2025年度全國體育單招數(shù)學(xué)測試題（含答案）一、選擇題：本題共10小題，每小題6分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合\(A=\{x|x^23x+2=0\}\)，\(B=\{x|ax2=0\}\)，若\(A\capB=B\)，則實(shí)數(shù)\(a\)的值為（）A.\(0\)或\(1\)或\(2\)B.\(1\)或\(2\)C.\(0\)D.\(0\)或\(1\)答案：A解析：先求解集合\(A\)，由\(x^23x+2=0\)，即\((x1)(x2)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。因?yàn)閈(A\capB=B\)，所以\(B\subseteqA\)。當(dāng)\(a=0\)時，\(B=\varnothing\)，滿足\(B\subseteqA\)；當(dāng)\(a\neq0\)時，\(B=\left\{\dfrac{2}{a}\right\}\)，若\(\dfrac{2}{a}=1\)，則\(a=2\)；若\(\dfrac{2}{a}=2\)，則\(a=1\)。綜上，實(shí)數(shù)\(a\)的值為\(0\)或\(1\)或\(2\)。2.函數(shù)\(y=\log_{\frac{1}{2}}(x^24x+3)\)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.\((\infty,1)\)B.\((3,+\infty)\)C.\((\infty,2)\)D.\((2,+\infty)\)答案：B解析：首先求函數(shù)的定義域，由\(x^24x+3>0\)，即\((x1)(x3)>0\)，解得\(x<1\)或\(x>3\)。令\(t=x^24x+3\)，則\(y=\log_{\frac{1}{2}}t\)，函數(shù)\(y=\log_{\frac{1}{2}}t\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減。對于二次函數(shù)\(t=x^24x+3=(x2)^21\)，其對稱軸為\(x=2\)，在\((3,+\infty)\)上單調(diào)遞增。根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，函數(shù)\(y=\log_{\frac{1}{2}}(x^24x+3)\)的單調(diào)遞減區(qū)間是\((3,+\infty)\)。3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(x,1)\)，若\(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow\)與\(2\overrightarrow{a}\overrightarrow\)平行，則\(x\)的值為（）A.\(\dfrac{1}{2}\)B.\(1\)C.\(\dfrac{1}{3}\)D.\(2\)答案：A解析：先求出\(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow\)與\(2\overrightarrow{a}\overrightarrow\)的坐標(biāo)，\(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow=(1+2x,2+2)=(1+2x,4)\)，\(2\overrightarrow{a}\overrightarrow=(2x,41)=(2x,3)\)。因?yàn)閈(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow\)與\(2\overrightarrow{a}\overrightarrow\)平行，所以\(3(1+2x)4(2x)=0\)，即\(3+6x8+4x=0\)，\(10x5=0\)，解得\(x=\dfrac{1}{2}\)。4.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，若\(a_3+a_4+a_5=12\)，則\(S_7\)的值為（）A.\(28\)B.\(42\)C.\(56\)D.\(14\)答案：A解析：因?yàn)閈(\{a_n\}\)是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得\(a_3+a_5=2a_4\)，已知\(a_3+a_4+a_5=12\)，即\(3a_4=12\)，解得\(a_4=4\)。根據(jù)等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式\(S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\)，則\(S_7=\dfrac{7(a_1+a_7)}{2}\)，又因?yàn)閈(a_1+a_7=2a_4\)，所以\(S_7=\dfrac{7\times2a_4}{2}=7a_4=7\times4=28\)。5.已知\(\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\)，\(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)，則\(\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)\)的值為（）A.\(\dfrac{7\sqrt{2}}{10}\)B.\(\dfrac{\sqrt{2}}{10}\)C.\(\dfrac{\sqrt{2}}{10}\)D.\(\dfrac{7\sqrt{2}}{10}\)答案：A解析：已知\(\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\)，\(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)，根據(jù)\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，可得\(\cos\alpha=\sqrt{1\sin^{2}\alpha}=\sqrt{1\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}}=\dfrac{4}{5}\)。