專題突破練4平面向量的綜合應(yīng)用必備知識夯實練1.(2023全國甲,文3)已知向量a=(3,1),b=(2,2),則cos<a+b,a-b>=()A.117 B.17C.55 D.2.(2025浙江金華三模)已知|a|=1,|a+b|=5,向量a與b的夾角為π4,則|b|=(A.1 B.2 C.3 D.223.(2024全國甲,理9)設(shè)向量a=(x+1,x),b=(x,2),則()A.x=-3是a⊥b的必要條件B.x=-3是a∥b的必要條件C.x=0是a⊥b的充分條件D.x=-1+3是a∥b的充分條件4.(2025江蘇南通一模)若非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且向量b在向量a上的投影向量是-14a,則向量a與b的夾角為(A.π6 B.2C.5π65.(2025湖南長沙模擬)已知菱形ABCD的邊長為1,∠DAB=60°,E是BC的中點,AE與BD相交于點F,則AF·AB=(A.23 B.5C.1 D.76.(2025山東煙臺一模)在△ABC中,AB=2AC=6,∠BAC=60°,BC=3BD,則|AD|=()A.7 B.13 C.21 D.277.(2025江蘇南京二模)在四邊形ABCD中,AB∥DC,∠A=90°,AB=AD=2CD=2,E是線段AD的中點,F是線段BE上的動點,可以與點B,E重合,則FB·FC的最小值為(A.-43 B.-5C.-45 D.-8.(2025廣東惠州模擬)已知平面向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,且(a-2b)⊥a,則|a-b|=.9.(2025江蘇南京模擬)如圖,已知點G是△ABC的重心,過點G作直線分別與AB,AC兩邊交于M,N兩點,設(shè)AM=xAB,AN=yAC,則x+4y的最小值為關(guān)鍵能力提升練10.(2025山東濟南二模)在正方形ABCD中,AB=4,E為AB的中點,F為BC邊上靠近點C的四等分點,AF與DE交于點M,則cos∠EMF=()A.-2525 B.-C.252511.(2022北京,10)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動點,且PC=1,則PA·PB的取值范圍是(A.[-5,3] B.[-3,5]C.[-6,4] D.[-4,6]12.(多選題)(2025浙江臺州二模)已知|a|=2,|b|=3,|c|=4,則下列選項正確的是()A.|a+b+c|的取值范圍是[0,9]B.(a+b)·(a+c)的最大值為30C.(a+b)·(a+c)的最小值為-21D.(a+b)·(a+c)的最小值為-1013.(2025北京,10)已知在平面直角坐標系xOy中,|OA|=|OB|=2,|AB|=2,設(shè)C(3,4),則|2CA+AB|的取值范圍是(A.[6,14] B.[6,12] C.[8,14] D.[8,12]核心素養(yǎng)創(chuàng)新練14.(2025山東青島模擬)“超橢圓”C:xan+ybn=1(n>0)是一種優(yōu)美的封閉曲線.如圖是當n=12,a=b=1時C的圖象,點Q是C與y軸正半軸的交點,過原點O的直線交C于點A,BA.[-18,58] B.C.[0,58] D.[0,7

答案：1.B解析∵a=(3,1),b=(2,2),∴a+b=(5,3),a-b=(1,-1).則有cos<a+b,a-b>=(a+b2.B解析因為|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×1×|b|×22+|b|2=|b|2+2|b|+1=5,解得|b|=2或|b|=-22(舍去).故選3.C解析若a⊥b,則x(x+1)+2x=0,解得x=0或x=-3.若a∥b,則2(x+1)-x2=0,解得x=1+3或x=1-3.故選C4.B解析∵b在a上的投影向量為a·b|a|2·a=-14a,∴a·b|a|2=-14,∴a·b=-1∵<a,b>∈[0,π],∴<a,b>=2π3.5.B解析因為AD∥BE,所以∠DAF=∠BEF,∠ADF=∠EBF,所以△FEB∽△FAD,所以AFEF=ADEB=2,所以AF=23AE=23(AB+12AD)=23AB6.C解析在△ABC中,AB=2AC=6,∠BAC=60°,BC=3BD,所以AD=AB+BD則|AD|=4=4=4=21故選C.7.C解析如圖,以A為坐標原點,以直線AB,AD分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系.