宜興中學(xué)月考試卷及答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB=\)（）A.\(\{2,3\}\)B.\(\{1,2,3,4\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)2.函數(shù)\(y=\sqrt{x1}\)的定義域是（）A.\((\infty,1)\)B.\((\infty,1]\)C.\((1,+\infty)\)D.\([1,+\infty)\)3.下列函數(shù)中，在區(qū)間\((0,+\infty)\)上為增函數(shù)的是（）A.\(y=x+1\)B.\(y=x^{2}4x+5\)C.\(y=\frac{1}{x}\)D.\(y=\sqrt{x}\)4.若\(f(x)=x^{2}+bx+c\)，且\(f(1)=0\)，\(f(3)=0\)，則\(f(1)=\)（）A.\(6\)B.\(7\)C.\(8\)D.\(9\)5.已知\(f(x)\)是定義在\(R\)上的偶函數(shù)，且在\((\infty,0]\)上是增函數(shù)，若\(f(a)\leqf(2)\)，則實數(shù)\(a\)的取值范圍是（）A.\([2,2]\)B.\((\infty,2]\cup[2,+\infty)\)C.\((\infty,2]\)D.\([2,+\infty)\)6.已知函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}2x1,x\gt0\\x^{2}2x,x\leq0\end{cases}\)，若\(f(a)=1\)，則實數(shù)\(a\)的值是（）A.\(1\)B.\(1\)C.\(1\)或\(1\)D.\(1\)或\(\frac{1}{2}\)7.已知函數(shù)\(y=f(x)\)是奇函數(shù)，當\(x\gt0\)時，\(f(x)=x^{2}2x3\)，則當\(x\lt0\)時，\(f(x)\)的解析式是（）A.\(f(x)=x^{2}2x+3\)B.\(f(x)=x^{2}2x3\)C.\(f(x)=x^{2}+2x3\)D.\(f(x)=x^{2}+2x+3\)8.已知函數(shù)\(f(x)=x^{2}+2(a1)x+2\)在區(qū)間\((\infty,4]\)上是減函數(shù)，則實數(shù)\(a\)的取值范圍是（）A.\([3,+\infty)\)B.\((\infty,3]\)C.\((\infty,5]\)D.\([3,+\infty)\)9.設(shè)函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的周期為\(2\)的偶函數(shù)，當\(x\in[0,1]\)時，\(f(x)=x+1\)，則\(f(\frac{3}{2})=\)（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{3}{2}\)C.\(\frac{5}{2}\)D.\(\frac{1}{2}\)10.已知函數(shù)\(f(x)\)是\(R\)上的增函數(shù)，\(A(0,1)\)，\(B(3,1)\)是其圖象上的兩點，那么\(\vertf(x+1)\vert\lt1\)的解集的補集是（）A.\((1,2)\)B.\((1,4)\)C.\((\infty,1]\cup[2,+\infty)\)D.\((\infty,1)\cup(2,+\infty)\)11.已知函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(x+1)=f(x1)\)，且當\(x\in[1,1]\)時，\(f(x)=x^{2}\)，則函數(shù)\(y=f(x)\)與\(y=\log_{5}x\)的圖象的交點個數(shù)是（）A.\(2\)B.\(3\)C.\(4\)D.\(5\)12.若函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的偶函數(shù)，在\((\infty,0]\)上是減函數(shù)，且\(f(2)=0\)，則使得\(f(x)\lt0\)的\(x\)的取值范圍是（）A.\((\infty,2)\)B.\((2,+\infty)\)C.\((\infty,2)\cup(2,+\infty)\)D.\((2,2)\)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知集合\(A=\{x\mid2\ltx\lt3\}\)，\(B=\{x\midx\lt1\)或\(x\gt2\}\)，則\(A\capB=\)______。14.函數(shù)\(f(x)=x^{2}2x+3\)在區(qū)間\([0,3]\)上的最大值是______。15.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，當\(x\geq0\)時，\(f(x)=x(1+x)\)，則當\(x\lt0\)時，\(f(x)=\)______。