山東省萊蕪市2025-2026學(xué)年數(shù)學(xué)高一上期末監(jiān)測模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．“”是“”成立的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要2．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B-AC-D，則四面體ABCD的外接球的體積是（）A.12512πC.1256π3．函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)，，其中，若，，使得成立，則（）A. B.C. D.5．集合{0，1，2}的所有真子集的個(gè)數(shù)是A.5 B.6C.7 D.86．把正方形沿對角線折起，當(dāng)以，，，四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線和平面所成角的大小為（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)，若正實(shí)數(shù)、、、互不相等，且，則的取值范圍為（）A. B.C. D.8．國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫局發(fā)布的相關(guān)規(guī)定指出，飲酒駕車是指車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或者等于，小于的駕駛行為；醉酒駕車是指車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或者等于的駕駛行為.一般的，成年人喝一瓶啤酒后，酒精含量在血液中的變化規(guī)律的“散點(diǎn)圖”如圖所示，且圖中的函數(shù)模型為：，假設(shè)某成年人喝一瓶啤酒后至少經(jīng)過小時(shí)才可以駕車，則的值為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.5 B.6C.7 D.89．定義域?yàn)镽的函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則=A.0 B.C. D.110．不等式的解集為R，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+2-a=2，b+3b=3，c+=4，則實(shí)數(shù)a，b，c之間的大小關(guān)系為_________.12．對于定義在區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)和，如果對任意的，均有不等式成立，則稱函數(shù)與在上是“友好”的，否則稱為“不友好”的（1）若，，則與在區(qū)間上是否“友好”；（2）現(xiàn)在有兩個(gè)函數(shù)與，給定區(qū)間①若與在區(qū)間上都有意義，求的取值范圍；②討論函數(shù)與與在區(qū)間上是否“友好”13．向量與，則向量在方向上的投影為______14．將函數(shù)y＝sinx的圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式為_________.15．已知函數(shù)，使方程有4個(gè)不同的解：，則的取值范圍是_________;的取值范圍是________.16．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)簡稱“北京—張家口冬奧會(huì)”，將于2022.2.4～2022.2.20在中華人民共和國北京市和張家口市聯(lián)合舉行.某公司為迎接冬奧會(huì)的到來，設(shè)計(jì)了一款扇形的紀(jì)念品，扇形圓心角為2，弧長為12cm，則扇形的面積為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)（1）求的值；（2）求的值18．已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出的值；如果不存在，請說明理由19．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的定義域及的值；（2）判斷函數(shù)的奇偶性；（3）判斷在上的單調(diào)性，并給予證明20．已知函數(shù)（其中，，）圖象上兩相鄰最高點(diǎn)之間距離為，且點(diǎn)是該函數(shù)圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)（1）求函數(shù)的解析式；（2）把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，若恒有，求實(shí)數(shù)的最小值.21．在①函數(shù)；②函數(shù)；③函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到的圖象，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充在下面的問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題已知______（只需填序號），函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間及其在上的最值注：若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】通過和同號可得前者等價(jià)于或，通過對數(shù)的性質(zhì)可得后者等價(jià)于或，結(jié)合充分條件，必要條件的概念可得結(jié)果.【詳解】或，或，即“”是“”成立必要不充分條件，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)以及充分條件，必要條件的判定，屬于中檔題.2、C【解析】由矩形的對角線互相平分且相等即球心到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等推出球心為AC的中點(diǎn)，即可求出球的半徑，代入體積公式即可得解.