2025年陜西科技大學(xué)強(qiáng)基計劃數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)科目試題答案詳解與解析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$的定義域是？(A)$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$(B)$[-2,2]$(C)$(-2,2)$(D)$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$2.若$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，且$\alpha$是第二象限的角，則$\cos\alpha$的值為？(A)$-\frac{4}{5}$(B)$\frac{4}{5}$(C)$-\frac{3}{5}$(D)$\frac{3}{5}$3.等差數(shù)列$\{a_n\}$中，若$a_1+a_6=12$，則$a_4$的值為？(A)4(B)6(C)8(D)104.函數(shù)$y=x^2-4x+4$的最小值是？(A)-4(B)0(C)4(D)85.在$\triangleABC$中，若$\angleA=60^\circ$，$\angleB=45^\circ$，$AC=2$，則$BC$的值為？(A)$\sqrt{2}$(B)$2\sqrt{2}$(C)$\sqrt{3}$(D)$2\sqrt{3}$6.已知向量$\vec{a}=(3,1)$，$\vec=(1,-2)$，則$\vec{a}\cdot\vec$的值為？(A)1(B)-1(C)4(D)-47.圓心在原點，半徑為3的圓的方程是？(A)$x^2+y^2=9$(B)$x^2-y^2=9$(C)$x^2+y^2=-9$(D)$x^2-y^2=-9$8.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$處取得極小值，且$f(1)=2$，則$a$的取值范圍是？(A)$a>0$(B)$a<0$(C)$a\geq0$(D)$a\leq0$9.已知$\lgx=2-3\lgy$，則$x$與$y$之間的關(guān)系式是？(A)$x=\frac{1000}{y^3}$(B)$x=\frac{y^3}{1000}$(C)$x=1000y^3$(D)$x=y^3-1000$10.若復(fù)數(shù)$z=1+i$，則$z^2$的值為？(A)2(B)-2(C)1+2i(D)1-2i二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。）11.已知$\tan\alpha=2$，則$\cot\alpha$的值為？12.在等比數(shù)列$\{b_n\}$中，若$b_1=2$，$b_4=16$，則公比$q$的值為？13.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，事件“恰好出現(xiàn)一次正面”的概率為？14.函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$的定義域是？15.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$，則$f'(1)$的值為？三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.（本小題滿分15分）已知函數(shù)$g(x)=x^3-3x^2+2$。(1)求函數(shù)$g(x)$的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)$g(x)$的極值。17.（本小題滿分15分）在$\triangleABC$中，已知$a=3$，$b=\sqrt{7}$，$c=2$，求$\cosA$的值。18.（本小題滿分15分）已知函數(shù)$h(x)=\lg(x^2+ax+b)$。(1)若$h(x)$的定義域為$\mathbb{R}$，求實數(shù)$a$和$b$的取值范圍；(2)若$h(1)=0$，且$h(x)$在$(1,+\infty)$上單調(diào)遞增，求實數(shù)$a$的最大值。19.（本小題滿分15分）已知數(shù)列$\{c_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且滿足$c_1=1$，$S_n=2c_n-1$。(1)求數(shù)列$\{c_n\}$的通項公式；(2)求數(shù)列$\{c_n\}$的各項和。20.（本小題滿分15分）已知函數(shù)$F(x)=f(x)+g(x)$，其中$f(x)=x^2$，$g(x)=\frac{1}{x}$。(1)求函數(shù)$F(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)$a>0$，若方程$F(x)=a$在$(1,+\infty)$上有解，求實數(shù)$a$的取值范圍。試卷答案一、選擇題1.C2.A3.B4.B5.A6.D7.A8.A9.A10.C二、填空題11.$\frac{1}{2}$12.213.$\frac{1}{2}$14.$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$15.-3三、解答題16.解：(1)求導(dǎo)數(shù)：$g'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$g'(x)=0$，得$x=0$或$x=2$。數(shù)軸分為三段：$(-\infty,0)$，$(0,2)$，$(2,+\infty)$。當(dāng)$x\in(-\infty,0)$時，$g'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)$x\in(0,2)$時，$g'(x)<0$，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)$x\in(2,+\infty)$時，$g'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增。故函數(shù)$g(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間為$(-\infty,0)$和$(2,+\infty)$，單調(diào)遞減區(qū)間為$(0,2)$。(2)函數(shù)在$x=0$處由遞增轉(zhuǎn)為遞減，故在$x=0$處取得極大值$g(0)=2$；函數(shù)在$x=2$處由遞減轉(zhuǎn)為遞增，故在$x=2$處取得極小值$g(2)=0$。17.解：由余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$，得$\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{3^2+(\sqrt{7})^2-2^2}{2\cdot3\cdot\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$。由正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}$，得$\sinA=\frac{a\sinC}{c}=\frac{3\cdot\frac{\sqrt{21}}{7}}{2}=\frac{3\sqrt{21}}{14}$。由于$a>b>c$，所以$A\in(\frac{\pi}{2},\pi)$，$\cosA=-\sqrt{1-\sin^2A}=-\sqrt{1-(\frac{3\sqrt{21}}{14})^2}=-\frac{2\sqrt{7}}{7}$。18.解：(1)函數(shù)$h(x)$的定義域為$\mathbb{R}$，則$x^2+ax+b>0$對任意$x\in\mathbb{R}$恒成立。故$\Delta=a^2-4b<0$，即$a^2<4b$。(2)由$h(1)=0$，得$\lg(1+a+b)=0$，即$1+a+b=1$，故$a+b=0$，即$b=-a$。代入$\Delta=a^2-4b<0$，得$a^2+4a<0$，即$a(a+4)<0$，解得$-4<a<0$。函數(shù)$h(x)$在$(1,+\infty)$上單調(diào)遞增，則$h'(x)=\frac{2x+a}{x^2+ax+b}>0$在$(1,+\infty)$上恒成立。由于$x^2+ax+b=x^2-ax-a=(x-\frac{a}{2})^2-\frac{a^2}{4}-a>0$在$(1,+\infty)$上恒成立，故只需$2x+a>0$在$(1,+\infty)$上恒成立，即$a>-2x$在$(1,+\infty)$上恒成立。故只需$a>(-2x)_{\max}$，而$(-2x)_{\max}=-2$，故$a>-2$。結(jié)合$-4<a<0$，得$-2<a<0$。因此，實數(shù)$a$的最大值為0。19.解：(1)當(dāng)$n=1$時，$c_1=S_1=2c_1-1$，解得$c_1=1$。當(dāng)$n\geq2$時，$c_n=S_n-S_{n-1}=(2c_n-1)-(2c_{n-1}-1)=2c_n-2c_{n-1}$，即$c_n=2c_{n-1}$。故數(shù)列$\{c_n\}$是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，通項公式為$c_n=2^{n-1}$。(2)數(shù)列$\{c_n\}$的各項和為$S=\frac{c_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{1(1-2^n)}{1-2}=2^n-1$。20.解：(1)求導(dǎo)數(shù)：$F'(x)=f'(x)+g'(x)=2x-\frac{1}{x^2}=\frac{2x^3-1}{x^2}$。令$F'(x)=0$，得$2x^3-1=0$，解得$x=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$。當(dāng)$x\in(0,\frac{1}{\sqrt[3]{2}})$時，$F'(x)<0$，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)$x\in(\frac{1}{\sqrt[3]{2}},+\infty)$時，$F'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增。故函數(shù)$F(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間為$(\fr