16.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的增函數(shù)，\(f(x)+2\gtf^\prime(x)\)，\(f(0)=1\)，則不等式\(e^{x}f(x)\gt2e^{x}1\)的解集是______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（10分）已知集合\(A=\{x\midx^{2}3x+2=0\}\)，\(B=\{x\midx^{2}ax+a1=0\}\)，若\(A\cupB=A\)，求實數(shù)\(a\)的值。18.（12分）已知函數(shù)\(f(x)=x^{2}+2ax+2\)，\(x\in[5,5]\)。（1）當\(a=1\)時，求函數(shù)\(f(x)\)的最大值和最小值；（2）求實數(shù)\(a\)的取值范圍，使\(y=f(x)\)在區(qū)間\([5,5]\)上是單調(diào)函數(shù)。19.（12分）已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，且當\(x\gt0\)時，\(f(x)=x^{2}2x\)。（1）求\(f(x)\)在\(R\)上的解析式；（2）若\(f(x)\)在區(qū)間\([1,m2]\)上單調(diào)遞增，求實數(shù)\(m\)的取值范圍。20.（12分）已知函數(shù)\(f(x)=\frac{2x+1}{x+1}\)。（1）判斷函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([1,+\infty)\)上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；（2）求該函數(shù)在區(qū)間\([1,4]\)上的最大值和最小值。21.（12分）已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的偶函數(shù)，且當\(x\geq0\)時，\(f(x)=x^{2}2x\)。（1）求\(f(x)\)的解析式；（2）若\(f(2a1)\ltf(3)\)，求實數(shù)\(a\)的取值范圍。22.（14分）已知函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}\)，設(shè)\(a_{n}=f(n)(n\inN^{})\)。（1）求證：\(a_{n+1}\lta_{n}\)；（2）求數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的最大項和最小項。答案一、選擇題1.答案：A解析：根據(jù)交集的定義，\(A\capB\)是由既屬于集合\(A\)又屬于集合\(B\)的所有元素組成的集合，所以\(A\capB=\{2,3\}\)。2.答案：D解析：要使根式有意義，則根號下的數(shù)非負，即\(x1\geq0\)，解得\(x\geq1\)，所以函數(shù)\(y=\sqrt{x1}\)的定義域是\([1,+\infty)\)。3.答案：D解析：對于選項A，\(y=x+1\)是一次函數(shù)，斜率\(k=1\lt0\)，在\(R\)上是減函數(shù)；對于選項B，\(y=x^{2}4x+5=(x2)^{2}+1\)，其對稱軸為\(x=2\)，在\((0,2)\)上是減函數(shù)，在\((2,+\infty)\)上是增函數(shù)；對于選項C，\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上是減函數(shù)；對于選項D，\(y=\sqrt{x}\)，根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)，在\((0,+\infty)\)上是增函數(shù)。4.答案：C解析：因為\(f(x)=x^{2}+bx+c\)，且\(f(1)=0\)，\(f(3)=0\)，將\(x=1\)和\(x=3\)代入函數(shù)可得\(\begin{cases}1+b+c=0\\9+3b+c=0\end{cases}\)，解方程組得\(b=4\)，\(c=3\)，所以\(f(x)=x^{2}4x+3\)，則\(f(1)=1+4+3=8\)。5.答案：B解析：因為\(f(x)\)是定義在\(R\)上的偶函數(shù)，且在\((\infty,0]\)上是增函數(shù)，所以\(f(x)\)在\([0,+\infty)\)上是減函數(shù)。又\(f(a)\leqf(2)\)，則\(\verta\vert\geq2\)，解得\(a\leq2\)或\(a\geq2\)，即實數(shù)\(a\)的取值范圍是\((\infty,2]\cup[2,+\infty)\)。6.