【詳解】因?yàn)榫匦螌蔷€互相平分且相等，根據(jù)外接球性質(zhì)易知外接球球心到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以球心在對角線AC上，且球的半徑為AC長度的一半，即r=12AC=故選：C【點(diǎn)睛】本題考查球與幾何體的切、接問題，二面角的概念，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】由函數(shù)的奇偶性質(zhì)可知函數(shù)為偶函數(shù)，再結(jié)合時(shí)函數(shù)的符號即可得答案.【詳解】解：由題知函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于軸對稱，故排除B，D，當(dāng)時(shí)，，故排除C，得A為正確選項(xiàng).故選：A4、B【解析】首先已知等式變形為，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，，問題可轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)函數(shù)的值域之間的包含關(guān)系【詳解】∵，，∴，又，∴，∴由得，，設(shè)，，則，，，∴的值域是值域的子集∵，時(shí)，，顯然，（否則0屬于的值域，但）∴，∴(*)由上討論知同號，時(shí)，(*)式可化為，∴，，當(dāng)時(shí)，(*)式可化為，∴，無解綜上：故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)恒成立問題，解題關(guān)鍵是掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想．首先是分離兩個(gè)變量，然后構(gòu)造新函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值域之間的包含關(guān)系．其次通過已知關(guān)系確定函數(shù)值域的形式（或者參數(shù)的一個(gè)范圍），在這個(gè)范圍解不等式才能非常簡單地求解5、C【解析】集合{0，1，2}中有三個(gè)元素，因此其真子集個(gè)數(shù)為.故選：C.6、C【解析】當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐體積最大，由此能求出結(jié)果【詳解】解：如圖，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐體積最大取的中點(diǎn)，則平面，故直線和平面所成的角為，故選：【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面所成角的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題7、A【解析】利用分段函數(shù)的定義作出函數(shù)的圖象，不妨設(shè)，根據(jù)圖象可得出，，，的范圍同時(shí)，還滿足，即可得答案【詳解】解析：如圖所示：正實(shí)數(shù)、、、互不相等，不妨設(shè)∵則，∴，∴且，，∴故選：A8、B【解析】由散點(diǎn)圖知，該人喝一瓶啤酒后個(gè)小時(shí)內(nèi)酒精含量大于或者等于，所以，根據(jù)題意列不等式，解不等式結(jié)合即可求解.【詳解】由散點(diǎn)圖知，該人喝一瓶啤酒后個(gè)小時(shí)內(nèi)酒精含量大于或者等于，所以所求，由，即，所以，即，所以，因?yàn)?，所以最小為，所以至少?jīng)過小時(shí)才可以駕車，故選：B.9、C【解析】本題考查學(xué)生的推理能力、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)方程思想、分類討論等知識如圖，由函數(shù)的圖象可知，若關(guān)于的方程恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，方程只有一根為2；當(dāng)時(shí)，方程有兩不等實(shí)根（），從而方程，共有四個(gè)根，且這四個(gè)根關(guān)于直線對稱分布，故其和為8.從而，，選C【點(diǎn)評】本題需要學(xué)生具備扎實(shí)的基本功，難度較大10、D【解析】對分成，兩種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合判別式，求得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式化為，解集為，符合題意.當(dāng)時(shí)，一元二次不等式對應(yīng)一元二次方程的判別式，解得.綜上所述，的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)的一元二次不等式恒成立問題的求解，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、##【解析】利用指數(shù)的性質(zhì)及已知條件求a、b的范圍，討論c的取值范圍，結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)求c的范圍【詳解】由，由，又，當(dāng)時(shí)，，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，，不成立；當(dāng)時(shí)，；綜上，.故答案為：12、（1）是；（2）①；②見解析【解析】（1）按照定義，只需判斷在區(qū)間上是否恒成立；（2）①由題意解不等式組即可；②假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得與與在區(qū)間上是“友好”的，即，即，只需求出函數(shù)在區(qū)間上的最值，解不等式組即可.【詳解】（1）由已知，，因?yàn)闀r(shí)，，所以恒成立，故與在區(qū)間上是“友好”的.（2）①與在區(qū)間上都有意義，則必須滿足，解得，又且，所以的取值范圍為.②假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得與與在區(qū)間上是“友好”的，則，即，因?yàn)?，則，，所以在的右側(cè)，又復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在區(qū)間上為減函數(shù)，從而，，所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，與與在區(qū)間上是“友好”的；當(dāng)時(shí)，與與在區(qū)間上是“不友好”的.