半角模型微專題4模型概述

半角模型：指在題目中出現(xiàn)了兩個(gè)共頂點(diǎn)的角，其中小角等于大角

的一半，故稱其為半角模型.常見的有60°含30°，90°含45°，120°

含60°等特殊角之間的半角模型.在此模型背景下，通過旋轉(zhuǎn)或者截取

線段構(gòu)造全等三角形，可以解決線段和差的關(guān)系問題.在此主要介紹

90°含45°的半角模型.模型一

以正方形為背景的90°含45°半角模型條件：正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，點(diǎn)F在CD邊上，∠EAF＝45°.思路分析：方法1：將△ADF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF'，易證∠ABF'＋∠ABE

＝180°，于是可證△AEF'≌△AEF.

（注意：旋轉(zhuǎn)后需證明三點(diǎn)共

線，即中間點(diǎn)處的角度為180°）方法2：

在CB的延長(zhǎng)線上截取BF'，使得BF'＝DF，連接AF'，易證

△ABF'≌△ADF，于是可證△AEF'≌△AEF.

（常用方法）模型構(gòu)造全等結(jié)論

①EF＝DF＋BE；②CE＋CF＋EF＝2AB；③FA平分∠DFE，EA平分∠BEF條件：正方形ABCD中，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在DC的延長(zhǎng)線

上，∠EAF＝45°.思路分析：方法1：將△ABE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADG，易證AB與AD重合，

點(diǎn)D，G，F(xiàn)三點(diǎn)共線，于是可證△AEF≌△AGF.

方法2：在DC上截取DG，使得DG＝BE，連接AG，易證

△ABE≌△ADG，于是可證△AEF≌△AGF.

模型構(gòu)造全等結(jié)論

①EF＝DF－BE；②FA平分∠DFE模型應(yīng)用

A.

B.

C.

2

D.

A2.

（2024河南一模）綜合與實(shí)踐【問題情境】數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，同學(xué)們以“角的旋轉(zhuǎn)”為主題開展活動(dòng)探究.小智同學(xué)

首先制作了一個(gè)正方形紙片ABCD，然后將等腰直角三角板AEF的銳

角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)A重合，當(dāng)三角板AEF繞著正方形的頂點(diǎn)A順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0≤α＜90°）時(shí)，直線AE，AF分別交射線DB，DC于

點(diǎn)M，N，探究線段AM和AN的數(shù)量關(guān)系：【特例猜想】（1）如圖1，小智發(fā)現(xiàn)，當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)N和點(diǎn)D重合時(shí)，線段AM

和AN的數(shù)量關(guān)系為

?.

【數(shù)學(xué)思考】（2）小智認(rèn)為根據(jù)特殊情形可以歸納出一般結(jié)論：線段AM和AN的數(shù)

量關(guān)系恒成立.小智的結(jié)論是否正確？若正確，請(qǐng)你僅就圖2的情形進(jìn)行

證明；若不正確，請(qǐng)說明理由.解：（2）正確.【拓展探究】（3）在△AEF的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，△ABM的

面積也為6時(shí)，請(qǐng)直接寫出△ADN的面積.解：（3）6或30

圖2

圖3

模型二

以等腰直角三角形為背景的90°含45°半角模型條件：等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D在BC上（或CB

的延長(zhǎng)線上），∠DAE＝45°.思路分析：方法1：將△ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE'，連接DE'，易證

∠ABE'＋∠ABD＝90°，于是可證△ADE'≌△ADE.

方法2：過點(diǎn)B作BE'⊥BC，使得BE'＝EC，連接AE'，DE'，易證

△ABE'≌△AEC，于是可證△ADE'≌△ADE.

（常用方法）模型構(gòu)造全等結(jié)論

點(diǎn)D在BC上

BD2＋CE2＝DE2

點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上

BD2＋CE2＝DE2模型應(yīng)用3.

如圖，E，F(xiàn)是等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的兩動(dòng)點(diǎn)，

∠EAF＝45°，CD⊥BC，且CD＝BE.