則\(\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\alpha\cos\dfrac{\pi}{4}\sin\alpha\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{4}{5}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\dfrac{3}{5}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{7\sqrt{2}}{10}\)。6.直線\(xy+1=0\)與圓\(x^2+y^22x2y=0\)的位置關(guān)系是（）A.相離B.相切C.相交且過圓心D.相交但不過圓心答案：D解析：將圓的方程\(x^2+y^22x2y=0\)化為標(biāo)準(zhǔn)方程\((x1)^2+(y1)^2=2\)，則圓心坐標(biāo)為\((1,1)\)，半徑\(r=\sqrt{2}\)。根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，圓心\((1,1)\)到直線\(xy+1=0\)的距離\(d=\dfrac{|11+1|}{\sqrt{1^2+(1)^2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}<\sqrt{2}\)，所以直線與圓相交。又因?yàn)閳A心\((1,1)\)不滿足直線方程\(xy+1=0\)（\(11+1\neq0\)），所以直線不過圓心。7.從\(5\)名男生和\(3\)名女生中選\(3\)人參加某項(xiàng)活動，則至少有\(zhòng)(1\)名女生的選法種數(shù)為（）A.\(30\)B.\(36\)C.\(55\)D.\(60\)答案：C解析：“至少有\(zhòng)(1\)名女生”的對立事件是“沒有女生”，即全是男生。從\(8\)人中選\(3\)人的選法有\(zhòng)(C_{8}^{3}=\dfrac{8!}{3!(83)!}=\dfrac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56\)種，從\(5\)名男生中選\(3\)人的選法有\(zhòng)(C_{5}^{3}=\dfrac{5!}{3!(53)!}=\dfrac{5\times4}{2\times1}=10\)種。所以至少有\(zhòng)(1\)名女生的選法種數(shù)為\(C_{8}^{3}C_{5}^{3}=5610=55\)種。8.函數(shù)\(y=\sin2x\)的圖象向左平移\(\dfrac{\pi}{6}\)個單位長度后所得圖象的函數(shù)解析式是（）A.\(y=\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\)B.\(y=\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)C.\(y=\sin\left(2x\dfrac{\pi}{3}\right)\)D.\(y=\sin\left(2x\dfrac{\pi}{6}\right)\)答案：B解析：根據(jù)函數(shù)圖象平移的原則“左加右減”，函數(shù)\(y=\sin2x\)的圖象向左平移\(\dfrac{\pi}{6}\)個單位長度后，得到\(y=\sin\left[2\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)\right]=\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)。9.已知雙曲線\(\dfrac{x^2}{a^2}\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的一條漸近線方程為\(y=\dfrac{3}{4}x\)，則該雙曲線的離心率為（）A.\(\dfrac{5}{4}\)B.\(\dfrac{5}{3}\)C.\(\dfrac{4}{3}\)D.\(\dfrac{\sqrt{7}}{4}\)答案：A解析：雙曲線\(\dfrac{x^2}{a^2}\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的漸近線方程為\(y=\pm\dfrac{a}x\)，已知一條漸近線方程為\(y=\dfrac{3}{4}x\)，則\(\dfrac{a}=\dfrac{3}{4}\)。雙曲線的離心率\(e=\dfrac{c}{a}\)，且\(c^2=a^2+b^2\)，所以\(e=\sqrt{\dfrac{c^2}{a^2}}=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\left(\dfrac{a}\right)^2}=\sqrt{1+\left(\dfrac{3}{4}\right)^2}=\dfrac{5}{4}\)。10.若函數(shù)\(f(x)=x^33x+m\)在區(qū)間\([0,2]\)上的最大值為\(2\)，則\(m\)的值為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(3\)答案：C解析：對函數(shù)\(f(x)=x^33x+m\)求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=3x^23=3(x+1)(x1)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=1\)（舍去）。當(dāng)\(x\in[0,1)\)時，\(f^\prime(x)<0\)，函數(shù)\(f(x)\)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x\in(1,2]\)時，\(f^\prime(x)>0\)，函數(shù)\(f(x)\)單調(diào)遞增。所以\(f(x)\)在\(x=0\)或\(x=2\)處取得最大值。