答案：C解析：當\(a\gt0\)時，\(f(a)=2a1=1\)，解得\(a=1\)；當\(a\leq0\)時，\(f(a)=a^{2}2a=1\)，即\(a^{2}+2a+1=0\)，\((a+1)^{2}=0\)，解得\(a=1\)。所以實數(shù)\(a\)的值是\(1\)或\(1\)。7.答案：A解析：設(shè)\(x\lt0\)，則\(x\gt0\)，因為當\(x\gt0\)時，\(f(x)=x^{2}2x3\)，所以\(f(x)=(x)^{2}2(x)3=x^{2}+2x3\)。又因為\(y=f(x)\)是奇函數(shù)，所以\(f(x)=f(x)=x^{2}2x+3\)。8.答案：B解析：函數(shù)\(f(x)=x^{2}+2(a1)x+2\)的對稱軸為\(x=1a\)，因為函數(shù)在區(qū)間\((\infty,4]\)上是減函數(shù)，所以對稱軸\(x=1a\geq4\)，解得\(a\leq3\)，即實數(shù)\(a\)的取值范圍是\((\infty,3]\)。9.答案：B解析：因為函數(shù)\(f(x)\)是周期為\(2\)的函數(shù)，所以\(f(\frac{3}{2})=f(\frac{3}{2}2)=f(\frac{1}{2})\)。又因為\(f(x)\)是偶函數(shù)，所以\(f(\frac{1}{2})=f(\frac{1}{2})\)。當\(x\in[0,1]\)時，\(f(x)=x+1\)，則\(f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\)。10.答案：C解析：由\(\vertf(x+1)\vert\lt1\)得\(1\ltf(x+1)\lt1\)。因為\(A(0,1)\)，\(B(3,1)\)是\(y=f(x)\)圖象上的兩點，所以\(f(0)=1\)，\(f(3)=1\)，則\(f(0)\ltf(x+1)\ltf(3)\)。又因為\(f(x)\)是\(R\)上的增函數(shù)，所以\(0\ltx+1\lt3\)，解得\(1\ltx\lt2\)，其補集為\((\infty,1]\cup[2,+\infty)\)。11.答案：C解析：由\(f(x+1)=f(x1)\)可知函數(shù)\(f(x)\)的周期為\(2\)。當\(x\in[1,1]\)時，\(f(x)=x^{2}\)，作出\(y=f(x)\)與\(y=\log_{5}x\)的圖象，通過圖象可知它們的交點個數(shù)是\(4\)個。12.答案：D解析：因為\(f(x)\)是偶函數(shù)，且在\((\infty,0]\)上是減函數(shù)，\(f(2)=0\)，所以\(f(2)=0\)。\(f(x)\)在\([0,+\infty)\)上是增函數(shù)，由\(f(x)\lt0\)得\(f(x)\ltf(2)\)，即\(\vertx\vert\lt2\)，解得\(2\ltx\lt2\)。二、填空題13.答案：\(\{x\mid2\ltx\lt1\)或\(2\ltx\lt3\}\)解析：根據(jù)交集的定義，直接求\(A\)與\(B\)的公共部分，可得\(A\capB=\{x\mid2\ltx\lt1\)或\(2\ltx\lt3\}\)。14.答案：\(6\)解析：\(f(x)=x^{2}2x+3=(x1)^{2}+2\)，其對稱軸為\(x=1\)，在區(qū)間\([0,3]\)上，當\(x=3\)時，\(f(3)=3^{2}2\times3+3=6\)；當\(x=1\)時，\(f(1)=2\)，所以最大值是\(6\)。15.答案：\(x(1x)\)解析：設(shè)\(x\lt0\)，則\(x\gt0\)，因為當\(x\geq0\)時，\(f(x)=x(1+x)\)，所以\(f(x)=x(1x)\)。又因為\(f(x)\)是奇函數(shù)，所以\(f(x)=f(x)=x(1x)\)。16.答案：\((0,+\infty)\)解析：設(shè)\(g(x)=e^{x}f(x)2e^{x}+1\)，則\(g^\prime(x)=e^{x}f(x)+e^{x}f^\prime(x)2e^{x}=e^{x}[f(x)+f^\prime(x)2]\)。因為\(f(x)+2\gtf^\prime(x)\)，即\(f(x)+f^\prime(x)2\gt0\)，且\(e^{x}\gt0\)，所以\(g^\prime(x)\gt0\)，\(g(x)\)在\(R\)上是增函數(shù)。又\(g(0)=e^{0}f(0)2e^{0}+1=1\times12\times1+1=0\)，由\(g(x)\gt0\)得\(x\gt0\)，所以不等式\(e^{x}f(x)\gt2e^{x}1\)的解集是\((0,+\infty)\)。三、解答題17.解：先求解集合\(A\)：由\(x^{2}3x+2=0\)，因式分解得\((x1)(x2)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。