xué)即練】若3,〃?,5為三角形的三邊長，則化簡位二奇'-歷萬■的結(jié)果為.

【答案】2m-10

【解析】

【分析】

先根據(jù)三角形三邊的關(guān)系判斷2-m和m-8的正負，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可.

【詳解】

解.：03,m,5為三角形的三邊長，

05-3<m<5+3,

02<m<8,

02-m<O,m-8<0,

0{Q—，n)—-

=-(2-m)+(m-8)

=-2+m+m-8

=2m-10.

故答案為：2m-10.

【點睛】

本題考查了三角形三條邊的關(guān)系，以及二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解答本

題的關(guān)鍵.

【即學(xué)即練】已知小(2〃-3)2=3-2〃,則。的取值范圍是.

【答案】^/<|

【解析】

【分析】

根據(jù)二次根式的性質(zhì)可得2a-3Vo,求解即可.

【詳解】

解：4J(2a-3)2=3-2a，

團%-3W0,解得。二,

2

3

故答案為：a-~^-

2

【點睛】

本題考查一.次根式的性質(zhì)，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【即學(xué)即練】已知a,b,c為三角形三邊，則+b-cP+&b-c-a]+?b+c-彳

【答案】a+b+c

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理、二次根式的性質(zhì)計算即可.

【詳解】

由三角形的三邊關(guān)系定理得：a+b>c,a+c>b>b+c>a

：.a+b-c>0,b-a-c<0,b+c-a>0

貝(JJ(a+〃-c)2+yl(b-c-af++c-

=a+b-c+a+c-b+b+c-a

=a+b+c

故答案為：a+b+c.

【點睛】

本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理、二次根式的運算，掌握理解三角形的三邊關(guān)系定理是解

題關(guān)鍵.

【即學(xué)即練】已知Ovavl,化簡,+9-4+J("夕+4得.

【答案】-

a

【解析】

【分析】

根據(jù)完全平方公式結(jié)合二次根式的性質(zhì)進行化簡即可求得答案.

【詳解】

0O<a<l,

0->1,

a

2

十

11

=Cl+-+Cl

aa

2

9

故答案為

a

【點睛】

本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解本題的關(guān)鍵.

【即學(xué)即練】若〃、力、c為ZkABC的三邊，化簡Q(a-b-c)2+?a-b+c)2=.

【答案】2c

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，可得a、b、c的關(guān)系，根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可得答案.

【詳解】

加，b,c是三角形的三邊，兩邊之和大于第三邊

@b+c>a,a-(b+c)<0,即a-b-c<0

同理a-b+c<0

0^(a-/?-c)2+yj(a-b+c)2=b+c-a+a+c-b=2c.

故答案為2c.

【點睛】

本題考杳的知識點是二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握二次根式的性質(zhì)與化

簡.

【即學(xué)即練】已知：aVO,化簡卜-(a+》2T4+(。-?2=

【答案】-2

【解析】

【詳解】

分析：首先將二次根式進行化簡，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出-0-工丫之0,［。+,1之0,

kaya)

解得：a=±l,0a<O,0a=-l,(3原式=0—2=—2.

點睛：本題主要考查的是二次根式的化簡法則，屬于中等難度的題型.解決這個問題的關(guān)鍵

就是根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出a的值.

【典例5】在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：X3—6X=_.

【答案】x(x-V6)(x+V6)

【解析】

【分析】

先根據(jù)提公因式法進行因式分解，再根據(jù)平方差公式進行因式分解即可求解.

【詳解】

V—6x,

=x(x2-6),

=4v-V6)(A+>/6),

故答案為：限)(x+限).

【點睛】

本題主要考查實數(shù)范圍內(nèi)進行因式分解,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握因式分解的方法.

【即學(xué)即練】在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：2f—6=

【答案】2(x+G)(x?百).

【解析】

【分析】

先提取公因式2后，再把剩下的式子寫成X，(G)2,符合平方差公式的特點，可以繼續(xù)分解.

【詳解】

2x2-6=2(x2-3)=2(x+V3)(x-^3).

故答案為2(X+6乂x-G).

【點睛】

本題考杳實數(shù)范圍內(nèi)的因式分解，因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式.在實數(shù)范圍

內(nèi)進行因式分解的式子的結(jié)果一般要分到出現(xiàn)無理數(shù)為止.

考法03二次根式的乘除法

【典例6】計算：也=______；Qx#+友=______.

V24

【答案】|3

【解析】

【分析】

能化簡的先化簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算.

【詳解】

解:嘮嚏4

(2)百X6+75=J3X6+2=E=3.