\(f(0)=m\)，\(f(2)=2^33\times2+m=2+m\)，因?yàn)閈(2+m>m\)，所以\(f(2)\)為最大值，即\(2+m=2\)，解得\(m=0\)。二、填空題：本題共6小題，每小題6分，共36分。11.已知冪函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象過點(diǎn)\((2,\sqrt{2})\)，則\(f(9)=\)______。答案：\(3\)解析：設(shè)冪函數(shù)\(f(x)=x^{\alpha}\)，因?yàn)閳D象過點(diǎn)\((2,\sqrt{2})\)，所以\(2^{\alpha}=\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}\)，則\(\alpha=\dfrac{1}{2}\)，即\(f(x)=x^{\frac{1}{2}}\)，所以\(f(9)=9^{\frac{1}{2}}=3\)。12.已知\(\tan\alpha=2\)，則\(\dfrac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\)______。答案：\(3\)解析：將\(\dfrac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}\)分子分母同時除以\(\cos\alpha\)（因?yàn)閈(\cos\alpha\neq0\)，若\(\cos\alpha=0\)，則\(\tan\alpha\)不存在），得到\(\dfrac{\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\dfrac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\dfrac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}=\dfrac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha1}\)，把\(\tan\alpha=2\)代入得\(\dfrac{2+1}{21}=3\)。13.若\(\log_3x=\dfrac{1}{2}\)，則\(x=\)______。答案：\(\sqrt{3}\)解析：根據(jù)對數(shù)的定義，若\(\log_3x=\dfrac{1}{2}\)，則\(x=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\)。14.已知橢圓\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的一個焦點(diǎn)為\(F(1,0)\)，且過點(diǎn)\((\sqrt{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2})\)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______。答案：\(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1\)解析：由焦點(diǎn)\(F(1,0)\)可知\(c=1\)，則\(a^2b^2=1\)，又因?yàn)闄E圓過點(diǎn)\((\sqrt{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2})\)，所以\(\dfrac{(\sqrt{2})^2}{a^2}+\dfrac{(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2}{b^2}=1\)，即\(\dfrac{2}{a^2}+\dfrac{\dfrac{1}{2}}{b^2}=1\)。將\(b^2=a^21\)代入\(\dfrac{2}{a^2}+\dfrac{\dfrac{1}{2}}{b^2}=1\)得\(\dfrac{2}{a^2}+\dfrac{\dfrac{1}{2}}{a^21}=1\)，化簡得\(4(a^21)+a^2=2a^2(a^21)\)，即\(2a^43a^24+2=0\)，\(2a^43a^22=0\)，因式分解得\((2a^2+1)(a^22)=0\)，因?yàn)閈(a^2>0\)，所以\(a^2=2\)，則\(b^2=1\)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為\(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1\)。15.已知函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}2x+1,x\leqslant0\\x^2+1,x>0\end{cases}\)，若\(f(a)=3\)，則\(a=\)______。答案：\(\pm\sqrt{2}\)解析：當(dāng)\(a\leqslant0\)時，\(f(a)=2a+1=3\)，解得\(a=1\)（舍去）；當(dāng)\(a>0\)時，\(f(a)=a^2+1=3\)，即\(a^2=2\)，解得\(a=\sqrt{2}\)或\(a=\sqrt{2}\)（舍去）。所以\(a=\sqrt{2}\)。16.已知正方體\(ABCDA_1B_1C_1D_1\)的棱長為\(1\)，則異面直線\(A_1B\)與\(B_1C\)所成角的大小為______。答案：\(60^{\circ}\)解析：連接\(A_1D\)和\(BD\)，因?yàn)閈(A_1D\parallelB_1C\)，所以\(\angleBA_1D\)就是異面直線\(A_1B\)與\(B_1C\)所成的角。在正方體中\(zhòng)(A_1B=A_1D=BD=\sqrt{2}\)，所以\(\triangleA_1BD\)是等邊三角形，則\(\angleBA_1D=60^{\circ}\)。三、解答題：本題共3小題，共54分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（本題滿分16分）已知\(\triangleABC\)的內(nèi)角\(A\)，\(B\)，\(C\)的對邊分別為\(a\)，\(b\)，\(c\)，且\(a\cosB+b\cosA=2c\cosC\)。