（1）求證：△ABE≌△ACD；

（2）求證：EF2＝BE2＋CF2.證明：（2）由（1）知，△ABE≌△ACD.

∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD.

∵∠BAC＝90°，∴∠EAD＝∠CAE＋∠CAD＝∠CAE＋∠BAE＝

∠BAC＝90°.∵∠EAF＝45°，∴∠DAF＝∠DAE－∠EAF＝45°＝∠EAF.

∵AF＝AF，∴△AEF≌△ADF（SAS）.∴DF＝EF.

在Rt△DCF中，根據(jù)勾股定理，可得DF2＝CF2＋CD2.∵CD＝BE，∴EF2＝BE2＋CF2.4.

（2024樂山）在一堂平面幾何專題復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)同學(xué)們

解決了以下問題：【問題情境】如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E在邊BC

上，且∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝4，求DE的長(zhǎng).解：如圖2，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD'，連接ED'.由旋轉(zhuǎn)的特征，得∠BAD＝∠CAD'，∠B＝∠ACD'，AD＝AD'，BD＝CD'.圖1

圖2∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠EAC＝45°.∵∠BAD＝∠CAD'，∴∠CAD'＋∠EAC＝45°，即∠EAD'＝45°.∴∠DAE＝∠D'AE.

在△ADE和△AD'E中，AD＝AD'，∠DAE＝∠D'AE，AE＝AE，∴①

.∴DE＝D'E.

又∵∠ECD'＝∠ECA＋∠ACD'＝∠ECA＋∠B＝90°，∴在Rt△ECD'中，②

.∵CD'＝BD＝3，CE＝4，∴DE＝D'E＝③

.

【問題解決】上述問題情境中，“①”處應(yīng)填：

；“②”處應(yīng)

填：

；“③”處應(yīng)填：

?.劉老師進(jìn)一步談到：圖形的變化強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來研究，只要我

們抓住了變化中的不變量，就能以不變應(yīng)萬變.△ADE≌△AD'E

EC2＋CD'2＝ED'2

5

【知識(shí)遷移】如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，滿足

△CEF的周長(zhǎng)等于正方形ABCD的周長(zhǎng)的一半，連接AE，AF，分別

與對(duì)角線BD交于M，N兩點(diǎn).探究BM，MN，DN之間的數(shù)量關(guān)系并

證明.圖3

圖4

圖5解：【知識(shí)遷移】DN2＋BM2＝MN2.理由如下：如圖1，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADF'，過點(diǎn)D作DH⊥BD交邊AF'于點(diǎn)H，連接NH.

由旋轉(zhuǎn)，得AE＝AF'，BE＝DF'，∠BAE＝∠DAF'.由題意，得EF＋EC＋FC＝DC＋BC＝DF＋FC＋EC＋BE.

∴EF＝DF＋BE＝DF＋DF'＝F'F.

∴△AEF≌AF'F（SSS）.∴∠EAF＝∠F'AF.

又∵BD為正方形ABCD的對(duì)角線，∴∠ABD＝∠ADB＝45°.∵DH⊥BD，∴∠ADH＝∠HDB－∠ADB＝45°.∴△ABM≌△ADH（ASA）.∴AM＝AH，BM＝DH.

又∵∠MAN＝∠HAN，AN＝AN，

∴△AMN≌△AHN（SAS）.∴MN＝HN.

在Rt△HND中，DN2＋DH2＝HN2，∴DN2＋BM2＝MN2.【拓展應(yīng)用】如圖4，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且∠EAF＝

∠CEF＝45°.探究BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系：

?

（直接寫出結(jié)論，不必證明）.EF2＝2BE2＋

2DF2

圖4 【問題再探】如圖5，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)D，E在邊

AC上，且∠DBE＝45°.設(shè)AD＝x，CE＝y(tǒng)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.圖5最后，劉老師總結(jié)到：希望同學(xué)們?cè)诮窈蟮臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的

眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)

實(shí)世界.解：【問題再探】如圖2，將△BEC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BE'C'，連接E'D，過點(diǎn)E作EG⊥BC，垂足為