故答案為(1).1⑵.3

【點睛】

此題主要考查了二次根式的混合運算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.

【即學(xué)即練】后不+后(。>()/>())=..

【答案】a而

【解析】

【詳解】

□a>0,b>0,

故答案是：a>/^.

【即學(xué)即練】計算歷?聆(a>0力.⑼的結(jié)果是一

(答案】3y/db

【解析】

【分析】

直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案.

【詳解】

=3\/ab.

故答案為3而.

【點睛】

此題主要考查了二次根式的性質(zhì)，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.

【即學(xué)即練】化簡：3而邛?邛=.

【答案】:疝

【解析】

【分析】

利用二次根式的乘除法則運算即可.

【詳解】

【點睛】

本題考查了二次根式的乘法運算，相乘的時候，被開方數(shù)簡單的直接讓被開方數(shù)相乘，再化

簡；較大的也可先化簡，再相乘，靈活對待.

【即學(xué)即練】計算后?歷(x20,y?0)的結(jié)果是.

【答案】4x6

【解析】

【分析】

直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案.

【詳解】

V2x-^xy(x>0,y>0)

=

=4xVy.

故答案為4Al.

【點睛】

考查了二次根式的性質(zhì)，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.

考法04最簡二次根式

【典例7】，后，5/45,同四個二次根式中，是同類二次根式的是.

【答案】，聞

【解析】

【分析】

可先將各二次根式化為最簡，然后根據(jù)同類二次根式的被開方數(shù)相同即可作出判斷.

【詳解】

=?\/15=55/3，J45=3#,>/50=5>/2，

團，同是同類二次根式.

故答案為，回.

【點睛】

此題主要考查同類二次根式的定義，屬于基礎(chǔ)題，化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這

樣的二次根式叫做同類二次根式.

【典例8】若最簡二次根式衣不和國5能合并，則。的值為一.

【答案】2

【解析】

【分析】

最簡同類二次根式可以合并，即被開方數(shù)相同.

【詳解】

最簡二次根式J2a+1和能合并,可知被開方數(shù)相同

加+1=4?-3

解得。=2

故答案為2

【點睛】

本題考查最簡二次根式的定義以及同類二次根式的定義.

【即學(xué)即練】若最簡二次根式。7T與人能合并成一項，則〃=.

【答案】1

【解析】

【分析】

根據(jù)二次根式能合并，可得同類二次根式，根據(jù)最簡二次根式的被開方數(shù)相同，可得關(guān)于。

的方程，根據(jù)解方程，可得答案.

【詳解】

解：解=2夜,

由最簡二次根式而T與面能合并成一項，得

a+l=2.

解得4=1.

故答案是：1.

【點睛】

本題考杳同類二次根式的概念，同類二次根式是化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次

根式稱為同類二次根式.

【即學(xué)即練】若廝是正整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是

【答案】3

【解析】

【分析】

根據(jù)/際是正整數(shù)，化簡即可求出根式的值.

【詳解】

解：，

若，廝是正整數(shù)，即扃是正整數(shù)，

由根式的性質(zhì)可知，當n=3時，、廝=3,

回正整數(shù)n的最小值是3.

【點睛】

本題考查了根式的化簡，屬于簡單題，熟悉根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【典例9】分母有理化：/耳=.

【答案】V5+&?

【解析】

【分析】

一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點的式子.據(jù)此作答.

【詳解】

解:忑%+&-

故答案為6+V2.

【點睛】

本題考查二次根式的有理化.根據(jù)二次根式的乘除法法則進行二次根式有理化.二次根式有

理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點的式

子.

【即學(xué)即練】齊，化為最簡根式的結(jié)果.

【答案】6+尬

【解析】

【分析】

分子和分母都乘以石+拉，即可得出答案.

【詳解】

___!_________+&/7,萬

6+質(zhì)73+V2,

故答案為百十&.

【點睛】

本題考查了分母有理化的應(yīng)用，知道G-四的有理化因式是解此題的關(guān)鍵?

x-y

［即學(xué)即練］化簡4+公.

【答案】

【解析】

【分析】

將分子x-y化成（6+6）心-6），再約分即可?

【詳解】

x-y_（4+V7）（五-4）=6_『

故答案為五-。.

【點睛】

本題考查的知識點是分式的化簡，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握分式的化簡?

考法05二次根式的加減法

【典例10］計算：.

【答案】o

【解析】

【分析】

合并同類二次根式實際是把同類二次根式的系數(shù)相加，而根指數(shù)與被開方數(shù)都不變?

【詳解】

解：原式=3=0.

故答案為：0.

【點睛