（1）求角\(C\)的大??；（2）若\(c=\sqrt{3}\)，\(\triangleABC\)的面積為\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，求\(\triangleABC\)的周長。答案：（1）由正弦定理\(\dfrac{a}{\sinA}=\dfrac{\sinB}=\dfrac{c}{\sinC}=2R\)（\(R\)為\(\triangleABC\)外接圓半徑），可得\(a=2R\sinA\)，\(b=2R\sinB\)，\(c=2R\sinC\)。將其代入\(a\cosB+b\cosA=2c\cosC\)得：\(2R\sinA\cosB+2R\sinB\cosA=2\times2R\sinC\cosC\)，根據(jù)兩角和的正弦公式\(\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB\)，則\(\sin(A+B)=2\sinC\cosC\)。因?yàn)閈(A+B+C=\pi\)，所以\(A+B=\piC\)，那么\(\sin(A+B)=\sin(\piC)=\sinC\)。所以\(\sinC=2\sinC\cosC\)，因?yàn)閈(0<C<\pi\)，所以\(\sinC\neq0\)，兩邊同時除以\(\sinC\)得\(2\cosC=1\)，解得\(\cosC=\dfrac{1}{2}\)，所以\(C=\dfrac{\pi}{3}\)。（2）因?yàn)閈(\triangleABC\)的面積為\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，根據(jù)三角形面積公式\(S_{\triangleABC}=\dfrac{1}{2}ab\sinC\)，可得\(\dfrac{1}{2}ab\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，即\(\dfrac{1}{2}ab\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，解得\(ab=2\)。由余弦定理\(c^2=a^2+b^22ab\cosC\)，已知\(c=\sqrt{3}\)，\(C=\dfrac{\pi}{3}\)，則\((\sqrt{3})^2=a^2+b^22ab\cos\dfrac{\pi}{3}\)，即\(3=a^2+b^2ab=(a+b)^23ab\)。把\(ab=2\)代入上式得\(3=(a+b)^26\)，則\((a+b)^2=9\)，因?yàn)閈(a,b>0\)，所以\(a+b=3\)。所以\(\triangleABC\)的周長為\(a+b+c=3+\sqrt{3}\)。18.（本題滿分18分）已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，且\(S_n=2a_n2\)。（1）求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)\(b_n=\log_2a_n\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(T_n\)。答案：（1）當(dāng)\(n=1\)時，\(S_1=a_1=2a_12\)，解得\(a_1=2\)。當(dāng)\(n\geqslant2\)時，\(a_n=S_nS_{n1}=2a_n2(2a_{n1}2)\)，化簡得\(a_n=2a_n2a_{n1}\)，即\(a_n=2a_{n1}\)。所以數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是以\(2\)為首項(xiàng)，\(2\)為公比的等比數(shù)列。根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式\(a_n=a_1q^{n1}\)（\(q\)為公比），可得\(a_n=2\times2^{n1}=2^n\)。當(dāng)\(n=1\)時，\(a_1=2^1=2\)，上式也成立。所以數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=2^n\)。（2）由（1）知\(a_n=2^n\)，則\(b_n=\log_2a_n=\log_22^n=n\)。因?yàn)閈(b_n=n\)，所以數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)是以\(1\)為首項(xiàng)，\(1\)為公差的等差數(shù)列。根據(jù)等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式\(T_n=\dfrac{n(b_1+b_n)}{2}\)，可得\(T_n=\dfrac{n(1+n)}{2}=\dfrac{n^2+n}{2}\)。19.（本題滿分20分）已知拋物線\(y^2=2px(p>0)\)的焦點(diǎn)為\(F\)，過點(diǎn)\(F\)且斜率為\(1\)的直線\(l\)與拋物線交于\(A\)，\(B\)兩點(diǎn)，若\(|AB|=8\)。（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)\(O\)為坐標(biāo)原點(diǎn)，\(C\)為拋物線上一點(diǎn)，若\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\lambda\overrightarrow{OB}\)，求\(\lambda\)的值。答案：（1）拋物線\(y^2=2px(p>0)\)的焦點(diǎn)\(F\left(\dfrac{p}{2},0\right)\)，則直線\(l\)的方程為\(y=x\dfrac{p}{2}\)。聯(lián)立\(\begin{cases}y=x\dfrac{p}{2}\\y^2=2px\end{cases}\)，將\(y=x\dfrac{p}{2}\)代入\(y^2=2px\)得：\(\left(x\dfrac{p}{2}\right)^2