因為AB=AD=2CD=2,E是線段AD的中點,所以A(0,0),B(2,0),C(1,2),D(0,2),E(0,1),而F是線段BE上的動點,從而可設(shè)AF=λAB+(1-λ)AE=(2λ,0)+(0,1-λ)=(2λ,1-λ),λ∈[0,1],所以點F的坐標是(2λ,1-λ),所以FB=(2-2λ,-1+λ),FC=(1-2λ,1+λFB·FC=(2-2λ)(1-2λ)+(-1+λ)(1+λ)=4λ2-6λ+2+λ2-1=5λ2-6λ+1=5(λ-所以當λ=35時,FB·FC取最小值-48.2解析因為(a-2b)⊥a,所以(a-2b)·a=0,即a2-2a·b=0,因為|a|=1,所以2a·b=1,又|b|=2,所以|a-b|=(a-b9.3解析因為點G為△ABC的重心,可得AG=13(又因為G,M,N三點共線,所以13x易知x>0,y>0,所以x+4y=(x+4y)(13x+13y)=13(5+4yx+當且僅當x=1,y=12時,等號成立,所以x+4y的最小值為310.A解析如圖,∠EMF為DE,AF的夾角,而所以|DE|=(=DA=16+0+4=25,|AF|=(=AB=16+0+9=5,DE·AF=(DA+AE)·(AB+BF)=DA·AB+DA·綜上,cos∠EMF=DE·AF|DE||AF|11.D解析如圖所示,以點C為坐標原點,CA,CB分別為x軸,y軸建立平面直角坐標系,則C(0,0),A(3,0),B(0,4).∵PC=1,∴可設(shè)P(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π],∴PA·PB=(3-cosθ,-sinθ)·(-cosθ,4-sinθ)=-3cosθ-4sinθ+sin2θ+cos2θ=1-5sin(θ+φ),其中tanφ=34,∵-1≤sin(θ+∴-4≤PA·PB≤612.ABC解析由向量模長的三角不等式得|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|=2+3+4=9,當且僅當a,b,c同向時,取得最大值9.當向量a,b,c首尾順次連接構(gòu)成封閉的三角形時,a+b+c=0,模長為0,由于長度為2,3,4的邊滿足任意兩邊之和大于第三邊,所以這樣的三角形是存在的,故|a+b+c|的取值范圍是[0,9],故A正確.因為(a+b)·(a+c)=a2+a·c+a·b+b·c=4+8cos<a,c>+6cos<a,b>+12cos<b,c>,當a,b,c同向時,cos<a,c>=cos<a,b>=cos<b,c>=1,(a+b)·(a+c)的最大值為4+8+6+12=30,故B正確;因為(a+b)·(a+c)=a2+a·c+a·b+b·c=a2+a·(c+b)+b·c,設(shè)d=b+c,則上式為|a|2+a·d+b·c①,當a與d反向時,a·d=2×|d|cosπ=-2|d|,d·d=(b+c)·(b+c)=|b|2+|c|2+2b·c=9+16+2b·c,所以b·c=|d|2-252,代入①式得4-2|d|+|d|2-252=|d|2-4|d|-172=(|d|-2)2-212,所以當|d|=2時,(a+b)·(a+c)取得最小值13.D解析∵|OA|=|OB|=2,|AB|=2,∴OA⊥OB,A,B兩點在以O(shè)為圓心,2為半徑的圓上.取AB的中點H,可知|OH|=1,∴點H在以O(shè)為圓心則|2CA+AB|2=4CA2+4CA·AB+AB2=4CA(CA+AB)+4=4CA·CB+4=4(CH+HA)(CH+HB)+4=4(CH2-HA2)+∵|CO|-1≤|CH|≤|CO|+1,|CO|=5,∴4≤|CH|≤6,即8≤2|CH|≤12.故選D.14.D解析當n=12,a=b=1時,曲線C的方程為|x|+|y|=1,在曲線C上任取一點P(x,y),則點P關(guān)于原點的對稱點為點P'(-x,-y),則|-x|+|-y|=|x|+|y|=1,即點P'在曲線C上,所以曲線C關(guān)于原點對稱,同理可知,曲線C關(guān)于x軸、y軸對稱.因為過原點O的直線交C于點A,B,則點A,B關(guān)于原點對稱.在曲線C的方程中,令x=0,可得y=±1,即點Q(0,1),則QA·QB=(QO+OA)·(QO-OA)=QO2-OA2=1-|OA|2.由對稱性,不妨設(shè)點A(x,y),其中0≤x≤1,0≤y≤1,則x+y=1,|OA|2=x2+y2=