第1章三角形1.3全等三角形的判定第3課時(shí)推論“角角邊(AAS)”基本事實(shí)“角邊角(ASA)”的推論“角角邊(AAS)”1.(2025江蘇常州武進(jìn)期中)如圖,甲、乙、丙三個(gè)三角形中和

△ABC全等的是

()A.甲、乙

B.乙、丙

B

C.只有乙

D.只有丙解析甲已知一角和角的對(duì)邊不能確定一個(gè)三角形;乙和△ABC符合全等三角形的判定方法SAS.丙和△ABC符合全等三角形的判定方法AAS.綜上,乙、丙和△ABC全等,故選B.2.如圖,點(diǎn)B,C,D共線,AC=BE,AC⊥BE,∠ABC=∠D=90°,AB=13,DE=6,則CD的長(zhǎng)是

()A.7

B.8

C.9

D.10

A

解析∵AC⊥BE,∠ABC=∠D=90°,∴∠A+∠ABE=∠ABE+∠EBD=90°,∴∠A=∠EBD.在△ABC與△BDE中,

∴△ABC≌△BDE(AAS),∴BC=DE=6,AB=BD=13,∴CD=BD-BC=13-6=7.故選A.3.(2025江蘇宿遷宿城期中)如圖,D,E是邊BC上的兩點(diǎn),BD=

CE,∠ADB=∠AEC,現(xiàn)要直接用“AAS”來證明△ABD≌△ACE,請(qǐng)你再添加一個(gè)條件:___________________.∠BAD=∠CAE解析在△ABD與△ACE中,

∴△ABD≌△ACE(AAS).故答案為∠BAD=∠CAE.4.【學(xué)科特色·一線三等角模型】王強(qiáng)同學(xué)用10塊高度都是2

cm的相同長(zhǎng)方體小木塊壘了兩堵與地面垂直的木墻,木墻之

間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角尺(AC=BC,∠ACB=90°),

點(diǎn)C在DE上,點(diǎn)A和點(diǎn)B分別與木墻的頂端重合,則兩堵木墻之

間的距離為__cm.20解析根據(jù)題意,得AD⊥DE,BE⊥DE,∴∠ADC=∠CEB=90°,

∵∠ACB=90°,∠ADC=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°,∴∠BCE=∠DAC.在△ADC和△CEB中,

∴△ADC≌△CEB(AAS).∴AD=EC=2×3=6(cm),DC=BE=2×7=14(cm),∴DE=DC+CE=20cm.故答案為20.5.(2024江蘇泰州泰興期末)如圖,點(diǎn)E在△ABC的邊AC上,AE=

BC,BC∥AD,∠CED=∠BAD.求證:△ABC≌△DEA.證明∵BC∥AD,∴∠DAE=∠C.∵∠CED=∠BAD,∠CED=∠D+∠DAC,∠BAD=∠DAC+∠BAC,∴∠D=∠BAC.在△ABC和△DEA中,

∴△ABC≌△DEA(AAS).6.【學(xué)科特色·擁抱型】(2024江蘇鎮(zhèn)江中考)如圖,∠C=∠D=90°,∠CBA=∠DAB.(1)求證:△ABC≌△BAD.(2)若∠DAB=70°,求∠CAB的度數(shù).解析

(1)證明:在△ABC和△BAD中,

∴△ABC≌△BAD(AAS).(2)∵∠DAB=70°,∠D=90°,∴∠DBA=90°-70°=20°,由(1)知△ABC≌△BAD,∴∠CAB=∠DBA=20°.7.(2024四川南充中考)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn),

過點(diǎn)B作BE∥AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求證:△BDE≌△CDA.(2)若AD⊥BC,求證:BA=BE.證明

(1)∵D為BC的中點(diǎn),∴BD=CD.∵BE∥AC,∴∠E=∠DAC,∠DBE=∠C.在△BDE和△CDA中,

∴△BDE≌△CDA(AAS).(2)∵△BDE≌△CDA,∴ED=AD.∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠EDB=90°,易證△ABD≌△EBD(SAS),∴BA=BE.8.(2023四川涼山州中考,★☆☆)如圖,點(diǎn)E、點(diǎn)F在BC上,BE=