再求解集合\(B\)：由\(x^{2}ax+a1=0\)，因式分解得\((x1)[x(a1)]=0\)，解得\(x=1\)或\(x=a1\)，所以\(B=\{1,a1\}\)。因為\(A\cupB=A\)，所以\(B\subseteqA\)。當\(a1=1\)時，即\(a=2\)，此時\(B=\{1\}\)，滿足\(B\subseteqA\)。當\(a1=2\)時，即\(a=3\)，此時\(B=\{1,2\}\)，滿足\(B\subseteqA\)。綜上，實數(shù)\(a\)的值為\(2\)或\(3\)。18.解：（1）當\(a=1\)時，\(f(x)=x^{2}2x+2=(x1)^{2}+1\)，\(x\in[5,5]\)。函數(shù)對稱軸為\(x=1\)。當\(x=1\)時，\(f(x)\)取得最小值\(f(1)=1\)。比較端點值，\(f(5)=(5)^{2}2\times(5)+2=25+10+2=37\)，\(f(5)=5^{2}2\times5+2=2510+2=17\)，所以當\(x=5\)時，\(f(x)\)取得最大值\(37\)。（2）函數(shù)\(f(x)=x^{2}+2ax+2\)的對稱軸為\(x=a\)。要使\(y=f(x)\)在區(qū)間\([5,5]\)上是單調(diào)函數(shù)，則對稱軸\(x=a\)應(yīng)滿足\(a\leq5\)或\(a\geq5\)。解得\(a\geq5\)或\(a\leq5\)，所以實數(shù)\(a\)的取值范圍是\((\infty,5]\cup[5,+\infty)\)。19.解：（1）因為\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，所以\(f(0)=0\)。設(shè)\(x\lt0\)，則\(x\gt0\)，已知當\(x\gt0\)時，\(f(x)=x^{2}2x\)，所以\(f(x)=(x)^{2}2(x)=x^{2}+2x\)。又因為\(f(x)\)是奇函數(shù)，所以\(f(x)=f(x)=x^{2}2x\)。綜上，\(f(x)=\begin{cases}x^{2}2x,x\gt0\\0,x=0\\x^{2}2x,x\lt0\end{cases}\)。（2）由（1）可知\(f(x)\)在\((\infty,1]\)和\([1,+\infty)\)上單調(diào)遞增，在\([1,1]\)上單調(diào)遞減。因為\(f(x)\)在區(qū)間\([1,m2]\)上單調(diào)遞增，所以\(\begin{cases}m2\gt1\\m2\leq1\end{cases}\)。解不等式組得\(1\ltm\leq3\)，所以實數(shù)\(m\)的取值范圍是\((1,3]\)。20.解：（1）函數(shù)\(f(x)=\frac{2x+1}{x+1}=\frac{2(x+1)1}{x+1}=2\frac{1}{x+1}\)在區(qū)間\([1,+\infty)\)上是增函數(shù)。證明：設(shè)\(1\leqx_{1}\ltx_{2}\)，則\(f(x_{1})f(x_{2})=(2\frac{1}{x_{1}+1})(2\frac{1}{x_{2}+1})=\frac{1}{x_{2}+1}\frac{1}{x_{1}+1}=\frac{x_{1}+1(x_{2}+1)}{(x_{1}+1)(x_{2}+1)}=\frac{x_{1}x_{2}}{(x_{1}+1)(x_{2}+1)}\)。因為\(1\leqx_{1}\ltx_{2}\)，所以\(x_{1}x_{2}\lt0\)，\(x_{1}+1\gt0\)，\(x_{2}+1\gt0\)，則\(f(x_{1})f(x_{2})\lt0\)，即\(f(x_{1})\ltf(x_{2})\)，所以函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([1,+\infty)\)上是增函數(shù)。（2）由（1）知函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([1,4]\)上是增函數(shù)。所以當\(x=1\)時，\(f(x)\)取得最小值\(f(1)=\frac{2\times1+1}{1+1}=\frac{3}{2}\)。當\(x=4\)時，\(f(x)\)取得最大值\(f(4)=\frac{2\times4+1}{4+1}=\frac{9}{5}\)。21.解：（1）設(shè)\(x\lt0\)，則\(x\gt0\)，因為當\(x\geq0\)時，\(f(x)=x^{2}2x\)，所以\(f(x)=(x)^{2}2(x)=x^{2}+2x\)。又因為\(f(x)\)是偶函數(shù)，所以\(f(x)=f(x)=x^{2}+2x\)。綜上，\(f(x)=\begin{cases}x^{2}2x,x\geq0\\x^{2}+2x,x\lt0\end{cases}\)。（2）因為\(f(x)\)是偶函數(shù)，所以\(f(2a1)\ltf(3)\)等價于\(f(\vert2a1\vert)\lt