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的新定義問題，主要涉及到不等式恒成立的問題，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想、數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力，是一道有一定難度的題.13、【解析】在方向上的投影為考點(diǎn)：向量的投影14、【解析】利用相位變換直接求得.【詳解】按照相位變換，把函數(shù)y＝sinx的圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，得到.故答案為：.15、①.②.【解析】先畫出分段函數(shù)的圖像，依據(jù)圖像得到之間的關(guān)系式以及之間的關(guān)系式，分別把和轉(zhuǎn)化成只有一個(gè)自變量的代數(shù)式，再去求取值范圍即可.【詳解】做出函數(shù)的圖像如下：在單調(diào)遞減：最小值0；在單調(diào)遞增：最小值0，最大值2；在上是部分余弦型曲線：最小值，最大值2.若方程有4個(gè)不同的解：，則不妨設(shè)四個(gè)解依次增大，則是方程的解，則，即；是方程的解，則由余弦型函數(shù)的對稱性可知.故，由得即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則故答案為：①；②16、36【解析】首先根據(jù)弧長公式求出扇形的半徑，再根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算可得；【詳解】解：依題意、cm，所以，即cm，所以；故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）2【解析】（1）根據(jù)題意可得，結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式即可求解.（2）利用正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式，及正切函數(shù)兩角差公式即可求解.【小問1詳解】解析：（1）由已知可得【小問2詳解】（2）18、（1）；（2）不存在，理由見解析【解析】（1）結(jié)合題意得到關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，求解不等式，即可求解，得到答案；（2）由題意結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求得是否存在滿足題意的實(shí)數(shù)的值，得到答案【詳解】（1）由題設(shè)，對一切恒成立，且，∵，∴在上減函數(shù)，從而，∴，∴的取值范圍為；（2）假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)，由題設(shè)知，即，∴，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)沒有意義，故這樣的實(shí)數(shù)不存在【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，以及復(fù)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的判定及應(yīng)用，其中解答中熟記對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，合理求解函數(shù)的最值，列出方程求解是解答的關(guān)鍵19、（1）(2)偶函數(shù)（3）在上是減函數(shù),證明見解析.【解析】(1)根據(jù)對數(shù)函數(shù)成立的條件即可求函數(shù)f(x）的定義域及的值；(2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性;(3）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷和證明.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得，所以函?shù)的定義域?yàn)?（2）由（1）知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以函數(shù)是偶函數(shù).（3）在上是減函數(shù).設(shè)，且，則，因?yàn)?，所以，所以，即，所以在上是減函數(shù).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，第一步設(shè)且，第二步做差，變形，判斷差的符號，第三步根據(jù)差的符號作出結(jié)論.20、（1）（2）最小值為4【解析】（1）由圖象上兩相鄰最高點(diǎn)之間的距離為，可知周期,點(diǎn)是該函數(shù)圖象上的一個(gè)最高點(diǎn),可知,故，將點(diǎn)代入解析式即可得，函數(shù)解析式即可求得；（2）利用函數(shù)平移的性質(zhì)即可求得平移后的函數(shù)，由恒有，可知函數(shù)在處取得最大值，即可求出實(shí)數(shù)取最小值.【小問1詳解】根據(jù)題意得函數(shù)的周期為，即,故，∵點(diǎn)是該函數(shù)圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)，∴，即，將點(diǎn)代入函數(shù)解析式得，，即,則，又∵，∴,故.【小問2詳解】∵函數(shù)，∴∵恒有成立，∴在處取得最大值,則，，得∵，，故當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)取最小值4.21、（1）條件選擇見解析，（2）單調(diào)遞減區(qū)間為，最小值為，最大值為2【解析】（1）選條件①：利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式以及兩角和的正弦公式和倍角公式，將化為只含一個(gè)三角函數(shù)形式，根據(jù)最小正周期求得，即可得答案；選條件②：利用兩角和的正弦公式以及倍角公式，將化為只含一個(gè)三角函