CF,∠B=∠C,添加一個(gè)條件,不能證明△ABF≌△DCE的是

()A.∠A=∠DB.∠AFB=∠DEC

D

C.AB=DCD.AF=DE解析∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE,又∵∠B=∠C,∴當(dāng)添加∠A=∠D時(shí),利用“AAS”可得△ABF≌△DCE,故A不符合題意;當(dāng)添加∠AFB=∠DEC時(shí),利用“ASA”可得△ABF≌△DCE,

故B不符合題意;當(dāng)添加AB=DC時(shí),利用“SAS”可得△ABF≌△DCE,故C不符

合題意;當(dāng)添加AF=DE時(shí),無法證明△ABF≌△DCE,故D符合

題意.故選D.9.(2024江蘇宿遷宿城期中,★★☆)如圖,在四邊形ABCD中,AB

∥DC,E為BC的中點(diǎn),連接DE,AE,AE⊥DE,延長(zhǎng)DE交AB的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)F.若AB=5,CD=2,則AD的長(zhǎng)為

()A.5

B.9

C.7

D.11

C

解析∵E為BC的中點(diǎn),∴BE=EC.∵AB∥CD,∴∠F=∠CDE.在△BEF與△CED中,

∴△BEF≌△CED(AAS),∴EF=DE,BF=CD=2,∴AF=AB+BF=7.∵AE⊥DE,∴∠AED=∠AEF=90°,又∵AE=AE,EF=DE,∴△AEF≌△AED,∴AF=AD=7.故選C.10.【新課標(biāo)·推理能力】(2024江蘇淮安淮陰期中)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=7cm,BC=3cm,CD為AB邊上的高,點(diǎn)E

從點(diǎn)B出發(fā),在直線BC上以2cm/s的速度朝固定方向勻速移動(dòng),

過點(diǎn)E作直線BC的垂線交直線CD于點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)_____s時(shí),

CF=AB.2或5解析∵∠ACB=90°,∴∠A+∠CBD=90°.∵CD為AB邊上的高,∴∠CDB=90°,∴∠BCD+∠CBD=90°,∴∠A=∠BCD.∵∠BCD=∠ECF,∴∠ECF=∠A,∵EF⊥直線BC,∴∠CEF=90°=∠ACB.在△CEF和△ACB中,

,∴△CEF≌△ACB(AAS),∴CE=AC=7cm.①如圖,當(dāng)點(diǎn)E在射線BC上移動(dòng)時(shí),BE=CE+BC=7+3=10(cm),∵點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā),在直線BC上以2cm/s的速度移動(dòng),∴點(diǎn)E移

動(dòng)了10÷2=5(s).②如圖,當(dāng)點(diǎn)E在射線CB上移動(dòng)時(shí),BE'=CE'-BC=7-3=4(cm).∵點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā),在直線BC上以2cm/s的速度移動(dòng),∴點(diǎn)E移

動(dòng)了4÷2=2(s).綜上所述,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)5s或2s時(shí),CF=AB.故答案為2或5.微專題作垂直造全等1.如圖,∠C=90°,BE⊥AB且BE=AB,BD⊥BC且BD=BC,CB的延

長(zhǎng)線交DE于點(diǎn)F.求證:點(diǎn)F是ED的中點(diǎn).證明如圖,過點(diǎn)E作EH⊥CF,交CF的延長(zhǎng)線于H,∵∠C=90°,BE⊥AB,EH⊥CF,∴∠C=∠EBA=∠H=90°,∴∠ABC+∠A=90°,∠ABC+∠EBH=90°,∴∠A=∠EBH.在△ABC和△BEH中,

∴△ABC≌△BEH(AAS),∴EH=BC,又∵BC=BD,∴EH=BD.∵BD⊥BC,∴∠DBF=90°,在△HEF和△BDF中,

∴△HEF≌△BDF(AAS),∴EF=DF,∴點(diǎn)F是ED的中點(diǎn).2.如圖,OC平分∠AOB,P是OC上任意一點(diǎn),點(diǎn)M,N分別在OB和

OA上,連接PM和PN,若∠PMO+∠PNO=180°,求證:PM=PN.證明如圖,過點(diǎn)P作PE⊥OB于E